14.2 三角形全等的判定 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十四章 全等三角形 · 14.2 三角形全等的判定（导学案） 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十四章 全等三角形 · 第 2 节 · 4 课时 · 教材 P32—P45 一、【导览 · 六个条件里挑三个】学习目标 · 4 课时 · 从条件里做筛选 上一节我们把"全等"这件事讲清楚了：两个三角形能完全重合，它们就全等；全等之后，对应边相等、对应角相等。可上一节留下一个没解决的问题——要让两个三角形全等，难道每次都得把六个元素（三条边、三个角）一个一个量过来吗？这一节就是来解决这个问题的：在六个条件里挑出够用的几个，用尽可能少的条件判定两个三角形全等。 本节四节课的任务安排得很整齐。第一课时先把"条件够不够"这件事想明白：只给一条边、一个角、两条边、一边一角，都画不出唯一确定的三角形；接着就找到第一把筛子——两边和它们的夹角分别相等（SAS）。第二课时把"两角一边"这一路筛完，得到 ASA 与 AAS。第三课时回到"三边"，得到 SSS，并用它说明三角形为什么具有稳定性、怎样用圆规和直尺作一个三角形。第四课时专门处理直角三角形，得到斜边与一条直角边分别相等的判定（HL）。 四个课时合起来是五个筛子。中间有两处最容易栽跟头。第一处是"两边一角"：SAS 里那个角必须是两条边的夹角，如果换成其中一边的对角（SSA），两个三角形就不一定全等——这一点要用画弧找交点的方式亲手验证一次。第二处是书写：说 SAS，指的是"边、角、边"这个顺序，不是随手写的三个条件；用 HL 时两个三角形前面必须写"Rt"，因为斜边是直角三角形特有的叫法。把这两处守住，五个筛子就筛得干净。 （一）本节导览 · 五个筛子 如图 1，本节按"一筛 条件够不够 → 二筛 两边一角 → 三筛 两角一边 → 四筛 三边 → 五筛 直角三角形"一路筛下来，五个筛子过完再做两件事：过关（四个课时的例题与课本练习、知识结构与自查）、行装（分层作业与《习题14.2》）。 图 1 六个条件里挑三个·本节导览：一筛 条件够不够 → 二筛 两边一角 → 三筛 两角一边 → 四筛 三边 → 五筛 直角三角形 五个筛子的顺序不能颠倒：先弄清"条件少了确实定不下来"，才明白为什么非要多凑一个条件；先把 SAS 与 SSA 的区别弄透，才不会再犯"边边角"这种错；先会用一般三角形的四种判定，直角三角形的 HL 才有落脚的地方。 每一筛只回答两个问题：这一筛得到的是哪一条判定？用它的前提是什么？把这两个问题答清楚，做题时就不会拿着条件乱套。 （二）课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　用 SAS 判定三角形全等 P32—P34 一个条件、两个条件都不能保证全等；两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两边和其中一边的对角分别相等不能判定（SSA）；课本 P33 例题与 P34 练习 ○ 第 2 课时　用 ASA、AAS 判定三角形全等 P35—P36 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；课本 P35 例题与 P36 练习 ○ 第 3 课时　用 SSS 判定三角形全等与尺规作图 P37—P41 三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；三角形具有稳定性；用圆规和直尺作一个三角形、作一个角等于已知角；课本 P37 例题 ○ 第 4 课时　用 HL 判定直角三角形全等 P42—P43 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）；直角三角形可以用一般三角形的方法判定，也可以用它自己特有的 HL；课本 P42 例题与 P43 练习 ○ （三）学习目标 1. 知道只给一个条件（一条边或一个角）或两个条件（两边、一边一角或两角）时，画出的三角形不能保证全等。 2. 掌握基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成"边角边"或 SAS。 3. 知道两边和其中一边的对角分别相等时，两个三角形不一定全等（SSA 不能判定），会用画弧的办法说明道理。 4. 掌握基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。 5. 掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等（SSS），并会用它能说明三角形具有稳定性。 6. 会用圆规和直尺作一个三角形，使它三边的长分别等于已知三条线段的长；会照样子作一个角等于已知角，并知道道理就是 SSS。 7. 掌握直角三角形特有的判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL），并知道用 HL 时两个三角形前面要写"Rt"。 8. 能根据题目给出的条件选择恰当的判定方法证明两个三角形全等，并在此过程中求出线段的长或角的度数。 （四）学习重点与难点 项目 内容 学习重点 SAS、ASA、AAS、SSS 四条判定与直角三角形的 HL；用"边、角、边"这样的顺序说清每一条判定所要求的条件；根据已知条件选择判定方法并规范写出推理过程 学习难点 把 SAS 中的"夹角"与 SSA 中的"对角"区分清楚（这是本节最容易混的一处）；判定方法的选择——已知两边找夹角或第三边，已知两角找一组对边，已知一边一角找另一个角或这个角的另一条邻边；HL 只适用于直角三角形，书写时两个三角形前面要写"Rt" （五）起跑热身 1. 填空：上一节学过的全等三角形性质是：全等三角形的对应边 ______，对应角 ______。 2. 填空：两个三角形如果要全等，需要量过来的条件一共有 ______ 个，它们是 ______ 条边和 ______ 个角。 3. 判断：只量出一条边相等，就能保证两个三角形全等。（　　） 4. 判断：量出一个角相等，就能保证两个三角形全等。（　　） 5. 已知 △ABC 与 △DEF 全等，点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 是对应顶点。写出三组对应边与三组对应角。 6. 填空：三角形共有三条边、三个角，一共六个元素；如果从中挑出三个，可能的搭配有：三边、两边一角、两角一边、______。 7. 想一想：用三根木条钉成的三角形木架，扭一扭会不会变形？把三根换成四根呢？ 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1 题：相等；相等。第 2 题：6 个；3 条边和 3 个角。第 3 题：不对，一条边相等只能说明"有一边一样长"，形状可以差很多。第 4 题：不对，一个角相等同样定不下来。第 5 题：AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF；∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E、∠C 与 ∠F。第 6 题：三个角（但三个角相等并不能判定全等，这一节会看到反例）。第 7 题：三根木条钉成的三角形扭不动，因为三条边确定之后形状大小就确定了；换成四根就会变形。 二、【一筛 · 条件够不够】一个条件、两个条件都不能保证全等 要判定两个三角形全等，最老实的方法是按定义来：三条边分别相等、三个角分别相等，六个元素一个不落。可实际上，量六个条件太费事，而且这六个条件之间还互相牵连——例如两角确定了，第三个角也就跟着确定了。于是自然要问：能不能少量几个？ 这一筛先不急着找答案，先做一个"减法"：把条件从六个减到一个、减到两个，看看还能不能把三角形的形状和大小牢牢定住。定不住，就说明条件还不够；定得住，才算筛出了一个能用的判定。 （一）从六个条件里挑 1. 在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，六个条件指的是 AB = A′B′、BC = B′C′、CA = C′A′、∠A = ∠A′、∠B = ∠B′、∠C = ∠C′。 2. 问题一：只满足这六个条件中的一个，两个三角形一定全等吗？ 3. 问题二：只满足其中的两个，两个三角形一定全等吗？ 4. 分类讨论：一个条件只有两种可能（一条边、一个角）；两个条件有三种可能（两条边、一边一角、两个角）。把这五种情形逐一画一画，就能看清条件够不够。 （二）一个条件、两个条件都不够 如图 2，四格里画的是同一组"条件太少"的对照：只给一条边，两个三角形可以画成很不一样的样子；只给一个角，两个三角形可以画成一大一小；只给两条边，第三个顶点的位置仍然飘着；只给一边一角，同样定不下来。 图 2 条件太少，三角形定不下来：只给一条边、只给一个角、只给两条边、只给一边一角，两个三角形都满足标注的条件却未必全等 结论并不复杂：只给一个条件或两个条件，画出的三角形不能保证全等。换句话说，想判定全等，至少一次要拿出三个条件来。 再补一句容易忽略的：三个条件也未必够。如果这三个条件偏偏是三个角，两个三角形仍然可能不全等——把一张三角形纸片的图样照着原形状放大画一遍，三个角分别相等，可两个三角形一个在纸上、一个在黑板那么大，怎么叠也重合不了。 所以接下来三筛要做的，就是把"三个条件"里的各种搭配逐一过筛：两边一角、两角一边、三边。筛得过的就是判定方法，筛不过的就要走进"不能判定"那一栏。 （三）即时练习 1. 填空：在两个三角形中，如果只知道一条边分别相等，那么这两个三角形 ______（填"一定"或"不一定"）全等。 2. 判断：两个三角形只要有两条边分别相等，它们就一定全等。（　　） 3. 填空：一个三角形有 ______ 条边、______ 个角，一共 ______ 个元素。 4. 在两个三角形中，已知有两条边分别相等、另有一个角分别相等。这个角如果是两条边的夹角，两个三角形是否一定全等？如果它只是其中一条边的对角呢？ 5. 想一想：为什么三个角分别相等也不能保证两个三角形全等？举一个生活中的例子说明。 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：不一定。第 2 题：不对，两条边相等，第三个顶点的位置还飘着，形状可以差很多。第 3 题：3；3；6。第 4 题：是夹角时一定全等（下一筛就会讲到理由）；只是一边的对角时不一定全等。第 5 题：把同一个三角形图样放大后重新画一遍，三个角分别相等，但两个三角形大小不同，不能完全重合。 三、【二筛 · 两边一角】SAS 成立，SSA 不能判定 "两边一角"听起来是一个条件，其实要分成两种情形：那个角可能是两条边夹出来的角（夹角），也可能只是其中一条边的对角。两种情形一个能判定、一个不能判定，差别就藏在"位置"两个字里。这一筛要把它们彻底分清楚。 （一）两边和它们的夹角 如图 3，两个三角形各标出两条边和它们夹着的那个角：两道记号的两条边与一道记号的夹角都分别相等。 图 3 两边和它们的夹角分别相等：两条边各量一次，夹在两条边之间的那个角也量一次 动手画一画：先画 ∠A，再在角的两边上分别截取 AB、AC，连接 BC。全班同学只要量出的两边长和夹角都一样，画出的三角形就一定能完全重合。这样得到本节第一条判定。 判定一：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成"边角边"或 SAS。 符号语言：在 △ABC 与 △DEF 中，因为 AB = DE、∠A = ∠D、AC = DF，所以 △ABC≌△DEF（SAS）。注意三个条件要按"边、角、边"的顺序摆出来，中间的角必须是那两条边夹出来的角。 （二）换成其中一边的对角呢 如图 4，把一个角换成"其中一条边的对角"再来一次：先画 ∠B，再确定 AB 的长，然后以 A 为圆心、AC 为半径画弧。这一画就出问题了——弧与射线 BC 交于 C 与 C′ 两个点，两个三角形都有 AB、都等于同一个 AC、都带着同一个 ∠B，却不能完全重合。 图 4 以 A 为圆心、AC 为半径画弧：弧与射线 BC 交于两点，两条 AC 一样长，∠B 也一样，两个三角形却不能重合 也就是说，"两边和其中一边的对角分别相等"不能判定两个三角形全等。这一组条件一般简称 SSA（或写成"边边角"），它不在判定方法之列。 把这一筛的两条线索并排记牢：两边一角里，角若是夹角，首选 SAS；角若是一边的对角，就要立刻警觉，不能拿它当判定依据。做题时看到"AB = DE、∠B = ∠E、AC = DF"这种条件，先别急着下结论，先看角是不是夹在两条已知边中间。 顺带说清一件事：两边和一角里，如果那一角是直角，情形又会不一样——这正是第五筛 HL 要单独处理的内容。 （三）即时练习 1. 填空：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成 ______ 或 ______。 2. 在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，则 △ABC≌△DEF 的依据是 ______。 3. 判断：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定全等。（　　） 4. 在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE = 5 cm，∠A = ∠D = 40°。还要添上什么条件，才能用 SAS 判定这两个三角形全等？ 5. 在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE，AC = DF。要使 △ABC≌△DEF，可以添一个什么条件？写出两种不同添法，并说明各依据哪一条判定；再说说添 ∠B = ∠E 为什么不行。 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：边角边；SAS。第 2 题：SAS（∠B 正好夹在 AB 与 BC 之间）。第 3 题：不对，这是 SSA，不能判定。第 4 题：添 AC = DF，让 ∠A 成为两条已知边的夹角。第 5 题：添 ∠A = ∠D，依据 SAS；也可以添 BC = EF，依据 SSS。不能添 ∠B = ∠E，因为 ∠B 是 AB 与 BC 的夹角，而 AC 对着 ∠B，凑出来的是 SSA。 四、【三筛 · 两角一边】ASA 与 AAS 都成立 上一筛的教训是"角的位置"很要紧。到了"两角一边"，位置同样要紧：那条边可能是两个角夹出来的边（夹边），也可能只对着其中一个角（对边）。有意思的是，这一筛的两种情形都能成立，不像上一筛那样一半立一半不立。原因也不难想——三角形的三个角一共 180°，两个角确定了，第三个角也就跟着确定了，边摆在哪里都不吃亏。 （一）两角和它们的夹边 如图 5，两个三角形各标出两个角和它们夹着的那条边：一道、两道记号的角分别相等，两个角中间那条边也相等。 图 5 两角和它们的夹边分别相等：一条边正好夹在两个角中间 判定二：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成"角边角"或 ASA。 符号语言：在 △ABC 与 △DEF 中，因为 ∠B = ∠E、BC = EF、∠C = ∠F，所以 △ABC≌△DEF（ASA）。这里 BC 正好夹在 ∠B 与 ∠C 之间，顺序是"角、边、角"。 （二）两角和其中一角的对边 把上一条中的夹边换成"其中一角的对边"，还能不能判定？先想一步：两角确定之后，第三个角也确定了，于是原来那条"对边"换一个角度看，就变成了另外两个角之间的夹边——所以这条也能判定。 如图 6，两个三角形各标出两个角和其中一角的对边：一道记号的角相等、两道记号的角相等，与一道记号的角对着的那条边也相等。 图 6 两角分别相等，其中一角的对边也相等：量的是两个角，再加一条与其中一个角对着的边 判定三：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成"角角边"或 AAS。 两条判定并排看：ASA 与 AAS 其实是一回事——已知 AAS 可以推出 ASA 的夹边，已知 ASA 也可以推出 AAS 的对边。做题时不必刻意区分，只要记住"两角加一条边"就够；但写理由时不要写错简称。 还有一句要提醒：两个角相等再加一条边，这条边只能是那两角中的某一个的对边或它们之间的夹边，不能张冠李戴——上一条"两角一边"里如果两个角都跟那条边不挨着，条件是不成立的。 （三）即时练习 1. 填空：两角和它们的 ______ 分别相等的两个三角形全等，可以简写成 ______ 或 ______。 2. 填空：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成 ______ 或 ______。 3. 在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，则 △ABC≌△DEF 的依据是 ______。 4. 在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D，∠B = ∠E。要使 △ABC≌△DEF，还要添什么条件？写出两种不同添法，并说明各依据哪一条判定。 5. 想一想：两个角分别相等时，为什么只要再添一组边相等就够了，不必再量第三个角？ 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：夹边；角边角；ASA。第 2 题：角角边；AAS。第 3 题：AAS（BC 是 ∠A 的对边）。第 4 题：添 AB = DE，依据 ASA（AB 是 ∠A 与 ∠B 的夹边）；也可以添 AC = DF 或 BC = EF，依据 AAS（它们分别对着 ∠B、∠A）。第 5 题：三角形的内角和是 180°，两角定了第三角自然就定了，所以第三个角不必再量。 五、【四筛 · 三边】SSS 与尺规作图 前面三筛都在"边"与"角"之间搭配着试，这一筛把角全部撤掉，只剩下三条边。直觉上这该是最"硬"的一组条件——三根木条各裁成固定长度，钉起来就再也扭不动了。这一筛除了给出第三条判定，还要借它把两件动手的事讲明白：用圆规和直尺作一个三角形，以及作一个角等于已知角。 （一）三边分别相等 如图 7，两个三角形三组边分别打上一道、两道、三道记号，表示三组对应边分别相等。 图 7 三边分别相等：一道、两道、三道记号分别表示一组对应边 判定四：三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成"边边边"或 SSS。 符号语言：在 △ABC 与 △DEF 中，因为 AB = DE、BC = EF、CA = FD，所以 △ABC≌△DEF（SSS）。 由此还能说明三角形的一个特性：把三根木条钉成一个三角形木架，无论怎么推、怎么拉，它的形状和大小都不改变；而钉成四边形木架就会变形。这就是三角形具有稳定性，屋架、钢架、自行车三角架都用到了它。 （二）用圆规和直尺作一个三角形 如图 8，知道三条线段的长分别是 a、b、c（其中任意两条线段长的和大于第三条），要作一个三角形，使它的三边分别等于 a、b、c。 图 8 知道三条线段，用圆规和直尺作三角形：两弧的交点就是第三个顶点 作法只有三步：①作线段 AB，使 AB = c；②分别以点 A、点 B 为圆心，以 b、a 的长为半径画弧，两弧相交于点 C；③连接 AC、BC，△ABC 就是所求作的三角形。 作法里的道理正是 SSS：作出的三角形三边分别等于 a、b、c，满足条件，所以形状、大小就唯一确定了——这也解释了为什么两弧只会交出那一个点（在 AB 的同一侧）。 （三）作一个角等于已知角 如图 9，要把 ∠AOB 原样搬到别处：先以 O 为圆心、任意长为半径画弧，交 OB 于 Q、交 OA 于 P；再在别处作一条射线 O′B′，以 O′ 为圆心、同样的长为半径画弧，交 O′B′ 于 Q′；最后以 Q′ 为圆心、PQ 的长为半径画弧，与前一条弧交于 P′，过 O′、P′ 作射线 O′A′，∠A′O′B′ 就等于 ∠AOB。 图 9 把一个角搬到别处：先在已知角上画弧量出两点，再在新角上照样量一次 道理并不神秘：把 O、P、Q 与 O′、P′、Q′ 分别连起来，两个三角形中 OQ = O′Q′、OP = O′P′、PQ = P′Q′，由 SSS 得两个三角形全等，所以 ∠O = ∠O′（全等三角形的对应角相等）。 这也说明尺规作图不是"凭手感"，每一步都能用本节学过的判定讲出道理；作完图之后，别忘了把依据写出来。 我的作图: （四）即时练习 1. 填空：三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成 ______ 或 ______。 2. 判断：用三根木条钉成的三角形木架，推拉之后形状和大小都不会改变。（　　） 3. 填空：已知三条线段的长分别等于 a、b、c，用圆规和直尺作三角形时，先作线段 AB = ______，再分别以 A、B 为圆心，以 ______ 和 ______ 的长为半径画弧。 4. 用圆规和直尺作一个角等于已知角，其中的道理是两个三角形 ______，所以对应的角相等。 5. 想一想：作一个角等于已知角时，最后一步画弧用的半径是怎么定出来的？ 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：边边边；SSS。第 2 题：对，三条边确定之后形状、大小就确定了，这就是三角形具有稳定性。第 3 题：c；b；a。第 4 题：三边分别相等，全等（SSS）。第 5 题：等于第一次画弧时两弧交点之间的那条弧所对的弦长，也就是 PQ 的长；半径一样，两次量出来的弧才一样。 六、【五筛 · 直角三角形】斜边和一条直角边分别相等（HL） 四个筛子筛完，一般的三角形已经够用了。可直角三角形是个"特殊户"：它本来就白送一个直角，条件比别的三角形宽裕。既然宽裕，能不能比三个条件再省一点？这一筛就是来省这一点的。 （一）直角三角形能用哪些判定 先说一句放心的：SAS、ASA、AAS、SSS 对直角三角形统统适用——直角三角形首先是三角形，一般三角形能用的它都能用。 再说它特别的地方：它已经有一个直角，三个条件里天然占掉一个。所以只要再量两个条件就够。这两个条件怎么搭配，下面这张表把它们排清楚。 手里的条件 可以选用的判定 还要找的条件 两条直角边 SAS 两条直角边的夹角就是那个直角，已经具备 一条直角边和一个锐角 ASA 或 AAS 这条边与已知锐角的夹边，或已知锐角的对边 斜边和一个锐角 ASA 或 AAS 已知锐角的对边，或直角所对的那条边 斜边和一条直角边 HL 两个条件就够了，不必再找第三个 （二）斜边和一条直角边分别相等 如图 10，两个直角三角形各标出直角、斜边与一条直角边：斜边打一道记号，一条直角边打两道记号，两处记号在两个三角形里分别相等。 图 10 两个直角三角形：斜边和一条直角边分别相等 判定五：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成"斜边、直角边"或 HL。 符号语言：在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，因为 AB = DE、AC = DF（或 BC = EF），所以 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。写的时候两个三角形前面必须带"Rt"，因为"斜边"只有直角三角形才有。 还有一处要分清：HL 与 SAS 只差一步。HL 里的"斜边、直角边"不是夹着那个直角的两条边，它跟 SAS 并不是一回事；不过 HL 与 SAS 都要求两个条件之间的位置关系对得上，混淆的根源仍然是"位置"。 （三）即时练习 1. 填空：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成 ______ 或 ______。 2. 判断：HL 对一般三角形也适用。（　　） 3. 在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，则 Rt△ABC≌Rt△DEF 的依据是 ______。 4. 在 △ABC 中，AB = AC，AD 垂直于 BC，垂足为 D。要用 HL 判定 Rt△ABD≌Rt△ACD，需要摆出哪两组条件？ 5. 想一想：一般三角形的判定都要凑满三个条件，为什么 HL 只要两个条件就够？ 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：斜边、直角边；HL。第 2 题：不对，HL 只在直角三角形里用。第 3 题：HL。第 4 题：AB = AC（斜边）、AD = AD（公共的直角边）；至于 ∠ADB = ∠ADC = 90°，那是"这两个是直角三角形"这一前提。第 5 题：直角三角形自带一个直角，三个条件里有一个已经具备，所以只要再量两个；写的时候两个三角形前面要写"Rt"。 七、【过关 · 例题、练习与自查】四个课时的例题、课本练习与知识结构 三、四、五、六四个板块把五条判定一条条筛了出来，接下来该落到纸上。这一板块按课时顺序把四个例题摆出来，再把课本上的六道练习一一交代清楚，最后给出本节的知识结构与自查表——做完这一板块，五条判定才算真正过了一遍关。 例题与练习都对应课本上的原页，题面后都注明了图形在课本哪一处；例题的示意图本稿又照课本原图画了一遍，附在题面下面，方便对照。 （一）四个课时的例题 1. 例题（课本 P33）：如图 11，AC = AD，AB 平分 ∠CAD。求证：∠C = ∠D。（图形见课本 P33 例题） 图 11 课本 P33 例题图形：AC = AD，AB 把 ∠CAD 分成相等的两个角 2. 例题（课本 P35）：如图 12，AB = AC，∠B = ∠C，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上。求证：AD = AE。（图形见课本 P35 例题） 图 12 课本 P35 例题图形：AB = AC，∠B = ∠C，D 在 AB 上、E 在 AC 上 3. 例题（课本 P37）：如图 13，钢架中 AB = AC，D 是 BC 的中点，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架。求证：AD⊥BC。（图形见课本 P37 例题） 图 13 课本 P37 例题图形：AB = AC，D 是 BC 的中点，AD 是连接 A 与 D 的支架 4. 例题（课本 P42）：如图 14，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AC = BD。求证：BC = AD。（图形见课本 P42 例题） 图 14 课本 P42 例题图形：AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，AB 是公共边 我的例题解答: 【解题提醒】四个例题刚好对应后面四筛：P33 用 SAS（AC = AD、∠CAB = ∠DAB、AB 公共）；P35 用 ASA（∠B = ∠C、AB = AC，再加上公共角 ∠A）；P37 用 SSS（AB = AC、BD = DC、AD 公共）；P42 用 HL（两个直角三角形，斜边 AB 公共、直角边 AC = BD）。动笔前先把"用哪一筛"写在最前面。 （二）课本练习 1. 请把课本翻到 P34 练习第 1 题，照题目的要求作答：要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D 使 CD = CA，连接 BC 并延长到 E 使 CE = CB，连接 DE，量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么？（图形见课本 P34 练习第 1 题） 2. 请把课本翻到 P34 练习第 2 题，照题目的要求作答：点 E、F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，求证 ∠A = ∠D。（图形见课本 P34 练习第 2 题） 3. 请把课本翻到 P36 练习第 1 题，照题目的要求作答：AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为 B、D，且 ∠1 = ∠2，求证 AB = AD。（图形见课本 P36 练习第 1 题） 4. 请把课本翻到 P36 练习第 2 题，照题目的要求作答：要测池塘两岸相对的两点 A、B 的距离，可以在池塘外取 AB 的垂线 BF 上的两点 C、D，使 BC = CD，再画出 BF 的垂线 DE，使点 E 与点 A、C 在同一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长，为什么？（图形见课本 P36 练习第 2 题） 5. 请把课本翻到 P43 练习第 1 题，照题目的要求作答：C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D、E 两地，且 DA⊥AB、EB⊥AB，D、E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？（图形见课本 P43 练习第 1 题） 6. 请把课本翻到 P43 练习第 2 题，照题目的要求作答：AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，CE = BF，求证 AE = DF。（图形见课本 P43 练习第 2 题） 我的练习解答: 【解题提醒】六道练习的分工：P34 的第 1、2 题用 SAS；P36 的第 1 题用 AAS、第 2 题用 ASA；P43 的第 1、2 题用 HL。做题时先翻到课本那一页照图摆条件，注意 P34 第 2 题的 BE = CF 要先化成 BF = CE，P43 第 2 题的 CE = BF 要先化成 CF = BE。 （三）本节知识结构 如图 15，五个筛子串成一条线，四个课时各归其位。 图 15 本节知识结构：一筛 条件够不够 → 二筛 两边一角 → 三筛 两角一边 → 四筛 三边 → 五筛 直角三角形 把五个筛子读成一句话：判定两个三角形全等，先看手里的条件是哪一路——两边一角按位置挑 SAS，两角一边挑 ASA 或 AAS，三边直接用 SSS；碰上直角三角形，还多一条 HL。 （四）三级自查 级别 自查内容 做到 一级　说得出 SAS、ASA、AAS、SSS、HL 各要求什么条件；SSA 为什么不能判定；三角形为什么具有稳定性；作一个角等于已知角的道理 ○ 二级　画得出 两边一角的两种情形（夹角与对角）、两角一边的两种情形（夹边与对边）、三边分别相等、两个直角三角形斜边与一条直角边相等，这五类图形都能画出来并标上记号 ○ 三级　用得上 给一组条件能选出判定方法；能把条件按判定名称的顺序摆对；能用 HL 处理直角三角形；能由两个三角形全等反推线段相等或角相等 ○ （五）错例诊所 错例 哪里错了 怎么改 ①把"两边和其中一边的对角分别相等"当成判定方法 这就是 SSA，角没有夹在两条已知边之间 先看角是不是两条已知边的夹角；是夹角才能用 SAS ②用 HL 时两个三角形前面不写"Rt" HL 是直角三角形特有的判定，"斜边"只有直角三角形才有 写成"在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中"，再摆两个条件 ③只有两个条件就下结论 一个条件、两个条件都不能保证全等 至少凑满三个条件，并核对它们是否满足某一条判定 ④把 SAS 的条件写成"角、边、边" 顺序与判定名称对不上，摆出来的条件可能不满足 按判定名称的顺序摆：SAS 就是边、角、边 ⑤两角一边里那条边跟两个角都不挨着 它既不是夹角，也不是其中一角的对边，条件不成立 把边换成两角之间的夹边（ASA），或换成其中一角的对边（AAS） ⑥由两个三角形全等直接说某两条边相等，却没写对应关系 没有先确定对应顶点，等号两边可能接错 先按字母顺序定出对应顶点，再写"全等三角形的对应边相等" （六）我的疑问 把本节还没弄明白的地方写下来（比如"SSA 在什么情况下恰好能判定""HL 与 SAS 会不会用混"），下节课前先自己查一查、再问一问。 我的疑问: 八、【行装 · 分层作业与自评】分层巩固与《习题14.2》 作业分两层：必做题是课本《习题14.2》（P43—P46）的全部题目，与课堂上的五个筛子一一对应；分层巩固题按 A、B、C 三组递进，A 组回到判定的名字与条件，B 组练"条件换了怎么选"，C 组多绕一步。做完先自己对一遍参考答案，再看最后一栏的自我评价。 《习题14.2》每道题的图形都印在课本上，题面后面都注明了图形在哪一页的哪一题，做题时把课本翻开对着看。本稿不再重画课本原图，以免与课本上的字母位置对不上。 （一）必做 · 课本《习题14.2》（P43—P46）第 1—18 题 复习巩固 1. M 是 AB 的中点，∠AMC = ∠BMD，MC = MD。求证：AC = BD。（图形见课本 P43 第 1 题） 2. AB = AC，AD = AE。求证：∠B = ∠C。（图形见课本 P43 第 2 题） 3. 把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）。要测量工件内槽宽 AB，只需要测量哪些量？为什么？（图形见课本 P43 第 3 题） 4. ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。求证：AC = AD。（图形见课本 P44 第 4 题） 5. ∠1 = ∠2，∠B = ∠D。求证：AB = CD。（图形见课本 P44 第 5 题） 6. 从 C 地看 A、B 两地的视角 ∠C 是锐角，C 地与 A、B 两地的距离相等。A 地到路段 BC 的距离 AD 与 B 地到路段 AC 的距离 BE 相等吗？为什么？（图形见课本 P44 第 6 题） 7. AB = AD，AC = AE，BC = DE。求证：∠BAC = ∠DAE。（图形见课本 P44 第 7 题） 8. 在一个平分角的仪器中，AB = AD，BC = DC。将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线。你能说明它的道理吗？（图形见课本 P44 第 8 题） 9. 点 C 在 ∠AOB 的边 OB 上。利用直尺和圆规过点 C 作射线 OA 的平行线 CD。（图形见课本 P44 第 9 题） 10. 已知 △ABC。利用直尺和圆规作 △ABD，使 ∠BAD = ∠BAC，AD = AC（点 D 与点 C 在 AB 的不同侧）。（图形见课本 P44 第 10 题） 11. 在 △ABC 中，AB = AC，AD 是高。求证：BD = CD，∠BAD = ∠CAD。（图形见课本 P45 第 11 题） 12. AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为 C、B，AB = DC。求证：∠ABD = ∠ACD。（图形见课本 P45 第 12 题） 综合运用 13. 点 B、E、C、F 在一条直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF。求证：∠A = ∠D。（图形见课本 P45 第 13 题） 14. AC 和 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD。求证：AB 平行于 CD。（图形见课本 P45 第 14 题） 15. 点 B、F、C、E 在一条直线上，FB = CE，AB 平行于 DE，AC 平行于 DF。求证：AB = DE，AC = DF。（图形见课本 P45 第 15 题） 16. △ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′ 分别是 △ABC、△A′B′C′ 的对应角的平分线。求证：AD = A′D′。（图形见课本 P45 第 16 题） 拓广探索 17. D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE = FE，FC 平行于 AB。AE 与 CE 有什么关系？证明你的结论。（图形见课本 P46 第 17 题） 18. 在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上。找出图中的全等三角形，并证明它们全等。（图形见课本 P46 第 18 题） 我的解答: 【作业提醒】《习题14.2》的分工：第 1、2、3、4、14 题用 SAS；第 5、6、17 题用 AAS；第 7、8、13、18 题用 SSS；第 15、16 题用 ASA；第 11、12 题用 HL；第 9、10 题是尺规作图。做题时先把课本翻到 P43—P46，按题号把图对上号再动手。 （二）分层巩固 A 组 1. 填空：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成 ______。 A 组 2. 填空：三边分别相等的两个三角形全等，简写成 ______。 A 组 3. 判断：两个三角形有两条边和其中一边的对角分别相等，它们一定全等。（　　） A 组 4. 在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB = DE，则 △ABC≌△DEF 的依据是 ______。 我写 A 组解答: B 组 5. 在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE = 6 cm，BC = EF = 8 cm。要使 △ABC≌△DEF，还要添一个条件。写出两种不同添法，并说明各依据哪一条判定。 B 组 6. 在 △ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点。求证：∠B = ∠C。 B 组 7. 在 △ABC 与 △DEF 中，∠B = ∠E，∠C = ∠F。要使 △ABC≌△DEF，可以添什么条件？写出两种不同添法，并说明依据。 我写 B 组解答: C 组 8. 在 △ABC 与 △ADE 中，AB = AD，AC = AE，∠BAD = ∠CAE。求证：BC = DE。 C 组 9. 在 △AOB 与 △COD 中，OA = OC，OB = OD，∠AOB = ∠COD。求证：AB = CD，并说明 AB 与 CD 的位置关系。 C 组 10. 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且 BD = CD。求证：AB = AC，∠BAD = ∠CAD。 我写 C 组解答: 【作业提醒】分层提示：A 组回到判定的名字与条件；B 组要先想"已知的两条边或两个角，能配出哪一条判定"；C 组多绕一步——第 8 题要先用角的和差把 ∠BAD = ∠CAE 化成 ∠BAC = ∠DAE，第 9 题证完全等后还要由内错角相等说明两直线平行，第 10 题要注意 AD 是高，用 SAS 而不是 HL。 （三）自我评价 评价项目 做到了 还要练 说得出 SAS、ASA、AAS、SSS、HL 各要求什么条件 ○ ○ 说得出 SSA 为什么不能判定，并能画出那个"两个交点"的图 ○ ○ 给一组条件能选出判定方法，并把条件按判定名称的顺序摆对 ○ ○ 知道三角形为什么具有稳定性，会用作图说明 ○ ○ 会用圆规和直尺作三角形、作一个角等于已知角，并说得出道理 ○ ○ 《习题14.2》必做题全部完成并核对过 ○ ○ （四）学习反思 这一节最花时间的地方在哪里？是 SAS 与 SSA 的区分，还是 HL 的书写，还是由全等反推线段相等？把最不顺手的一处写下来，下节课前再练两道同类题。 我的反思: 【自查提醒】自查提醒：五条判定里只要有一条说不出它的完整条件，就在那一栏打上"还要练"，并在下面写一句"打算怎么补"——比"下次注意"更管用的是写清具体动作，比如"把 SAS 的符号语言默写两遍"。 九、【参考答案】 以下答案按板块顺序排列，先自己做完再对照。对照时重点看三样：判定方法选对了没有，三个条件的顺序摆对了没有，由全等推出的相等关系有没有先说对应。 （一）导览　六个条件与起跑热身 项目 参考答案 六个条件 一个三角形有三条边、三个角，一共六个元素。判定两个三角形全等，就是在这六个元素里挑出够用的几个。 起跑热身 1. 相等；相等。2. 6 个；3；3。3. 不对，一条边相等只能说明"有一边一样长"，形状可以差很多。4. 不对，一个角相等同样定不下来。5. AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF；∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E、∠C 与 ∠F。6. 三个角（但三个角分别相等并不能判定全等）。7. 三角形木架推拉之后形状、大小都不变，因为三条边确定之后它就定了；四根木条钉成的四边形会变形。 （二）一筛　一个条件、两个条件都不够 项目 参考答案 这一筛的结论 只给一个条件（一条边或一个角）或两个条件（两条边、一边一角、两个角），画出的三角形不能保证全等。想判定全等，至少一次要拿出三个条件。 三个角为什么也不行 三个角分别相等只能保证"形状相同"，大小可以差很远——把同一个三角形的图样放大后重新画一遍，三个角都对得上，两个三角形却重合不了。 即时练习 1. 不一定。2. 不对，两条边相等时第三个顶点的位置还飘着，形状可以差很多。3. 3；3；6。4. 是夹角时一定全等；只是一边的对角时不一定全等。5. 把同一个三角形的图样放大后重新画，三个角分别相等但大小不同，不能完全重合。 （三）二筛　两边一角：SAS 与 SSA 项目 参考答案 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成"边角边"或 SAS。符号语言：在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE、∠A = ∠D、AC = DF，所以 △ABC≌△DEF（SAS）。 SSA 为什么不行 把角换成其中一条边的对角之后，以 A 为圆心、AC 为半径画弧，弧与射线 BC 会交出两个点 C 与 C′。两个三角形都有 AB、都等于同一个 AC、都带着同一个 ∠B，却不能完全重合，所以 SSA 不是判定方法。 即时练习 1. 边角边；SAS。2. SAS。3. 不对，这是 SSA，不能判定。4. 添 AC = DF。5. 添 ∠A = ∠D（SAS），或添 BC = EF（SSS）；不能添 ∠B = ∠E，因为 AC 对着 ∠B，那是 SSA。 （四）三筛　两角一边：ASA 与 AAS 项目 参考答案 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成"角边角"或 ASA。 AAS 两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等，简写成"角角边"或 AAS。 两条判定的关系 三角形内角和是 180°，两个角确定之后第三个角也确定；有了第三个角，AAS 里的对边就变成了 ASA 里的夹边。所以 ASA 与 AAS 其实是一回事，做题时不必刻意区分。 即时练习 1. 夹边；角边角；ASA。2. 角角边；AAS。3. AAS（BC 是 ∠A 的对边）。4. 添 AB = DE（ASA）；或添 AC = DF、BC = EF（AAS）。5. 内角和是 180°，第三角由前两角唯一确定，不必再量。 （五）四筛　三边：SSS 与尺规作图 项目 参考答案 SSS 三边分别相等的两个三角形全等，简写成"边边边"或 SSS。符号语言：在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE、BC = EF、CA = FD，所以 △ABC≌△DEF（SSS）。 稳定性 三条边都确定之后，三角形的形状和大小就不再改变，所以三角形具有稳定性；四条边都确定之后四边形仍会变形。 尺规作图 作三角形三步：作 AB = c；分别以 A、B 为圆心，以 b、a 为半径画弧，两弧交于 C；连接 AC、BC。作一个角等于已知角：先在已知角上画弧得 P、Q，再在新角上画同样半径的弧得 Q′，以 Q′ 为圆心、PQ 为半径画弧交于 P′，连 O′P′ 即得。 作图的道理 两弧的交点说明作出的三角形三边分别等于 a、b、c，由 SSS 保证形状、大小唯一；作角时 △OPQ≌△O′P′Q′（SSS），所以 ∠O = ∠O′。 即时练习 1. 边边边；SSS。2. 对。3. c；b；a。4. 三边分别相等，全等（SSS）。5. 等于第一次画弧时两弧交点之间的弦长 PQ，两次量得一样，弧才一样。 （六）五筛　直角三角形：HL 项目 参考答案 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成"斜边、直角边"或 HL。两个三角形前面要写"Rt"。 与一般方法的关系 SAS、ASA、AAS、SSS 对直角三角形都适用；HL 是直角三角形特有的。直角三角形自带一个直角，三个条件里已经具备一个，所以再量两个就够。 即时练习 1. 斜边、直角边；HL。2. 不对，HL 只在直角三角形里用。3. HL。4. AB = AC（斜边）、AD = AD（公共的直角边）。5. 因为它自带一个直角，三个条件里有一个已经具备。 （七）过关　例题、课本练习与自查 题号 参考答案 例题（课本 P33） ∠C = ∠D。因为 AB 平分 ∠CAD，所以 ∠CAB = ∠DAB；在 △ABC 与 △ABD 中，AC = AD、∠CAB = ∠DAB、AB = AB，所以 △ABC≌△ABD（SAS），所以 ∠C = ∠D。 例题（课本 P35） AD = AE。在 △ABE 与 △ACD 中，∠B = ∠C、AB = AC、∠A = ∠A，所以 △ABE≌△ACD（ASA），所以 AE = AD。 例题（课本 P37） AD⊥BC。D 是 BC 的中点，所以 BD = DC；在 △ABD 与 △ACD 中，AB = AC、BD = DC、AD = AD，所以 △ABD≌△ACD（SSS），所以 ∠ADB = ∠ADC；又 ∠ADB 与 ∠ADC 互为邻补角，各为 90°，所以 AD⊥BC。 例题（课本 P42） BC = AD。因为 AC⊥BC、BD⊥AD，所以 ∠C = ∠D = 90°，△ABC 与 △BAD 都是直角三角形；在 Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，AB = BA（公共斜边）、AC = BD，所以 Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），所以 BC = AD。 练习 P34 第1题 DE = AB。在 △ABC 与 △DEC 中，CA = CD、∠ACB = ∠DCE（对顶角相等）、CB = CE，所以 △ABC≌△DEC（SAS），所以 AB = DE。 练习 P34 第2题 ∠A = ∠D。因为 BE = CF，所以 BE + EF = CF + EF，即 BF = CE；在 △ABF 与 △DCE 中，AB = DC、∠B = ∠C、BF = CE，所以 △ABF≌△DCE（SAS），所以 ∠A = ∠D。 练习 P36 第1题 AB = AD。因为 AB⊥BC、AD⊥DC，所以 ∠B = ∠D = 90°；在 △ABC 与 △ADC 中，∠B = ∠D、∠1 = ∠2、AC = AC，所以 △ABC≌△ADC（AAS），所以 AB = AD。 练习 P36 第2题 AB = DE。因为 AB⊥BC、DE⊥BF，所以 ∠ABC = ∠EDC = 90°；在 △ABC 与 △EDC 中，∠ABC = ∠EDC、BC = DC、∠ACB = ∠ECD（对顶角相等），所以 △ABC≌△EDC（ASA），所以 AB = DE。 练习 P43 第1题 相等。C 是 AB 的中点，所以 AC = BC；两人同速同时出发、同时到达，所以 CD = CE；又 ∠A = ∠B = 90°，在 Rt△ACD 与 Rt△BCE 中，AC = BC、CD = CE，所以 Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），所以 DA = EB。 练习 P43 第2题 AE = DF。因为 CE = BF，所以 CE - EF = BF - EF，即 CF = BE；又 ∠DFC = ∠AEB = 90°，在 Rt△DFC 与 Rt△AEB 中，DC = AB、CF = BE，所以 Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），所以 AE = DF。 知识结构与自查 五个筛子：条件够不够（一个、两个条件都不够）→ 两边一角（SAS）→ 两角一边（ASA 与 AAS）→ 三边（SSS）→ 直角三角形（HL）。三级自查与错例改法见板块七的两张表。 我的疑问 按自己写下的问题逐一解决；解决后在问题旁边打一个勾。 （八）行装　分层巩固与《习题14.2》 题号 参考答案 习题14.2 第1题 AC = BD。M 是 AB 的中点，所以 AM = BM；在 △ACM 与 △BDM 中，AM = BM、∠AMC = ∠BMD、MC = MD，所以 △ACM≌△BDM（SAS），所以 AC = BD。 习题14.2 第2题 ∠B = ∠C。在 △ABE 与 △ACD 中，AB = AC、∠A = ∠A、AE = AD，所以 △ABE≌△ACD（SAS），所以 ∠B = ∠C。 习题14.2 第3题 只需要测量两根钢条的另两个端点之间的距离。理由：设两根钢条的中点都是 O，其中一根的两端是 A、B，另一根的两端是 A′、B′，则 OA = OA′、OB = OB′，∠AOB = ∠A′OB′（对顶角相等），所以 △AOB≌△A′OB′（SAS），所以 AB = A′B′，量出 A′B′ 就等于量出了工件内槽宽 AB。 习题14.2 第4题 AC = AD。因为 ∠3 = ∠4，所以 ∠ABD = ∠ABC（等角的补角相等）；在 △ABD 与 △ABC 中，∠1 = ∠2、AB = AB、∠ABD = ∠ABC，所以 △ABD≌△ABC（ASA），所以 AC = AD。 习题14.2 第5题 AB = CD。在 △ABC 与 △CDA 中，∠1 = ∠2、∠B = ∠D、AC = CA，所以 △ABC≌△CDA（AAS），所以 AB = CD。 习题14.2 第6题 AD = BE。因为 AD⊥BC、BE⊥AC，所以 ∠ADC = ∠BEC = 90°；又 C 地与 A、B 两地的距离相等，即 AC = BC；在 △ACD 与 △BCE 中，∠ADC = ∠BEC、∠C = ∠C、AC = BC，所以 △ACD≌△BCE（AAS），所以 AD = BE。 习题14.2 第7题 ∠BAC = ∠DAE。在 △ABC 与 △ADE 中，AB = AD、AC = AE、BC = DE，所以 △ABC≌△ADE（SSS），所以 ∠BAC = ∠DAE。 习题14.2 第8题 道理是 SSS。在 △ABC 与 △ADC 中，AB = AD、BC = DC、AC = AC，所以 △ABC≌△ADC（SSS），所以 ∠BAC = ∠DAC，即 AE 平分这个角。 习题14.2 第9题 作法：用尺规作一个角等于 ∠AOB，使它的顶点是 C、一边是 CO，所作角的另一条边所在的直线就是过 C 且与 OA 平行的直线 CD。道理是同位角相等，两直线平行。 习题14.2 第10题 作法：以 A 为圆心、AC 为半径画弧；在 AB 的另一侧，以 A 为顶点、AB 为一边作 ∠BAE 等于 ∠BAC；射线 AE 与那条弧的交点就是 D，连接 BD，△ABD 就是所求作的三角形。 习题14.2 第11题 BD = CD，∠BAD = ∠CAD。因为 AD 是 △ABC 的高，所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°；在 Rt△ADB 与 Rt△ADC 中，AB = AC、AD = AD，所以 Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），所以 BD = CD、∠BAD = ∠CAD。 习题14.2 第12题 ∠ABD = ∠ACD。因为 AC⊥CB、DB⊥CB，所以 ∠ACB = ∠DBC = 90°；在 Rt△ACB 与 Rt△DBC 中，AB = DC、CB = BC，所以 Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），所以 ∠ABC = ∠DCB；又 ∠ABD = 90° - ∠ABC、∠ACD = 90° - ∠DCB，所以 ∠ABD = ∠ACD（等角的余角相等）。 习题14.2 第13题 ∠A = ∠D。因为 BE = CF，所以 BE + EC = CF + EC，即 BC = EF；在 △ABC 与 △DEF 中，AB = DE、AC = DF、BC = EF，所以 △ABC≌△DEF（SSS），所以 ∠A = ∠D。 习题14.2 第14题 AB 平行于 CD。在 △AOB 与 △COD 中，OA = OC、∠AOB = ∠COD（对顶角相等）、OB = OD，所以 △AOB≌△COD（SAS），所以 ∠A = ∠C；内错角相等，两直线平行，所以 AB 平行于 CD。 习题14.2 第15题 AB = DE，AC = DF。因为 AB 平行于 DE、AC 平行于 DF，所以 ∠B = ∠E、∠ACB = ∠DFE；又 FB = CE，所以 FB + FC = CE + FC，即 BC = EF；在 △ABC 与 △DEF 中，∠B = ∠E、BC = EF、∠ACB = ∠DFE，所以 △ABC≌△DEF（ASA），所以 AB = DE、AC = DF。 习题14.2 第16题 AD = A′D′。因为 △ABC≌△A′B′C′，所以 AB = A′B′、∠B = ∠B′、∠BAC = ∠B′A′C′；又 AD、A′D′ 分别平分这两个角，所以 ∠BAD = ∠B′A′D′；在 △ABD 与 △A′B′D′ 中，∠B = ∠B′、AB = A′B′、∠BAD = ∠B′A′D′，所以 △ABD≌△A′B′D′（ASA），所以 AD = A′D′。 习题14.2 第17题 AE = CE。因为 FC 平行于 AB，所以 ∠A = ∠ECF；在 △ADE 与 △CFE 中，∠A = ∠ECF、∠AED = ∠CEF（对顶角相等）、DE = FE，所以 △ADE≌△CFE（AAS），所以 AE = CE。 习题14.2 第18题 有三对：△ABD≌△ACD、△BDE≌△CDE、△ABE≌△ACE。因为 D 是 BC 的中点，所以 BD = CD；在 △ABD 与 △ACD 中，AB = AC、AD = AD、BD = CD，所以 △ABD≌△ACD（SSS），所以 ∠BDE = ∠CDE；在 △BDE 与 △CDE 中，BD = CD、∠BDE = ∠CDE、DE = DE，所以 △BDE≌△CDE（SAS），所以 BE = CE；在 △ABE 与 △ACE 中，AB = AC、AE = AE、BE = CE，所以 △ABE≌△ACE（SSS）。 A 组 1. 边角边（SAS）。2. 边边边（SSS）。3. 不对，这是 SSA，不能判定。4. ASA（AB 是 ∠A 与 ∠B 的夹边）。 B 组 5. 添 ∠B = ∠E，依据 SAS；或添 AC = DF，依据 SSS。6. 因为 D 是 BC 的中点，所以 BD = CD；在 △ABD 与 △ACD 中，AB = AC、BD = CD、AD = AD，所以 △ABD≌△ACD（SSS），所以 ∠B = ∠C。7. 添 BC = EF，依据 ASA；或添 AB = DE（也可以添 AC = DF），依据 AAS。 C 组 8. 因为 ∠BAD = ∠CAE，所以 ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，即 ∠BAC = ∠DAE；在 △ABC 与 △ADE 中，AB = AD、∠BAC = ∠DAE、AC = AE，所以 △ABC≌△ADE（SAS），所以 BC = DE。9. 在 △AOB 与 △COD 中，OA = OC、∠AOB = ∠COD、OB = OD，所以 △AOB≌△COD（SAS），所以 AB = CD；又 ∠A = ∠C，内错角相等，所以 AB 平行于 CD。10. 因为 AD 是 BC 边上的高，所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°；在 △ADB 与 △ADC 中，BD = CD、∠ADB = ∠ADC、AD = AD，所以 △ADB≌△ADC（SAS），所以 AB = AC、∠BAD = ∠CAD。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $