精品解析：辽宁大连市第八中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期高一年级期中考试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ，． C. ， D. ， 4. 已知，，则“”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的范围是 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是增函数 C. 是偶函数 D. 的值域是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若，则______. 13. 已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 14. 若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 16. 化简并计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 17. 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本） （1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式； （2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值. 18. 已知函数，. （1）是否存在实数，使得为偶函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由. （2）若是奇函数， （i）用定义证明在上的单调性； （ii）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程有3个不同的实数根，记为，，（），且恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高一年级期中考试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 3. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ，． C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数与，两函数的定义域不同， 所以不是同一函数，不符合题意； 对于B中，函数与，两函数的定义域不同， 所以不是同一函数，不符合题意； 对于C中，函数与，两函数的定义域不同， 所以不是同一函数，不符合题意； 对于D中，函数与，两函数的定义域都为，对应关系相同， 所以两个函数是同一函数，符合题意. 故选：D. 4. 已知，，则“”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，利用特殊值法判断AC，利用对数函数的单调性和定义域判断B，利用指数函数的单调性判断D即可. 【详解】选项A：取，，满足，但不成立，A错误； 选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若，则；若，可能无意义，所以是的充分不必要条件，B正确； 选项C：取，，满足，但不成立，C错误； 选项D：由指数函数的单调性可得若，则；若，则，所以是的充要条件，D错误； 故选：B 5. 已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，求得，再令，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，可得， 令，解得． 所以函数的定义域为． 故选：C. 7. 已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. 8. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，由互不相等的实数满足， 得到，，，，由得到， 由结合得到，解得的范围，求出的范围，从而得到所求. 【详解】我们先分析函数的图像： 不妨设， 因为互不相等的实数满足， 所以，，，， 由，得，即， ， 因为，所以，解得， 则，即， ， 符合选项 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图像所过象限可得，，进而得到，. 【详解】函数（且），图像经过2，3，4象限， 故得到，当时， 函数是减函数，，函数为增函数，故得到 故得到，故得到AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的范围是 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定、不等式恒成立问题、充要条件的判断，逐一分析各选项. 【详解】在A选项中，根据存在量词命题的否定可得： 原命题“，”的否定为“，”，A正确， 在B 选项中，当时，不等式变为，对任意恒成立， 当时，需满足，解得：， 综上所述，实数的范围是，B错误， 在C选项中，当时，无论取何值，， 所以，由推不出， 若，，所以， 所以，由能推出，C错误， 在D选项中，若，不等式两边同除以正数，得，充分性成立，必要性： 当时，化简可得：，即，解得或， 无法推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是增函数 C. 是偶函数 D. 的值域是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义可得选项A正确；分析函数单调性可得选项B正确；分析函数的值域可得的值域，同时也可判定不是偶函数，选项C错误，选项D正确. 【详解】由得，由定义域为得是奇函数，故A正确. ， 因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在上是增函数，B正确. 由于，故， ∴，∴， 当时，， 当时，， ∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若，则______. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 13. 已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 14. 若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求得，进而结合交集的定义求解即可； （2）由可得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由， 则或，而， 则. 【小问2详解】 由，得，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为. 16. 化简并计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）1 （3）19 【解析】 【分析】使用指对运算法则求解. 【小问1详解】 ，， ， ， 原式 【小问2详解】 【小问3详解】 令， 则 ， 又，，， 原式. 17. 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本） （1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式； （2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值. 【答案】（1） （2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据利润收入成本可得函数解析式； （2）分别在和两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果. 【小问1详解】 由题意得：； 【小问2详解】 当时，， 则当时，； 当时，（当且仅当，即时取等号），； ，当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元. 18. 已知函数，. （1）是否存在实数，使得为偶函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由. （2）若是奇函数， （i）用定义证明在上的单调性； （ii）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）若是奇函数，则，所以， 即，所以，任取，且， 则 ， 因为在上是单调递增函数，且， 所以，即，又因为， 所以，即，因此在上是单调递增函数. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式，通过化简求解的值. （2）（i）先由奇函数的性质求出的值，再根据函数单调性的定义，设，通过作差法判断与的大小关系. （ii）利用奇函数的性质将不等式变形，再根据单调性得到关于的不等式，通过换元法将其转化为二次函数问题，求出函数的最大值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 若为偶函数，则对任意，恒成立， 所以，，， 所以，， 化简可得，对任意恒成立， 当时，，即存在使得， 所以不恒为0，无法满足对任意等式成立， 所以，因此. 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为是奇函数，不等式， 可化为，即， 又因为在上单调递增，所以，即， 令，因为，所以，则， 令，对称轴为，所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以使不等式成立，只需，即， 所以的取值范围为. 19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程有3个不同的实数根，记为，，（），且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），则，代入结合奇函数的性质，即可得出时的解析式； （2）先说明不是方程的根.换元令，设，转化为研究有3个不同的实数根，，（），且，，．作出的图象，结合图象得出的范围，然后分以及，将转化为关于的式子，结合的范围即可求出，即可得出答案. 【小问1详解】 ，则，所以. 又函数是定义在R上的奇函数， 所以，，. 又， 所以，. 【小问2详解】 关于x的方程有3个不同的实数根，记为，，（）. 若是方程的一个根，则有. 当时，由，可得是方程的一个根； 当时，由，可得是方程的一个根. 所以方程的根为，0，1，不存在，不成立，所以不是方程的根. 令，设， 由已知可转化为关于t的方程有3个不同的实数根，，（），且，，． 在同一平面直角坐标系作出和的图象， 由图象可知：或. ①当时，，且是的两个不同负实根， 由韦达定理可知，，. 且满足，解得， 所以， ； ②当时，，且是的两个不同正实根， 由韦达定理可知，，. 且满足，解得. 所以， . 综上所述，. 因为恒成立， 所以，，即． 【点睛】关键点点睛：换元，设，即可作出的图象，根据数形结合，研究方程根的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $