专题07 圆锥曲线中的切线方程、切点弦方程、极点极线、光学性质 （专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题07 圆锥曲线中的切线方程、切点弦方程、极点极线、光学性质 （题型突破·举一反三） 题型一、椭圆中的切线方程和切点弦方程 题型二、双曲线中的切线方程和切点弦方程 题型三、抛物线中的切线方程和切点弦方程 题型四、切线方程及切点弦方程的应用 题型五、极点极线初步学习 题型六、极点极线在圆锥曲线中的应用 题型七、椭圆中的光学性质 题型八、双曲线中的光学性质 题型九、抛物线中的光学性质 1、过圆上一点的切线方程： 2、设为椭圆1上的点，则过该点的切线方程为： 3、设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为： 4、设为抛物线上的点，则过该点的切线方程为 5、设为圆外一点，则切点弦的方程为： 6、设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为，，则弦的方程为： 7、过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为 8、设为抛物线开口外一点，则切点弦的方程为： 9、极点极线的定义 如图， 设是不在圆雉曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线、若为圆雉曲线上的点，则过点的切线即为极线、 同理，为点对应的极线，为点所对应的极线、因而将称为自极三点形、设直线交圆锥曲线于点两点，则，恰为圆锥曲线的两条切线、 10、其他定义 对于圆锥曲线，已知点（非中心）及直线，则称点是直线关于圆锥曲线的极点，直线称为点关于圆锥曲线的极线． 配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共点． 替换原则、 11、抛物线的光学性质 如图1所示，从抛物线的焦点发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线； 如图2所示，设抛物线在处的切线l交对称轴于点上切线l交对称轴于点，则焦点是的中点、 图1 图2 12、椭圆的光学性质 如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点； 如图4所示，椭圆在点处的切线为，直线交直线于点，则平分，由角平分线性质定理，、 图3 图4 13、双曲线的光学性质 如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点； 如图6所示，双曲线在点处的切线与直线相交于点，则平分，由角平分线性质定理， 图5 图6 题型01椭圆中的切线方程和切点弦方程 【典例1】（2026·高二·四川成都·期末）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 【变式1-1】（2026·高二·浙江·阶段检测）已知半径为1的动圆圆心在直线上，过椭圆上一点作圆的切线，切线长的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式1-2】（2026·高二·江苏徐州·期中）设为椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·贵州铜仁·阶段检测）若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 题型02双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典例2】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知双曲线，过点的直线l与双曲线有且仅有一个交点（非切点），则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【变式2-2】（2026·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·江西·一模）一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型03抛物线中的切线方程和切点弦方程 【典例3】（2026·高三·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 题型04切线方程及切点弦方程的应用 【典例4】（2026·高二·湖北随州·期末）若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 【变式4-1】（2026·高二·四川宜宾·期末）已知抛物线，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，线段AB的中点为N，则的最大值为______． 【变式4-2】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 【变式4-3】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 题型05极点极线初步学习 【典例5】（2026·高二·四川广安·期末）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 【变式5-1】（2026·高二·湖北武汉·期中）已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______.    【变式5-2】（2026·高二·上海·阶段检测）已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为______．    【变式5-3】（2026·高二·山东济南·阶段检测）极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆的极线为.已知，为椭圆的左右焦点，点为上动点，若，则对应椭圆的极线经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若动点对应椭圆的极线交于两点，求证：以为直径的圆恒过，； (3)若为曲线上的动点，且点对应椭圆的极线交椭圆于两点，判断四边形的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 题型06极点极线在圆锥曲线中的应用 【典例6】（2026·高二·广东东莞·期中）如图，已知椭圆的短轴长为4，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程. (2)极点与极线是法国数学家吉拉德·笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆：，极点（不是原点）对应的极线为：，若极点在轴上，过点作椭圆的割线交椭圆于点，，求证：对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）. (3)已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接，分别交椭圆于，两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【变式6-1】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线，点，直线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.已知为圆：上一点，点，动点满足：，且三点共线，动点的轨迹为曲线，点为上一点. (1)若，对于曲线，与点对应的极线为. （i）证明：与有且仅有一个公共点； （ii）若点与相交于点，求的值. (2)过点且斜率为-1的直线与曲线的另一个交点为，证明：四边形的面积小于. 【变式6-2】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 【变式6-3】（2026·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 题型07椭圆中的光学性质 【典例7】（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【变式7-1】（2026·高二·四川德阳·期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为. （ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明； （ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【变式7-2】（2026·湖南长沙·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. (1)求椭圆的标准方程. (2)点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． (3)若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 【变式7-3】（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.    (1)求椭圆标准方程. (2)求点的轨迹方程. (3)点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程. 题型08双曲线中的光学性质 【典例8】双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的反向延长线经过另一个焦点，已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，，从焦点沿垂直于轴的方向射出的光线经过双曲线反射后，反射光线与入射光线所成的角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，，直线交双曲线于，两点，以为直径的圆恒过原点， （i）试问直线上是否存在一点满足?若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由； （ii）若直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，求证：. 【变式8-1】（2026·高二·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【变式8-2】（2026·安徽安庆·一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.    (1)求双曲线的方程； (2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2026·安徽亳州·模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.    (1)当时，求双曲线的标准方程； (2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 题型09抛物线中的光学性质 【典例9】（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【变式9-1】（2026·高二·福建龙岩·期末）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值. 【变式9-2】（2026·高二·江苏泰州·期中）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是，． (1)证明：； (2)求抛物线方程． 【变式9-3】（2026·高二·河南开封·期末）抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过向抛物线的准线作垂线，垂足为，证明：，，三点共线. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆锥曲线中的切线方程、切点弦方程、极点极线、光学性质 （题型突破·举一反三） 题型一、椭圆中的切线方程和切点弦方程 题型二、双曲线中的切线方程和切点弦方程 题型三、抛物线中的切线方程和切点弦方程 题型四、切线方程及切点弦方程的应用 题型五、极点极线初步学习 题型六、极点极线在圆锥曲线中的应用 题型七、椭圆中的光学性质 题型八、双曲线中的光学性质 题型九、抛物线中的光学性质 1、过圆上一点的切线方程： 2、设为椭圆1上的点，则过该点的切线方程为： 3、设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为： 4、设为抛物线上的点，则过该点的切线方程为 5、设为圆外一点，则切点弦的方程为： 6、设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为，，则弦的方程为： 7、过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为 8、设为抛物线开口外一点，则切点弦的方程为： 9、极点极线的定义 如图， 设是不在圆雉曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线、若为圆雉曲线上的点，则过点的切线即为极线、 同理，为点对应的极线，为点所对应的极线、因而将称为自极三点形、设直线交圆锥曲线于点两点，则，恰为圆锥曲线的两条切线、 10、其他定义 对于圆锥曲线，已知点（非中心）及直线，则称点是直线关于圆锥曲线的极点，直线称为点关于圆锥曲线的极线． 配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共点． 替换原则、 11、抛物线的光学性质 如图1所示，从抛物线的焦点发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线； 如图2所示，设抛物线在处的切线l交对称轴于点上切线l交对称轴于点，则焦点是的中点、 图1 图2 12、椭圆的光学性质 如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点； 如图4所示，椭圆在点处的切线为，直线交直线于点，则平分，由角平分线性质定理，、 图3 图4 13、双曲线的光学性质 如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点； 如图6所示，双曲线在点处的切线与直线相交于点，则平分，由角平分线性质定理， 图5 图6 题型01椭圆中的切线方程和切点弦方程 【典例1】（2026·高二·四川成都·期末）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则， 同理得， 所以， 所以. 【变式1-1】（2026·高二·浙江·阶段检测）已知半径为1的动圆圆心在直线上，过椭圆上一点作圆的切线，切线长的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】设与直线 平行的直线为 ， 该直线与椭圆相切时，联立方程， ， 化简得： ，即 ， 即，解得 已知直线为 ， 两条切线为 和 。 直线 与已知直线的距离： 直线 与已知直线的距离： 所以 ，代入切线长公式 得. 故选：B 【变式1-2】（2026·高二·江苏徐州·期中）设为椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示， 由椭圆方程，得，，， 即椭圆的左焦点坐标为， 又圆，即圆心与椭圆的左焦点重合， 所以椭圆上的点到圆心的距离， 又，且，则， 则， 所以当时，取得最大值为， 故选：A. 【变式1-3】（2026·高二·贵州铜仁·阶段检测）若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x＝1，恰好与圆相切于点A（1，0）； ②当直线l与x轴不垂直时， 设过点的圆的切线为l：，即， 原点到直线l的距离为：，解之得， 此时直线l的方程为， ， 所以l切圆相切于点； 因此，直线AB斜率为，直线AB方程为， ∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）． 即椭圆的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）， ∴c＝1，b＝2，可得，椭圆方程为. 秒杀解法： 由切点弦方程可知AB方程：， 故右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）． ∴b＝2 ，c＝1，， ∴椭圆的方程. 故选：C 题型02双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典例2】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知双曲线，过点的直线l与双曲线有且仅有一个交点（非切点），则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为过点的直线l与双曲线有且仅有一个交点（非切点）， 所以双曲线的渐近线与直线平行，双曲线过点 所以，解得 所以双曲线的方程为 故选：A 【变式2-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】B 【解析】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接 所以 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：B 【变式2-2】（2026·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由圆的方程知，， 又，在直角△中，， 且. 在△中，则，故. 在△中，， 由正弦定理，，则， ∴由双曲线定义，，又，，则， ∴，即. ∵为直角，易知为钝角，由知，， 在△中，由余弦定理，， ∴， ∴，整理得， ∴. 又，将代入，解得. ∴双曲线C的方程：. 故选：A 【变式2-3】（2026·江西·一模）一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过双曲线上一点，作双曲线的切线，切线方程为，将代入切线方程，解得：， 代入双曲线方程解得：， 则切线方程：，由该切线的斜率为，可得， 由双曲线的离心率， 故选：B. 题型03抛物线中的切线方程和切点弦方程 【典例3】（2026·高三·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 【变式3-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 【变式3-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 题型04切线方程及切点弦方程的应用 【典例4】（2026·高二·湖北随州·期末）若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 【答案】 【解析】 显然直线的斜率存在，设的方程为：，如图可知， 直线和椭圆联立，得到， 由可得， 令可得，则， 令，解得，则， 由对称性，， 由可知，，则， 记，则， 记，则， 由基本不等式，， ， 则，，当时取得等号， 即，时，面积最小值是. 故答案为： 【变式4-1】（2026·高二·四川宜宾·期末）已知抛物线，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，线段AB的中点为N，则的最大值为______． 【答案】 【解析】设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由求导得，则切线的方程为， 即，同理得切线的方程为， 由，解得，则，即， 因此，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选： 【变式4-2】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 【答案】 2 【解析】设，因为，，， 所以， 两边平方， 所以，整理得， 所以，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为， 又，所以最小值为； 设，过与抛物线相切的直线斜率显然存在且不为0， 设切线方程为，与抛物线方程联立可得， 即，所以， 即，即， 所以，所以， 所以，即，所以， 直线过切点，， 所以切点弦方程为， 与抛物线方程联立可得，所以， ， 所以. 点到直线的距离为， 所以， 又，所以， 令， 又，所以，所以， 当时，，当，， 所以. 【变式4-3】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故答案为：． 题型05极点极线初步学习 【典例5】（2026·高二·四川广安·期末）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】设，椭圆的方程：，椭圆方程：，， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 又原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式5-1】（2026·高二·湖北武汉·期中）已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______.    【答案】/0.25 【解析】设椭圆，则． 设椭圆，，则． 设，由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则，， 当时，取得最大值， 故答案为：． 【变式5-2】（2026·高二·上海·阶段检测）已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为______．    【答案】/0.125 【解析】设椭圆:，（），则. 设椭圆:，（），则. 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以. 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，为. 故答案为： 【变式5-3】（2026·高二·山东济南·阶段检测）极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆的极线为.已知，为椭圆的左右焦点，点为上动点，若，则对应椭圆的极线经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若动点对应椭圆的极线交于两点，求证：以为直径的圆恒过，； (3)若为曲线上的动点，且点对应椭圆的极线交椭圆于两点，判断四边形的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 【解析】（1）由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得， 又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线 极线过点，所以， 联立方程解得，所以椭圆的方程为. （2）证明： 由（1）知动点对应椭圆的极线， 联立方程，解得或， 不妨令，， 由椭圆的方程知，，所以，， 又因点在椭圆上，则，，所以， 同理可知，所以，所以以为直径的圆恒过，； （3）由题意知曲线的方程为，又在曲线上， 点对应椭圆的极线， 联立，，即， ，不妨令，，，， 设为的中点所以，， 所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形.即. ， 点到直线的距离， 所以， . 题型06极点极线在圆锥曲线中的应用 【典例6】（2026·高二·广东东莞·期中）如图，已知椭圆的短轴长为4，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程. (2)极点与极线是法国数学家吉拉德·笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆：，极点（不是原点）对应的极线为：，若极点在轴上，过点作椭圆的割线交椭圆于点，，求证：对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）. (3)已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接，分别交椭圆于，两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【解析】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 所以，又，解得， 所以椭圆方程为. （2）设，，则在的极线上， 现在如果经过的直线交椭圆于，； 那么，代入椭圆就得到， 所以 ， 由韦达定理有，， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. （3）①首先由于在的极线上， 故由引理有，而， 所以，这表明是和的交点， 又由于，故， 设，而，， 所以，也就是是的中点； ②设，那么，，所以， 这表明的方程是， 即，所以恒过点. 【变式6-1】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线，点，直线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.已知为圆：上一点，点，动点满足：，且三点共线，动点的轨迹为曲线，点为上一点. (1)若，对于曲线，与点对应的极线为. （i）证明：与有且仅有一个公共点； （ii）若点与相交于点，求的值. (2)过点且斜率为-1的直线与曲线的另一个交点为，证明：四边形的面积小于. 【解析】（1）（i）证明：因为，即， 又三点共线，所以， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以的方程为. 因为为上一点，所以有，且点对应的极线为， 联立整理得， ， 由得，代入得， 所以与曲线相切，切点为，即与曲线有且仅有一个公共点. （ii）由（i）可知，的方程为， 设过与垂直的直线交轴于点，则该直线方程为 令，解得，即， ， 又因为， 同理， ， 所以为的内角平分线， 又直线，所以（在直线上，且在点的左侧）， 又与关于坐标原点对称， 所以， 所以，即. （2）证明：设直线的方程为， 联立整理得， 令，解得， 于是 因为，所以，即， 设直线与轴的交点为，则， 则四边形的面积 令， 函数， 则， 所以， 即四边形的面积小于. 【变式6-2】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 【解析】（1）根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为， 即，又右焦点对应的极线方程为，. 又，，联立解得，，. 的标准方程为：. （2）（i）由，可得， 点P关于E所对应的极线方程为， 设，，，直线， 代入椭圆方程整理得：， 显然，则，， 则，. ，B，M三点共线，则，得，解得， 则点，同理得点. ，. （ii），， 因，故，则有. 由关于E对应的极线为直线，设直线， 代入椭圆方程整理得：， 由韦达定理得：，. 则，. ，B，M三点共线，，即，解得， 则点，，， 由可得， 整理得， 即， 故， 化简得， 即， 又，则有，解得. 【变式6-3】（2026·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程， 综上，上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 题型07椭圆中的光学性质 【典例7】（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 【变式7-1】（2026·高二·四川德阳·期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为. （ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明； （ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【解析】（1）由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为； (2)（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 又设交点，则， 所以有 则直线方程为：，直线方程为：， 两式消元得：， 代入可得：， 即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上； （ⅱ）因为与的面积之积是, 由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得： ， 即交点为的横坐标为 又设直线方程为：，直线方程为：， 两式消元得：， 代入可得：， 即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上， 把代入直线方程可得： ，即交点为的横坐标为， 由， 因为，所以， 即与的面积之积是. 【变式7-2】（2026·湖南长沙·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. (1)求椭圆的标准方程. (2)点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． (3)若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 【解析】（1）由题意知，椭圆焦距，则，因为方程为， 根据椭圆的定义， 所以，解得，即知， 故椭圆方程为：. （2）如图所示： 设椭圆的左焦点为，延长和交于点， 在中，，则，且为中点， 在中， 所以点在以为圆心，半径为4的圆上，所以点的轨迹方程为． （3）由椭圆的光学性质可知直线过左焦点,设直线AB方程为,， 联立，得， 由韦达定理得 两式相比可得，所以 由对称性知，若定点存在，则为直线与直线交于轴上的定点， 由，解得，则直线方程为， 令， 则 所以，直线过定点，同理直线也过定点. 则点即为所求点. 【变式7-3】（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.    (1)求椭圆标准方程. (2)求点的轨迹方程. (3)点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程. 【解析】（1）由题意，，当位于上下顶点时取得最大值， 所以解得， 所以椭圆标准方程为. （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得共线， 则， 连接，由于分别为的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 轨迹方程为. （3）由题意，设， 由题意不与重合，故设， 联立可得， 由于过圆内定点，故一定有两个交点， 则韦达定理，则 直线，直线， 联立，可得， 由韦达定理可得， 所以， 即， 所以直线，的交点在定直线上. 题型08双曲线中的光学性质 【典例8】双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的反向延长线经过另一个焦点，已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，，从焦点沿垂直于轴的方向射出的光线经过双曲线反射后，反射光线与入射光线所成的角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，，直线交双曲线于，两点，以为直径的圆恒过原点， （i）试问直线上是否存在一点满足?若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由； （ii）若直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，求证：. 【解析】（1），则，设点为反射点，在中，，， 则，所以，又，所以，则双曲线的方程为. （2）（i）当斜率存在时，设直线，则， 得， 且，设，，则，， 则， 从而，所以， 设点，由得，化简得， 因为原点到直线的距离为，所以直线与圆相切，即存在一个点满足， 当斜率不存在时，设直线，因为以为直径的圆过原点，所以直线，与圆相切，即存在一个点满足， 综上所述：直线上存在一个点满足； （ii）设，，联立方程组，得， 且，则，，， ①当点，分别在双曲线的左右两支且都在轴上方时，不妨设点从左到右按，，，的顺序排列， 则，所以， 由对称性可得，当点，，，都在轴下方时也有； ②当点，分别双曲线的同支时，不妨设点从下到上按，，，的顺序排列， 若直线的斜率不存在，则，，，或，，，， 都满足，若直线的斜率存在， 则 因为，所以， 因为点，，，四点共线，且的中点重合， 综上所述：. 【变式8-1】（2026·高二·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【解析】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 【变式8-2】（2026·安徽安庆·一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.    (1)求双曲线的方程； (2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示： 延长与交于，因为，， 则，即， 令，则， 所以，， 由双曲线的定义可得，则， ，则， 又因为，即，解得， 所以，，， 由勾股定理可得，则， 故， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 易知点、，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程并消去可得， 可得 ，解得， 因此，直线与直线的交点在定直线上. 【变式8-3】（2026·安徽亳州·模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.    (1)当时，求双曲线的标准方程； (2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 【解析】（1）如图所示： 延长与交于， 因为， 所以， 设，则，即， ， 故方程为； （2）设， 则， ， 两渐近线所在直线方程为：， 设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立， 则可得，则， 则， 故. 题型09抛物线中的光学性质 【典例9】（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【解析】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示， 抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示， 由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 【变式9-1】（2026·高二·福建龙岩·期末）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值. 【解析】（1）由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得， 即点， 由可得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）由题意可知，直线的方程为，由可得，即点， 则，直线的方程为， 联立可得，即点， 设直线的倾斜角为，则， 由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，， 因为，可得，解得. 【变式9-2】（2026·高二·江苏泰州·期中）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是，． (1)证明：； (2)求抛物线方程． 【解析】（1） 根据抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，且与轴不平行， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 设，， 则. （2）依题意，，所以，则. 设关于直线的对称点为， 则，解得，即. 则，，则， 三点共线，， 所以，解得， 所以抛物线的方程为. 【变式9-3】（2026·高二·河南开封·期末）抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过向抛物线的准线作垂线，垂足为，证明：，，三点共线. 【解析】（1）设，，由方程，可得， 设直线的方程为：， 联立方程组，整理得， 所以，， 则两平行光线间的距离，当且仅当时等号成立 所以，即，故抛物线方程为. （2）证明：由（1）知抛物线方程为，可得准线为， 则，，可得，， 所以， 所以，又因为，所以，，三点共线. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆锥曲线中的切线方程、切点弦方程、极点极线、光 学性质参考答案 题型01椭圆中的切线方程和切点弦方程 三典例精析 【典例1】【答案】B 【解析】因为(2+(2=4，所以点P(N2,N2)在O0上， 又因为ap= 5-。-1,所以过点P2,、2)作O0的切线斜率为1 √2-0 所以切线方程为y-V2=-1x-V2),即x+y-22=0, 设A(,),B(x,),x,本∈[-V5,5] x+y-2W2=0 联立 传+片1，去，整 4 y 9x2-20V2x+20=0 则￥+5=202 9520 9’ 所-+可k动=5g+-2 20W2 4 ,20_4V10 9 9 由椭圆r号号-1，可得。5状-4所以。-1所以6= 1/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以右焦点F(1,O), 则=-6-0--2x+145-5=5-5. 同理得BF=V5- 专， 所以AF+BF=V5-1, +51 6:+)=25-410 55-251 9 所以MB+1MF+1B=4而+25_4D=25. 9 9 上举一反三 【变式1-1】【答案】B 【解析】设与直线3x-4y+17W2=0平行的直线为3x-4y+m=0, x2,y2 该直线与椭圆16+)=1相切时，联立方程。 [3x-4y+m=0 -=1 169 化简得：9x2+(9x2+6mx+m2)=144,即18x2+6mx+m2-144=0 △=(6m)2-4×18×(m2-144)=0, 即36m2-72(m2-144)=0,解得m=±12√2 已知直线为3x-4y+17N2=0, 两条切线为3x-4y+12W2=0和3x-4y-12W2=0。 直线3x-4y+12W2=0与己知直线的距离： 172-122-2 5 直线3x-4y-12√2=0与己知直线的距离： I17V2+1221_292 5 5 所以PCn=V2,代入切线长公式l=PCP-r2得n=L. 故选：B 2/41 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-2】【答案】A B 【解析】 o 如图所示， 由椭圆方程6+21，得a=46=25:c=2 即椭圆的左焦点坐标为F(-2,0), 又圆(x+2}+y2=1,即圆心(-2,0)与椭圆的左焦点F重合， 所以椭圆上的点P到圆心的距离PF∈[2,6]， 又∠APB=2APs'且FALPA FA=1则如∠MF- FA 1 PF PF 则os∠APB=1-2sin2∠APF=1-2 FR2, 所以当pA-6时8=1存安灯发大数为1-2.号 6218 故选：A 【变式1-3】【答案】C 【解析】①当直线1与x轴垂直时，k不存在，直线I方程为x=1,恰好与圆x2+y2=1相切于点A(1, 0); ②当直线1与x轴不垂直时， 设过点（兮)的题子+y=1的切线为：(x-),即在-y-+分0。 3/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -k+ 1 原点到直线I的距离为：d= 3-1,解之得k=3, Vk2+1 4 35 此时直线I的方程为y= x+ 4 4 3 3 X=- y=- 44→ x2+y2=1 41 y=- 5 所以切网+=1相切于点)。 0 4 因此，直线AB斜率为(= 5 =-2,直线AB方程为 1- =-2(x-1）=-2x+2 ∴.直线AB交x轴交于点A(1,0),交y轴于点C(0,2). x2,y2 即椭圆。+京-1的右焦点为(0,1)，上顶点为(0,2)， x2y2 c=1,b=2,可得。=2+c2=5椭圆方程为5+4=1. 秒杀解法： 1 由切点弦方程x,x+oy=1可知AB方程：x+2y=1, 故右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2). b=2,c=1,a=V5, =1 “椭圆的方程5+4 故选：C 题型02双曲线中的切线方程和切点弦方程 典例精析 【典例2】【答案】A 【解析】因为过点AN2,0)的直线1与双曲线有且仅有一个交点B(2V2,)(非切点)， 4/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以双曲线的渐近线与直线AB平行，双曲线过点B(2√2，) b1-081 所以a2N2-2云F=1,解得a=N6.b=5 x2 y2 所以双曲线的方程为63=1 故选：A 上举一反目 【变式2-1】【答案】B 【解析】由题设⊙C:(c+4)2+y=3中圆心C(4,0),半径1=3， ⊙C2:(x-4)2+y2=1中圆心C2(4,0),半径2=1， 根据双曲线方程知其左右焦点为C,C2,连接PC,PC2,CM,C,N, 所以CM⊥PM,CN⊥PW, 所以(PM+PWM=(PM+PW)PM-PW）=PM-PwN=(PC-r）-(（PC-） =(PCP-3)-(PC2P-1)=PCP-PC2 P-2=(PC I-IPC2 D(PC+IPCD-2,, =2a(PC|+|PC2)-2≥4ac-2=4×2×4-2=30, 当且仅当P为双曲线右顶点时等号成立， 故(PM+PW）NM的最小值为30. 故选：B 【变式2-2】【答案】A 5/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解析】 由圆0的方程x2+y2=6知，0T=b 又0T⊥FT,在直角△0E中，FT=VoF-OT=Ve2-bB=a, 且sin∠TFo= OT b OF c' 金0r中or1r5mom.-m古 2 在△FPs中，sin PFE=-sin TF0=b 击E孩定具，EE。PSL,对Ps-E5m4RE2c c-Sb sin℉PF 42 sin∠EPE,sin∠PFE 由双线定义，P阴=P-2a兰20，又rm=a,PT方则P=a方 -2a=a- .2 ,即3a=6 十 ∠T0为直角，易加∠5R为纯角，面$m∠F5-号如，ms∠RPR=-子， 在△FPE中，由余弦定理，EE=PF+PE-2 PFPF-cos∠FPE, -(偿2j(-2x220小9（引 4a2+462=25b 4 -10ab+4d+25+15少-6ab,整理得F-ab=606-d）=0: 42 .b=a. 又3as561 2+b,将b=a代入，解得a=b=√2 双曲线C的方程：22 6/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选：A 【变式2-3】【答案】B x2 y2 【解析】过双曲线了京=1(a>0,b>0)上一点P'Xa<x,<2a作双曲线的切线，切线方程为 答-答山，将0的代入切线方程，解得：头古 代入双曲线方程解得：，=√2a, 1 则切线方程： 。+8引，由该切线的斜率为2，可得2-2， a .b2 由双曲线的离心率e= 1+ 故选：B。 题型03抛物线中的切线方程和切点弦方程 典例精析 【典例3】【答案】B 【解析】设直线AB的斜率为k,A(:,y》B(:,) 设过点A(x,乃)的切线MA的斜率为k,方程为y-片=k(x-x): 联立y=2px,消去x得2p y2-y+=0 由4=0'得4= y 所以直线M的方起为--：-，化简得且发M的方程为x-y+风=0 y 7/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理可得直线MB的方程为Px-y+px2=0, x=少-￥y y-y2 联立∫px-y+px=0,解得 p(-x2)' y= px-y2y+px2=0 yi-y2 又 ，且 =出， 代入上式化简得 即 2=2px,y2=2px2 x1-x2 由物线在点F(号0所以M=《经+号-n4无 因为MF<2p,所以1+哀<2，解得k<-1或k>1 所以直线AB的斜率的取值范围是(-o,-1)U(1,+o). 举一反 【变式3-1】【答案】C 【解析】由圆C:x2+y2-6x+8=0,得x-3)2+y2-1,故圆心C(3,0),半径r=1, 因为PA,PB是圆C的切线，所以PA⊥AC,PB⊥BC,且IPAHPBI, 因此四边形PMCB的面积：S=2Sc=2xx刘PAIx14CHPAx1HPM1, 2 在RtAPAC中，由勾股定理得|PAPCP-r2=PCP-1, 即当PC取最小值时，IPA取最小值，从而S取得最小值 设抛物线y=4x上点P的坐标为(，20)， 则1PC=(2-3°+(2}=-2r+9=(-+8, 因为P≥0，则当P=1时，1PC取得最小值8，即lPC1lm=V8=2V2, 代入得PAlm=V8-1=V7,故四边形PACB面积的最小值为万， 8/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【变式3-2】【答案】B 【解析】如图，设过点P(,2）的抛物线切线斜率为k, 则切线方程为y-2t=k(x-2), y2=4x 联立y-21=kx-r）消元可得6-4+8-4r=0 因该直线与抛物线相切，则△=16-4(81-42)=0，化简得k22-2M+1=0, 解得=，即切线方程为y=x+产， 令y=0,得x=-2,即A,0),于是0A=2, 又P,2刃则8aw2P-2==8,解得1=2 【变式3-3】【答案】B 【解析】设A(x,),B(x,),M(x6). 由=16y得y=Gr,则y名， 所以抛物线c在点4处的切线方程为y-少=8(x-), 又x=16y,化简得xx=8(y+), 同理得抛物线C在点B处的切线方程为xx=8(y+2), 9/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 xx=8(+) 又两切线相交于点M(,为)所以1式=8(%+)' 即点A,B都在直线xx-8y-8%=0上，即直线AB的方程为xx-8y-8,=0, 因为点F(0,4)在直线4B上，代入得。=4， 题型04切线方程及切点弦方程的应用 典例精析 【典例4】【答案】18 A 【解析】 B =-√3C 显然AB直线的斜率存在，设AB的方程为：y=+m,如图可知k>O,m>0, y=kx+m 直线和椭圆联立 -1'得到 y2 43 (4k2+3)x2+8x+4m2-12=0 由△=0可得m2=42+3, 令x=0可得y=m,则A(0,m) k 6及-2-(5-a 出-兮.吸g 记f0m)=20m+3 ,则f侧=m+Y-,40m+ 4(m+V3)3 Vm2-3 m-3(m+5)(m-3m-3, 记1=m-V3,则f(m)=40+25 t 由基本不等式，1+23=1+3+V3≥331， 10/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f'(m)= 0+26Y≥3可-×8n=324 则f(m)≥324，f(m≥18，当1=V3时取得等号， 3 即m=25,k=2时，。4BC面积最小值是18 故答案为：18 上举一反三 【变武4【省类】号 【解析】设直线I的方程为y=x+2,A(x,),Bx,y2), y=kx+2 由=4y消去，得2-4-8=0则x+5=4k,=-8”N2k,22+2列 由y=官求号得少=方，则切装的方程为-%分-0。 1 1 .1 即y=x-4,同理得切线影，的方程为y=2- y=2-2 由 1 1 x=5,y=5'则 。，解得 即 y=2x-4 M西+五，5) 2 4 2 4 M(2k,-2) 因此1MN上2k2+4,|ABV1+K2Vx+x)2-4x2=V1+2V6k2+32, MNI 2k2+4 =1F+2-1+1≤2 则B1+16+3222+12+2+≤7，当且仅当k=0时取等号. 所的最大准为号 MN 故选：2 11/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4-2】【答案】 2 4v2,17i7 4 【解折】设P小因为PA=2PaAL04 所以，0-0时-3+6-时。 两边平方2+2x1+y=42+5x+孕+y）月 所以x2+2x+1+y2=4r2+20x+25+4y,整理得x2+y2+6x+8=0, 所以(x+3+y=1,所以动点P的轨迹为圆心为C(-3,0),半径为r=1, 又C0=3,所以P0最小值为CO-r=3-1=2: 设P(xo,%),过P(x,%)与抛物线相切的直线斜率显然存在且不为0， 设切线方程为y-%=k(x-),与抛物线方程联立可得y-,=k(2-x), 即g2-y+。-x=0,所以△=(-1)2-4k(。-c)=0, 即4k2x0-4+1=0,即4k2-4+1=0, 所以B,少-0：所京 所以y-%2 2(-).即2y6=-名所以x-2w+6-0 直线x-2y+x,=0过切点M(x,),N(x,), 所以切点弦MN方程为x-2y+。=0, 与抛物线方程联立可得y-2yy+=0,所以片+=2，y=, 所以MN=V1+(2y)2Vy+}-4yy=2V1+4听v坊-x. 与k,)院政：-20提为-22 V1+4好：V1+4听.1 所s=wd-号2522+后-5-20g-月 2V1+4听： 又(6+3+%-1，所以5=2-(6+3到-x, 12/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1=1-6+-=+ 又(6+3s1,所以-4≤x≤-2，所以2s1s7 4 11 【变式4-3】【答案】12 【解析】圆(x-5)2+y2=1的圆心C的坐标为(5,0)，半径为1， 因为PM,PW为圆C的切线，切点分别为M,N, 所以CN⊥PW,CM⊥PM,PM=PW,CM=CN, 所以△PMC=aPNC, 两e-c-m,aawc- 传小则r-传可r-454r-时+4 当2=8时，IPC=2W6,此时sin∠MPW最大， 又∠MPve0引，函数，=smr在Q到上单调造地。 所以当=8时，即P,2V2)时，∠MPC最大， 此时∠MPN最大，cos∠MPN最小， 则(cos∠MPW)mm=1-2sin∠MPC=1-2 1211 (2√612 11 故答案为： 12 13/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05极点极线初步学习 典例精析 【典制【俗号 x2 y2 x2y2 【解析】设M(,%) 椭圆C的方程：+家-1(a>4>0叭，椭圆G方程：正+花=1a,>6>0), (a>a,b>b), 5+=10 则有a配 nx+-1=0 由极线的定义得直线的方程为aG，即Gb 1 d= =1 又原点到直线的距离 +,化简得+发1②， 0 a b 对比①②式得出a=G,=b, 因为椭圆的离心率在(0，)内，所以3-2>0， 所u--0-)-2B-s2号2-8 3 当且仅当26=3-26，即6=2时取等，此时9= 15 4 14/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以28-g的最大值为8 9 故答案为：8 举-反目 【变式5-1】【答案】4/0.25 【折打花营年-%>A>0,测听-号--1答 aa 设5mG远+家1，a>么>0则G-1-茎 x2,y2 设M(x,)由题意可得L方程为： xox yoy=1, a b2 =13+发=1 因为原点到直线 的距离恒为1，所以+ Va b 因为6丙暗肉C名+Q>>0的点，所画 5+=1, 所以G=a,=吃， --))-签-盛)菩+竖。 b =1,则0<1<1G-=-f+ 当1=2时，2-G取得最大值4， 1 故答案为：4· 【变式5-2】【答案】8/0.125 【解行】设精圆G若+家1，（a>h0)划-号-，本 x2,y2 22=a2C人、6 a2 设椭圆G京+疗引，（m>n心0），则后=1 .x2,y2 15/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设M(,%), xox yoy=1, 由题意可得L方程为：m+ 1 =1 因为原点到直线 的距离恒为1，所以 + n →m4n4 x2 y2 良因为M如小为椭圆计上的点，所以亭 62 所以a2=m4,b2=n4, 所以g-戏-)))-2器器1 n 设m=1,则0<t<1: 2e-3e=-22+31-1, 当1=时，2G-3取得最大值，为23 +3x3-1= 4 8 1 故答案为：8 【变式5】【解折1（④少山点M几宁）为椭质C上的动点。则将点M是标宜代入流领方程得 11 +26-1, ,x2y-1 又由极点极线定义可知，点M0,对应椭圆。的极线，：十 2b2 41 极线，过点(4，②)：所以F1, [1,1 +26=1 联立方程 41 解得口=2，所以辅圆的方程为三+y= a2621 b2=1 C 2 (2)证明： 由（④知动点M)对应椭愿C的极线。：号+Wy=l, 16/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 xox [x=V2 [x=-V2 +yoy=1 联立 2 方程，解得 y= 2-2x或 V= 2+V2x0, x=tv2 2y0 2y% 不纺今42,2+2，w2,22). 2yo 2y0 由幅c的方程知-10500所以F=0-5,22),F丽=0+2.2色)， 2yo 2yo 圈国上，学公F阳420，所 4yo 同理可知FA1FB,所以∠AFB=∠A5,B=90°，所以以AB为直径的圆恒过F,B: ()主超意知自线E的方程为普+号1，又P代小在自线g上手+芝-1 2 点p对应桶回c的段线%号+少=1， xp 2 -+ypy=1 联立 2 ，即 +=1 代+2-4，+4-4奶=0-+号2 0 2 -2 △=4-x号≥0：不妨令Q(x,)”R,)”x+5=x,’x= 2， 设7K,为0R的中点所以与=子，⅓=冬. 2 所以点T同时为OP的中点，即四边形0OPR为平行四边形.即SogR=2S.oom。 4+.(4-)-2 O=0++-4]-4 4y+x2 -2 到直线，：，+2，y-2-0的距离4 点00.0 Vx2+4y2’ ww- -22 V号+4y明 2, S.oro=2S.ooR=2 17/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型06极点极线在圆锥曲线中的应用 E 典例精析 4-1>0 【典例6】【解析】(1)由题意焦点在轴上，所以>0，解得0<1<4'即的范围为(0,4)， 所以c=V4-1+i=2,又2b=4,d2=b2+c2,解得d2=8,b2=4, 2=1. 所以椭圆方程为8+4 (2) 设B.(p, .m 则，在B的极线上， 现在如果经过的直线x=+P交椭圆于A(x,),B(x,): 那么，代入椭圆就得到(a+b2m2)y2+2b2mpy+b2p2-a2b2=0, 所以△=46'mp2-4b2(p2-a2)(d2+b2mr2） =4bm2p2-4b2(p2a2+p2b2m2-a-a2b2m2） =4a2b2(a2+b2m2-p2）>0→d2+b2m2>p2, 2b'mp 由韦达定理有+为+，=624羽 a2+b2m2, 此时要证明的是：km+k=2km, +22-2头 也就是m+p-a p pa y-1 +h-1 也就是my+p-a p 18/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 包流p-6-m+p》g*n】2(听*p以+引-0 老-}小me-j-*-0 -升we-jm- e-引w-oe-ne-wjo. 也就是 1-j-别· 也就是 小。 也就是 -升e引】。 小e别 这显然成立，所以结论得证 (3)①首先由于在P的极线x=2上， 故由引理有o+。-2知-2g而：=kw片 所以kw=kM,这表明2是MN和AB的交点， 又由于kgu+kew=2krp,故km+kw=2kpe, 设02小而w=ow坐，kw=o之，=人= _t-yE 19141 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以yn+y,=2yg,也就是E是DT的中点： ②设02小：那么如=子如-子所以m=12 这表明的方程是-（引x-2列+ 即B-+1-2-y=0,所以N恒过点3- 三举一反三 【变式6-1】【解析】(1)①)证明：因为(E+W)@E-QN)=0,即E=@N 又O,M,E三点共线，所以OM+OW=|OM+QE=EM|=4>2V5, 所以动点Q的轨迹是以M(-V5,0,N(V3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆， x2 所以r的方程为4+少=山. 因为P(x%)(x>0,>0)为r上一点，所以有4 +=1，且点P6,必)对应的极线L为等+Wy=山， ox yoy=1, 4 联立 4+2=L a接定小最最是 由草+房=1最1.代入4-只归安小0 4 所以与曲线『相切，切点为P,即与曲线厂有且仅有一个公共点 (们由①可知，人的方程为等+y=1, 使过P代化为与人运直的宜收之，轴于点7则该直效方程为一警红-什为 令y=0解符x-头，即r学. wm--()-子+5.m=5-3 20/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 又因为PM=++=+可+1-+2 -xo; 同理PWM=2- 2, PM 2 4+5x 45+3西 4 MT PN 2、3 Xo 4-V3x 4 NT, 2 4 所以PT为∠MPN的内角平分线， 又直线PT⊥，所以∠NPH=∠MPH'(H'在直线。上，且在P点的左侧)， 又P'(-x,-)与P(,)关于坐标原点对称， 所以PM 1/HN,∠MPH'=∠PHN, ∠NHP-1. 所以∠NPH=∠PHN,即∠HPN M D (2)证明：设直线PK的方程为术=-y+m, x=-y+m, 联立 任护1坚理 5y2-2my+m2-4=0 令△=4m2-20(m2-4)>0,解得0<m<V5, 2m %+%=5? 于是 %4sm24 5, 因为6>>0.+0：0，所以m2即2<m55 5 5 设直线PK与x轴的交点为R,则R(m,O), 则四边形pKMM的面积S=Se一Smm+5](m-)x 21/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 m(-)+2+ 1 =2mW+广-4%M+ 2(+) 4m-4×m-4+V3×2m F2m√25 5 2 6+ 5 25-m+m =3(2m+5m+3m 令f(m)=2W-m+5m2+v3m,m∈(2，v5),m2∈(4,5)， 5 则fm)<24 +V3xV5=5+V15, 所以S<1+压 <1 .49 5 55 9 即四边形PKNM的面积小于5· P M cx 0 【变式6-2】【解析】(1)根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为京+尔， 即xsQ 仑，文右焦点对应的极线方程为：日 =4 1 又e=2:a=b+c2,联立解得a=2:b=5,c=1 x2,y2 6的标准方程为：4+3=1. 22/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 （2)①由1=应-8=2-(=1，可得P0,0, ∴点P关于E所对应的极线方程为：x=4, 设B(,),C(x2,y),M(G,),直线BC:x=my+1, 代入椭圆方程整理得：(3m2+4)y2+6my-9=0, 6m 9 显然A>0:则y+%=3m+4?少=3m+4? 则x+名=m0+)+2=,8 3m+4,6=(m+10m,+1)=-12㎡+4 3m2+4 必=出 ·4’B,M三点共线，则k,=k,得2七-2，解得片=出 x-2 则点M42y (x-2 同理得点N4,2业). x2-21 PMPm=6,2y与)6,2)=9+ 4y2 x-2x2-21 4-2(x+x2)+xx3 =9+ =9+-36=9+(-9)=0, 8 4-2× 4 .PM⊥PW (i)'△OMQ~△NAg,∴.∠MOg=∠ANg, 因∠AN0+∠NA0=90°，故∠MO0+∠NAg=90°，则有OM⊥AN. 4 由P化，O关于E对应的极线为直线I:x=,设直线BC:x=y+t: 代入椭圆方程整理得：(3n2+4)y2+6ny+32-12=0, 312-12 由韦达定理得：y+y2三-3n2+4,2322% 8t -12n2+42 则5+x=0+)+21=3n+4:x3=(0+0X+0=3m+4 必=出 (4-21)y 8,M三点共线，6=k即22，解得字 A (x-2) 则点M4-2).w=学2- t’t(x-2) Γ42(6-2)，kw=kc=片2 七2-2 23141 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由OM⊥AN可得oukw (2-4.2。=-1, 2(x-2）x2-2 整理得(2-0y+2(x-2x2-2)=0, 即(2-)yy+2[xx-2(x+x)+4]=0, 故2-0×2+2x12+址-2×28 3n2+4 3n2+4 3n2+4+49=0, 化简得(2-)32-12)+81-2}=0， 即-3(t-2)2(U+2)+8t-2)2=0, 2 又0<1<2则有-31+2+8=0，解得1= 【变式63】【解析】(1)因为极点F(25,0对应的极线1为 2W3x+0×y-1,即x= 8V3 62 3,所以a2=16 因为右焦点是F3(23,0),所以c=2W3,所以b=a2-c2=4, =1 所以椭圆C的方程为16+4 ,x2,y2 (2)当斜率存在时，设切线方程为y=:+1”联立椭圆方程。+尔，设切点M(,y)》 可得bx2+d2(c+)}2=a2b,化简可得： (b2+a2k2）x2+2a2kr+a2(-b2）=0 由题可得：△=4ak27-4a2(b2+a2k2）(t2-b2）=0 化简可得：2=a2k2+b2,该方程只有一个根，记作， a'kt a'k 方=2+R=一(，x为切点的横坐标。 切点的纵坐标乃=：+1=公 1, 6P,则ks-b 五=-ak 由于 a'y bx(x-x), 则切线方程为：y-片=k(x-x)ay x8+以=1 化简得：亡b 当切线斜率不存在时，切线为 24/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=tm’ 包符合方程子+芳-1 综上，荐+长=1a>b>0上一点Mg)的切线方程为学+常=-1 x2.y2 ,x+y=1: 同座名+ab>0上一点Ny)的切线方程为，2 +24=1 b2 设 ,点在两个切线上，所以 0(x)9 西+4=1 a b2 所以MN的直线方程为 S+冷=1，根据极线定义直线N为极点D的极线： 62 (3)由题意，设点P的坐标为(x,), 因为点p在直线y=2x+4上运动，所以%=2+4， 164 联立 1 ，得 +4 y=- x2-8x+24=0 △=64-4×24=-32<0，该方程无实数根， 1 所以直线y=2x+4与椭圆C相离，即点p在椭圆C外，又PM,PN都与椭圆C相切， 所以点P和直线MW是椭圆C的一对极点和极线 名号=1，与点Pk,为对应的极线方程为。+学-1， 对于椭圆16+4 将%=+4代入活+=1，整理得(：-2y+16y-16=0: 又因为定点T的坐标与x的取值无关， x-2y=0 x=2 所以16y-16=0:解得y=1,所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上 当MT=TN时，T是线段MN的中点， 设M(x,),N(,2),直线MN的斜率为k, 生+上- 164 三+发-1阿式相减。 则 1164 25/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 胆用要之后头务名器分 =一 所以当7=N时，直线N的方程为-1=x-2,即+2y-4=0 题型07椭圆中的光学性质 典例精析 【典例7】【解析】(1)由题意得a=2,c=1,∴b2=3, x2,y2 故B的方程为4+3 一+ =1 (2)设P(,),Q(x,),直线P9的方程为x=y+m, x=ty+m 由任背小箭去女整理 (3t2+4)y2+6tmy+3m2-12=0 ∴.△>0，y+2 -6tm .3m2-12 32+4345= 312+4 直线AP,A0的斜率之积为 kaka(22)(2 1y2 yy2 3m2-12 3(m-2) 2(3m2-12）-6t2m(m+2)+(32+4)(m+2}24(m+2): 设直线AQn的斜率为n,依题意可知kSn均存在且不为零， 31-2）_1 由P2经过B的右焦点EL,0)知，41+24@， _3(-1-2_9 由PQ.经过B的左焦点F(←1,0以知。-4-1+2一4@， =9,故数列化，}是等比数列。公比为g ②.①得k (3)直线0，的方程为x=+m'由(2)知5=】 到司 26/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 收a号6解特m器号 3(m-2）1 故直线e,恒过定古太号 P F 9 三举一反 4a=8 a=2 【变式7-1】【解析】(1)由题意可得： ,解得c=√3， b2=a2-c2 b=1 +y=1 所以椭圆c的方程为4 ②(1)设直线方程为，=：+2，与椭圆+y=1联立，消y得 x2+4(a+2)2-4=0→(1+4k2）x2+16x+12=0, M B 又设义放怀，N6小则名==品 12 所以有3(x+五)=4c 侧直线4N方程为：y+,直线方程为：方+ x-1 27141 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +1+2-l 两：启您他提24 3x2- X x2 代入西= 飞45)可得：少= 23x++3x+625-20 -4 3x2-x 3x32-x2 1 即交点为G的纵坐标为常数2，即这些G点在一条直线y=2上： （i)因为G1B与AHMB的面积之积是24×48-×2兮×24=. 由（1)可得交点为G的银华标为带数分代入直线N方起： x+1可得： 1x2 22-1,即交点为G的横坐标为。= 1x2 2y2-1 又设直线方程为：y=一x+l直线N方程为：y=十x 两式消元得：少=25+3+五 3x-2” 代入535中)可得：y= 2x3(x++3x+522 -4 -4 3x1-x2 3x-x22 1 即交点为H的纵坐标也为常数2，即1点也在这条直线y=2上， 把y-号代入直线y方程y=1可： X2 1=h山x-1x=35 2x2 2y+1,即交点为，的横坐标为x=2之 嘉小品品 因为至+g=151-对-互，所名-号=3 4 4 4 28/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即人G1B与AHB的面积之积是46x46=k小-3 【变式7-2】【解析】(1)由题意知，椭圆焦距2C=4,则c=2,因为方程为 FA+AE+EB+BF=16、 根据椭圆的定义54+A=2a=EB+BF, 所以4a=16,解得a=4,即知b2=a2-c2=16-4=12, -1. 故椭圆方程为：1612 (2)如图所示： 设椭圆的左焦点为耳，延长F,H和FP交于点F, 在aPEE中，PH⊥FF,∠FPH=∠FPH,则PF=|PF,且H为FE中点， 在APRB中，o=E=Pr+PR)-=P+P)=a=4 所以点H在以0O为圆心，半径为4的圆上，所以点H的轨迹方程为x2+y=16, (3)由椭圆的光学性质可知直线AB过左焦点耳，设直线AB方程为x=my-2,A(x,),B(x,2), x+ -=1 联立1612，得 x=my-2(3+4m2)y2-12my-36=0 12m -36 由韦达定理得片+乃=3m2+4'43m+4 +=-m 两式相比可得2=3，所以m=-30y+) 由对称性知，若定点存在，则为直线BM与直线AN交于x轴上的定点， y=x 8y y2+ 则直线 方程为y+84=”于x+8, BM xx2+8 令y=0. 29141 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则x=-8+8%8+2-81 6y+my y2 y2+8y myiy2-2y2+8y w」多}9 6y+myy2 则点(0即为所求点 【变式73】【解折】（④）白题点，S5F%≤c,当p位于上下顶点时取得爱大值。 bc=3 c 1 [a=2 所以a2 解得b=√3· a2=b2+c2 c-1 心+y 所以椭圆标准方程为4+31. (2)作B关于I的对称点N,则M为EN的中点，PF=PW, 由椭圆的光学性质可得F,P,N共线， FNHPFI+IPNHPFI+IPFE4. 连接OM,由于O,M分别为FF,N的中点， 则1oM-2FN=2, 所以M点的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆， 轨迹方程为x2+y2=4」 (3)由题意A(-2,0),B(2,0),设C(x,),D(x2,y2), 由题意CD不与AB重合，故设CD:x=my+l, 30/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=my+1 联立x+2=4可得(m+0y2+2my-3=0 由于CD过圆内定点，0)，故一定有两个交点， 2m h+2= m2+1 则韦达定理 3，则 yy2=- m2+1 直线4Cy2+》,直线0y”2-). x+2-=+2=2(my+3）-myy+3y 联立AC'BD可得x-2-2片(m-ym-片， 3 由韦达定理可得m4=20+), 3 以t+2m%y2+3y22y+y2)+3y2_3y+9y2= x-2 myiy2-y 20+h)-y y+3y2 即x=4, 所以直线AC,BD的交点在定直线x=4上. B 题型08双曲线中的光学性质 典例精析 【典例8】【解析】(1)2c=23,则c=V3,设点P为反射点，在Rt△PFE中，EE引=25， ∠RPR=, 则P-5=4-2=2,所以g=又g公-e,所以=：则以自线r的方界为-苦 31/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=kx+1 (2)(0当斜率存在时，设直线1：y=:+1,则2x2-y2=2: 得（2-k2)x2-2k-(2+2)=0, A-4160且g2文小6小则5+=汽，站= 2+2 2-k2, 则%=+0，+)=+K+5)tr.2-) 2-k2 2+22-)-22-0,所以-2+2 从而0A.0B=xx+%=2-原+2-K=2- 设点Q(xy),由WM=2QM得V(x-2+y=2·V(x-'+y,化简得x+y=2, 因为原点到直线，的距离为+ A=巨，所以直线，与圆o相切，即存在-个点。满足QN=2QM 当斜率不存在时，设直线1：x=m,因为以AB为直径的圆过原点，所以直线：x=士V2,与圆x2+y=2相 切，即存在一个点Q满足ON=V2QM, 综上所述：直线1上存在一个点9满足|QNW=V2OM: y=kx+1 (设C(飞，)Dx,y)联立方程组{22-y=0,得(2-2)x2-2-P=0 2kt A=8>0且≠2：则5+龙=22=+，4C+5-l,1BD=+k-x ①当点A,B分别在双曲线的左右两支且都在x轴上方时，不妨设点从左到右按A,C,D,B的顺序排 列， 则AC-BD=V+k(s-x)-V1+k(-x)=1+K2[(s+x)-(x+3)】=0,所以AC=BDl, 由对称性可得，当点A,C,D,B都在x轴下方时也有AC=BD: ②当点A,B分别双曲线的同支时，不妨设点从下到上按D,A,B,C的顺序排列， 若直线1的斜率不存在，则4（小2,2），B(V2,2),D(V2,-2,C(V2,2)或A2,-2). B(-2,2).D(-2,-2,C(-2,2, 都满足AC=BD,若直线1的斜率存在， 则4G-a0=+是-）小+0-⅓)=+[+%)(+】 因为x+x=x+x4,所以⅓+y=k(名+x4)+2=k(x+x)+21=y+y, 32/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为点A,C,D,B四点共线，且AB,CD的中点重合， 综上所述：AC=|BD. 举一反三 【变式8-1】【解析】(1)由光学性质知，F,A,D三点共线， 因为FE=8,所以F(4,0),E(4,0), B1女时、在双自方程时今x-c解得y=±冬，则4 b2 当 x=C a b23 所以8a4,即6=6a 又因为b2=16-a2,解得a=2, 所以双曲线的标准方程为4一12 (2)设A(x,%),因为AD⊥AB, 所以6n衣-即4产小，可得<+以=16 又3x2-2=12,所以=7，=9，所以AV7,3 3 所以D方程为y=7+4x+4),即：3x-(4+可列y+12=0. 【变式8-2】【解析】(1)如图所示： 延长C1与DB交于R,因为4B⊥AD:am∠CB= 4 BR-3 则em4B=tam(x-∠4C0)=-tm∠ACB=子即A8-4, 令BF=3(t>0),则AB=41, 33/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以，AE=VAB+BF-4}+(3)}-51, 由双曲线的定义可得A-A=2a=4,则AF=A-4=51-4, BF-BF=2a=4,则BF=BF-4=31-4, 又因为AB=AE+BF引，即4=51-4+3t-4,解得1=2， 所以，BF=31=6,BE=31-4=2, 由勾股定理可得2c=FE引=VBF+BF=V6+2=210,则c=√0， 故b=c2-a2=10-4=V6, 2y-1. 因此，双曲线E的方程为46 (2)若直线I与x轴重合，则直线与双曲线E的交点为双曲线E的两个顶点，不合乎题意， 设直线1的方程为x=my+4,设点M(x,)、N(x,2), [x=my+4 联立3x2-2y2=12可得(3m2-2y+24mw+36=0: 3m2-2≠0 由题意可得 △=24m2-1443m2-2列小>0：解得m≠±6 24m 36 由韦达定理回可得+二3m2,%3m二2了 +2m%+6,k6w=为。上 易知点4(20)4(20，则kw=六2=片 x2-2my2+2 直线4山的方能为6+2，直线私N的方为2-2。 联立百线4M、V的方程并消去，可豹6红+2小-2-2). my2+2 34/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36m 24m 可得牛号+6)-四+62-3m2+63m2为 -+6 x-2y,(my2+2）myy2+2y 36m+2y 3m2-2 108m =3m22 -6y 36m =-3，解得 3m2-2+2y x=1 因此，直线AM与直线4，N的交点在定直线x=1上 【变式8-3】【解析】(1)如图所示： 延长DA与CB交于F, 因为AB L AD,tan∠ABC=-3 所以AB=4,AE=3,BF=5, 设A引=x,则3-x=5-(4-x),即x=1, 42=32+r=10,c2=,2a=3-1=2,a=1, 2 x2、y2 故方程为了=1， 2 (2)AB=4k,AF=3k,BF=5k,AF=x, 则3k-x=5k-(4k-x),x=k,4c2=9k2+k2=10k2 c2=5k,2a=3张-k=2k,a=k, 2 两渐近线所在直线方程为：y=±6 t, 设直线方程为y=2(x-C),将渐近线两侧平方与直线联立， 35/41 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y2-3x2 则 2 可得兰智则货) y=2(x-c) 3v5 故ME_5c35 FF 2c 10 题型09抛物线中的光学性质 三典例精析 【典例9】【解折】(1)抛物线C:x=2pm(p>0)的准线为y=- 4 则号=解得 1 因此抛物线C的标准方程为x2=y。 (2)抛物线C:=y的焦点F坐标为0,4) 对称轴为y轴， 设M(x,)(,≠0)为抛物线上一点（非顶点），如下图所示， 抛物线方程x2=y,求导可得y=2x, 所以M点处切线的斜率为2， 则切线方程为y-2=2x,(x-),即y=2x,x-x2, 1 因为M点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为2五， 36/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 （x-x）,即y= x 1 则法线方程为y-x。=一 2x E++x02, 2x02 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 21 入射光线为 ，斜率为 1 FM 4x 设反射充线的方向向显为行=a小，入射光线的方向向量为M-(飞，-)】 法线的方向向量为n=(2x,-1), 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， FM.n v.n 所以 FM闭网 假设反射光线平行于y轴，即方向向量=(0,1)， FM.n ×2+-4}(-) 代入可得cos8= FM cos0, v.n 0×2x。+1×(-1) 1 网 0+P同同 因为cos8=c0s8,' 所以日=&，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线C的焦点F发出的光线经过抛物线上一点M(不同于顶点)， 反射后平行于抛物线C的对称轴 (3)设切点A,x),B(五，)x≠五)，P(x,),如下图所示， 由(2)可知，抛物线在A,B处的切线方程分别为 37/41 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PA:y=2xx-x2,PB:y=2xx-, 联立可得24x-=2xx-x,解得=兰，代入可得y=5: 2 P兰)点r@) 所以网=--m(-》.m-(生梦5》 则cos∠PFA= FA.FP16x3x2+4x2+4xx2+1_4x2+1 FAF丽 4(4x2+1)F 4F, 同理cOS∠PFB= FB.FP 4xx2+1 FEF4Fm’ 因此CoS∠PFA=cos∠PFB, 因为∠PFA,∠PFB∈(O,), 所以∠PFA=∠PFB」 举一反三 【变式91】【解析】（④）由愿意可知，抛物线C的焦点为F号0 将 2代入抛物线方程可得 4p' 故抛物线C的标准方程为y2=2x. y=2 (2)由题意可知，直线，的方程为y=2:由y=2x可得x=y=2,即点A(2,2), 24 an∠ABQ=kAs 则 25.直龄B的方程为y-:》 AB 38141 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 联立y2=2x 可得 8,即点 x≠2 1 y=-2 P x 9 3x1 20 设直线 的倾斜角为，则tan8=km=二=8m' m BP 0 8 由题意可知，∠AB0=20:且20为锐角，0<20< 2,可得0<0< <4:所以，0<tan0<1: 2tan0 4 因为an20=1am93,可得am9 28m-1:解得m=41 120 8 【变式9-2】【解析】(1) 根据物线的元学性质可知，直线P0过抛物线的焦点F(号0， 且与轴不平行， 设直线Pg的方程为x=my+ 2 x=m+2 由 2消去并化简得 y2=2px y2-2mpy-p2=0 设P(x,),0(x,),△=4m2p2+4p2>0, 则y2=-p2. (2)依题意， 39141 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设M关于直线I的对称点为M,(m,n), n-4 47-2 m- 4 则 41 ，解得 即 m+ 2.4-4n+4-17=0 2 2 4h=-1 . 8小eo归点F-8-(8列 所以程}（列=4） 解得p=2' 所以抛物线的方程为y=4x 【变式93】【解折】（四设M:,)Ny）由方程C:=2MD>0可符F0 设直线Mw的方程为：y=c+号 2 x2=2py 联立方程组 少=众+卫'整理得 x2-2pkx-p2=0 所以+3=2k,x2=-p2, 则两平行光线间的距离d=:-=V4p2+4p2≥2p,当且仅当k=0时等号成立 所以2p=4,即p=2,故抛物线方程为x2=4y. (2)证明：由(1)知抛物线方程为x=4y,可得准线为y=1, 则P(x,-),00,0),可得OM=(,y),OP=(x,-), 所以x2y+x=x2(+1)+x=x2+x+x2=-4k+4k=0。 40/41 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以OM1IOP,又因为OM∩OP=O,所以M,O,P三点共线. 41/41