3.1椭圆综合练习（2）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆解答题核心题型，以7类典型问题为框架，系统整合方程求解、位置关系、定点定值等方法，强化逻辑推理与数学语言表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础量计算|3题|离心率公式、a,b,c关系推导|从椭圆定义到标准方程，构建基本量逻辑链| |位置关系与弦长面积|4题|联立方程+韦达定理、弦长公式、面积转化|直线与椭圆位置关系判定到几何量计算的应用拓展| |定点定值与存在性|5题|参数分类讨论、向量条件转化、函数求最值|从代数表达（方程）到几何性质（定点/定值）的数学思维迁移|

【高二数学】08椭圆(2) 学校： 姓名： 班级： 考号： 圆锥曲线解答题核心题型： 1)直线与圆锥曲线的位置关系 2)求弦长、中点弦、焦点三角形 3)求面积 4)参数最值与取值范围 5)定点、定值、定直线 6)平面向量与圆锥曲线的综合 门)存在性、探索性问题 + =1 1.(25-26高二下·上海闵行·期末)已知椭圆下：95 ,点A是椭圆「的右顶点. (1)求椭圆离心率； (2)已知 点M(0,m）,m>0,若椭圆「上存在一点P,满足PA=M证，求m的值： (3)若直线I与「交于B、C两点，且∠BAC为直角，求证：直线1恒过定点. 试卷第1页，共3页 ,.(2026南流香三模)已知桶C:+长-10b>0的短指长为2，离率为要。 3 (1)求C的方程： 线：y=+m(k≠0)与C有唯一公共点P,过点P且与垂直的直线分别交x轴、y (2)直 g 轴于点A,B,O为坐标原点，若aOAB的面积为8，求k, 试卷第2页，共3页 x2,y2 3.(25-26高二下四川泸州期中)已知椭圆c:京+。1（a>b>0)的两个顶点在直 2 我调的，与盟c。两点， (点P不在直线1上)为椭圆C上一点. (1)求椭圆C的标准方程： √2 (2)若△PAB的面积为3，求直线AB的斜率， 试卷第3页，共3页 C. 4.(2026四川广安模拟预测)已知椭圆C:。+广=1(a>), 的右焦点为F,椭圆C上的 2+V3 点到F的距离最大值为 (1)求a和C的离心率： o5P2的直线交C于A,B两点，若P为B的中点，求l的方程 试卷第4页，共3页 6 5.(25-26高二上陕西汉中~期中)已知椭圆E的离心率为3，其左焦点为F(-2,0).点 M(-3,0) 过点F的直线（不垂直于坐标轴）与F交于A,B两点， (I)求椭圆E的标准方程； (2)证明：∠AMF=∠FMB； (3)求△MAB面积S的最大值. 试卷第5页，共3页 2025寸西南宁模拟D已知椭园C+长Q>6>0的左、右焦点 3 B,B,离心率为2，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1 (1)求椭圆C的方程： (②已知过点的直线1交椭圆C于，B两点，当△F,AB的面积最大时，求直线1的方 程 试卷第6页，共3页 1 7(2025:安微马骸山一模)己知椭圆C:76行1Q>b>0的离心率为2，且闔 P活带度C上 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若A,B为椭圆C上的两点，且满足AP⊥BP,求证：直线AB过定点. 试卷第7页，共3页 x2 v2 8.（2-23高二下河南郑州期中)已知椭圆C：?+?1 a>b>0)的离心率e=号 日糖圆过今 (1)求C的方程： (2)过点M0,1直线与椭圆有两个交点A,B,己知'轴上 N0,3),求证： kN+kNB =0 试卷第8页，共3页 ，.〈2435=上新建野日期已期椭若苦-1a>b>0过点和 A(2,1)B(0,V3) 过M(B,0)作直线1与椭圆交于CD两点。 (1)求椭圆的标准方程： (②记直线4C0的斜率分别为、，证明+长是定值： 试卷第9页，共3页 x2 10.(24-25高二上重庆阶段检测)己知直线y=x+2与椭圆3+少=1相交于不同的两 点P,Q (I)求实数k的取值范围： (2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点，求实数k的值 试卷第10页，共3页 12526高三上亚宁锦州阶段检测)己知椭圆￥+士1(a>>0)椭圆的离心 a b2 35 SAABC- Q片左顶点为4，下顶点为B,C是线段08的中点，其中 2 (1)求椭圆方程， 3 0, (2)过点 2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上存在点T使得严·见≤0.求 T点的纵坐标的取值范围. 试卷第11页，共3页 223吉林长春一模)椭圆C:等+片1a>b>0的离心 3 a2 b2 ,过椭圆焦点并 且垂直于长轴的弦长度为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点，与y轴相交于M(0,m)点，若存在实数m,使得 0A+30B=40M ,求”的取值范围 试卷第12页，共3页 《【高二数学】08椭圆(2)》参考答案 L。【详解10已知号白.则c9,又ab+c 得c=2,a=3, c 2 故椭圆的离心率为e=二= a3: 2+y (②)由椭圆的标准方程为9+5】 则4(6,0).设Px,y.则 PA=(（3-o,-%）MP=(o-m） 3 由 ,则3-x=x。,解得 m PA=MP -yo=Yo-m 2 2 m =1，解得 ，故 9 5 m2=15 m>0 m=v15 3)设B(,）.C,) 当直线斜率不存在时，设直线方程为×=·，则 由 ∠BAC 为直角，可得BAC=0 2-50-写5-写。.g；价 当斜率存在时，设直线l方程为y=x+m,联立心， 整理得5+9%2)r+18kmx+9m2-45=0 ，可得乙 且∠B1C为直角，可行4B:4C=0 所以低-3-3)+=0，即任-3-3+(%+ma,+m)=0 整理得1+)+(km-3s+)+m2+9=0 答案第1页，共2页 书D元代入上式：：56-如 18km J5+9%2+m2+9=0, 化简得7m2+27km+18k2=0 整理得m+3)(7加+6)=0，可得m-3头或m= 7 当m-计时，直线方程为”x-),此时直线过定点60) 不符合题意，舍去， 6水 6 6 当m 0 7 时直线方程为” 此时直线过定点（7 符合题意 绿上直10 0 B k=tl 2.+y=1 4 2 【详解】(1)由短轴长2b=2,得b=1. eCV得a2a2÷1-1、3 由e=S=3 a24,解得a2=4. 所以C的方程为X+y [y=kx+m (2)联立x2+4y2=4,得x2+4(x+m)}=4, 整理得1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0. 由恩意知，△=0，则(8-4+44m-4)=0,化简得m2=4k+1, 答案第2页，共2页 设1,0)，B(0P(,）,由根与系数的关系可知， -8km -4km_-4k 2x=1+4状，即=1+4掀=m, 所以少=+m=1 令y=0,得= m,令x=0,得%=-3 m 1 19k_9k9 △01B的面积322m2×4转+8， S= 整理得4秋-4+1=0，解得个 故三土 2 3.)2+=1 (2)±1 2 x+y= 【详解】(1)由题意得直线2 与坐标轴的交点为N5,0,(0,1). 得到a=2,b=1,即椭圆C的标准方程为2 +y2=1 (2)当直线AB的斜率不存在时，不符合题意： 当直线1B的斜率存在时，设直线AB的方程为'=k(K-), 答案第3页，共2页 如图，作出符合题意的图形，且设1(，少），B(,) B/ O y=k(x-1) 由 x 得到 2+2=11 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 可得4=(4k2-40+22)(22-2）=82+8>0. 4k2 2k2-2 由韦达定理得+3=1十2，= 1+2k2, 由弦长公式得4=1+FVG+x广-4天 2 =V1+k2 42 2k2-222(k2+1) 4× 1+2k2 1+2k2=1+2k2, ,A、 1 设点P到直线AB的距离为d,由点到直线的距离公式得2√+k2, 122(k2+1)2,1 所以5.即=2×1+2k -X 2V1+k2 :1x25(k+x2x1=2 而△PAB的面积为3，得到21+2k2x2×+k2=3,解得k=士1. 4.02g3=41 【详解】(1)由题意可知， b=1,a2=1+c2,a+c=2+V 5,得a=2,c=3. 答案第4页，共2页 则C的离心率为a2; (2)由(1)知， 4+y2=1 若直线1斜率为0或不存在，则线段AB的中点应在坐标轴上， 故设1：y=kx-+2k≠0，AXy,Bx,y -0号 联立x2+4y2=4，得(4k2+1)x2+k(4-8k)x+4k2-4k-3=0, 则七+x2= ）-2,得= 4k2+1 故的方程为y= 2+1 x2,y2 3 5.①6+21@证明见解析6 21 【详解】(1)由题意得，c=2,e=a=3.可知a=6,b=gG 所以西6纳金未后苦1 (2)证明：根据题意，设直线4B的方程为'=+2)，k≠0，A(G,y).B(,) 0 B 答案第5页，共2页 [y=k(x+2) 号-1，可0+3r+1x+12-6=0 由 -12k2 12k2-6 则+五1+3次， 1+3k2, 所以w+w=3+上-[2西+56+)+12] x+3x2+3xx2+3(x+x2)+9, 而2+5(5+)+12=24k2-1260k2 1+3+1+3+12=0,所以kw+kw=0: 所以∠AMF=∠FMB成立. (3)3s=Mr-=G+-4新不 6(k2+k) =√6. -39广+0+3 V1+3k2 1+3k2 令1=1+3，t1.则5w=6 P+-2-6.,4-2-6 3Vtt2-31 11 √6§5 又0<1，所以当4，即k=士1时，S取得最大值，为兮⑧之 -X 3 故△MAB面积S的最大值为2， 60学+y-1:国+y-5=0孩--6=0 【详解】(1)设椭圆C的半焦距为C,由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1，得点 (c,2在椭圆c上， c21 3ac=3 于是4，由离心率为)得 寻。=2，而0=+c,因此b=1,a=2,c=3, 所以椭圆C的方程为4+y包 (2)由题意， F(-V3,0),E(3,0) 直线不垂直于》轴。设其方程为=m+5 答案第6页，共2页 y F B [x2 +y2=1 由 =m+5得m+p+2w-10设A,少，BX, -2√3m y=-m+4, 1 则为+为=】 m2+4, aFR男-%卡50+r-4= 12m2 4 V(m2+4)2'm2+4 =45vm2+1 45 4V3 ==2 m2+4 Vm+1+3 2.m2+1. 3 √m2+1 Vm2+1 √m2+1= 3 当且仅当 Vm2+1,即m=±V2时取等号， 所以直线的方程 为x+2y-5=0或x-2y-5=0 1 7.【详解】(1因为椭圆C离心率为2，所以e=￡=1-马=号 ad-2 19 又因为点P1,引在椭圆C上，所以云+行1 3 ,解得0=4，b2=3, +y=1 椭圆C的标准方程为：4+3 (2)①当AB斜率不存在时，设AB的方程为x=m, 答案第7页，共2页 因为PA⊥PB,所以 i-丽=(m--r-=0 m2,n2 =1 ym2=33 因为43，所以” 7m2 ,1 -2m+=0 所以4 4 ,解得7或m=1(舍)： ②当AB斜率存在时，设AB的方程为y=a+t, 苦苦-1夫以小+84-2-0 △=64k-164k2+30-3列即42-f+3>0, 8kt 4t2-12 设A6,》B)则+5=4+3，=4W2+3: 6t y+2=4k2+3,y2=4k2+3 因为PA⊥PB,所以 =--rx引-0 即-G+)1+%0+)+}-0, 代入化简得282+4k2+32t-36t-9=0, m2k+21-32k+14+3)=0 1=3-k 当2k+2t-3=0时，2，此时AB方程 为P=(-1)+ 方，过定点1，引合去： 3 答案第8页，共2页 13 综上，直线AB过定点(74 8.0兰+兰=1，②正明见解折 43 【都】少由第回C:云方的路心e骨2- x2 y2 2,得a2 4,则4b2=3a2, 1,9 由椭圆C过点 行。十亦1，解相口2-462-3， x+y 所以椭圆C的方程为4+3 =1. (2)依题意，直线的斜率存在，设直线I的方程1：y=k心+1， x2,y2 =1 43 由y=+1消去y'得(B+4k2)x2+8-8=0' 设A(X1,y1),B(X2,y2),显然△>0， 8k 8 则+=3+4软，=3+4级， +o=当-3+当-3_@+)-3+色，+1)-3_c-2,,-2 所以 8k =24-2X+=24-2,5+5=2k-2.3=26-2.-0 8 -8 3+4k2 答案第9页，共2页 N M 9.)X+号=1②证明见解折 63 【详解】(1)因为椭圆过点42，)和B0,), a2=6,b2=3 代入椭圆表达式可得 所以猫圆的标准方程为+兰：1 63 (2)证明：设 t号- x2-2 直线CD的斜率一定存在，设为'=(x-3)】 如下图所示： M D E+ =1 63 联立y=k(x-3),消去y得到(2k2+1)x2-12k3x+18k2-6=0,: 易知△=(2k2-42k+1182-6)>0,可得K2<1, 12k2.18k2-6 且x+F2k+ -2k2+1 答案第10页，共2页 飞+k--3)-,k-3)-1_k25-56+)+12]-6+)+4 x-2”2-2 xx2-2(x+x2)+4 -12k2+8k2+4 2k2+1 -4k2+4=-2 18k2-6-24k2+8k2+42k2-2 2k2+1 +是定值 故 10.①k>1或k<-1②39或39 y=kx+2 【详解】(1)由3+y=L,消y得到1+3)2+12+9=0： 由题知 =02k-361+3k)>0, 整理得到-1>0，解得k>1或k<-1, 所以实数k的取值范围为k>1或k<-1. (2)设P(x1,y1,Q(x2,y2, 由（1)，根据韦达定理得到+x=12% 9 1+3次x1+3次， 所以=(a+22+2)=k2xx2+2k(:+x)+4= +3派1+京+4=4张 9k224k2 1+3k2, 又0P10Q,所以0P100,得到O.O0=0, 又0P=(,00=,）,所以XX+yy=0, 9,4-3k2 2=13 k=-59 得到1+3欢++3攻=0，整理得到-了，解得=号 3, 39.-39 所以实数k的值为3或3· 答案第11页，共2页 x2.y2 十 【详辩（山因为情国的离率水-教a=2,则=-7：5c,其中为半焦 距， 所4 icfo-】 *2cx5e=36 2,解得c=3(负值已舍去)， x2.y2 =1 所以a=25,b=3,故椭圆方程为129 (2)若过点 0,,的动直线的斜率存在，则可设该直线方程 2 Q T 3x2+4y2=36 设pk,e,为r0少由=--号。 可得3+4)r2-12-27=0 答案第12页，共2页 12k 27 故△=14k2+1083+42）=324+576k2>0且+5=3+4K=3+4k TP=(:,y-),T0=(x2y2-） 示顶=+%0小=+ =0+)-3+)r侵+ +)小+ -27-27-1x-127+3j+6+20 3+4K2 [8+2y-1-45]+3-2n 12 3+4k2 (3+2t)}2-121-45≤0 因为 p.0≤0 恒成立， 故个3+小-27s0·解得3s 2 3 0, 若过点〔 2J的动直线的斜率不存在，则P(0,3列，(0，-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时需35153，两者结合可得3≤1号 使得TP.TQ≤0恒成立 2+r1e》 3 【详解】(1)因为该椭圆的离心率为2，所以有 答案第13页，共2页 c-5→c-3-B-3→5-0 a2a24a24a24, x2 v2 在方程。+。l中，令x=0,解得少 因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1， b2 =1② a=2 所以有a a 由①②可得：b=1, +y2=1: 所以椭圆的方程为4 (2)当直线！不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不 符合题意： 当直线I存在斜率时，设为k,所以直线I的方程设为y=a+m, +y产-l=+4转r+8+4㎡-40 4 于是有y=kc+m 因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有△=64m-4+4秋)(4m2-4)小>0 化简，得4k2-m2+1>0, _4m-4 设&.于是有X+对1x水4 1+4k2, 0A+30B=40M 因为 所以，)+3(5)=4(0，m）→5+3x=0→x=-3% 4km 代入米+x=-8km 1+4k2中，得 3x+三-年4今1+2 （-3x2)x2=12三-342）4n 4m2-4 (1+4k2 -1+4k2, 答案第14页，共2页 化简，得=m2-1 4-16m,代入4k2-m+1>0中，得 4点+0=m11-引 y M B 0 x A 答案第15页，共2页