专题05 函数的基本性质（期中真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期

专题05 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．D 2．A 3．C 4．AD 5．A 6．A 7．D 8．D 9．ACD 10．C 11．D 12．BCD 13．D 14．A 15．ACD 16．ACD 17．ABD 18．A 19．C 20．BCD 21．B 22．C 23．BCD 24．A 25．ABD 26．C 27．D 28．D 29．D 30．ACD 31．B 32．ACD 33．B 34．C 35．ABD 36．ACD 37．BC 38．C 39．ACD 40．【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，分别分析每一段函数的单调性，再结合函数在分段点处的取值情况列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 所以 解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 41．【答案】 【分析】 利用分段函数是减函数列出限制条件，求解即可. 【详解】 由题意 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 42．【答案】 【分析】 根据分段函数的结构，分段求解不等式再求并集即得. 【详解】 由 可得， 当时，由可得，解得，则得； 当时，由可得，解得，则得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 43．【答案】（1）     （2）单调递增.      【分析】 （1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可. (1) 小问详解： 由题意可知，∴， ，∴，∴， ∴. (2) 小问详解： 取任意，且， ， ∵，∴，∵，∴，即， ∴， 即函数在区间上单调递增. 44．【答案】（1）     （2） 在上单调递减. 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； （3）根据的单调性以及，可求解出在上的值域. (1) 小问详解： 因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. 45．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）需要先对函数进行变形，再根据已知性质求值域； （2）要根据条件得出两个函数值域的包含关系，进而求出的取值范围； （3）通过换元法将不等式转化为关于新变量的不等式，再利用函数性质求解的取值范围. (1) 小问详解： ，， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 所以，所以函数的值域是. (2) 小问详解： 由题意知在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，，所以，所以的值域为. 在上单调递增，所以，， 所以的值域为， 若对任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集，所以 ， 解得，即的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 由题知在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 所以 ，解得， 即的取值范围是. 46．【答案】（1），；     （2） 函数在上单调递增. 任取，且，则 ，由，得且， 则，即，所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解. （2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明. （3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，得，则， 即是定义在上的奇函数，于是， 此时，，满足题意， 所以，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增， 不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 47．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）当时，，代入条件，可得，根据偶函数定义，可得解析式，综合即可得答案. （2）时，，根据一次函数性质，可得其值域，根据偶函数的对称性，分析可得在上的值域. （3）当时，，单调递减，当时，，单调递增，根据偶函数图象关于y轴对称，作出图象即可. (1) 小问详解： 因为在上是偶函数， 所以当时，，所以， 即时的解析式为， 综上， . (2) 小问详解： 当时，，单调递增， 所以，即， 因为为偶函数， 所以在上的值域为. (3) 小问详解： 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 根据为偶函数，图象关于y轴对称， 作出在上的图象如下， 48．【答案】（1）时， ；     （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增；     （3）.      【分析】 （1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. (1) 小问详解： 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 49．【答案】（1）；     （2）是，；     （3）.      【分析】 （1）配方变形，利用给定定义求出值. （2）由给定函数求出，再利用给定定义求解判断. （3）利用换元法解指数方程. (1) 小问详解： 函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以. (2) 小问详解： 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为. (3) 小问详解： 令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为. 50．【答案】（1）在上是单调递减的函数，证明: 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数．     （2）      【分析】 （1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 令 ，得 ，所以 ． 令 ，得 ， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 51．【答案】 【分析】 依题干中“稳定区间”的含义可知函数与函数在区间上同增或者同减，分类讨论转化为不等式组在上恒成立，计算得到结果； 【详解】 根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减， ① 若两函数在区间上单调递增，则 在区间上恒成立， 函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0， 即，可得 解得； ② 若两函数在区间上单调递减，则 在区间上恒成立， 即 此时不等式组无解 综上所述，． 故答案为：. 52．【答案】（1） 令，得．     （2） ① 因为，且， 所以 ． ② 当时，取最小值，当时，取最小值．      【分析】 （1）令，即可证明. （2）① 根据已知条件得到，再根据即可证明.② 根据题意得到，再分类讨论求解最值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断， 又，结合题目条件可知，． 又，所以． 从而． 的对称轴为． 当时，在上单调递减， 所以，当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，； 综上，当时，取最小值，当时，取最小值． 53．【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为，值域为.     （2）      【分析】 （1）结合题目所给性质，求函数的单调性和值域； （2）求出函数的值域，根据值域的包含关系求解. (1) 小问详解： , 令， 所以在单调递减，单调递增， 令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为， 且， 所以的值域为. (2) 小问详解： 因为在单调递减， 所以， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以 ，解得. 54．【答案】（1），；     （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数．     （3）；      【分析】 （1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以 ，解得， 所以的取值范围是. 55．【答案】1 【分析】 由条件结合奇函数的性质可得，取可得，由此可求结论. 【详解】 因为函数为定义在上的奇函数， 所以， 所以， 取可得，又， 所以， 故答案为：. 56．【答案】（1）0     （2） 由（1）知 ，故 ， 在区间  上，任取  且 ， 考虑函数值差： ， ， ， 分母： （恒正）；分子中： ，故 ， 且在区间  上，当  时，有 ， 故，即. 由单调性定义，函数在  上递增.     （3）1      【分析】 （1）将  代入函数即得答案； （2）用函数单调性定义证明即可； （3）利用基本不等式可求最值. (1) 小问详解： 将  代入函数：， 得：，解得：. 故 . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知 ，定义域为 . 因为，所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2， 此时. 57．【答案】 【分析】 根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】 依题意，在区间上单调递减， 所以 ，即 ，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 58．【答案】 【分析】 根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】 由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时， ，解得． 当时，在上恒成立． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 59．【答案】（1）     （2）单调递减区间为，单调递增区间为     （3）答案解析      【分析】 （1）直接代入求值即可； （2）对函数进行分段， ，结合二次函数单调性写单调区间即可； （3）由题知，再根据动轴定区间分类讨论求最小值即可求解． (1) 小问详解： (2) 小问详解： ， 即 ， 因为， 所以的单调递减区间为， 单调递增区间为. (3) 小问详解： 当时，， 当时，，则在上单调递减， 则在上的最小值为. 当时，，则在上单调递增， 则在上的最小值为. 综上，当时，在上的最小值为，当时，在上的最小值为． 60．【答案】 【分析】 在时，利用单调性及求出不等式的解，再结合奇函数性质和单调性求时，不等式的解，由此可得结论. 【详解】 当时，因为为增函数，且， 所以由，得. 因为为奇函数，当时，函数为增函数且， 所以由，得. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 61．【答案】（1） 证明：因为为奇函数， 所以， 设，则， 则，即.     （2） 证明：因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于直线对称.     （3）      【分析】 （1）由条件结合奇函数定义可得，令，换元可得结论； （2）由条件结合偶函数定义可得，结合对称性的定义可得结论； （3）由，可得，结合（1）求，再求，由此可得结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，① 所以，② ① +②得， 由（1）（2）知， 所以，所以， 所以， 所以. 62．【答案】（1）；在上单调递增     （2）；     （3）存在；      【分析】 （1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. (2) 小问详解： 由（1）得， 可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. (3) 小问详解： 由在区间上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 63．【答案】（1）     （2） 法一：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 令，有，得， 用代替，用代替，有， 即， 即， 整理得，所以，则为奇函数. 法二：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 再由知，， 令，则， 于是， 两式相加得，，即，因此， 即，故为奇函数；     （3）      【分析】 （1）令，即可求解； （2）先利用反证法求证不存在使得，法一，赋值法，令，用代替，用代替，法二，构造，则，求证为奇函数即可； （3）先利用单调性的定义求证在为减函数，再根据，以及的正负性得出. (1) 小问详解： 令，则， 因，得， 令，则， 因，则，即， 因，则； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ，且，则， 则， 因当时，恒成立，所以，即， 因此函数在为减函数， 因为当时，，由（2）知为奇函数，所以当时，， 因，则，即， 因为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 64．【答案】（答案不唯一，） 【分析】 由恒成立，转化为，又，先求的最小值，由，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意有：，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 又由恒成立，所以， 所以，即，解得， 故答案为：（答案不唯一，） 65．【答案】（1）     （2） 在上单调递增. 证明如下： 任取，且，则， 因为，且，所以， 则，即， 所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）由时，，求得，再由，即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数的单调性、奇偶性得到 ，求解即可. (1) 小问详解： 当时，，则. 因为函数为奇函数，所以， 即当时，的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由， 得， 于是 ，解得， 即实数的取值范围为. 66．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）通过换元法即可求解； （2）由（1）求得，再结合一元二次不等式即可； （3）通过， ，，，计算的最大值和最小值，即可求解. (1) 小问详解： 令，则，代入等式得， 故. (2) 小问详解： 由（1）得，当且仅当时，等号成立. 若对任意恒成立，则， 可知当时，取得最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 由题意得，. 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则对任意的，都有等价于. 因为的图象开口向上，对称轴为， ① 当，即时，可知在上单调递增， 则， 可得，解得， 又因为，所以无解； ② 当，即时，可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得，即，解得， 又因为，所以； ③ 当，即时，可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得，即，解得， 又因为，所以； ④ 当，即时，可知在上单调递减， 则， 可得，解得， 又因为，所以无解. 综上所述，实数的取值范围为. 67．【答案】（1） 设，即， 因为当时，，所以， 由题意可知，即， 所以函数在上是增函数；     （2）      【分析】 （1）根据题目所给函数满足的条件，以及函数单调递增的概念，通过定义法证明函数单调性； （2）通过函数的奇偶性和单调性，对不等式进行变形，列出参数的不等式，根据任意恒成立的条件，以及基本不等式的性质，求出参数范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可知，当时，得， 再令，代入得，即，所以函数在上是奇函数， 则， 同理，， 则原不等式为， 因为函数在上是增函数，即， 则对任意实数且，不等式恒成立， 等价于对任意实数且，不等式恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 即得，从而恒成立，解得， 即实数的取值范围为. 68．【答案】存在， 【分析】 利用新定义及一次函数与二次函数的图象与性质结合恒成立问题分类讨论计算即可. 【详解】 假设存在常数，满足题意， 则在R上恒成立， 由为函数的一个零点可知，即， 整理得不等式组 在R上恒成立， 对于，其要在R上恒成立，显然， 对于，其要在R上恒成立，需， 所以， ①若，要满足，需， 而此时， 显然不恒成立，不符合题意； ②若，则， ， 两式相加有，则， 且 ，所以，即， 符合题意； ③若，此时 在R上恒成立， 要满足，需，但此时显然不恒成立，矛盾； 综上所述存在，即，符合题意. 69．【答案】（1） 任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递减， 同理，任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递增；     （2）①2；②      【分析】 （1）利用定义法证明函数单调性步骤即可证明； （2）① 分离常数求出，结合（1）知，在上单调递减，在上单调递增，求出最小值为； ②时，，转化为在上，满足，在（1）基础上，分三种情况，得到函数的最大值和最小值，从而得到不等式，求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①， 当时，，故，， 当时，，由（1）知，在上单调递减， 在上单调递增， 故在，即处取得最小值，最小值为； ②时，，， 对任意实数恒成立， 等价于对任意的， 只需在上，满足， 即， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增， 故，， 故，解得或（舍去）， 由于，故此时解集为， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故，的最大值为或， 若，即，则最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，即，最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，则在上单调递减， 故，， ，解得， 由于，故此时解集为， 综上，实数的取值范围时. 【点睛】 方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 70．【答案】（1），奇函数     （2）在上单调递增，在上单调递减     （3）      【分析】 （1）根据已知条件列方程组求得，利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性. （2）利用函数单调性的定义求得在上的单调区间. （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 由题可知 ，解得 则． 的定义域为，因为，， 且，所以是奇函数． (2) 小问详解： 任取， ． 若，则，从而，即； 若，则，从而，即． 故在上单调递增，在上单调递减． (3) 小问详解： 因为是奇函数，所以由，可得． 根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，． 令，即，解得或， 则由，得，解得， 故不等式的解集为． 71．【答案】（1），     （2）奇函数     （3），证明见解析      【分析】 （1）赋值得，，联立两式即可求解； （2）根据已知结合奇函数定义证明即可； （3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可. (1) 小问详解： 将代入，得. 将代入，得. 联立上述两式，解得，. (2) 小问详解： 由，得， 因为，所以， 因为的定义域为，所以为奇函数. (3) 小问详解： 思路1：由，且的图象关于直线对称， 则. 又，所以，从而. 由（2）得，故，从而. 由，得， 由，得， 所以， 因此的图象关于点成中心对称图形. 思路2：由，得， 因为，所以. 由的图象关于直线对称，得， 由（2）得，故. 由，得， 因为，所以 由，，得， 从而，可得，即. 由，得的图象关于点成中心对称图形. 由，得，所以. 72．【答案】 【分析】 先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可. 【详解】 . 因为，则，，所以， 要是的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集非空集， 故. 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 73．【答案】（1） ，定义域为；     （2） 情况一：当时， 等式右边； 情况二：当时，， 等式右边. 综上，等式成立.     （3）.      【分析】 （1）按的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明； （3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案. (1) 小问详解： 设 ，. 令得：， ， ，解得  或 ， 由于  是开口向上的二次函数（二次项系数为正）， 当  或  时，，故 ； 当  时，，故 . 因此， ，定义域为 . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于  在  上单调递增，值域为 . 因此，只需满足对任意 ，有 . ， ， ， 令，， ， 由（2）知：， 要使对任意 恒成立， 又对任意 恒成立， 所以只需对任意 恒成立， 易知：当时，不成立； 当时，， 故. 74．【答案】（1）是，理由如下： 因为， 所以， 所以是函数．     （2）126     （3）      【分析】 （1）根据函数定义判断即可； （2）根据为函数求得，然后求解和即可； （3）根据为函数得，利用赋值法求得，利用题干求得，然后按照和分类讨论，求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为函数， 所以，， 则， 整理得 ． 由的任意性可知 ，解得 ， 则，且， 则， 则， 得． (3) 小问详解： 因为为函数，所以，， 取，则，得． 取，则，得， 则，由，，可得， 则． 若，则由，得． 若，则，， 取，则，得， 取，则，得， 则，由，，可得， 因为，所以． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合函数图象，利用奇偶性的定义和单调性的定义可判断. 【详解】 是偶函数，在内为增函数，不合题意； 是奇函数，但在定义域内不是减函数，不合题意； 是偶函数，在为增函数，不合题意； 作函数的图象，观察图象可得是奇函数，且在定义域内为减函数，符合题意.    故选：D 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知定义在上的奇函数满足，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 根据奇函数的性质，通过赋值进行求解即可. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以． 因为，所以． 故选：A 3．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】 的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 4．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）（多选）下列命题中说法正确的是（     ） A. 空集是任何集合的子集 B. 函数在定义域上单调递减 C. 若在定义域上为奇函数，则一定有 D. 若具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称 【答案】AD 【分析】 AD可以直接进行判断；B选项，在整个定义域上不单调递减，故错误；C选项可以举出反例. 【详解】 空集是任何集合的子集，A选项正确；函数的定义域为，在,上单调递减，但在整个定义域上不满足单调递减，故B错误；只有的定义域包含0，才有，比如也是奇函数，但却不能使得，故C错误；若具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称，D选项正确. 故选：AD 5．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知偶函数在单调递减，，若则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件，利用函数的单调性及偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】 因为偶函数在单调递减，且， 由，得到，即，解得， 故选：A. 6．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义在上的偶函数，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称即可求解. 【详解】 由题意可知，，得， 并且，即，解得， 因此. 故选：A 7．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）函数的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出二次函数的定义域，再根据复合函数的单调性原则求单调性即可. 【详解】 由题意知，解得或， 令，对称轴为， 则在上单调递减，在单调递增， 又是增函数，所以的单调递增区间是. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，可得函数在上单调递增，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】 不妨设，因为， 所以，即， 所以在上单调递增， 由，得，即， 所以，所以，解得， 即不等式的解集为． 故选：D． 9．（2026·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知函数，则（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 要解决这道关于函数的题目，我们需要分别分析每个选项涉及的定义域、值域、奇偶性和单调性等知识点. 【详解】 由于，分母恒不为零，因此可取任意实数， 所以的定义域为，A正确． 因为，所以是奇函数，C正确． 当时，，此时，故， 所以．因为是奇函数，所以， 即的值域为错误． 因为当时，，单调递减， 故单调递增，因为是奇函数，所以为增函数， 当时，，D正确． 故选：ACD 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案． 【详解】 函数是偶函数，且在上单调递增，不符合题意； 函数是偶函数，且在上单调递减，符合题意； 函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意． 故选：C． 11．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（　　 ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先利用奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解. 【详解】 是奇函数，故，又， 即， 又是增函数，则有，解得， 故选：. 12．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）（多选）已知函数不是常函数且定义域为，，则说法正确的是（       ） A.  B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误. 【详解】 对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则， 又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，， 所以由得， 则， 又，所以， 又在上单调递减，则不等式等价于 ， 解得，故D正确. 故选：BCD 13．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数在上单调递增，且，记，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据可得出的对称轴为，又由函数在上单调递增，可得在上单调递减，然后通过比较大小从而可得的大小. 【详解】 由题意知，函数满足， 所以，函数关于对称； 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又因为，, 所以，即. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数的定义域为，则说法错误的是（       ） A.  B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】A 【分析】 利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误. 【详解】 对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则，又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，，所以由得， 则，又，所以， 又在上单调递减，则不等式等价于 ，解得，故D正确. 故选：A 15．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（       ） A.  B. ， C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由两个等式可得函数周期，根据周期结合求出a，然后利用赋值法可得b，再利用周期即可求出. 【详解】 因为， 所以，即， 又 所以，所以，C正确； 因为， 所以，B不正确； 在中，令，得，，A正确； 因为，所以，又，所以，解得， ，D正确. 故选：ACD 16．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（多选）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（       ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【分析】 当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】 对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 17．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（多选）下列说法不正确的有（       ） A. “的内角都大于60°”的否定是“的内角都小于60°” B. 若，则有最小值2. C. 若不等式的解集为，则. D. 函数在定义域上是增函数. 【答案】ABD 【分析】 根据命题否定的定义和改写，可判定A错误；根据基本不等式，可判定B错误；根据三个二次式的关系，结合韦达定理，可判定C正确；根据函数单调性的定义，可判定D错误. 【详解】 对于A，“的内角都大于60°”的否定是“的内角不都大于60°”，所以A错误； 对于B，若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以等号不成立，所以，所以B错误； 对于C，若不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根， 则满足 ，解得，所以，所以C正确； 对于D，由函数，可得函数的定义域为， 则函数在上单调递增，在不是单调函数，所以D错误. 故选：ABD 18．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（       ） A.  B. （1，4） C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】 当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 19．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知是定义在上的单调函数，，，，则（       ） A.  B.  C.  D. 与大小不确定 【答案】C 【分析】 不妨，则，分单调递增和单调递减，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】 根据题意，不妨，则， 当函数单调递增时，可得， 所以，所以； 当函数单调递减时，， 所以，所以； 综上可得，. 故选：C. 20．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 当时， C. 当且仅当 D. 时，为增函数 【答案】BCD 【分析】 由奇函数得到判断A；由函数的奇偶性结合时的解析式求解判断B；分类讨论解不等式判断C；利用基本函数的单调性和单调性的性质判断D. 【详解】 对于A，因为是定义在上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，正确； 对于B，当时，，则， 所以，错误； C选项，当时，，解得或，又，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，，解得，又，所以； 综上，时，，错误； D选项，当时，， 因为和都在上单调递减，所以函数在上单调递减，D错误． 故选：BCD 21．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知函数 ，在上单调递增，则取值的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件，利用分段函数的性质得 ，即可求解. 【详解】 由题知，当时，在上单调递增， 当时，，要使在上单调递增， 则 ，解得， 故选：B. 22．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求解的值域，即可根据空集的定义求解. 【详解】 由可得， 记，则， 由于，因此， 要使，则无实数根，故， 故选：C 23．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. “”的否定为“” B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 C. 函数在区间上的值域为 D. 用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 【答案】BCD 【详解】 由全称命题的否定结构可判断A，由奇函数的定义可判断B，分离常数，通过函数单调性可判断C，由二分法操作原理可判断D. A选项，“”的否定为“”，A选项错误. B选项，函数的定义域为，当时，如是偶函数. 当为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确. C选项，函数，可知：在区间上单调递减， 所以值域为，C选项正确. D选项，令， 方程在区间上有实数解，， 所以下一个有根区间是选项正确. 故选：BCD. 24．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 判断函数的定义域，判断奇偶性，利用特殊值求出选项. 【详解】 的定义域为，关于原点对称， 且， 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项BD； 又，又，故排除选项C. 故选：A. 25．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）（多选）对任意两个实数，定义 ，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数有3个单调区间 D. 函数有最大值为2，无最小值 【答案】ABD 【分析】 由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】 当，即或时，， 当，即时，， 则 ，画出图象如下： 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，由图可得有三个解，故B正确； 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 26．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数，那么不等式的解集为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】 因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 27．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数： 下列说法不正确的是（     ） A. 时， B. 时，函数取得最大值 C. 函数的值域是 D. 函数在上是增函数 【答案】D 【分析】 求出函数值判断A；求出最大值判断；求出值域判断C；取特值计算判断D. 【详解】 对于A，当时，，A正确； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，而当时，， 又，因此当时，函数取得最大值，B正确； 对于C，函数在上递增，， 在上递增，，因此函数的值域是，C正确； 对于D，，因此函数在上不单调，D错误. 故选：D 28．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数，若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意令，结合，得到 ，再解不等式组即可． 【详解】 ， 设，则为关于的一次函数， 因为， 所以 即 解得． 故选：D． 29．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项，时化简解析式即可得到答案. 【详解】 因为，所以为偶函数，排除， 当时，，排除C， 故选：D. 30．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 当时， C. ，都有 D. 若在上有最大值，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 根据奇函数的性质求出，即可判断A，设，根据奇函数的性质求出函数解析式，即可判断B，利用作差法判断C，画出函数图象，数形结合，即可判断D. 【详解】 对于A：因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，即，故A正确； 对于B：由A可得当时，， 设，则，所以， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为当时，， 设，则 ， ，故C正确； 对于D：由B可知 ，作出函数的图象，如图所示. 当时，，由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意. 综上的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 31．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】 不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 32．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数的定义域为，，且，则（       ） A.  B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D.  【答案】ACD 【分析】 根据已知条件，通过赋值法求出函数的一些特殊值，再结合函数的对称性逐一分析选项. 【详解】 对A：令，由， 由，故A正确. 对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为. 但，即函数过点，不经过，故B错误； 对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对D：由； 由，用代替，可得， 所以. 所以，，…，，又， 所以，故D正确. 故选：ACD 33．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据得到函数在上单调递增，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性即可求解. 【详解】 不妨设，令 则， 则函数在上单调递增， 对于不等式 ，由定义域可知 ， 所以不等式可化为，即， 因为在上单调递增；所以或（舍去）， 所以不等式的解集为. 故选：B 34．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数 ，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可. 【详解】 因为对于任意的，且，都有成立， 不等式两边同时除以， 可得，移项有， 构造函数 ， 则，所以函数在上单调递增， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 35．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 为奇函数 C. 为上的增函数 D. 与图象所有交点的横坐标之和为2 【答案】ABD 【分析】 A选项，由定义计算；B选项，取特殊值可判断，C选项，利用解析式判断单调性；D选项，由函数图象交点的求法，结合函数新定义判断. 【详解】 对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则函数不是奇函数，故B错误； 对于C，令，则， 由，则，所以， 所以在R上是增函数，故C正确； 对于D，令，即， 又，所以，得， 当时，有，即2为两图象交点的横坐标， 当时，，则，得，即为两图象交点的横坐标， 当时，有，则1不是两图象交点的横坐标， 当时，，则，得，即为两图象交点的横坐标， 综上，两图象所有交点的横坐标之和为，故D错误. 故选：ABD 36．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（       ） A. 有最大值，无最小值 B. 存在负数使得 C. 当时， D. 若对任意，都有，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】 结合题设易得当时，，结合即可求解判断ABC；求出时，，再结合函数的图象求解判断D. 【详解】 当时，，此时， 又，所以有最大值0，无最小值， 且当时，，故A正确，B错误； 当时，，则，故C正确； 当时，，， 令，解得或， 如图，画出函数的部分图象， 对，都有，结合图象，得，即的最大值为，故D正确． 故选：ACD 37．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）（多选）已知函数 在上单调，则的值可以为（       ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】BC 【分析】 根据各段函数的单调性结合分段点处的高低可得关于参数的方程组，求解可得参数的范围. 【详解】 因为为减函数，所以在上单调递减，则 ，解得. 故选：BC. 38．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数，则使成立的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再由奇偶性和单调性将不等式化为，两边平方并整理求解即可. 【详解】 由的定义域为且， 所以是偶函数，则等价于， 由指对数函数的性质及复合函数的单调性知在上在单调递增， 所以，两边平方并整理得，解得. 故选：C 39．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（     ） A.  B.  C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 令求出判断A；令得到，再替换、判断B；再利用定义法证明函数的单调性判断C；根据已知不等式化为，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式判断D. 【详解】 因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代替，，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 40．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）若函数 在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，分别分析每一段函数的单调性，再结合函数在分段点处的取值情况列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 所以 解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 41．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知函数 ，在上单调递减，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数是减函数列出限制条件，求解即可. 【详解】 由题意 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 42．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）设函数 则不等式的解集是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据分段函数的结构，分段求解不等式再求并集即得. 【详解】 由 可得， 当时，由可得，解得，则得； 当时，由可得，解得，则得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 43．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）用定义判断在区间上的单调性． 【答案】（1）     （2）单调递增.      【分析】 （1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可. (1) 小问详解： 由题意可知，∴， ，∴，∴， ∴. (2) 小问详解： 取任意，且， ， ∵，∴，∵，∴，即， ∴， 即函数在区间上单调递增. 44．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数的图象经过点. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）求在上的值域. 【答案】（1）     （2） 在上单调递减. 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； （3）根据的单调性以及，可求解出在上的值域. (1) 小问详解： 因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. 45．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增. （1）求函数，的值域； （2）已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）需要先对函数进行变形，再根据已知性质求值域； （2）要根据条件得出两个函数值域的包含关系，进而求出的取值范围； （3）通过换元法将不等式转化为关于新变量的不等式，再利用函数性质求解的取值范围. (1) 小问详解： ，， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 所以，所以函数的值域是. (2) 小问详解： 由题意知在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，，所以，所以的值域为. 在上单调递增，所以，， 所以的值域为， 若对任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集，所以 ， 解得，即的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 由题知在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 所以 ，解得， 即的取值范围是. 46．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1），；     （2） 函数在上单调递增. 任取，且，则 ，由，得且， 则，即，所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解. （2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明. （3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，得，则， 即是定义在上的奇函数，于是， 此时，，满足题意， 所以，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增， 不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 47．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上是偶函数，且当时，.    （1）求在上的解析式； （2）求在上的值域； （3）作出在上的图象. 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）当时，，代入条件，可得，根据偶函数定义，可得解析式，综合即可得答案. （2）时，，根据一次函数性质，可得其值域，根据偶函数的对称性，分析可得在上的值域. （3）当时，，单调递减，当时，，单调递增，根据偶函数图象关于y轴对称，作出图象即可. (1) 小问详解： 因为在上是偶函数， 所以当时，，所以， 即时的解析式为， 综上， . (2) 小问详解： 当时，，单调递增， 所以，即， 因为为偶函数， 所以在上的值域为. (3) 小问详解： 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 根据为偶函数，图象关于y轴对称， 作出在上的图象如下， 48．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ；     （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增；     （3）.      【分析】 （1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. (1) 小问详解： 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 49．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若函数满足为偶函数，求的值； （2）若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形?如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，解关于的方程. 【答案】（1）；     （2）是，；     （3）.      【分析】 （1）配方变形，利用给定定义求出值. （2）由给定函数求出，再利用给定定义求解判断. （3）利用换元法解指数方程. (1) 小问详解： 函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以. (2) 小问详解： 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为. (3) 小问详解： 令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为. 50．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. （1）判断并证明在上的单调性； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）在上是单调递减的函数，证明: 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数．     （2）      【分析】 （1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 令 ，得 ，所以 ． 令 ，得 ， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 51．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）设函数和，若两函数在区间上单调且单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 依题干中“稳定区间”的含义可知函数与函数在区间上同增或者同减，分类讨论转化为不等式组在上恒成立，计算得到结果； 【详解】 根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减， ① 若两函数在区间上单调递增，则 在区间上恒成立， 函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0， 即，可得 解得； ② 若两函数在区间上单调递减，则 在区间上恒成立， 即 此时不等式组无解 综上所述，． 故答案为：. 52．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． （1）证明：； （2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【答案】（1） 令，得．     （2） ① 因为，且， 所以 ． ② 当时，取最小值，当时，取最小值．      【分析】 （1）令，即可证明. （2）① 根据已知条件得到，再根据即可证明.② 根据题意得到，再分类讨论求解最值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断， 又，结合题目条件可知，． 又，所以． 从而． 的对称轴为． 当时，在上单调递减， 所以，当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，； 综上，当时，取最小值，当时，取最小值． 53．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值． 【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为，值域为.     （2）      【分析】 （1）结合题目所给性质，求函数的单调性和值域； （2）求出函数的值域，根据值域的包含关系求解. (1) 小问详解： , 令， 所以在单调递减，单调递增， 令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为， 且， 所以的值域为. (2) 小问详解： 因为在单调递减， 所以， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以 ，解得. 54．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），；     （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数．     （3）；      【分析】 （1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以 ，解得， 所以的取值范围是. 55．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 由条件结合奇函数的性质可得，取可得，由此可求结论. 【详解】 因为函数为定义在上的奇函数， 所以， 所以， 取可得，又， 所以， 故答案为：. 56．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数 且 （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）0     （2） 由（1）知 ，故 ， 在区间  上，任取  且 ， 考虑函数值差： ， ， ， 分母： （恒正）；分子中： ，故 ， 且在区间  上，当  时，有 ， 故，即. 由单调性定义，函数在  上递增.     （3）1      【分析】 （1）将  代入函数即得答案； （2）用函数单调性定义证明即可； （3）利用基本不等式可求最值. (1) 小问详解： 将  代入函数：， 得：，解得：. 故 . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知 ，定义域为 . 因为，所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2， 此时. 57．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）函数在区间上单调递减，则的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】 依题意，在区间上单调递减， 所以 ，即 ，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 58．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】 由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时， ，解得． 当时，在上恒成立． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 59．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）求函数或在上的最小值. 【答案】（1）     （2）单调递减区间为，单调递增区间为     （3）答案解析      【分析】 （1）直接代入求值即可； （2）对函数进行分段， ，结合二次函数单调性写单调区间即可； （3）由题知，再根据动轴定区间分类讨论求最小值即可求解． (1) 小问详解： (2) 小问详解： ， 即 ， 因为， 所以的单调递减区间为， 单调递增区间为. (3) 小问详解： 当时，， 当时，，则在上单调递减， 则在上的最小值为. 当时，，则在上单调递增， 则在上的最小值为. 综上，当时，在上的最小值为，当时，在上的最小值为． 60．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 在时，利用单调性及求出不等式的解，再结合奇函数性质和单调性求时，不等式的解，由此可得结论. 【详解】 当时，因为为增函数，且， 所以由，得. 因为为奇函数，当时，函数为增函数且， 所以由，得. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 61．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数. （1）证明：. （2）证明：的图象关于直线对称. （3）若，求的值. 【答案】（1） 证明：因为为奇函数， 所以， 设，则， 则，即.     （2） 证明：因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于直线对称.     （3）      【分析】 （1）由条件结合奇函数定义可得，令，换元可得结论； （2）由条件结合偶函数定义可得，结合对称性的定义可得结论； （3）由，可得，结合（1）求，再求，由此可得结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，① 所以，② ① +②得， 由（1）（2）知， 所以，所以， 所以， 所以. 62．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；在上单调递增     （2）；     （3）存在；      【分析】 （1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. (2) 小问详解： 由（1）得， 可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. (3) 小问详解： 由在区间上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 63．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立． （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 法一：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 令，有，得， 用代替，用代替，有， 即， 即， 整理得，所以，则为奇函数. 法二：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 再由知，， 令，则， 于是， 两式相加得，，即，因此， 即，故为奇函数；     （3）      【分析】 （1）令，即可求解； （2）先利用反证法求证不存在使得，法一，赋值法，令，用代替，用代替，法二，构造，则，求证为奇函数即可； （3）先利用单调性的定义求证在为减函数，再根据，以及的正负性得出. (1) 小问详解： 令，则， 因，得， 令，则， 因，则，即， 因，则； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ，且，则， 则， 因当时，恒成立，所以，即， 因此函数在为减函数， 因为当时，，由（2）知为奇函数，所以当时，， 因，则，即， 因为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 64．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】 由恒成立，转化为，又，先求的最小值，由，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意有：，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 又由恒成立，所以， 所以，即，解得， 故答案为：（答案不唯一，） 65．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增. 证明如下： 任取，且，则， 因为，且，所以， 则，即， 所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）由时，，求得，再由，即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数的单调性、奇偶性得到 ，求解即可. (1) 小问详解： 当时，，则. 因为函数为奇函数，所以， 即当时，的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由， 得， 于是 ，解得， 即实数的取值范围为. 66．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数 （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，已知对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）通过换元法即可求解； （2）由（1）求得，再结合一元二次不等式即可； （3）通过， ，，，计算的最大值和最小值，即可求解. (1) 小问详解： 令，则，代入等式得， 故. (2) 小问详解： 由（1）得，当且仅当时，等号成立. 若对任意恒成立，则， 可知当时，取得最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 由题意得，. 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则对任意的，都有等价于. 因为的图象开口向上，对称轴为， ① 当，即时，可知在上单调递增， 则， 可得，解得， 又因为，所以无解； ② 当，即时，可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得，即，解得， 又因为，所以； ③ 当，即时，可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得，即，解得， 又因为，所以； ④ 当，即时，可知在上单调递减， 则， 可得，解得， 又因为，所以无解. 综上所述，实数的取值范围为. 67．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数对任意实数，都有，且当时，． （1）证明：函数在上是增函数； （2）已知命题：对任意实数且，不等式恒成立．若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） 设，即， 因为当时，，所以， 由题意可知，即， 所以函数在上是增函数；     （2）      【分析】 （1）根据题目所给函数满足的条件，以及函数单调递增的概念，通过定义法证明函数单调性； （2）通过函数的奇偶性和单调性，对不等式进行变形，列出参数的不等式，根据任意恒成立的条件，以及基本不等式的性质，求出参数范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可知，当时，得， 再令，代入得，即，所以函数在上是奇函数， 则， 同理，， 则原不等式为， 因为函数在上是增函数，即， 则对任意实数且，不等式恒成立， 等价于对任意实数且，不等式恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 即得，从而恒成立，解得， 即实数的取值范围为. 68．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数．已知函数为函数的一个零点．是否存在常数．使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？ 【答案】存在， 【分析】 利用新定义及一次函数与二次函数的图象与性质结合恒成立问题分类讨论计算即可. 【详解】 假设存在常数，满足题意， 则在R上恒成立， 由为函数的一个零点可知，即， 整理得不等式组 在R上恒成立， 对于，其要在R上恒成立，显然， 对于，其要在R上恒成立，需， 所以， ①若，要满足，需， 而此时， 显然不恒成立，不符合题意； ②若，则， ， 两式相加有，则， 且 ，所以，即， 符合题意； ③若，此时 在R上恒成立， 要满足，需，但此时显然不恒成立，矛盾； 综上所述存在，即，符合题意. 69．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递减， 同理，任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递增；     （2）①2；②      【分析】 （1）利用定义法证明函数单调性步骤即可证明； （2）① 分离常数求出，结合（1）知，在上单调递减，在上单调递增，求出最小值为； ②时，，转化为在上，满足，在（1）基础上，分三种情况，得到函数的最大值和最小值，从而得到不等式，求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①， 当时，，故，， 当时，，由（1）知，在上单调递减， 在上单调递增， 故在，即处取得最小值，最小值为； ②时，，， 对任意实数恒成立， 等价于对任意的， 只需在上，满足， 即， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增， 故，， 故，解得或（舍去）， 由于，故此时解集为， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故，的最大值为或， 若，即，则最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，即，最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，则在上单调递减， 故，， ，解得， 由于，故此时解集为， 综上，实数的取值范围时. 【点睛】 方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 70．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，． （1）求的解析式并判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），奇函数     （2）在上单调递增，在上单调递减     （3）      【分析】 （1）根据已知条件列方程组求得，利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性. （2）利用函数单调性的定义求得在上的单调区间. （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 由题可知 ，解得 则． 的定义域为，因为，， 且，所以是奇函数． (2) 小问详解： 任取， ． 若，则，从而，即； 若，则，从而，即． 故在上单调递增，在上单调递减． (3) 小问详解： 因为是奇函数，所以由，可得． 根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，． 令，即，解得或， 则由，得，解得， 故不等式的解集为． 71．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数和的定义域均为，且满足，. （1）求，； （2）判断的奇偶性； （3）若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形. 【答案】（1），     （2）奇函数     （3），证明见解析      【分析】 （1）赋值得，，联立两式即可求解； （2）根据已知结合奇函数定义证明即可； （3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可. (1) 小问详解： 将代入，得. 将代入，得. 联立上述两式，解得，. (2) 小问详解： 由，得， 因为，所以， 因为的定义域为，所以为奇函数. (3) 小问详解： 思路1：由，且的图象关于直线对称， 则. 又，所以，从而. 由（2）得，故，从而. 由，得， 由，得， 所以， 因此的图象关于点成中心对称图形. 思路2：由，得， 因为，所以. 由的图象关于直线对称，得， 由（2）得，故. 由，得， 因为，所以 由，，得， 从而，可得，即. 由，得的图象关于点成中心对称图形. 由，得，所以. 72．（2026·辽宁丹东·调研）已知，函数 若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可. 【详解】 . 因为，则，，所以， 要是的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集非空集， 故. 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 73．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）定义 ． （1）用解析式表示，并写出的定义域： （2）证明：； （3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） ，定义域为；     （2） 情况一：当时， 等式右边； 情况二：当时，， 等式右边. 综上，等式成立.     （3）.      【分析】 （1）按的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明； （3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案. (1) 小问详解： 设 ，. 令得：， ， ，解得  或 ， 由于  是开口向上的二次函数（二次项系数为正）， 当  或  时，，故 ； 当  时，，故 . 因此， ，定义域为 . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于  在  上单调递增，值域为 . 因此，只需满足对任意 ，有 . ， ， ， 令，， ， 由（2）知：， 要使对任意 恒成立， 又对任意 恒成立， 所以只需对任意 恒成立， 易知：当时，不成立； 当时，， 故. 74．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）设是定义在上的函数，已知，若，，，则称为函数． （1）判断是否为函数，并说明理由； （2）若为函数，求的值； （3）已知为函数，且，，求的值． 【答案】（1）是，理由如下： 因为， 所以， 所以是函数．     （2）126     （3）      【分析】 （1）根据函数定义判断即可； （2）根据为函数求得，然后求解和即可； （3）根据为函数得，利用赋值法求得，利用题干求得，然后按照和分类讨论，求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为函数， 所以，， 则， 整理得 ． 由的任意性可知 ，解得 ， 则，且， 则， 则， 得． (3) 小问详解： 因为为函数，所以，， 取，则，得． 取，则，得， 则，由，，可得， 则． 若，则由，得． 若，则，， 取，则，得， 取，则，得， 则，由，，可得， 因为，所以． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知定义在上的奇函数满足，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      4．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）（多选）下列命题中说法正确的是（     ） A. 空集是任何集合的子集 B. 函数在定义域上单调递减 C. 若在定义域上为奇函数，则一定有 D. 若具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称 5．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知偶函数在单调递减，，若则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义在上的偶函数，则（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）函数的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知函数，则（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 若，则 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（　　 ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）（多选）已知函数不是常函数且定义域为，，则说法正确的是（       ） A.  B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 13．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数在上单调递增，且，记，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数的定义域为，则说法错误的是（       ） A.  B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 15．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（       ） A.  B. ， C.  D.  16．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（多选）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（       ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 17．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（多选）下列说法不正确的有（       ） A. “的内角都大于60°”的否定是“的内角都小于60°” B. 若，则有最小值2. C. 若不等式的解集为，则. D. 函数在定义域上是增函数. 18．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（       ） A.  B. （1，4） C.  D.  19．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知是定义在上的单调函数，，，，则（       ） A.  B.  C.  D. 与大小不确定 20．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 当时， C. 当且仅当 D. 时，为增函数 21．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知函数 ，在上单调递增，则取值的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. “”的否定为“” B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 C. 函数在区间上的值域为 D. 用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 24．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）（多选）对任意两个实数，定义 ，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数有3个单调区间 D. 函数有最大值为2，无最小值 26．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数，那么不等式的解集为（    ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数： 下列说法不正确的是（     ） A. 时， B. 时，函数取得最大值 C. 函数的值域是 D. 函数在上是增函数 28．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数，若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 当时， C. ，都有 D. 若在上有最大值，则的取值范围是 31．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数的定义域为，，且，则（       ） A.  B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D.  33．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数 ，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 为奇函数 C. 为上的增函数 D. 与图象所有交点的横坐标之和为2 36．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（       ） A. 有最大值，无最小值 B. 存在负数使得 C. 当时， D. 若对任意，都有，则的最大值为 37．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）（多选）已知函数 在上单调，则的值可以为（       ） A.  B.  C. 3 D.  38．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数，则使成立的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（     ） A.  B.  C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 40．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）若函数 在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　. 41．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知函数 ，在上单调递减，则实数的取值范围是　　　　　. 42．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）设函数 则不等式的解集是　　　　　　　　　　　 43．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）用定义判断在区间上的单调性． 44．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数的图象经过点. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）求在上的值域. 45．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增. （1）求函数，的值域； （2）已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 46．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 47．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上是偶函数，且当时，.    （1）求在上的解析式； （2）求在上的值域； （3）作出在上的图象. 48．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 49．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若函数满足为偶函数，求的值； （2）若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形?如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，解关于的方程. 50．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. （1）判断并证明在上的单调性； （2）求不等式的解集. 51．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）设函数和，若两函数在区间上单调且单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为　　　　　　． 52．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． （1）证明：； （2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 53．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值． 54．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 55．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且，则　　　　　． 56．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数 且 （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）求函数在区间上的最大值. 57．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）函数在区间上单调递减，则的取值范围为　　　　　　　. 58．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　． 59．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）求函数或在上的最小值. 60．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　. 61．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数. （1）证明：. （2）证明：的图象关于直线对称. （3）若，求的值. 62．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 63．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立． （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）若，求实数的取值范围． 64．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是　　　　　　． 65．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求实数的取值范围. 66．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数 （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，已知对任意的，都有，求实数的取值范围. 67．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数对任意实数，都有，且当时，． （1）证明：函数在上是增函数； （2）已知命题：对任意实数且，不等式恒成立．若命题是真命题，求实数的取值范围． 68．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数．已知函数为函数的一个零点．是否存在常数．使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？ 69．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 70．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，． （1）求的解析式并判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）求不等式的解集． 71．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数和的定义域均为，且满足，. （1）求，； （2）判断的奇偶性； （3）若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形. 72．（2026·辽宁丹东·调研）已知，函数 若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是　　　　　. 73．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）定义 ． （1）用解析式表示，并写出的定义域： （2）证明：； （3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 74．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）设是定义在上的函数，已知，若，，，则称为函数． （1）判断是否为函数，并说明理由； （2）若为函数，求的值； （3）已知为函数，且，，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $