23.4 解直角三角形题型专练2026-2027学年华东师大版九年级上册

华东师大版（2024）九年级上册 23.4 解直角三角形 题型专练 【题型1】解直角三角形 【典例】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB的长度为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，则BC＝__________. 【举一反三2】在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则 __________ ． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2.求AB的长. 【举一反三4】综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，，， 【智慧小组——平移探究】 (1) 如图2，将沿着射线方向平移，得到，点，，的对应点为，，．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2) 如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接，，．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3) 将绕点D旋转得到，点B，C的对应点分别为点F，E．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出面积的所有可能值． 【题型2】解直角三角形的应用——长度、高度、宽度问题 【典例】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　) A．米2 B．米2 C．(4＋)米2 D．(4＋4tanθ)米2 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50 m，则古树A、B之间的距离为__________m. 【举一反三2】一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 __________ ． 【举一反三3】[实践课题]如图①，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离. [实践工具]　皮尺、测角仪等测量工具. [实践活动]　某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图(如图②). [问题解决]　(1)计算A，P两点之间的距离(参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)； [交流研讨]　(2)甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E三点在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P三点在同一条直线上时，只需测量EF即可. 乙小组的方案用到了　　　　　　(填“解直角三角形”或“三角形全等”). 【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典例】一飞机从距离地面3 000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是(　　) A．6 000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米 【举一反三1】如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是(　　) A．25.3 B．26.3 C．27.3 D．28.3 【举一反三2】如图所示，九年级某兴趣小组要测量校园内的教学楼AB的高度，在地面上C点用测角仪测得楼顶A点的仰角∠AFE＝60°，再沿着直线BC后退8 m到达点D，在D点又测得楼顶A的仰角∠AGE＝45°，已知测角仪的高度CF为1.6 m．教学楼AB的高度为__________m．(结果保留小数点后一位，≈1.73) 【举一反三3】如图，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为__________米．(结果用根号表示) 【举一反三4】随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业.如图1是一款太阳能路灯实物图；如图2是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O，F，N在水平地面的同一直线上，在测点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角∠CED＝45°，在与点F相距3米的测点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角∠AMD＝30°，点B为灯臂与路灯立柱OC的连接点(点A，B与M在一条直线上)，AC⊥OC，测得OF＝6米. (参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1) (1)求电池板顶端点C离地面的高度； (2)求灯臂AB的长度. 【举一反三5】如图，某数学实践小组想测量学校里的旗杆的高度，太阳光下，旗杆顶端的影子落在水平地面上的点处，同一时刻，在点处用高的测角仪测得点的仰角为，测角仪的顶端的影子落在地面上的点处，测得． (1) 求的正切值． (2) 求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题 【典例】在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1 000 m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C，此时小霞在营地A的 （      ）  A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上 C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上 【举一反三1】在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5 km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为__________． 【举一反三2】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【举一反三3】如图，在一笔直的海岸线上有相距的、两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在东北方向上，则船到海岸线的距离是多少？ 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典例】某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为(　　) A．3米 B．3米 C．3米 D．2米 【举一反三1】如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是(　　) A．200 cm B．210 cm C．240 cm D．300 cm 【举一反三2】小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(　　) A．(6＋)米 B．12米 C．(4＋2)米 D．10米 【举一反三3】某水库水坝的坝高为10米， 迎水坡的坡度为1∶2.4，则该水库迎水坡的长度为__________米． 【举一反三4】水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求： (1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)； (2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1 m). 【举一反三5】【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1) 任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2) 任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3) 任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4) 任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 华东师大版（2024）九年级上册 23.4 解直角三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】解直角三角形 【典例】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB的长度为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵sinA＝，即＝，∴AB＝，故选D. 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，则BC＝__________. 【答案】6 【解析】∵∠C＝90°，∴cosA＝＝， ∵AC＝6，∴AB＝12， ∴BC＝＝＝6.故答案为6. 【举一反三2】在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则 __________ ． 【答案】2 【解析】解：垂直平分，． ，在中，，∴． 在下方作，且，连接， 绕点逆时针旋转得到，． ，，即． 在和中，， ，． ， ． 在延长线上， ， ． 在中，， ， ， 三点共线， ， ． 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ， 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2.求AB的长. 【答案】解　∵∠A＝105°，∠B＝30°， ∴∠C＝45°. 如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中， ∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2， ∴∠DAC＝∠C＝45°. ∵sin C＝， ∴AD＝. 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°， ∵AD＝， ∴AB＝2AD＝2. 【举一反三4】综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，，， 【智慧小组——平移探究】 (1) 如图2，将沿着射线方向平移，得到，点，，的对应点为，，．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2) 如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接，，．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3) 将绕点D旋转得到，点B，C的对应点分别为点F，E．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出面积的所有可能值． 【答案】(1) 解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平移距离为； (2) 解：四边形是矩形，理由如下： ∵沿着折叠得到， ∴，，， ∴， ∴，，三点共线， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； (3) 解：∵为以为底的等腰三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵将绕点D旋转得到，点B，C的对应点分别为点F，E， ∴， 则在以为圆心，半径为的圆上， 如图，当在的上方时，的垂直平分线与交于点，过点作于，与相交于， 由（1）可知，，，则， ∵， ∴， 则，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 则，， ∵将绕点D旋转得到， ∴， 则， ∴， 此时，； 如图，当在的下方时，的垂直平分线与交于点，过点作于，与相交于， 根据之前的计算可知，，， ∵将绕点D旋转得到， ∴， 则， ∴， 此时，； 综上，的面积可能为或． 【题型2】解直角三角形的应用——长度、高度、宽度问题 【典例】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　) A．米2 B．米2 C．(4＋)米2 D．(4＋4tanθ)米2 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，BC＝AC·tan θ＝4tanθ(米)，∴AC＋BC＝4＋4tanθ(米)， ∴地毯的面积至少需要1×(4＋4tanθ)＝4＋4tanθ(米2)，故选D. 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50 m，则古树A、B之间的距离为__________m. 【答案】(50-) 【解析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N. 则AB＝MN，AM＝BN. 在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50 m， ∴CM＝AM＝50 m. ∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB＋∠ACD＝60°，BN＝50 m， ∴CN＝＝＝(m)，∴MN＝CM－CN＝50- (m)． 则AB＝MN＝(50-)m.故答案是(50-)． 【举一反三2】一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 __________ ． 【答案】 【解析】由题意，作 于， 于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在 中， ， ． 故答案为：． 【举一反三3】[实践课题]如图①，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离. [实践工具]　皮尺、测角仪等测量工具. [实践活动]　某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图(如图②). [问题解决]　(1)计算A，P两点之间的距离(参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)； [交流研讨]　(2)甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E三点在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P三点在同一条直线上时，只需测量EF即可. 乙小组的方案用到了　　　　　　(填“解直角三角形”或“三角形全等”). 【答案】解　(1)如图，过B作BH⊥AP于H， ∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4（米）， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8（米）， ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°， ∴tan∠APB＝tan 37°＝≈0.75， ∴PH≈＝78.4（米）， ∴AP＝AH＋PH＝11.4＋78.4＝89.8（米）， 即A，P两点间的距离为89.8米. (2)当F，D，P在同一条直线上时， ∠ADP＝∠EDF， ∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP， ∴△ADP△EDF(ASA)， ∴AP＝EF， ∴只需测量EF即可得到AP长度， ∴乙小组的方案用到了三角形全等. 【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典例】一飞机从距离地面3 000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是(　　) A．6 000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米 【答案】C 【解析】如图所示：由题意得∠CAB＝60°，BC＝3000米， 在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴AC＝＝＝2000米．故选C． 【举一反三1】如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是(　　) A．25.3 B．26.3 C．27.3 D．28.3 【答案】C 【解析】如图，过D 作CD⊥AD于D， 在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD.在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD. 设CD＝x(米)，∵AB＝20，∴AD＝x＋20.∴x＋20＝x， ∴x＝＝10(＋1)≈27.3.即铁塔CD的高为27.3米．故选C. 【举一反三2】如图所示，九年级某兴趣小组要测量校园内的教学楼AB的高度，在地面上C点用测角仪测得楼顶A点的仰角∠AFE＝60°，再沿着直线BC后退8 m到达点D，在D点又测得楼顶A的仰角∠AGE＝45°，已知测角仪的高度CF为1.6 m．教学楼AB的高度为__________m．(结果保留小数点后一位，≈1.73) 【答案】20.5 【解析】设AE为x米，在Rt△AGE中，∠AGE＝45°， 则GE＝AE＝x米． 在Rt△AFE中，∠AFE＝60°， 故EF＝x·tan 30°＝x.GF＝GE－FE＝x-x＝8， 解得x≈18.9.故旗杆高度为18.9＋1.6＝20.5米． 答：旗杆AB的高度为20.5米． 【举一反三3】如图，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为__________米．(结果用根号表示) 【答案】120 【解析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为30°，∴tan30°＝，∴船与观测者之间的水平距离BC＝＝120米． 【举一反三4】随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业.如图1是一款太阳能路灯实物图；如图2是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O，F，N在水平地面的同一直线上，在测点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角∠CED＝45°，在与点F相距3米的测点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角∠AMD＝30°，点B为灯臂与路灯立柱OC的连接点(点A，B与M在一条直线上)，AC⊥OC，测得OF＝6米. (参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1) (1)求电池板顶端点C离地面的高度； (2)求灯臂AB的长度. 【答案】解　(1)如图，延长ME交OC于点P， 则四边形POFE和四边形PONM均为矩形， ∴PE＝OF＝6米，∠CPE＝90°，OP＝MN＝1.5米， ∵∠CED＝45°， ∴∠ECP＝∠CEP＝45°， ∴CP＝EP＝6米， ∴OC＝CP＋OP＝7.5（米）. 即电池板顶端点C离地面的高度为7.5米. (2)∵四边形PONM为矩形， ∴PM＝ON＝6＋3＝9（米）， 在Rt△BPM中， ∵cos∠BMP＝， ∴BM＝＝6（米）， ∴BP＝BM＝3（米）， ∴CB＝7.5－1.5－3＝(6－3)米， ∵∠ACB＝∠MPB＝90°，∠ABC＝∠MBP， ∴△ACB∽△MPB， ∴， 即， ∴AB＝12－6≈1.6（米）， 即灯臂AB长为1.6米. 【举一反三5】如图，某数学实践小组想测量学校里的旗杆的高度，太阳光下，旗杆顶端的影子落在水平地面上的点处，同一时刻，在点处用高的测角仪测得点的仰角为，测角仪的顶端的影子落在地面上的点处，测得． (1) 求的正切值． (2) 求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】解：(1) 根据题意得：，，∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 延长交于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴（）， 答：旗杆的高度为米． 【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题 【典例】在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1 000 m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C，此时小霞在营地A的 （      ）  A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上 C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上 【答案】C 【解析】如图，从A点沿北偏东70°的方向走到B，则∠BAD＝70°， 从B点沿北偏西20°的方向走到C，则∠EBC＝20°， 又∵∠BAF＝90°－∠DAB＝90°－70°＝20°， ∴∠1＝90°－20°＝70°， ∴∠ABC＝180°－∠1－∠CBE＝180°－70°－20°＝90°， ∵AC＝1 000 m，BC＝500 m， ∴sin∠CAB＝， ∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝∠BAD－∠CAB＝40°， 故小霞在营地A的北偏东40°方向上. 【举一反三1】在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5 km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为__________． 【答案】 km 【解析】如图．由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°. ∵EF∥PQ，∴∠1＝∠EAB＝60°又∵∠2＝30°， ∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－30°＝90°. ∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°. ∴∠ACB＝∠4＋∠3＝30°＋30°＝60°. ∴AC＝＝5÷＝ km. 【举一反三2】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】解　(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°， ∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°. (2)作PH⊥AB于H.∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50， 在Rt△PBH中，PH＝PB·sin 60°＝50×＝25， ∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【举一反三3】如图，在一笔直的海岸线上有相距的、两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在东北方向上，则船到海岸线的距离是多少？ 【答案】解：过点作于点，如图所示： 则， 设， 根据题意得：，， 是等腰直角三角形， ， 在Rt△ACD中，， ， ， ， ， 解得：， 即， 答：船到海岸线的距离是． 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典例】某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为(　　) A．3米 B．3米 C．3米 D．2米 【答案】A 【解析】由题意如图，AB＝6，∠BAC＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3， ∴某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为3米．故选A. 【举一反三1】如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是(　　) A．200 cm B．210 cm C．240 cm D．300 cm 【答案】C 【解析】过B作BD⊥AC，由题可知，BD＝60 cm，AD＝60 cm. ∵tan∠BCA＝＝，∴CD＝300 cm，∴AC＝DC－AD＝300－60＝240(cm)． 故选C. 【举一反三2】小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(　　) A．(6＋)米 B．12米 C．(4＋2)米 D．10米 【答案】A 【解析】延长AC交BF延长线于D点，则∠CEF＝30°，作CF⊥BD于F， 在Rt△CEF中，∠CEF＝30°，CE＝4 m，∴CF＝2(米)，EF＝4cos 30°＝2(米)， 在Rt△CFD中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， 即CF＝2(米)，CF∶DF＝1∶2，∴DF＝4(米)， ∴BD＝BE＋EF＋FD＝8＋2＋4＝12＋2(米)， 在Rt△ABD中，AB＝BD＝(12＋2)＝(＋6)米．故选A. 【举一反三3】某水库水坝的坝高为10米， 迎水坡的坡度为1∶2.4，则该水库迎水坡的长度为__________米． 【答案】26 【解析】∵大坝高10米，背水坝的坡度为1∶2.4，∴水平距离＝10×2.4＝24(米)． 根据勾股定理，可得背水面的坡长为＝26(米)． 【举一反三4】水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求： (1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)； (2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1 m). 【答案】解　(1)斜坡CD的坡度 i＝tan α＝1∶2.5＝0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°. (2)如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD， 垂足分别为E，F，由题意可知BE＝CF＝23 m， EF＝BC＝6 m.在Rt△ABE中， ∵i＝， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(m).在Rt△DCF中，同理可得i＝，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)， ∴AD＝AE＋EF＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 AB＝≈72.7(m). 故坝底AD的长度约为132.5 m，斜坡AB的长度约为72.7 m. 【举一反三5】【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1) 任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2) 任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3) 任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4) 任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) 解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． (2) 解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； (3) 解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． (4) 解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 学科网（北京）股份有限公司 $