广东惠州市第一中学2026-2027学年高二数学上学期周测(二)

2028届高二上学期周测(二)试题—数学 本试卷共4页，19小题 ，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（    ） A．某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B．为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 2．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数，求复数（    ） A． B． C． D． 4．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．下列说法正确的是（    ） A．如果直线l不平行于平面α，那么平面α内不存在与l平行的直线 B．如果直线//平面α，平面//平面β，那么直线//平面β C．如果直线l与平面α相交，平面//平面β，那么直线l与平面β也相交 D．如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β 6．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 11．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（    ） A．存在点满足 B．存在点满足 C．满足的点的轨迹长度为 D．满足的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若．则的值为________． 13．如图，正三棱柱的各棱长均为，点为棱上的中点，点为棱上的动点，则在上的投影向量的模的取值范围为________．  14．圆台及其内切球的体积分别为、，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共4小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知四棱柱在空间直角坐标系中，A在原点，，四边形是矩形．   (1)求三棱锥的体积； (2)求与所成角的余弦值． 16．在四边形中，、、、四点共圆，，，． (1)求四边形外接圆的半径； (2)若，求的长． 17．．如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．某校对2026年高一下学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图，现从和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取5名学生．    请完成以下问题： (1)从这5名学生中再随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率； (2)观察抽取的5名学生的成绩，计算出选自中的样本的均值为55，方差为26，选自中的样本的均值为85，方差为11，请计算被选的这5名学生成绩的方差． 19．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．   (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，为上的点，当平面时，求的值； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2028届高二上学期周测(二)试题—数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C C B C D ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C【详解】A选项，概率表示随机事件发生可能性大小，所以此人掷6次骰子不一定能掷得一次数字5，故A错误；B选项，为了解全国中学生的心理健康情况，应该采取抽样调查更合理，故B错误； C选项，根据中位数，众数的概念可判断其正确；D选项，根据方差越小数据越稳定，故D错误. 故选：C. 2．B【详解】由祖桓原理可知，由在同一高处的截面积总相等，可得的体积相等，即， ∴必要性成立；反之：若两几何体的体积相等，但两几何体在同一高处的截面积不一定相等，即， ∴充分性不成立，∴是的必要不充分条件．故选：B 3．C【详解】，则.故选：C 4．C【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 5．C【详解】如果直线l不平行于平面α，例如，则平面α内存在与l平行的直线，故A错误； 如果直线//平面α，平面//平面β，那么直线//平面β或，故B错误； 如果直线l与平面α相交，平面//平面β，直线l与平面β也相交，故C正确； 如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β或与相交，故D错误.故选：C 6．B【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则.故选：B 7．C【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 8．D【详解】因为是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，， 所以AM⊥CD，且，因为，所以，而， 由勾股定理得：，所以BM=BC， 故为等腰直角三角形，，， 由题意得：球心O在平面ACD的投影与M点重合， 因为平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上， 在平面BCD上，过点M作MH⊥CD，故， 球心O在MH上，设OM=x， 由余弦定理得：， 则， 由得：，解得：， 设外接球半径为，则，故该三棱锥的外接球的表面积为.故选：D 9．ABD【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对.故选：ABD 10．BCD【详解】由题意可知，事件包含的基本事件有：、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：、、、、、、、 、、、、、、、、、、 ，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件， 所有的基本事件共个. 对于A选项，， 所以，与不互斥，A错； 对于B选项，由上可知，与对立，B对； 对于C选项，事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件， 则， 又因为，，所以，， 故与相互独立，C对； 对于D选项，因为，则， 故与相互独立，D对.故选：BCD. 11．ABD【详解】对于A选项，假设，因为， 又，且始终垂直平面，所以，点在以B为圆心，半径为1的圆上， 同理，，则，点P在以C1为圆心，半径为的圆上，如图1， 又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足，故A正确； 对于B选项，如图建立空间直角坐标系， 则，， 若点在正方形中心处，即， 则，，可得，即 ，故B正确； 对于C选项，取的中点，的中点，连接，，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，易得，又平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面，所以平面， 又因为点P在侧面上，平面平面， 所以点的轨迹为线段，且，故C错误； 对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则， 因为，所以， 同理，又平面， 平面，又平面平面， 所以点的轨迹为线段，且，故D正确.故选：ABD. 12．【详解】由，则.故答案为：. 13．【详解】连接，则，又三棱柱为正三棱柱，则平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为点为棱上的动点，设，， 则， 所以，， 则在上的投影向量的模为， 因为，所以，即在上的投影向量的模的取值范围为.   故答案为： 14．【详解】设圆台的上，下底面半径分别为，（），球内切于圆台的轴截面如图：    则，，，， 为球的直径（圆台的高），球的半径为，则球的体积， 圆台的体积，所以， 因为，所以，即的取值范围为.故答案为： 15．【详解】（1）由题易知，则是面ABCD的一个法向量，即平面， 故；………………………7分 （2）向量加法法则易得：， 且， 故与所成角的余弦值为………………………13分 16．【详解】（1）在中，，，． 由余弦定理可得，………………3分 所以，，又因为，………………5分 故四边形外接圆的半径为.………………………7分 （2）因为、、、四点共圆，则， 所以，，………………10分 在中，，，，………………11分 由正弦定理可得.………………………15分 17．(1)不妨设，则，，． 连接AD，由直棱柱的性质知，四边形为矩形，又D为的中点， 故，于是，所以，………………2分 又，，所以平面ABD， 平面ABD，故．………………4分 又⊥平面ABC，平面ABC，故⊥AB，又＝，故AB⊥平面………………………7分 （2）由（1）知，AB、AC、两两垂直，故以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则：………………8分 ，………………9分 ，，，………………10分 设平面的一个法向量为，则，取，得．………12分 记直线BC与平面所成角为，则，………………14分 即直线BC与平面所成角的正弦值为．………………………15分 18．【详解】（1）由频率分布直方图，得分数段的人数为，…………………………1分 分数段的人数为，………………………………………………………………………2分 用分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为， 需在分数段内抽人，分别记为，，，………………………………………………………3分 则样本空间，共有个样本点，…………4分 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件， 而的对立事件，包含个样本点，……………………………………………6分 于是，则，…………………………………………………………………7分 所以抽取的这名学生至少有人在内的概率为．…………………………………………8分 (注：表述不规范的，酌情扣分) （2）依题意，结合(1)可知 内的样本均值为，……………………………9分 在内的分数为，在内的分数为， 则，，……………………………12分 因此这名学生的方差为 .……………………………17分 19．【详解】（1）取AM的中点G，连接PG， 因为PA=PM，则PG⊥AM， 当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，…………………………………………2分 四棱锥的体积取得最大值， 此时PG⊥平面，且， 底面为梯形，面积为， 则四棱锥的体积最大值为………………………………………………4分 （2）取PB中点K，取AB中点I，连接CK，KI， 则KI为△PAB的中位线， 所以KI∥AP， KI不在平面PAM内，AP在平面PAM内， 所以KI∥面PAM， 易知四边形AICM为平行四边形， 所以CI∥AM， CI不在平面PAM内，AM在平面PAM内， 所以CI∥面PAM， 因为KI，CI为面KIC内的两条相交直线， 所以面KIC∥面PAM，， 所以， 所以当Q为CK与BN的交点时，CQ//平面PAM，此时.…………………………………………7分 （3）连接DG，因为DA=DM，所以DG⊥AM， 所以∠PGD为的平面角，即…………………………………………………………8分 过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 过P作PH⊥DG于点H，则PH⊥平面ABCM， 设，因为，所以， 所以， 所以，…………………………………………………………11分 所以， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则，设平面PBC的法向量为， 因为，则 令，可得：，设两平面夹角为，……………………………14分 则 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为…………………………………………………17分 答案第4页（共7页） 答案第5页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $