精品解析：辽宁大连王府高级中学2024-2025学年第一学期第一学段考试高二数学试卷

大连王府高中2024-2025学年度第一学期第一学段考试 高二数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（     ） A. B. C. D. 3. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A B. C. D. -1 4. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A B. C. D. 5. 已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A. B. C. D. 7. 已知﹐圆，点M，N分别是圆C1，圆C2的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 8. 已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、多选题 9. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 10. 以下命题正确的是（ ） A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则 C. 已知，，若与垂直，则实数 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面 11. 在棱长为1正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 三、填空题 12. 已知实数满足：，则的最大值是_______． 13. 在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________. 14. 树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 四、解答题 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 已知圆C：与圆：. （1）求C与相交所得公共弦长； （2）若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 17. 如图一， 是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； （1）若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； （2）若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； （3）若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3． （1）求圆的方程； （2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；(若A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0两侧，则(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)＜0)； （3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高中2024-2025学年度第一学期第一学段考试 高二数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取一三棱锥，，利用余弦定理求出各边长，令，根据题目条件得到⊥，⊥，利用向量运算法则得到，所以当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值，得到答案. 【详解】取三棱锥，， 且，，， 所以，， 如图，令， 因为，， 又， 所以，，即， 所以⊥，⊥， 分别取的中点， 则，，， 所以， 所以当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值， 最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将向量放入三棱锥中，，令，根据题目条件，推出⊥，⊥，分别取的中点，故，数形结合得到当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，则，即可得到方程组，解得、的值，即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 3. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 4. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C 【点睛】 5. 已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立. 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A 6. 如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】∵，∴， ∵为的中点，∴， ∴， 即. 故选：B. 7. 已知﹐圆，点M，N分别是圆C1，圆C2的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用三点共线求最值的方法即可得出结果. 【详解】由题意可知，圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 则的最大值为的最大值 当P，，三点共线时， ， 所以的最大值为. 故选：C 8. 已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积. 【详解】设，则， 设 ，， 圆的方程为①， 圆：的圆心为，半径为， 圆的方程可化为②， 由①②得直线的方程为，即， 是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大， 当到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立. 当当到直线的距离取最小值时，， 所以. 故选：A 【点睛】在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正、二定、三相等.求解圆与圆位置关系有关问题，首先考虑数形结合的数学思想方法，画出图象，然后根据图象、圆的几何性质来对问题进行分析和求解. 二、多选题 9. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直接法求点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项. 【详解】由题意，设点， 又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，B选项正确； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则 C. 已知，，若与垂直，则实数 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C，根据四点共面的充要条件可判定D. 【详解】对于A，由题意知，所以，故A正确； 对于B，由题意知，所以或，故B错误； 对于C，由题意知， 解之得，故C正确； 对于D，由， 即，所以四点共面，故D正确. 故选：ACD 11. 在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，判断A，求得数量积计算最小值判断B，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，， ，设，，所以， ， ，所以时，，A错； ， ， 所以时，，B正确； ，则是上靠近的三等分点，， 取上靠近的三等分点，则， ，显然与平面的法向量垂直，因此平面， 所以截面与平面的交线与平行，作交于点， 设，则，由得，解得， 则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形， ，，，梯形高为， 截面面积为，C正确； ，，，，， ，，同理， 所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 已知实数满足：，则的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得可得点圆上，根据结合数量积的坐标公式可得两点重合，则，点到直线和的距离之和的倍，再结合圆上的点到直线和点的最值问题即可得解. 【详解】设， 由， 可得点在以为圆心为半径的圆上， ， 所以，所以， 所以两点重合，故， 则， 表示，点到直线的距离的倍， 表示，点到直线的距离的倍， 故 表示点到直线和的距离之和的倍， 设直线和的交点为，则， 设点到直线和的距离分别为， 则， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 而， 所以， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值. 13. 在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨三棱锥外接球球心O的位置，再借助锥体体积计算作答. 【详解】正中，为的中点，则，而平面，平面，即， 而，平面，则平面，平面，有，又， 因此，与的斜边中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点， 从而，点O是三棱锥外接球球心，设球的半径为，有， 的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图， 则有，即到平面的距离为， 因此到平面距离的最大值为， 又，即有，解得，，， 所以球的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 14. 树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由得，由此求圆的面积；设及题意知直线AD与所得圆相离，根据直线与圆的位置关系列出不等式即可求得斜率k的取值范围，从而求得的范围. 详解】建立如图所示直角坐标系，设， 由，即，整理得， 所以M在以为圆心，半径为的圆及其内部， 所以； 设，由题意该直线与所在的圆相离， 由，得， 所以，由图知. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 已知圆C：与圆：. （1）求C与相交所得公共弦长； （2）若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长； （2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得 【小问1详解】 由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； 【小问2详解】 由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 17. 如图一， 是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面得到，根据勾股定理得到，得到线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面和平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 因为为等边三角形，，， 为边上的高线，故， 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，所以，故， 而平面，平面，故平面 【小问2详解】 分别以方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 则. 设平面的法向量，平面的法向量， 则，且， 取，， 得到平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设二面角大小为，则， 所以. 18. 如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； （1）若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； （2）若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； （3）若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 【答案】（1）， （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）根据线面角的定义确定直线与平面所成角的平面角，由此确定点的轨迹及其长度， （2）作出正方体中经过点的截面，利用向量知识求得截面面积的表达式，求其范围； （3）结合图形分类确定内的整点个数. 【小问1详解】 连接, 因为平面，为在平面上射影， 所以直线与平面所成角的平面角为， 由已知, 则，故P点轨迹为以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分， 所以点P的轨迹长度为， 【小问2详解】 在正方体中，以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，， 因为，， 所以，即， 所以点在上运动，则, 过点作，交与点，连接， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又， 所以在正方体中经过点的截面为平行四边形（如图）， 则， 所以，， 故点P到的距离为 , 因为，故当取0或1时，d取到最大值， 此时截面面积的最大值为, 当时，d取到最小值，此时截面面积的最小值为， 即当时，在正方体中经过点的截面面积的取值范围为， 【小问3详解】 如图：过轴上点，，，，， ，，作三棱锥平行于底面的截面， 则三棱锥内（不包括表面边界）整点一定位于各截面内， 截面内的整点个数为， 截面内的整点个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有， ，个数为， 截面内的整点有 ，个数为， 所以三棱锥内（不包括表面边界）整点个数为， 19. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3． （1）求圆的方程； （2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；(若A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0两侧，则(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)＜0)； （3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)设出圆的一般方程，把三个点的坐标代入可得方程组，则圆的方程可求； (2)由(1)求得圆心坐标与半径，求得到的距离．由垂径定理求弦长，得到弦长最大值．再由题意求出的范围，然后利用点到直线的距离公式分别求出到的距离，到的距离．表示出四边形的面积，然后求其最大值即可； (3)由题意可设，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得的坐标，同理求得的坐标，结合及两点求斜率公式可得直线的斜率为定值． 【小问1详解】 由已知圆过，，三点， 设圆方程为，则有， ，解得， ∴圆方程为，即． 【小问2详解】 由(1)可知，半径， 则到距离， ∴， 当且仅当时取等号， 由解得； 由，在两侧，，， ∴， 到距离，到距离， ∴四边形的面积， ∴时，四边形面积最大为； 【小问3详解】 由题意可设， 由得， 设，则， ∴，， 同理， ∵，∴， ∴定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $