专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）下列指数幂运算中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 2．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）219；（2）；（3） 【分析】 （1）转化成指数幂形式，根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用指数幂的运算法则计算即可； （3）利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 （1） 首先，计算 ： ， ， 其次，计算： ，所以， 所以， 故. （2）， ， 故. （3）， 因此：. 3．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）计算： （1）； （2）已知，a为正实数，求的值； 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数幂和根式运算求解； （2）利用立方差公式和指数幂运算求解． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 因为， ， 所以． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 作直线，利用直线与指数函数的交点确定函数的对应关系. 【详解】 如下图：    作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及， 可知对应，对应，对应. 故选：B 2．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（多选）若,下列不等式一定成立的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 可利用函数单调性及特殊值法进行大小的比较. 【详解】 对于A:因为在上单调递增，且, 故,即,故A正确； 对于B:因为在上单调递减，且, 故,即,故B正确； 对于C:若,则,故C错误； 对于D:若,则,故D错误. 故选：AB. 3．（2026·辽宁丹东·调研）下列函数中在定义域上是增函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用幂函数的图象性质可以判断AD；利用指数函数图象可以判断B；利用二次函数图象可以判断C. 【详解】 对于A，根据幂函数的图象性质可得，在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数图象可得，为减函数，故B错误； 对于C，由二次函数图象可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，由幂函数的图象性质可得为增函数，故D正确. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知函数（是常数）. （1）若，判断并证明函数的奇偶性以及求的值域； （2）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，， 因为定义域为，， 所以是上的奇函数. ，由可得， 所以， 故函数的值域为.     （2）.      【分析】 （1）利用奇函数的定义可判断奇偶性，分离常数项，利用指数函数的值域可得答案； （2）把条件转化为求解二次函数的最值问题，通过分情况讨论可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意，当时，， ，令，则，，其对称轴为， ① 当，即时，此时在单调递减， 所以即，解得或， 此时； ② 当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，无解； ③ 当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，无解； ④ 当，即时，此时在单调递增， 所以，即，解得或，此时； 综上所述，实数的取值范围为. 5．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数（且）的图象过点. （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最大值. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分，，三种情况求解可得的最大值. (1) 小问详解： 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以，所以， (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为 . 考点03 对数 1．（2026·辽宁丹东·调研）已知是奇函数，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 利用奇函数性质求出时的解析式，再利用对数的性质求解即可. 【详解】 若，可得， 因为是奇函数，所以， 可得， 则，故D正确. 故选：D 2．（2026·辽宁丹东·调研）　　　　　. 【答案】3 【分析】 利用对数运算法则及换底公式即可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 考点04 对数函数 1．（2026·辽宁丹东·调研）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】 因为在上单调递增， 所以，， 所以， 故选：B. 2．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若的反函数为，则（     ） A.  B.  C. 是单调递减函数 D. 的递增区间为 【答案】ABC 【分析】 对于选项：由得反函数，可计算的值；对于选项：由和，可估算出和的取值范围，从而判断出大小关系；对于选项：为复合函数，先计算出定义域，再根据同增异减的原则，可判断出的单调性；对于选项：为复合函数，先计算出定义域，再根据同增异减的原则，可判断出的递增区间； 【详解】 解：因是的反函数，故，定义域为：； 对于选项：，故选项A正确； 对于选项：，，所以，故选项B正确； 对于选项：对于复合函数，定义域为，单调递增，单调递减，根据同增异减的原则，所以单调递减，故选项C正确； 对于选项：的定义域为，因单调递增，在单调递减，在上单调递增，根据同增异减的原则，所以的递增区间为，故选项D错误； 故选：. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）下列区间中，一定包含函数的零点的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据零点存在定理求解即可． 【详解】 因为的定义域为R，且连续， ， 所以函数的零点所在区间为 故选：C. 2．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 【答案】B 【分析】 结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助函数单调性及函数在特殊点处的函数值的正负，即可判断零点所在区间. 【详解】 当时，，故在区间上没有零点； 易得在上单调递减，又， 所以当时，，故在上没有零点，在上没有零点， 又，所以在上有零点. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）关于的方程的两个不等根都在之内，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】根据根的分布可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】 ∵方程有两个不相等的实数根且两个不等根都在之内， 又由二次方程根的判别式有， 且. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【详解】 因为，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B. 6．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）（多选）下列关于函数的叙述正确的是（       ） A. 的定义域为，值域为 B. 函数为偶函数 C. 当时，有最小值2，但没有最大值 D. 函数有1个零点 【答案】BC 【分析】 对A，求出值域可判断；对B，根据奇偶性的定义可判断；对C，求出值域可判断；对D，画出函数图象可判断. 【详解】 对A，的定义域为，因为，所以，故值域为，所以A错误; 对B，因为，所以是偶函数，B正确; 对C,当时，，所以C正确; 对D，如图，与有两个交点，所以有2个零点，所以D错误. 故选：BC. 7．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（       ） A. 至少有一实数解 B. 至多有一实数解 C. 没有实数解 D. 必有唯一的实数解 【答案】D 【分析】 利用零点存在性定理及函数的单调性判定即可. 【详解】 因为函数在区间上单调且连续， 则或， 由零点存在性定理知必有唯一的实数解使得， 即方程在区间上必有唯一的实数解. 故选：D 8．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）函数的大致图象如图所示，则不能由函数零点存在定理确定的的零点为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合图象和零点存在性定理使用条件判断即可. 【详解】 由图象可知，在附近，函数的值均小于0， 故不能由函数零点存在定理确定． 故选：C 9．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）设表示不大于的最大整数.已知某店开张的第天进店消费的人数与成正比，且开张首日进店消费的人数为8，则该店开张的第6天进店消费的人数为（       ） A. 16 B. 24 C. 18 D. 20 【答案】D 【分析】 建立起消费的人数与的函数关系式，代入即得答案. 【详解】 设该店开张的第天进店消费的人数， 依题意得，解得， 则. 故选：D 10．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数 则的零点之和为（       ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】A 【分析】 分和直接解方程即可. 【详解】 当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 11．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）设 若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据解析式作出函数的图像，上下平移直线，使其与图像有且仅有两个交点，得出的范围. 【详解】 由题意可知,当时,,则此时在上为单调递减,且值域为, 当时,由可知,函数是以为周期的周期函数, 且, 结合函数的图像,当满足时,与有且仅有两个交点， 即有且仅有两个解. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（       ） A. －1 B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 由题意转化为方程在区间上有且只有一个根，再利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】 当时，曲线与恰有一个交点， 即时，方程只有一个实数根， 方程化简为， 问题可转化为函数在时只有一个零点， 由在上为偶函数，则有，解得. 时，函数， 方程在时，只有一个解， 所以当时，曲线与恰有一个交点. 故选：C 13．（2026·辽宁丹东·调研）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据零点存在定理求解即可. 【详解】 解：因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在性判定，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 故选：A. 14．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某个队伍长，且以的速率匀速前进.排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速率不变.若要使得整个队伍前进前，传令兵传达命令返回排尾的位置，传令兵行进的速率至少是整个队伍行进速率的（       ） A. 2倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【分析】 设传令兵行进的速率为，队伍前进所用的时间为，传令兵从排尾到排头所用时间为，从排头返回排尾所用时间为，依题意，，化简得，即得，解方程可得. 【详解】 设传令兵行进的速率为，队伍前进所用的时间为，则， 传令兵从排尾到排头，相对速度为，所用时间为， 传令兵从排头返回排尾，相对速度为，所用时间为. 因为队伍前进时，传令兵完成往返回到排尾，所以总时间为， 即，两边同时除以，可得，通分得到， 即得，两边同除以，可得， 解得，因，则. 所以传令兵行进的速率至少是整个队伍行进速率的倍. 故选：B. 15．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）函数的定义域，当时， ，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 画出的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案. 【详解】 当时， ， 因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 由此画出的图象如下图所示，直线过点， 因为， 所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 由图象以及对称性知，要使， 则在上有3个交点，即需. 故选：D 16．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知关于的方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 讨论和时的情况，时，等价于或，分别解这两个方程，结合方程的根的个数，即可确定答案. 【详解】 当时，由于，则，此时无解； 当时，等价于或， 对于，可得， 令，即，解得， 此时有两个解； 对于，可得， 令，即，即 或 ， 解得，（由于， 舍去）， 当，，当，有两解， 综合上述可知：时，有两个解， 时，有一个解， 时，有两个解， 则时，有三个或四个解，不符题意； 由于关于的方程恰有两个不同的解，故， 所以实数的取值范围为， 故选：A 17．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 画出函数与的图象，进而确定正确答案． 【详解】 画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 18．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分，，结合二次函数零点分布，可求实数的取值范围. 【详解】 因为函数有两个零点，，所以. 又因为，，所以 或 ， 由 ； 由 . 综上可知：. 故答案为： 19．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系： ，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）5千克，最大利润是325元.      【分析】 （1）利用销售额减去成本来求得的解析式. （2）利用二次函数的性质、基本不等式来求得正确答案. (1) 小问详解： 根据题意知 ， 整理得 ； (2) 小问详解： 当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴，∴的最大值是， ∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元. 20．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知关于的方程，. （1）当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. （2）若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；②；③     （2）      【分析】 （1）利用韦达定理依次求解各个式子即可； （2）分别讨论两个负实数根相等和不相等的情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得. (1) 小问详解： 当时，的两根为，，， ①； ②； ③. (2) 小问详解： 若两个负实数根相等，则 ，解得：； 若两个负实数根不相等，则 ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 21．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 【答案】（1） 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元.     （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元      【分析】 （1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 22．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 问题转换成有两个不同的根，结合判别式即可求解. 【详解】 因为函数有两个零点， 即有两个不同的根， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 23．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，其中. （1）求关于的函数表达式； （2）求的最小值； （3）设函数在内有零点，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据几何关系判断出，然后在中通过勾股定理可得关于的函数表达式； （2）利用基本不等式求解出的最小值； （3）先判断出的单调性，再根据条件可得、，由此可求的取值范围. (1) 小问详解： （1）依题意得， 因为，所以，则，所以， 因为为矩形，所以，所以， 因为，所以，则， 在中，由，得， 整理得. (2) 小问详解： 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. (3) 小问详解： 由（1）知， 因为在上均为增函数，所以在上为增函数， 依题意得且，即 ，解得， 所以的取值范围是. 24．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数满足. （1）求的最大值； （2）若关于的不等式在内有解，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）代值计算得，利用重要不等式推理计算即得的最大值； （2）由化简可得，依题意，分和两种情况讨论求解即得. (1) 小问详解： 因为，所以，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. (2) 小问详解： 即，由（1）可得，则， 即. 当时，由，解得，符合题意； 当时，令，得. 因为在内有解， 所以 或 或 解得或. 综上，的取值范围是. 25．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）关于x的方程的解集中只含有一个元素，则　　　　　　． 【答案】0或或3 【分析】 由方程可知且，把问题转化为与的交点个数问题，用数形结合法求解． 【详解】 ， 当时，方程可化为， 时，变形为， 即， 令，且， 作出图象， 只有时，方程有一个根． 故答案为：0或或3． 26．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且. （1）求的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据题意，设，根据 ，可求出的值，即可得出的解析式； （2）将原不等式恒成立转化为任意，成立，即，再利用基本不等式求的最小值，从而得出的取值范围； （3）根据题意得出，，对称轴，分类讨论求出的最小值，从而得出，再根据方程有两个不等的根，令，即，作出的简图，再结合两函数的交点个数，从而可求出的取值范围. (1) 小问详解： 解：是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且， 可设， 则 ，解得： ， . (2) 小问详解： 解：由（1）得，由，得， 所以任意，成立，即， 由基本不等式，得（当且仅当时，等号成立）， 所以最小值为6，所以， 实数的取值范围. (3) 小问详解： 解：由题可知，，， ，，对称轴， ① 当，即时，在区间单调递增， ； ② 当，即时，在区间单调递减， ； ③ 当，即时，， 的最小值为， ； 由于方程有两个不等的根， 则函数零点即为方程的根 令，即，作出的简图如图所示： ① 当时，有唯一解，解得：，有1个零点； ② 当时，有两个不同解，， 解得：或，有2个零点； ③ 当时，，，解得：，有1个零点； ④ 当时，无解，无零点； 综上：当时，方程有两个不等的根， 即的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）定义 ，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 分析可知，函数至少有一个零点，可得出a的取值范围，然后对实数a取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】 令，则，故要满足题意，需使得至少有一个零点， 设，则，则或， 当时，的零点为1，此时有2个零点，不符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为，    要满足题意需，即 ，此时a不存在， 当时，的零点为，此时有3个零点-1,1,3，符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为，    要满足题意需，即 ，解得，则， 综合上述可得实数的取值范围为， 故答案为： 28．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． （1）求的最大值； （2）设函数． （i）若函数与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围； （ii）恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性列式求得，利用二次函数求解最值即可； （2）（i）将函数与的图象有4个不同的交点问题转化为关于的方程有两个不相等的正根，然后利用根的分布列不等式组求解即可；（ii）由题意恒成立，参变分离，设，则，进而利用基本不等式求解最值即可得解. (1) 小问详解： 因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 即， 消去，得到， 因此，当时，的最大值为. (2) 小问详解： （i）令， 得，整理得， 令，即关于的方程有两个不相等的正根， 于是 ，解得. （ii）由（1）知，由， 得到，即， 于是，整理得， 所以恒成立，于是， 设，则， 于是， 当且仅当，即时等号成立， 此时.所以. （另解： ， 当且仅当，即时等号成立．） 29．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则 ，即 ， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 30．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】（1）     （2）选择函数模型② ，.     （3）961.      【分析】 （1）由即可求解； （2）通过函数单调性确定选择函数模型②.再由即可求解； （3）由（2）确定 ，结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为第15天的日销售收入为1057元， 所以， 解得. (2) 小问详解： 由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①和③在上都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，得，解得. 所以 解得. 所以日销售量与时间的变化关系为. (3) 小问详解： 由（2）知 ， 所以 ， 即 ， 当时，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，单调递减， 所以. 综上所述，当时，取得最小值，最小值为961. 31．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数. （1）若，当时，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若方程有两实根，且两实根均大于1，求实数的取值范围. 【答案】（1）7.     （2） 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为.     （3）.      【分析】 （1）当时， ，由基本不等式即可求解； （2）通过讨论的大小关系即可求解； （3）联立不等式组 ，再结合韦达定理求解. (1) 小问详解： 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. (2) 小问详解： 由题意，即，即. 当时，解原不等式得或， 当时，解原不等式得或， 当时，解原不等式得. 综上，当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. (3) 小问详解： 设这两个根分别为，则， 则，即，即， 则 解得 所以实数的取值范围是. 32．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值． 【答案】（1）     （2）时，最小，最小值为万元.      【分析】 (1) 先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数. (2) 利用均值不等式求出的最小值及此时的值。 (1) 小问详解： 因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，即时，， 所以，由题意，则建造垃圾回收处理站的费用， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此 (2) 小问详解： 因为， 当且仅当，即时取等号，所以时， 最小，最小值为万元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）下列指数幂运算中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 3．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）计算： （1）； （2）已知，a为正实数，求的值； 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）（多选）若,下列不等式一定成立的有（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·辽宁丹东·调研）下列函数中在定义域上是增函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知函数（是常数）. （1）若，判断并证明函数的奇偶性以及求的值域； （2）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围. 5．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数（且）的图象过点. （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最大值. 考点03 对数 1．（2026·辽宁丹东·调研）已知是奇函数，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 2．（2026·辽宁丹东·调研）　　　　　. 考点04 对数函数 1．（2026·辽宁丹东·调研）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若的反函数为，则（     ） A.  B.  C. 是单调递减函数 D. 的递增区间为 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）下列区间中，一定包含函数的零点的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 3．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）关于的方程的两个不等根都在之内，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）（多选）下列关于函数的叙述正确的是（       ） A. 的定义域为，值域为 B. 函数为偶函数 C. 当时，有最小值2，但没有最大值 D. 函数有1个零点 7．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（       ） A. 至少有一实数解 B. 至多有一实数解 C. 没有实数解 D. 必有唯一的实数解 8．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）函数的大致图象如图所示，则不能由函数零点存在定理确定的的零点为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）设表示不大于的最大整数.已知某店开张的第天进店消费的人数与成正比，且开张首日进店消费的人数为8，则该店开张的第6天进店消费的人数为（       ） A. 16 B. 24 C. 18 D. 20 10．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知函数 则的零点之和为（       ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 11．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）设 若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（       ） A. －1 B.  C. 1 D. 2 13．（2026·辽宁丹东·调研）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某个队伍长，且以的速率匀速前进.排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速率不变.若要使得整个队伍前进前，传令兵传达命令返回排尾的位置，传令兵行进的速率至少是整个队伍行进速率的（       ） A. 2倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 15．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）函数的定义域，当时， ，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知关于的方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　　　　　　． 18．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系： ，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 20．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知关于的方程，. （1）当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. （2）若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 21．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 22．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　 23．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，其中. （1）求关于的函数表达式； （2）求的最小值； （3）设函数在内有零点，求的取值范围. 24．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数满足. （1）求的最大值； （2）若关于的不等式在内有解，求的取值范围. 25．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）关于x的方程的解集中只含有一个元素，则　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且. （1）求的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围. 27．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）定义 ，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为　　　　　． 28．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． （1）求的最大值； （2）设函数． （i）若函数与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围； （ii）恒成立，求实数的取值范围． 29．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 31．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知函数. （1）若，当时，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若方程有两实根，且两实根均大于1，求实数的取值范围. 32．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．BCD 2．【答案】（1）219；（2）；（3） 【分析】 （1）转化成指数幂形式，根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用指数幂的运算法则计算即可； （3）利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 （1） 首先，计算 ： ， ， 其次，计算： ，所以， 所以， 故. （2）， ， 故. （3）， 因此：. 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数幂和根式运算求解； （2）利用立方差公式和指数幂运算求解． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 因为， ， 所以． 考点02 指数函数 1．B 2．AB 3．D 4．【答案】（1） 当时，， 因为定义域为，， 所以是上的奇函数. ，由可得， 所以， 故函数的值域为.     （2）.      【分析】 （1）利用奇函数的定义可判断奇偶性，分离常数项，利用指数函数的值域可得答案； （2）把条件转化为求解二次函数的最值问题，通过分情况讨论可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意，当时，， ，令，则，，其对称轴为， ① 当，即时，此时在单调递减， 所以即，解得或， 此时； ② 当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，无解； ③ 当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，无解； ④ 当，即时，此时在单调递增， 所以，即，解得或，此时； 综上所述，实数的取值范围为. 5．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分，，三种情况求解可得的最大值. (1) 小问详解： 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以，所以， (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为 . 考点03 对数 1．D 2．【答案】3 【分析】 利用对数运算法则及换底公式即可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 考点04 对数函数 1．B 2．ABC 考点05 函数的应用（二） 1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．BC 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．C 13．A 14．B 15．D 16．A 17．【答案】 【分析】 画出函数与的图象，进而确定正确答案． 【详解】 画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 分，，结合二次函数零点分布，可求实数的取值范围. 【详解】 因为函数有两个零点，，所以. 又因为，，所以 或 ， 由 ； 由 . 综上可知：. 故答案为： 19．【答案】（1）     （2）5千克，最大利润是325元.      【分析】 （1）利用销售额减去成本来求得的解析式. （2）利用二次函数的性质、基本不等式来求得正确答案. (1) 小问详解： 根据题意知 ， 整理得 ； (2) 小问详解： 当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴，∴的最大值是， ∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元. 20．【答案】（1）①；②；③     （2）      【分析】 （1）利用韦达定理依次求解各个式子即可； （2）分别讨论两个负实数根相等和不相等的情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得. (1) 小问详解： 当时，的两根为，，， ①； ②； ③. (2) 小问详解： 若两个负实数根相等，则 ，解得：； 若两个负实数根不相等，则 ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 21．【答案】（1） 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元.     （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元      【分析】 （1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 22．【答案】 【分析】 问题转换成有两个不同的根，结合判别式即可求解. 【详解】 因为函数有两个零点， 即有两个不同的根， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据几何关系判断出，然后在中通过勾股定理可得关于的函数表达式； （2）利用基本不等式求解出的最小值； （3）先判断出的单调性，再根据条件可得、，由此可求的取值范围. (1) 小问详解： （1）依题意得， 因为，所以，则，所以， 因为为矩形，所以，所以， 因为，所以，则， 在中，由，得， 整理得. (2) 小问详解： 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. (3) 小问详解： 由（1）知， 因为在上均为增函数，所以在上为增函数， 依题意得且，即 ，解得， 所以的取值范围是. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）代值计算得，利用重要不等式推理计算即得的最大值； （2）由化简可得，依题意，分和两种情况讨论求解即得. (1) 小问详解： 因为，所以，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. (2) 小问详解： 即，由（1）可得，则， 即. 当时，由，解得，符合题意； 当时，令，得. 因为在内有解， 所以 或 或 解得或. 综上，的取值范围是. 25．【答案】0或或3 【分析】 由方程可知且，把问题转化为与的交点个数问题，用数形结合法求解． 【详解】 ， 当时，方程可化为， 时，变形为， 即， 令，且， 作出图象， 只有时，方程有一个根． 故答案为：0或或3． 26．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据题意，设，根据 ，可求出的值，即可得出的解析式； （2）将原不等式恒成立转化为任意，成立，即，再利用基本不等式求的最小值，从而得出的取值范围； （3）根据题意得出，，对称轴，分类讨论求出的最小值，从而得出，再根据方程有两个不等的根，令，即，作出的简图，再结合两函数的交点个数，从而可求出的取值范围. (1) 小问详解： 解：是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且， 可设， 则 ，解得： ， . (2) 小问详解： 解：由（1）得，由，得， 所以任意，成立，即， 由基本不等式，得（当且仅当时，等号成立）， 所以最小值为6，所以， 实数的取值范围. (3) 小问详解： 解：由题可知，，， ，，对称轴， ① 当，即时，在区间单调递增， ； ② 当，即时，在区间单调递减， ； ③ 当，即时，， 的最小值为， ； 由于方程有两个不等的根， 则函数零点即为方程的根 令，即，作出的简图如图所示： ① 当时，有唯一解，解得：，有1个零点； ② 当时，有两个不同解，， 解得：或，有2个零点； ③ 当时，，，解得：，有1个零点； ④ 当时，无解，无零点； 综上：当时，方程有两个不等的根， 即的取值范围为. 27．【答案】 【分析】 分析可知，函数至少有一个零点，可得出a的取值范围，然后对实数a取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】 令，则，故要满足题意，需使得至少有一个零点， 设，则，则或， 当时，的零点为1，此时有2个零点，不符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为，    要满足题意需，即 ，此时a不存在， 当时，的零点为，此时有3个零点-1,1,3，符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为，    要满足题意需，即 ，解得，则， 综合上述可得实数的取值范围为， 故答案为： 28．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性列式求得，利用二次函数求解最值即可； （2）（i）将函数与的图象有4个不同的交点问题转化为关于的方程有两个不相等的正根，然后利用根的分布列不等式组求解即可；（ii）由题意恒成立，参变分离，设，则，进而利用基本不等式求解最值即可得解. (1) 小问详解： 因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 即， 消去，得到， 因此，当时，的最大值为. (2) 小问详解： （i）令， 得，整理得， 令，即关于的方程有两个不相等的正根， 于是 ，解得. （ii）由（1）知，由， 得到，即， 于是，整理得， 所以恒成立，于是， 设，则， 于是， 当且仅当，即时等号成立， 此时.所以. （另解： ， 当且仅当，即时等号成立．） 29．【答案】 【分析】 由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则 ，即 ， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 30．【答案】（1）     （2）选择函数模型② ，.     （3）961.      【分析】 （1）由即可求解； （2）通过函数单调性确定选择函数模型②.再由即可求解； （3）由（2）确定 ，结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为第15天的日销售收入为1057元， 所以， 解得. (2) 小问详解： 由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①和③在上都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，得，解得. 所以 解得. 所以日销售量与时间的变化关系为. (3) 小问详解： 由（2）知 ， 所以 ， 即 ， 当时，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，单调递减， 所以. 综上所述，当时，取得最小值，最小值为961. 31．【答案】（1）7.     （2） 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为.     （3）.      【分析】 （1）当时， ，由基本不等式即可求解； （2）通过讨论的大小关系即可求解； （3）联立不等式组 ，再结合韦达定理求解. (1) 小问详解： 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. (2) 小问详解： 由题意，即，即. 当时，解原不等式得或， 当时，解原不等式得或， 当时，解原不等式得. 综上，当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. (3) 小问详解： 设这两个根分别为，则， 则，即，即， 则 解得 所以实数的取值范围是. 32．【答案】（1）     （2）时，最小，最小值为万元.      【分析】 (1) 先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数. (2) 利用均值不等式求出的最小值及此时的值。 (1) 小问详解： 因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，即时，， 所以，由题意，则建造垃圾回收处理站的费用， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此 (2) 小问详解： 因为， 当且仅当，即时取等号，所以时， 最小，最小值为万元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $