广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学周测试题（9.11）

**基本信息** 高二数学周测试题聚焦空间向量与立体几何，通过基础判断（如空间基底选择）、综合应用（如四棱锥线面关系证明）梯度设计，考查空间观念与推理能力，适配阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间坐标对称、基底判断、向量共线|第3题以基底定义为核心，辨析向量组线性无关性，强化数学抽象| |多选题|3/18|向量命题辨析、三棱柱向量运算|第10题结合三棱柱几何特征，考查向量数量积与夹角，体现几何直观| |填空题|3/15|三点共线参数、正四面体向量模|第13题通过正四面体中心，考查空间向量坐标运算，培养空间观念| |解答题|3/47|平行六面体计算、四棱锥证明与角|第16题以直角梯形四棱锥为载体，融合线线垂直证明与线线角计算，发展推理能力与数学表达|

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C A C D D D BCD ABD BCD 广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学周测试题参考答案（2026.9.11）1、D【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2、C【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以.故选：C 3、C【详解】∵与共面，∴A，B，D不正确，C正确. 4、A【详解】由题意知，，又因为，所以， 解得，所以∴.故选：A. 5、C【详解】对于选项A：因为，且，所以三点共线，故A正确； 对于选项B：由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确；对于选项C：例如，则，，可知，即同向，所以与的夹角为，故C错误；对于选项D：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故D正确；故选：C 6、D【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，，故选：D． 7、D【详解】由题可得，正方体外接球的直径,设为正方体外接球的球心，则为的中点， 则有,且， ，由于，所以的最大值为0，故选:D. 8、D【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以，因为点在平面内， 所以，得，且.所以 当且仅当时等号成立.故选：D. 9.BCD【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 10、ABD【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因，， 则 ，则，即，故A正确； 对于B，由A知，，则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，，则， 则，即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，，则，故D正确. 11、BCD【详解】对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即，所以四点共面，B正确； 对于C，当时，，所以，所以 ，C正确；对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即面积的最小值为，D正确． 12、【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 13、【详解】因为O为底面的中心，所以， ，， 14、【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，，所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为.由向量加法法则可得，所以，即. 15、(1)2　(2).【详解】（1）设，，.则.，，. 平行六面体中： ，又已知， ，    .…………５′ （2）， ，……９′ . ，；……１３′ ，的面积为.…………１５′ 16、(1)证明:法1，结合题图，， 由题，，则，所以，即；…５′ 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即；…５′ （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为……１０′ （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ，故； 法2，，，所以，，， 则．所以直线AC与PD所成角余弦值为……１５′ 17、(1)证明：如图所示，连接．               因为、分别为、中点，所以，      又因为平面，平面，所以平面．……４′ (2)证明：因为底面，底面，所以． 在正方形中，，              因为平面，所以平面，         又因为平面，所以平面平面．…………８′ （3）因为平面，平面，所以，，                            所以即为二面角的平面角，即； ……１０′           因为正方形的边长为2，所以，，           因为底面，平面，所以， 又因为是的中点，所以在中， 则为等腰三角形，故；                   在中，；……１２′ 设点C到平面的距离为h， 由，，得，        即为等腰三角形，底边上的高为， 所以；                          因为，所以， 由，得，得.  …………１５′                            设与平面所成角为，则，             即与平面所成角的正弦值为．…………１７′ 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学周测试题 （2026.9.11） 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、点关于平面对称的点的坐标为（    ） A．　　B．　　C． 　　D． 2、在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 3、若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4、已知向量与共线，则（     ） A． B． C． D． 5、下列说法错误的是（   ） A．若空间中点满足，则三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点和不共线三点，若，则共面 6、三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 7、已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．0 8、在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9、在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 10、如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 11、在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 13、正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 1４、如图所示，二面角为，，是棱上的两点， ，分别在半平面，内，且，， ，，，则的长______. 四．解答题 15. （15分）如图，在平行六面体中，，， ，点为的中点，. (1)求的值； (2)求的面积 16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求直线AC与直线PD所成角的余弦值. 17.（17分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $