专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 利用作差法分析不等式判断A；利用同向不等式可加性判断B；利用同向正数不等式可乘性判断C；利用一元一次不等式的解集得到系数关系，再解一元二次不等式即可． 【详解】 由，可得或，而无法确定恒正或恒负，故A错误； 由可得，根据同向不等式可加性有，故B正确； 由可得，根据同向正数不等式可乘性有，故C正确； 已知关于的不等式的解集为，可得，即， 则关于的不等式可化简为，解得，故D正确. 故选：BCD． 2．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用不等式性质判断AB；作差判断CD. 【详解】 对于A，由，得，A错误； 对于B，由，得，，B正确； 对于C，由，得，，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：BCD 3．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 用不等式的大小比较法，作差法，函数单调性法，来进行比较判断即可． 【详解】 由可得， 根据“正数的倒数随数值增大而减小”，得，选项A错误. 由得，所以等价于，整理得. 因且，故，所以.选项B正确. 构造函数，则 可知在上单调递增， 因，故，即，选项C正确. 因，结合，代入得，选项D错误. 故选：BC 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用不等式的性质，结合数轴表示逐一判断即可. 【详解】 对于A，由，因的大小不确定，故的正负不确定，故A错误； 对于B,   因，，由不等式的性质，可得，故B正确； 对于C，由，可得，两边同除以，可得，故C正确； 对于D，由及数轴表示，可得，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由即可求解. 【详解】 设， 所以 解得，所以. 因为， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 【详解】 选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 7．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）（多选）已知实数满足，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据不等式性质依次判断即可. 【详解】 因为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD 8．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是　　　　　　　　.（填所有正确命题的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【详解】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 （1）若，，则，因此，即（1）正确； （2）若，根据不等式性质，可得；即（2）正确； （3）若，，满足，但不满足；（3）错误； （4）若，则，因此，即；故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】 本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）（多选）已知正数，满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【分析】 利用基本不等式判断即可. 【详解】 因为，，，所以，解得，当且仅当时，等号成立，A正确，B不正确； ，当且仅当，时，等号成立，C不正确，D正确． 故选：AD 2．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）若，，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【分析】 由乘“1”法即可求解 【详解】 ， 当且仅当，时取到最小值. 故选：B 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知，则（       ） A. 的最大值是6 B. 的最大值是-10 C. 的最小值是9 D. 的最小值是25 【答案】BD 【分析】 根据条件等式和字母范围，拼凑条件，利用基本不等式即可逐一判断各选项. 【详解】 对于C，D，因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立，由，可得， 即，解得或（舍去），则得， 当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确； 对于A，B，因，则，当且仅当时，等号成立， 由可得，即， 解得或（舍去），则得，当且仅当时，等号成立,故A错误，B正确. 故选：BD. 4．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】 因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 5．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知两个实数、满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABCD 【分析】 利用重要不等式逐项判断即可. 【详解】 因为两个实数、满足， 由重要不等式可得，故， 当且仅当 时，即当或时，等号成立，B对； 另一方面，可得， 当且仅当 时，即当 或 时，等号成立，A对； 对于CD选项，由题意可得， 由重要不等式可得，可得， 当且仅当 时，即当或时，等号成立，D对； 因为，故， 所以，即， 当且仅当 时，即当 或 时，等号成立， 又，C对. 故选：ABCD. 6．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）（多选）已知，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 根据题设条件，结合基本不等式可判断ABD；将化为，结合二次函数性质可判断C，即可得答案. 【详解】 对于A，由于，故，A正确； 对于B，， 由于，故，当且仅当时取等号， 令，则， 而，由于，在上单调递增， 故当时，取最小值， 即，故，B正确； 对于C，由，得， 则， 当时，取最小值16，即，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 故，则不恒成立，D错误， 故选：ABC 7．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知是正数，且，则的最小值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 根据题意，得到，化简得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由是正数，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知条件求出干扰度之和的解析式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意，知，， 当时，， ，解得， ，． ，， ， 当且仅当，即时取等号， 当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，最小值为． 故选：D. 9．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）若，，，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意有：，又，所以， 所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 10．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】AD 【分析】 对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，转化为一元二次函数配方后求最小值即可判断；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】 对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，由得，则， 当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 11．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若非负实数，满足，则（     ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为2 C. 有最小值为2 D. 有最小值为 【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式计算可判断ABC；利用对勾函数的单调性可求得的最小值判断D. 【详解】 由基本不等式得，代入，得， 当且仅当时取等号，故有最大值为1，故A正确. 由，结合，得， 当且仅当时取等号，故有最小值为2，故B正确. ，由得， 当且仅当时取等号，故有最大值为2，故C错误. 由得，则. 因为非负实数且，故. 设，则，函数在单调递增， 故当，即时，取得最小值， 即有最小值为，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】 因为，所以，， 则， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若,则的最小值为 B. 已知,且,则的最小值为 C. 已知,且,则的最小值为 D. 若,则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 运用“1的妙用”、配凑法、换元法等解决基本不等式问题. 【详解】 对于A：,当且仅当时，即时等号成立.故A正确. 对于B：，所以. 所以,当且仅当时,即时等号成立.故B正确. 对于C：令,则, ,当且仅当时，即时，等号成立.故C错误. 对于D：,当且仅当时取等号.故D正确. 故选：ABD 14．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（       ） A.  B. 5 C.  D. 7 【答案】D 【分析】 先根据已知条件得出的关系，代入后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】 ，，且， ，， ， 当且仅当，即等号成立， 的最小值为7． 故选：D． 15．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）（多选）已知正数满足，则（     ） A. 的取值范围是 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值 【答案】ABD 【分析】 根据给定条件，由求出范围判断A；利用基本不等式求出最小值判断BCD. 【详解】 对于A，由正数满足，得，解得，A正确； 对于B，由，即，解得，当且仅当时取等号，因此，的最小值为，B正确； 对于C，由，得，则2不是的最小值，C错误； 对于D，由，，得 ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 16．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知为正实数，且，则（　　） A. 的最大值为3 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为28 【答案】ABC 【分析】 选项A利用基本不等式得出关于的二次不等式解出即可，B选项结合A选项的结论即可得出，C选项由已知条件变形得出利用基本不等式求出即可，直接利用基本不等式即可得出D选项. 【详解】 因为为正实数，由基本不等式得： ， ， 令，且， 则， 解得：， 又，所以， 即 即，当且仅当 ， 即时取等号， 所以的最大值为3，故A正确； 由，， 即时取等号， 所以的最小值为6，故B正确； 因为， 所以，又为正实数， 所以， 由基本不等式得， 所以4， 当且仅当 ， 即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，D错误． 故选：ABC． 17．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 先变形等式可得，结合基本不等式和换元法计算判断各个选项. 【详解】 因为，， 所以，化简得 对于A，因为，A不成立. 对于B，因为可得，根据基本不等式， 设，则，即， 当且仅当时取等号，所以，B不恒成立. 对于C，因为可得，根据基本不等式 （当且仅当时取等号），所以， 当且仅当时取等号，C不恒成立. 对于D，，令，由上分析可知， 所以，令，根据二次函数的性质可得， 当且仅当，即时取等号，D恒成立. 故选：ABC. 18．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C. 的最小值为3 D.  【答案】ABD 【分析】 根据不等式的基本性质可判断A；根据平方平均数大于等于算术平均可判断B；根据基本不等式中“1”的妙用可判断C；把所求式子平方以后再利用基本不等式可判断D. 【详解】 因为，且，所以，即， 所以，所以，A正确； 因为，所以， 则，B正确； ， 当且仅当 ，即时，等号成立，又，所以取不到，C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以，D正确. 故选：ABD 19．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知关于的不等式对恒成立，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用均值不等式求出的最小值，进而求出的取值范围. 【详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以的最小值为， 故选：A 20．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）若，则函数的最小值　　　　　　. 【答案】5 【分析】 由基本不等式即可求解. 【详解】 由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 21．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知，且． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1）16     （2）      【分析】 （1）应用基本不等式计算结合一元二次不等式求解； （2）先化简得出，再构造并应用基本不等式计算求解最小值. (1) 小问详解： 因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为16． (2) 小问详解： 因为，所以，所以同号， 又，所以， 当时，，不合题意； 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 22．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知都是正数. （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分子分母同除以，再根据基本不等式求最值即可； （2）由题知，再利用基本不等式求解即可． (1) 小问详解： ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为； (2) 小问详解： ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 23．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入　　　　　　　万元． 【答案】 【分析】 设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值. 【详解】 设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数 ，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合二次函数和基本不等式求解即可； （2）由题意可得恒成立，进而结合二次函数的性质讨论求解即可. (1) 小问详解： 若 ， 当时，的对称轴为，开口向下， 则在上为增函数，当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，故. 因为，所以在上的最小值为. (2) 小问详解： 若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，即恒成立， 当时，恒成立，即，则， 即，所以； 当时，恒成立，即，则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值为， 故，解得. 综上所述，，故训练水平系数的最小值为. 25．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】 因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 26．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知． （1）证明：． （2）求的最小值． 【答案】（1） 证明： ． 因为，所以，， 则， 从而，则．     （2）8      【分析】 （1）结合不等式的性质，利用作差法比较大小即可证明. （2）先变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， ， 当且仅当时，等号成立， 则，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为8． 27．（2026·辽宁葫芦岛·一模）有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 【答案】（1） 是“完美集合”． 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”.     （2）     （3） 因为，所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”.      【分析】 （1）直接根据“完美集合”的定义进行判断； （2）根据“完美集合”的定义可得，解不等式即可； （3）根据题意得，再利用重要不等式证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为集合为“完美集合”， 所以， 即. ， 解得或. 又因为，所以的取值范围为. (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. （1）已知a，b，c为正实数，且，求证：； （2）已知，，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 【答案】（1） 已知a，b，c为正实数，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证.     （2）     （3）       【分析】 （1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）令，将原式转化为关于和的表达式，再利用和基本不等式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 已知，，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是. (3) 小问详解： 已知，，令，则化为. 原式 ， 当且仅当，即，即， 时等号成立. 29．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知a，b均为正数，且，则的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值． 【详解】 因为，，， 所以， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当 ， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知正数满足，则最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由条件得到，得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】 由条件得，则， 于是 ，当且仅当，且，即时取等号． 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 根据分式不等式的解法，求出结果即可. 【详解】 有题意可得 ，解得，即解集为， 故选：B. 2．（2026·辽宁丹东·调研）已知，是方程的两个根，则（     ） A. 3 B.  C. 7 D.  【答案】D 【分析】 根据韦达定理求解出结果. 【详解】 因为，是方程的两个根， 所以，所以， 故选：D. 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）“”是“函数在上单调递增”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据二次函数的单调性，可知，即，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】 因为函数在上单调递增， 所以，解得； 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：B． 4．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知方程的两个实根为，若，则（       ） A. 4 B.  C. 或 D. 1 【答案】B 【分析】 根据条件，利用根与系数间的关系得到，再结合，即可求解. 【详解】 因为方程的两个实根为， 则，， 所以， 整理得到，解得或， 又由，得到，所以， 故选：B. 5．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）不等式的解集是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】 等价于且，得， 故不等式的解集是. 故选：A 6．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知集合，集合，则下列式子正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 先化简集合B，再利用集合的交集，并集和补集运算求解. 【详解】 因为集合，集合， 所以或， 则，， 或，， 故选：AD 7．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或} D. 或} 【答案】B 【分析】 将原不等式转化为一次不等式组 或 ，再解不等式组可得解集． 【详解】 因为，所以， 所以 或 ， 解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B． 8．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 解一元二次不等式，即得答案. 【详解】 由得，解得， 故选：A 9．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）若“”是假命题，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】 是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 10．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意则对任意，使得成立，等价于，求出的最小值可得答案. 【详解】 若“，使得成立”是假命题 则对任意，使得成立， 等价于， ，当且仅当式等号成立， 所以的取值范围. 故选：A. 11．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由为真命题，通过和两类情况讨论即可. 【详解】 “”为假命题，即“”为真命题. 当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立； 当，即时，若对一切实数都成立， 则 解得. 综上，若“”为假命题， 则实数的取值范围为. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由求解即可. 【详解】 命题“”是假命题， 所以， 解得或， 即实数的取值范围为 故选：D 13．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）（多选）“，”的必要不充分条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 由命题的含义可得，解得，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 由，，可得，解得， 则是“，”的必要不充分条件， 是“，”的充分不必要条件， 是“，”的必要不充分条件， 是“，”的充分不必要条件. 故选：AC 14．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由一元二次不等式恒成立进行求解． 【详解】 依题意可得且，解得. 故选：C 15．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】 当时，恒成立， 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当时，，而恒成立，此情况无解， 综上，时，；时，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】 由题意，在中，对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立，设，则对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当即时， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ， 当 ，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减， ，， ， 当 ，即时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，， ，故不符题意，舍去. 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， ， 当 即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 此时，，所以符合题意. 当时， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 17．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知，则（       ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 利用已知方程降次，进而分解三次项，代入化简得出最终的值. 【详解】 已知，得， 计算 则. 故选：A. 18．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）设函数. （1）若关于x的不等式在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式. 【答案】（1）     （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）分与两种情况，然后分别解不等式； （2）先整理化简不等式，再分类讨论即可. (1) 小问详解： 由题意可得，关于x的不等式在实数集R上恒成立， 当时，，所以恒成立； 当，因为不等式在实数集R上恒成立， 所以 , 解得， 综上所述，实数a的取值范围是. (2) 小问详解： 因为， 当时， 由，得， 所以， 若时，则不等式变为，可得； 若时，则不等式可变为， 当时，即，可得； 当时，即，显然不成立，解集为； 当时，即，可得， 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）若不等式的解集为 （1）求，b，c之间的关系，并判断的正负； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； (2) 小问详解： ， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 20．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知集合，集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或．     （2）      【分析】 （1）利用交集的运算求解即可； （2）利用集合之间的包含关系，分类讨论，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由，得或， 所以或 若，则或 因此或． (2) 小问详解： 当，即时，，符合； 当，即时，若，则 或 ，解得； 综上所述，． 21．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）不等式的解集是　　　　　． 【答案】 【分析】 不等式转化为 ，求解二次不等式组即可. 【详解】 不等式等价于 ，即 ， 解得且，所以不等式的解集是. 故答案为： 22．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知，是方程的两根，则　　　　　　． 【答案】22 【分析】 根据方程的根及韦达定理变形求解即可. 【详解】 因为，是方程的两根， 所以， 所以． 故答案为：22 23．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知一元二次不等式的解集是，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用三个二次的关系，得到韦达定理，结合条件解方程即得. 【详解】 由题意，方程的两根为，则，于是 ，解得. 故答案为：. 24．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知函数. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，讨论不等式的解集； （3）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1）     （2）当时，该不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；     （3）      【分析】 （1）利用根与系数的关系即可求解， （2）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解； （3）利用分离参变量，结合二次函数的单调性求解最值，即可得解. (1) 小问详解： 由可得， 故是方程的两个实数根， 故且，解得，故， (2) 小问详解： 若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得，不等式的解集为或； 当时，不等式可变为， 由于，故，此时不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或；. (3) 小问详解： 对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为 25．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】（1）     （2）米时，用料最省．      【分析】 （1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. (2) 小问详解： 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 26．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知关于的不等式，为实数. （1）若，求该不等式的解集； （2）若该不等式对于任意实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）先对分类，进而利用一元二次不等式的解集为全体实数来求解. (1) 小问详解： 当时，原不等式化为， 因式分解，，解得，或， 所以该不等式的解集为或. (2) 小问详解： 当时，不等式化为，此式恒成立，符合题意； 当时，由题意得 解得， 综上，的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用主元思想将转化为关于的函数. 【详解】 令. 是关于的增函数. 要使对成立，只需保证最大值. , 解得. 故答案为： . 28．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知方程4的两根为，则　　　　　　　　　 【答案】0 【分析】 由根与系数关系及根的性质得，且，再由即可求值. 【详解】 由题设，且，即， 由. 故答案为：0 29．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）（1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）0； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】 （1）根据韦达定理和求出 （2）分、两种情况，再结合，，讨论即可. 【详解】 （1）法一：因为是方程的两个根，则， 所以； 法二：因为是方程的两个根，则， 则； （2）当时，，解得； 当时，， 若，即，解得或， 当时，不存在使得； 当时，对任意； 若，即，解得或， 当时，，即，即，无解； 当时，，即，； 若，即，解得，且，即或 此时方程的两个根为， 当时，， 则不等式的解为； 当时，， 则不等式的解为或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 30．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）设是关于的方程的两个实数根. （1）若，求的值； （2）若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. （3）若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据题意可得，利用韦达定理求出，再代入即可得解； （2）根据是两个不相等的正数，可得 ，解之即可得解； （3）根据题意可得 ，解之即可. (1) 小问详解： 由题意可得，解得， 由韦达定理可得， 则，且， 解得或， 经检验，符合题意， 所以或； (2) 小问详解： 因为是两个不相等的正数， 所以 ， 即 ，解得或， 所以实数的取值范围为或； (3) 小问详解： 因为有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大， 所以 ， 即 ，解得， 所以实数的取值范围. 31．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知关于的二次函数． （1）若的解集为，求实数、的值； （2）当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若实数满足，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2）     （3）当时，解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）当时，由题意可得 ，求解即可； （3）化简可得，再以0，1为分界点讨论的范围，求解不等式即可. (1) 小问详解： 因为的解集为， 所以与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知： . (2) 小问详解： 当时，在上恒成立 则必有： , 所以实数的取值范围为； (3) 小问详解： 因为，则不等式化为：， 因式分解为：. 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 综上所述：当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 32．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． （1）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； （2）求经营此商品的日销售利润的最大值； （3）若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 【答案】（1）     （2）1250元     （3）      【分析】 （1）根据已知应用利润等于销售额减去成本得出函数解析式； （2）应用二次函数性质得出最大值； （3）解一元二次不等式即可求出参数范围. (1) 小问详解： 由题可知． 因为， 所以关于的函数解析式为． (2) 小问详解： 由（1）可知， 当时，取得最大值1250， 故经营此商品的日销售利润的最大值为1250元． (3) 小问详解： 令， 整理得， 解得， 故要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，此商品销售单价的取值范围为． 33．（2026·辽宁丹东·调研）已知二次函数满足，且图象经过点. （1）求的解析式； （2）若函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设出的解析式，根据已知条件求得，从而求得的解析式. （2）解法1，先判断的对称轴和开口方向，根据在区间上的最小值进行分类讨论，由此求得的值.解法2，根据的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最小值求得. (1) 小问详解： 设，由，得. 又，结合题设得， 因此 解得，，故. (2) 小问详解： 解法1：因为的图象是对称轴为、开口向上的抛物线， 所以在上的最小值仅能在、、取得. ① 若，可得，此时在单调递增，是最小值. ② 若由，可得或. 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，均不符合最小值在对称轴处的情况，舍去. ③ 若由，可得，此时在单调递减，是最小值. 综上，或. 解法2：，对称轴为. 若，即，在单调递增，故，解得. 若，即，在单调递减， 在单调递增，此时由，解得或， 均不在范围内，舍去. 若，即，在单调递减，故，解得. 综上，或. 34．（2026·辽宁丹东·调研）已知不等式. （1）若，解这个关于的不等式； （2）若且，解这个关于的不等式. 【答案】（1）     （2）答案见解析      【分析】 （1）直接解不等式即可； （2）分类讨论解不等式即可. (1) 小问详解： 若，则该不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为. (2) 小问详解： 当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为, 若，则该不等式解集为, 综上所述：时，则该不等式解集为,时，则该不等式解集为. 35．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）0      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题目条件得，再结合基本不等式即可求解； （3）对分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 设， 所以， 所以 解得，所以， 又，解得，所以. (2) 小问详解： 若，恒成立，即，恒成立， 当，不等式显然成立；当，则，则 解得. 若，恒成立，即，， 当时，得，解得与对任意的恒成立矛盾，不符合题意； 当时，又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是. (3) 小问详解： 由题意可知 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为.综上， 当时，此时；当时，此时；当时，此时. 综上，的最小值为0. 36．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）①； ② 存在实数，对任意时，有成立， 由① 知，， 由，则， 即对任意成立， 则 ，解得， 则的取值范围为.     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）① 由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； ② 转化题目为对任意成立，结合一次函数的性质求解即可； （2）转化问题为解不等式，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： ① 由题意，为方程的根，且， 则 ，解得； ② 略 (2) 小问详解： 由，则， 即， 当时，不等式为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式为， 令，得或， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 37．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数，集合，，若，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 分、、三种情况讨论，分别求出，当时得到 ，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】 因为， 当时，由，解得，所以； 又，，， 所以，此时，符合题意； 当时恒成立，此时，不符合题意； 当时，由，解得， 所以， 由，则，所以， 又，，所以 ，所以，解得， 又，所以； 综上可得，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：通过不等式的解集形式得出，然后利用集合相等得出、间的关系（相等及不等关系）从而求得参数范围． 38．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数，． （1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （2）若，时，求在上的值域； （3）若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数在上恒成立，可得二次函数开口向上，且，进而求出参数的取值范围； （2）按，两种情况分别求解函数的值域，进而将两段值域取并集即可求解. （3）按，，三种情况分类讨论，分别求解函数在及时的最小值.进而求得，最后再根据的解析式求解的最小值. (1) 小问详解： 要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足， 由此可得：，解得. 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 已知，时，. 当时，，由于函数开口向上且关于对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 由此可得：函数在上的值域为. 当时，，由于函数开口向上且关于轴对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 由此可得：函数在上的值域为. 综上可得：函数在上的值域为. (3) 小问详解： 已知，，则， 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在上的值域为. 综上可得：当时，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 综上所述可得： ， 当时，的最小值为 当时，的最小值为 当时，的最小值为. 综上可得的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 2．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的有（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）（多选）已知实数满足，则（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是　　　　　　　　.（填所有正确命题的序号） 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）（多选）已知正数，满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 2．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）若，，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知，则（       ） A. 的最大值是6 B. 的最大值是-10 C. 的最小值是9 D. 的最小值是25 4．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知两个实数、满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）（多选）已知，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知是正数，且，则的最小值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）若，，，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  10．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 11．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若非负实数，满足，则（     ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为2 C. 有最小值为2 D. 有最小值为 12．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若,则的最小值为 B. 已知,且,则的最小值为 C. 已知,且,则的最小值为 D. 若,则的最小值为 14．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（       ） A.  B. 5 C.  D. 7 15．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）（多选）已知正数满足，则（     ） A. 的取值范围是 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值 16．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知为正实数，且，则（　　） A. 的最大值为3 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为28 17．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C. 的最小值为3 D.  19．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）已知关于的不等式对恒成立，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）若，则函数的最小值　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知，且． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 22．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知都是正数. （1）求的最大值； （2）求的最小值． 23．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入　　　　　　　万元． 24．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数 ，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值． 25．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　 26．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知． （1）证明：． （2）求的最小值． 27．（2026·辽宁葫芦岛·一模）有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 28．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. （1）已知a，b，c为正实数，且，求证：； （2）已知，，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 29．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）已知a，b均为正数，且，则的最小值为　　　　　． 30．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知正数满足，则最小值为　　　　　　　　． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D. 或 2．（2026·辽宁丹东·调研）已知，是方程的两个根，则（     ） A. 3 B.  C. 7 D.  3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）“”是“函数在上单调递增”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知方程的两个实根为，若，则（       ） A. 4 B.  C. 或 D. 1 5．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）不等式的解集是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知集合，集合，则下列式子正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或} D. 或} 8．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）若“”是假命题，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·辽宁点石联考·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·辽宁沈阳·期中）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）（多选）“，”的必要不充分条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·辽宁县域重点高·期中）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知，则（       ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 18．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）设函数. （1）若关于x的不等式在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式. 19．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）若不等式的解集为 （1）求，b，c之间的关系，并判断的正负； （2）求关于的不等式的解集. 20．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）已知集合，集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 21．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）不等式的解集是　　　　　． 22．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）已知，是方程的两根，则　　　　　　． 23．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知一元二次不等式的解集是，若，则　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）已知函数. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，讨论不等式的解集； （3）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 25．（25-26学年高一上·辽宁七校协作体·期中）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 26．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知关于的不等式，为实数. （1）若，求该不等式的解集； （2）若该不等式对于任意实数恒成立，求的取值范围. 27．（25-26学年高一上·辽宁大连·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·辽宁铁岭）已知方程4的两根为，则　　　　　　　　　 29．（25-26学年高一上·辽宁协作体·期中）（1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 30．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）设是关于的方程的两个实数根. （1）若，求的值； （2）若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. （3）若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数的取值范围. 31．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知关于的二次函数． （1）若的解集为，求实数、的值； （2）当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若实数满足，求关于的不等式的解集． 32．（25-26学年高一上·辽宁辽阳·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． （1）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； （2）求经营此商品的日销售利润的最大值； （3）若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 33．（2026·辽宁丹东·调研）已知二次函数满足，且图象经过点. （1）求的解析式； （2）若函数在上最小值为，求实数的值. 34．（2026·辽宁丹东·调研）已知不等式. （1）若，解这个关于的不等式； （2）若且，解这个关于的不等式. 35．（25-26学年高一上·辽宁营口·期中）已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，记的最小值为，求的最小值. 36．（25-26学年高一上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）求关于的不等式的解集． 37．（25-26学年高一上·辽宁辽西部分高·期中）已知函数，集合，，若，则的取值范围为　　　　　　. 38．（25-26学年高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数，． （1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （2）若，时，求在上的值域； （3）若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．BCD 2．BCD 3．BC 4．BCD 5．D 6．C 7．ABD 8．【答案】（1）（2）（4） 【详解】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 （1）若，，则，因此，即（1）正确； （2）若，根据不等式性质，可得；即（2）正确； （3）若，，满足，但不满足；（3）错误； （4）若，则，因此，即；故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】 本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型. 考点02 基本不等式 1．AD 2．B 3．BD 4．D 5．ABCD 6．ABC 7．D 8．D 9．A 10．AD 11．ABD 12．B 13．ABD 14．D 15．ABD 16．ABC 17．ABC 18．ABD 19．A 20．【答案】5 【分析】 由基本不等式即可求解. 【详解】 由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 21．【答案】（1）16     （2）      【分析】 （1）应用基本不等式计算结合一元二次不等式求解； （2）先化简得出，再构造并应用基本不等式计算求解最小值. (1) 小问详解： 因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为16． (2) 小问详解： 因为，所以，所以同号， 又，所以， 当时，，不合题意； 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分子分母同除以，再根据基本不等式求最值即可； （2）由题知，再利用基本不等式求解即可． (1) 小问详解： ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为； (2) 小问详解： ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 23．【答案】 【分析】 设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值. 【详解】 设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合二次函数和基本不等式求解即可； （2）由题意可得恒成立，进而结合二次函数的性质讨论求解即可. (1) 小问详解： 若 ， 当时，的对称轴为，开口向下， 则在上为增函数，当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，故. 因为，所以在上的最小值为. (2) 小问详解： 若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，即恒成立， 当时，恒成立，即，则， 即，所以； 当时，恒成立，即，则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值为， 故，解得. 综上所述，，故训练水平系数的最小值为. 25．【答案】 【分析】 利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】 因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 26．【答案】（1） 证明： ． 因为，所以，， 则， 从而，则．     （2）8      【分析】 （1）结合不等式的性质，利用作差法比较大小即可证明. （2）先变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， ， 当且仅当时，等号成立， 则，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为8． 27．【答案】（1） 是“完美集合”． 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”.     （2）     （3） 因为，所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”.      【分析】 （1）直接根据“完美集合”的定义进行判断； （2）根据“完美集合”的定义可得，解不等式即可； （3）根据题意得，再利用重要不等式证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为集合为“完美集合”， 所以， 即. ， 解得或. 又因为，所以的取值范围为. (3) 小问详解： 略 28．【答案】（1） 已知a，b，c为正实数，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证.     （2）     （3）       【分析】 （1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）令，将原式转化为关于和的表达式，再利用和基本不等式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 已知，，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是. (3) 小问详解： 已知，，令，则化为. 原式 ， 当且仅当，即，即， 时等号成立. 29．【答案】 【分析】 根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值． 【详解】 因为，，， 所以， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当 ， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 30．【答案】 【分析】 由条件得到，得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】 由条件得，则， 于是 ，当且仅当，且，即时取等号． 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．AD 7．B 8．A 9．B 10．A 11．A 12．D 13．AC 14．C 15．B 16．C 17．A 18．【答案】（1）     （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）分与两种情况，然后分别解不等式； （2）先整理化简不等式，再分类讨论即可. (1) 小问详解： 由题意可得，关于x的不等式在实数集R上恒成立， 当时，，所以恒成立； 当，因为不等式在实数集R上恒成立， 所以 , 解得， 综上所述，实数a的取值范围是. (2) 小问详解： 因为， 当时， 由，得， 所以， 若时，则不等式变为，可得； 若时，则不等式可变为， 当时，即，可得； 当时，即，显然不成立，解集为； 当时，即，可得， 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19．【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； (2) 小问详解： ， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 20．【答案】（1）或．     （2）      【分析】 （1）利用交集的运算求解即可； （2）利用集合之间的包含关系，分类讨论，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由，得或， 所以或 若，则或 因此或． (2) 小问详解： 当，即时，，符合； 当，即时，若，则 或 ，解得； 综上所述，． 21．【答案】 【分析】 不等式转化为 ，求解二次不等式组即可. 【详解】 不等式等价于 ，即 ， 解得且，所以不等式的解集是. 故答案为： 22．【答案】22 【分析】 根据方程的根及韦达定理变形求解即可. 【详解】 因为，是方程的两根， 所以， 所以． 故答案为：22 23．【答案】 【分析】 利用三个二次的关系，得到韦达定理，结合条件解方程即得. 【详解】 由题意，方程的两根为，则，于是 ，解得. 故答案为：. 24．【答案】（1）     （2）当时，该不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；     （3）      【分析】 （1）利用根与系数的关系即可求解， （2）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解； （3）利用分离参变量，结合二次函数的单调性求解最值，即可得解. (1) 小问详解： 由可得， 故是方程的两个实数根， 故且，解得，故， (2) 小问详解： 若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得，不等式的解集为或； 当时，不等式可变为， 由于，故，此时不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或；. (3) 小问详解： 对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为 25．【答案】（1）     （2）米时，用料最省．      【分析】 （1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. (2) 小问详解： 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 26．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）先对分类，进而利用一元二次不等式的解集为全体实数来求解. (1) 小问详解： 当时，原不等式化为， 因式分解，，解得，或， 所以该不等式的解集为或. (2) 小问详解： 当时，不等式化为，此式恒成立，符合题意； 当时，由题意得 解得， 综上，的取值范围是. 27．【答案】 【分析】 利用主元思想将转化为关于的函数. 【详解】 令. 是关于的增函数. 要使对成立，只需保证最大值. , 解得. 故答案为： . 28．【答案】0 【分析】 由根与系数关系及根的性质得，且，再由即可求值. 【详解】 由题设，且，即， 由. 故答案为：0 29．【答案】（1）0； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】 （1）根据韦达定理和求出 （2）分、两种情况，再结合，，讨论即可. 【详解】 （1）法一：因为是方程的两个根，则， 所以； 法二：因为是方程的两个根，则， 则； （2）当时，，解得； 当时，， 若，即，解得或， 当时，不存在使得； 当时，对任意； 若，即，解得或， 当时，，即，即，无解； 当时，，即，； 若，即，解得，且，即或 此时方程的两个根为， 当时，， 则不等式的解为； 当时，， 则不等式的解为或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 30．【答案】（1）或     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据题意可得，利用韦达定理求出，再代入即可得解； （2）根据是两个不相等的正数，可得 ，解之即可得解； （3）根据题意可得 ，解之即可. (1) 小问详解： 由题意可得，解得， 由韦达定理可得， 则，且， 解得或， 经检验，符合题意， 所以或； (2) 小问详解： 因为是两个不相等的正数， 所以 ， 即 ，解得或， 所以实数的取值范围为或； (3) 小问详解： 因为有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大， 所以 ， 即 ，解得， 所以实数的取值范围. 31．【答案】（1）     （2）     （3）当时，解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）当时，由题意可得 ，求解即可； （3）化简可得，再以0，1为分界点讨论的范围，求解不等式即可. (1) 小问详解： 因为的解集为， 所以与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知： . (2) 小问详解： 当时，在上恒成立 则必有： , 所以实数的取值范围为； (3) 小问详解： 因为，则不等式化为：， 因式分解为：. 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 综上所述：当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 32．【答案】（1）     （2）1250元     （3）      【分析】 （1）根据已知应用利润等于销售额减去成本得出函数解析式； （2）应用二次函数性质得出最大值； （3）解一元二次不等式即可求出参数范围. (1) 小问详解： 由题可知． 因为， 所以关于的函数解析式为． (2) 小问详解： 由（1）可知， 当时，取得最大值1250， 故经营此商品的日销售利润的最大值为1250元． (3) 小问详解： 令， 整理得， 解得， 故要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，此商品销售单价的取值范围为． 33．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设出的解析式，根据已知条件求得，从而求得的解析式. （2）解法1，先判断的对称轴和开口方向，根据在区间上的最小值进行分类讨论，由此求得的值.解法2，根据的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最小值求得. (1) 小问详解： 设，由，得. 又，结合题设得， 因此 解得，，故. (2) 小问详解： 解法1：因为的图象是对称轴为、开口向上的抛物线， 所以在上的最小值仅能在、、取得. ① 若，可得，此时在单调递增，是最小值. ② 若由，可得或. 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，均不符合最小值在对称轴处的情况，舍去. ③ 若由，可得，此时在单调递减，是最小值. 综上，或. 解法2：，对称轴为. 若，即，在单调递增，故，解得. 若，即，在单调递减， 在单调递增，此时由，解得或， 均不在范围内，舍去. 若，即，在单调递减，故，解得. 综上，或. 34．【答案】（1）     （2）答案见解析      【分析】 （1）直接解不等式即可； （2）分类讨论解不等式即可. (1) 小问详解： 若，则该不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为. (2) 小问详解： 当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为, 若，则该不等式解集为, 综上所述：时，则该不等式解集为,时，则该不等式解集为. 35．【答案】（1）     （2）     （3）0      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题目条件得，再结合基本不等式即可求解； （3）对分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 设， 所以， 所以 解得，所以， 又，解得，所以. (2) 小问详解： 若，恒成立，即，恒成立， 当，不等式显然成立；当，则，则 解得. 若，恒成立，即，， 当时，得，解得与对任意的恒成立矛盾，不符合题意； 当时，又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是. (3) 小问详解： 由题意可知 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为； 当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为.综上， 当时，此时；当时，此时；当时，此时. 综上，的最小值为0. 36．【答案】（1）①； ② 存在实数，对任意时，有成立， 由① 知，， 由，则， 即对任意成立， 则 ，解得， 则的取值范围为.     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）① 由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； ② 转化题目为对任意成立，结合一次函数的性质求解即可； （2）转化问题为解不等式，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： ① 由题意，为方程的根，且， 则 ，解得； ② 略 (2) 小问详解： 由，则， 即， 当时，不等式为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式为， 令，得或， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 37．【答案】 【分析】 分、、三种情况讨论，分别求出，当时得到 ，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】 因为， 当时，由，解得，所以； 又，，， 所以，此时，符合题意； 当时恒成立，此时，不符合题意； 当时，由，解得， 所以， 由，则，所以， 又，，所以 ，所以，解得， 又，所以； 综上可得，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：通过不等式的解集形式得出，然后利用集合相等得出、间的关系（相等及不等关系）从而求得参数范围． 38．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数在上恒成立，可得二次函数开口向上，且，进而求出参数的取值范围； （2）按，两种情况分别求解函数的值域，进而将两段值域取并集即可求解. （3）按，，三种情况分类讨论，分别求解函数在及时的最小值.进而求得，最后再根据的解析式求解的最小值. (1) 小问详解： 要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足， 由此可得：，解得. 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 已知，时，. 当时，，由于函数开口向上且关于对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 由此可得：函数在上的值域为. 当时，，由于函数开口向上且关于轴对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 由此可得：函数在上的值域为. 综上可得：函数在上的值域为. (3) 小问详解： 已知，，则， 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在上的值域为. 综上可得：当时，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 综上所述可得： ， 当时，的最小值为 当时，的最小值为 当时，的最小值为. 综上可得的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $