第2章 1.2 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的核心知识点，系统梳理椭圆的标准方程、焦点坐标、离心率等几何性质，以及弦长计算、轨迹方程推导、实际应用问题的解题方法，搭建从基础性质到综合应用的学习支架。 该资料通过开普勒行星轨道、公园水池设计等实际情境培养数学眼光，借助勾股定理、椭圆定义等逻辑推理发展数学思维，课中辅助教师清晰讲解，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

1．已知过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．4 解析：选C．因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(，0)，将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故|AB|＝1.故选C． 2．已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，点P(x0，)是椭圆C上一点，则|PF|＝(　　) A． B． C．3或 D．或 解析：选D．将P(x0，)代入椭圆C：＋＝1中，得＋＝1，解得x0＝±2，又F(－2，0)，当x0＝2时，|PF|＝＝；当x0＝－2时，|PF|＝＝.综上，|PF|＝或|PF|＝.故选D． 3．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A． B． C． D． 解析：选A．设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得＝，整理得a＝59c，即＝. 所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 4．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan ∠PF1F2＝(　　) A． B．2 C． D． 解析：选A．由椭圆的方程＋＝1可得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，设|PF1|＝r，则|PF2|＝2a－r＝6－r，由P在第一象限可得r>6－r，即r>3，因为PF1⊥PF2，所以r2＋(6－r)2＝(2c)2＝20，整理可得r2－6r＋8＝0，解得r＝4或r＝2(舍去)，即|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以在Rt△PF1F2中，tan ∠PF1F2＝＝＝.故选A． 5．已知P为椭圆＋＝1上一动点，记原点为O，若＝2，则点Q的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选A．设点Q(x，y)，由＝2得点P(2x，2y)，而点P为椭圆＋＝1上的任意一点，所以＋＝1，整理得＋＝1，所以点Q的轨迹方程是＋＝1. 6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C交于P，Q两点，若|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5，则(　　) A．PF1⊥PF2 B．△QF1F2的面积等于 C．直线l的斜率为 D．C的离心率等于 解析：选ABD．由|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5可知，不妨设|F2Q|＝m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m，又|PQ|＝|F2Q|＋|PF2|＝4m，可得|PF2|＝3m.利用椭圆定义可知|F1Q|＋|F2Q|＝|PF1|＋|PF2|＝6m，所以可得|PF1|＝3m. 即|PF1|＝|PF2|＝3m，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，如图所示．由|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m可知满足|PF1|2＋|PQ|2＝|F1Q|2，所以PF1⊥PF2.即A正确；所以△PF1F2为等腰直角三角形，且|PF1|＝3m＝a，因此△QF1F2的面积S＝S－S＝|PQ|·|PF1|－|PF2|·|PF1|＝6m2－m2＝m2＝，即B正确；此时可得直线l的斜率kPQ＝kPF2＝－1，即C错误；在等腰直角三角形PF1F2中，易知a2＋a2＝(2c)2，即可得离心率e＝＝，即D正确．故选ABD． 7．已知F1(－c，0)，F2(c，0)分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使|PF2|＝2c，则椭圆离心率e的取值范围为____________． 解析：由题设，|PF2|＝2c≥－c，则e2＝≥，而0<e<1，所以≤e<1. 答案：≤e<1 8．若常数a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a2的长轴长是短轴长的3倍，则实数a的值为____________． 解析：由椭圆x2＋a2y2＝2a2，可得椭圆＋＝1，当a>1时，＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以2＝3×2，即a＝3；当0<a<1时，＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以2＝3×2，即a＝，综上，实数a的值为3或. 答案：3或 9．已知a＝(x－，y)，b＝(x＋，y)，且满足|a|＋|b|＝4，则点P(x，y)的轨迹方程为_______________________________________________________． 解析：设F1(，0)，F2(－，0)，由|a|＋|b|＝4可得，＋＝4，上式的几何意义是P(x，y)与点F1(，0)，F2(－，0)的距离之和是4，且4>2，即|PF1|＋|PF2|＝4>|F1F2|，所以点P(x，y)的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝1，所以点P(x，y)的轨迹方程为＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 10．(13分)已知点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 解：设动点M的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得 ⇒ 即点B的坐标可表示为(2x－2a，2y)， 又点B在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1. 整理得点M的轨迹方程为＋＝1. 11．如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4、短轴AB的长为2的半个椭圆，设P是该图形上任意一点，则与线段AP的长度的最大值最接近的是(参考数据：≈1.73)(　　) A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 解析：选C．以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由题意a＝2，b＝1，且椭圆焦点在y轴上，所以半椭圆方程为＋x2＝1(0≤y≤2)，A(－1，0)，B(1，0)，设点P的坐标为(x0，y0)(－1≤x0≤1，0≤y0≤2)，则＋x＝1，所以|AP|＝＝＝ ，因为x0∈[－1，1]，所以当x0＝时，|AP|取得最大值，|AP|max＝≈2.31，所以选项中与线段AP的长度的最大值最接近的是2.3.故选C． 12．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　) A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为(0，) D．若＝，则椭圆C的长半轴长为＋ 解析：选AC．对于A，由|F1F2|＝2，得F1(－1，0)，F2(1，0)，|PF2|＝1，则|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|＝2a－(|QF2|－|QP|)≥2a－|PF2|＝2a－1，当Q，F2，P三点共线且P在线段QF2上时取等号，A正确； 对于B，由点P(1，1)在椭圆内部，得＋<1，则<1，有b>1，椭圆C的短轴长大于2，B错误；对于C，因为＋<1，且a2－b2＝1，于是＋<1，即a4－3a2＋1>0，解得a2>＝，即a>，因此e＝<，椭圆C的离心率的取值范围为(0，)，C正确； 对于D，由＝，得F1为线段PQ的中点，即Q(－3，－1)，则＋＝1，又a2－b2＝1，即a4－11a2＋9＝0，解得a2＝＝，则a＝，椭圆C的长半轴长为，D错误．故选AC． 13．如图，过椭圆上任意一点P(不同于A，B)作长轴AB的垂线，垂足为Q，则为常数k.若k＝，则该椭圆的离心率为________． 解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略).设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则|PQ|＝|y|，|AQ|＝a＋x，|BQ|＝a－x，所以＝＝k，而y2＝(a2－x2)，即k＝＝1－＝1－e2，所以e＝＝＝. 答案： 14．(15分)已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2以C1的短轴为长轴且与C1有相同的离心率． (1)求椭圆C2的方程；(5分) (2)设O为坐标原点，点A，B分别在C1，C2上，且＝2，求直线AB的方程．(10分) 解：(1)由椭圆方程＋＝1，可知短轴在x轴，且短轴长为4，离心率为， 所以根据题意，可设椭圆C2的方程为＋＝1(0<b<2)， 因为椭圆的离心率为， 故＝，解得b2＝1， 故椭圆C2的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由＝2可知O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可以设直线AB的方程为y＝kx(k≠0)， 将y＝kx代入＋y2＝1得＋(kx)2＝1，所以x＝， 将y＝kx代入＋＝1得＋＝1，所以x＝， 又由＝2，可得(x1，y1)＝2(x2，y2)，即x1＝2x2， 则x＝4x，代入得＝4×，化简得4＋k2＝1＋4k2，解得k2＝1， 则k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. 15．(15分)如图，某公园将在长34 m、宽30 m的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x>0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求“挞圆”的方程；(6分) (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值．(9分) 解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34，得a＝25.所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x>0). (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0.所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34(＋)＝510，当且仅当＝，即x0＝，t＝时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $