第26章《二次函数》单元质量检测试卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册第26章《二次函数》单元质量检测试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3.抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4.抛物线 的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 5.将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6.已知抛物线开口向上，与轴交于，当 时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7.已知点 、、 在抛物线 上，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.如图，抛物线 与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，则（ ） A. B. C. D. 9.对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 函数最大值是1 B. 当时，随增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 图象经过点 10.若抛物线 经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11.已知二次函数 ，当 时，函数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.如图，二次函数 （）的图象开口向上，对称轴为直线，图象与轴有两个交点.给出下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.抛物线 的最大值为________. 14.已知函数 是二次函数，则 的值为_______. 15.如图,为抛物线 图象，当 时， 的取值范围是________. 16.已知二次函数 ，当 时，函数最小值为 ，则 ________. 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17.（本题12分） 如图，观察二次函数图像，并填空： (1) 根据二次函数的图像可知， 抛物线开口 ，则a 0； 对称轴在轴 边，则b 0； 与y轴交点在y轴 半轴，则c 0. (2)对称轴为 .在对称轴左边，y随x的 而 ; 在对称轴右边，y随x的 而 . (3)y＞0时，x的范围是 . 18.（本题8分） 已知一条二次函数的解析式为 . (1) 求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2) 若自变量 的取值限定为 ，求函数的最大值与最小值. 19.（本题10分） 在平面直角坐标系中，已知一条抛物线 经过点 . (1) 求抛物线解析式； (2) 直接写出随增大而增大的取值范围. 20.（本题10分） 在平面直角坐标系中给出二次函数 . (1) 求抛物线与轴、轴的交点坐标； (2) 当自变量满足 时，求函数值 的取值范围. 21.（本题10分） 课堂探究学习中，同学们对基础抛物线 作平移变换，得到新抛物线，新抛物线顶点坐标为 . (1) 求新抛物线解析式； (2) 判断点 是否在平移之后得到的抛物线上，并说明理由. 22.（本题12分） 体育课上，一名同学竖直向上抛出小球，不计空气阻力，小球离地高度 与运动时间 满足关系式：. (1) 小球经过几秒到达运动轨迹的最高点？ (2) 小球离地的最大高度是多少米？ 23.（本题12分） 数学探究活动课上，给出二次函数 ，小组对该函数图象开展探究. (1) 求证：无论取何实数，该抛物线始终与轴有交点； (2) 若该函数的最小值为 ，请求出参数的值. 24.（本题12分）阅读材料题： 数学学习小组自主定义了一个新概念：若二次函数图象上一点的横、纵坐标互为相反数，则称该点为“相反点”.请完成下面探究问题： (1)求函数 的所有相反点坐标； (2)若二次函数 有两个不同的相反点，求的取值范围； (3)若二次函数 的两个相反点横坐标之差为，求的值. 25.（本题12分） 公园内的喷泉喷水，水流运动轨迹是一条抛物线.建立平面直角坐标系，水流形成的抛物线与轴交于两点，与轴交于点. (1)求水流轨迹对应的二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若在这条抛物线上存在点，使得的面积为.请问是否存在这样的点？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 一、选择题 1.【答案】 解题过程： A.是一次函数； B.是反比例函数； C.，符合二次函数定义； D.，化简后为一次函数. 故选C. 2.【答案】 解题过程： 由图象可知抛物线开口向下，得，A错误； 对称轴在轴左侧，，又，可推出，B正确； 抛物线与轴交于负半轴，得，C错误； 抛物线与轴有两个交点，判别式，D错误. 故选B. 3.【答案】 解题过程： 二次函数顶点式，顶点坐标. ，所以顶点坐标. 故选B. 4.【答案】 解题过程： ，其中， 对称轴公式：. 故选B. 5.【答案】 解题过程： 抛物线平移规律：左加右减，上加下减. 向右平移1个单位得到，再向上平移3个单位得到. 故选B. 6.【答案】 解题过程： 抛物线开口向上，与轴交点、. 当，图象位于轴下方，对应自变量取值在两根之间：. 故选A. 7.【答案】 解题过程： 抛物线，对称轴是轴，开口向上；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大. 点到对称轴距离为；点到对称轴距离为；点到对称轴距离为. 距离大小：，因此函数值：. 故选B. 8.【答案】 解题过程： 抛物线与轴交于负半轴，； 抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，，结合，得. 综上：. 故选B. 9.【答案】 解题过程： 将解析式配方：，，开口向上，函数有最小值，顶点坐标； 当时，随增大而减小；当时，. A最大值1错误；B增减性错误；C正确；D代入得，错误. 故选C. 10.【答案】 解题过程： 把点代入： 解得：. 故选C. 11.【答案】 解题过程： 配方：，开口向下，对称轴，在区间内. 当，函数取得最大值； 当或，. 所以取值范围. 故选A. 12.【答案】 解题过程： ①对称轴，，化简得到，即，①正确； ②图象和轴有两个交点，，②正确； ③由图象，当时，对应点在轴下方，，③正确； ④当时，图象上点在轴下方，，把代入，得到，故错误，④错误. 综上①②③正确，一共3个. 故选C. 二、填空题 13.【答案】 解题过程： ，，抛物线开口向下，顶点纵坐标就是函数最大值，最大值为. 14.【答案】 解题过程： 函数是二次函数需要同时满足两个条件： 解方程，得或； 又，，. 15.【答案】或 解题过程： ，抛物线开口向上； ，取图象在轴以及轴上方部分，对应或者. 16.【答案】 解题过程： 配方得，对称轴，落在区间内； 开口向上，最小值在顶点处，，解得. 三、解答题 17.（本题12分） 答案 (1) 向上；；右；；正； (2) ；增大，减小；增大，增大 (3) 或 解析 (1)抛物线开口向上，开口向上则 ； 对称轴是直线，在轴右边. 对称轴公式：，，，可得； 抛物线与轴交点在轴正半轴，时，所以. (2)由图中标注，对称轴为； 抛物线开口向上： 在对称轴左边，随的增大而减小； 在对称轴右边，随的增大而增大. (3) 代表图像在轴上方的部分. 抛物线和轴交于、，开口向上，图像在x轴上方的区域是交点外侧， 所以取值范围： 或 . 18.（本题8分） (1)【答案】开口向上；对称轴直线；顶点坐标 解题过程： 配方，，开口向上；对称轴，顶点. (2)【答案】最大值；最小值 解题过程： 自变量取值，对称轴在区间之内； 开口向上，顶点处取最小值； 计算端点：时，；时，； 比较端点函数值，最大值为. 19.（本题10分） (1)【答案】 解题过程： 把点代入： 解得，解析式. (2)【答案】 解题过程： ，对称轴； 开口向上，在对称轴右侧，随增大而增大，即. 20.（本题10分） (1)【答案】与轴交点；与轴交点 解题过程： 令，，解得，与轴交点、； 令，，与轴交点. (2)【答案】 解题过程： 配方：，对称轴，该值落在区间； 开口向下，时取最大值； 当，；当，； 区间最小值为，. 21.（本题10分） (1)【答案】 解题过程： 已知平移之后抛物线顶点，顶点式，不变； 代入，得到. (2)【答案】点在抛物线上 解题过程： 把代入解析式： 计算所得函数值与点纵坐标相等，点在抛物线上. 22.（本题12分） (1)【答案】秒 解题过程： ，； 到达最高点时间对应对称轴： 答：经过秒到达最高点. (2)【答案】米 解题过程： 将代入解析式： 答：小球离地最大高度米. 23.（本题12分） (1)【答案】见证明过程 解题过程：证明： 任何实数的平方大于或者等于，恒成立， 无论取何实数，抛物线总与轴有交点. (2)【答案】 解题过程： 二次函数最小值公式 或，解得. 24.（本题12分） 题意：“相反点”横纵坐标互为相反数，满足. (1)【答案】 解题过程： 联立方程组 解得，对应点，. (2)【答案】取全体实数 解题过程： 联立 ，整理 ，恒成立， 取任意实数，方程总有两个不等实数根. (3)【答案】或 解题过程： 联立 ，整理 设两根，则 两边平方：， 或，解得或. 25.（本题12分） (1)【答案】 解题过程： 抛物线过，设交点式， 代入：，解得， 展开：. (2)【答案】 解题过程： ，点，到轴距离 (3)【答案】存在； 解题过程： 设点， ①当：，即 解得，对应点，； ②当：，即 ，解得，对应点. 学科网（北京）股份有限公司 $