4.3.2 对数的运算（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.2 对数的运算（教学设计） 课题 4.3.2 对数的运算 单元 第四章 指数函数与对数函数（4.3 对数 第2课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、能利用指数幂的运算性质和对数与指数的关系推导对数的运算性质，理解三条性质的条件与结论，发展逻辑推理素养； 2、能运用对数的运算性质进行化简与求值，体会“把乘法转化为加法、把除法转化为减法、把乘方转化为乘法”这一降级运算的思想，发展数学运算素养； 3、理解对数换底公式的意义与推导过程，会用换底公式求任意底数的对数，并能用它解决4.2.1中留下的“经过多少年游客人次翻倍”问题。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》4.3《对数》的第2课时。第1课时已建立对数的概念与这一核心关系；本节课研究对数的运算性质与换底公式。 本节的知识结构框图为“指数幂的运算性质”在上方，箭头向下指向“指数幂及其运算对数对数的运算性质换底公式”（教师用书 p.176）——这说明对数的运算性质不是新发现的规律，而是指数幂运算性质的“翻译”。 教材的推进分四步：第一，由节首语“在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质”引出问题，并用探究框点明研究方法——能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质；第二，教材完整示范性质(1)的推导（设，，由得，再由对数与指数的关系得），然后把性质(2)(3)交给学生仿作；第三，由“对数表只能查10和为底”的现实需求逼出换底公式，并用性质(3)完成推导；第四，回到4.2.1的原始问题，用换底公式算出，形成闭环。 教师用书指出：“因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号”，通过对数运算可以把乘法转化为加法、把除法转化为减法、把乘方转化为乘法；从运算角度看，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方开方是三级运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算（教师用书 p.177）。 学情分析 学生已掌握对数与指数的互化关系，也熟练掌握了指数幂的三条运算性质（，，），为本节提供了知识准备。本节学生面临的主要障碍： 1、想不到用“设，”这种方法把对数问题转化为指数幂问题，缺少“从定义、基本原理出发思考问题”的意识； 2、容易把性质记成“”这类错误形式，忽视性质中、的条件； 3、推导性质(2)(3)时不知如何下手，需要教师给出足够明确的示范； 4、对换底公式“为什么需要它”缺乏体会，容易把它当成一个孤立的公式死记。 教学策略：完整示范性质(1)的推导，把(2)(3)放手给学生仿作；用“对数表只能查10和为底”的现实困难引出换底公式；用4.2.1的原始问题首尾呼应。 教学重点 对数的运算性质；对数换底公式。 教学难点 对数运算性质的得出；对数换底公式的推导。 教学准备 多媒体课件（PPT）、计算器（或计算工具） 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【节首语 明确任务】 教师呈现教材节首语：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质。你认为可以怎样研究？ 教师引导学生回顾：我们研究过指数幂的运算性质，也研究过指数函数、对数函数的图象和性质。那么研究一种新运算的性质，通常可以怎么做？ 学生回答后教师呈现教材探究框： 探究：我们知道对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 教师点明本节课的研究方法：对数是指数幂中指数的一种等价表示形式，所以对数的运算性质应当能从指数幂的运算性质“翻译”过来。 1、回顾指数幂的三条运算性质； 2、思考并回答“研究对数运算性质”的可能路径； 3、认同研究方法：把对数问题转化为指数幂问题。 由节首语和探究框把“研究什么、怎么研究”同时点明，避免学生盲目猜测公式；这也正是教师用书强调的“从定义、基本原理出发思考问题”的引导（教师用书 p.178）。 新知 探究1 【示范推导性质(1)】 教师完整示范（教材原文）： 设，， 因为， 所以。 根据对数与指数间的关系可得 ，， 。 这样，就得到了对数的一个运算性质： 。 教师追问：为什么可以把写成？——因为且，，对数存在就保证了这件事。 教师强调：这一步“设，”正是把对数问题转化为指数幂问题的关键。 1、跟随教师完整走一遍推导，理解每一步的依据； 2、回答追问：由对数的定义，就等价于； 3、把推导过程在笔记本上重新写一遍，标出“用了什么”。 教材只完整推导性质(1)，把(2)(3)留给学生——这是教材刻意安排的“放手的接口”。因此这里必须把方法讲透、把示范做完整，学生才有仿作的依据。 新知 探究2 【仿作性质(2)(3)，得到性质框】 教师呈现教材过渡句：同样地，同学们可以仿照上述过程，由和，自己推出对数运算的其他性质。 学生独立推导后，教师请两名学生板演并讲评： （2）设，，由得，所以； （3）设，由得，所以。 教师呈现性质框（教材原文）：如果，且，，，那么 （1）； （2）； （3）（）。 教师强调三点易错：① 、的条件不能少；② 性质(3)中可以是任意实数；③ 不要把写成。 教师补充（教师用书 p.177）：对数的运算性质把乘法转化为加法、把除法转化为减法、把乘方转化为乘法——从运算角度看，这是降低了运算的级别。 1、独立仿照性质(1)的推导过程，写出性质(2)(3)的推导； 2、两名学生板演，其余学生对照订正； 3、同桌互相检查性质的条件是否写全； 4、用自己的话说出三条性质的共同作用——“降级运算”。 “从运算角度看，加减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算”——把三条性质放在“降级运算”这一统一视角下理解，避免机械记忆，同时回应了对数发明的历史动机。 典例 精讲1 【例3（教材P124）】求下列各式的值： （1）；（2）。 解：（1）； （2）。 教师点拨：第(1)问先把根式化为分数指数幂，再用性质(3)；第(2)问先用性质(1)把积的对数拆开，再用性质(3)把指数提到前面。 1、先观察式子的结构，判断该用哪一条性质； 2、第(1)问把写成； 3、第(2)问先拆积、再提指数； 4、记住两个基本值：，。 “例3中的两个小题是直接运用对数的运算性质进行具体数值的计算”（教师用书 p.178）。两小题分别对应“根式化分数指数幂”与“积的对数”，训练运算的方向感。 典例 精讲2 【例4（教材P125）】用，，表示。 解： 。 教师点拨先后的顺序：先用性质(2)把商的对数化成差，再用性质(1)把积的对数化成和，最后用性质(3)把指数提到前面——顺序不能乱。 教师提醒：结果中的系数、、分别来自的指数、的指数和的指数。 1、先用性质(2)处理分式； 2、再用性质(1)处理分子上的乘积； 3、把、先写成、； 4、检查结果是否还能合并（不能，这里已经是最终形式）。 “例4是关于有字母的对数的运算，它是综合运用对数的运算性质进行运算”（教师用书 p.178）。本例没有任何数字，纯粹训练运算的结构感与顺序感。 新知 探究3 【换底公式：从现实需求到公式】 教师抛出问题：如果要计算的值，计算器上只有和两个键，怎么办？ 教师呈现教材的历史/动机段：数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数。 教师呈现教材探究框：（1）利用计算工具求，的近似值；（2）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？（3）根据对数的定义，你能用，表示（，且；；，且）吗？ 师生完成(1)(2)：，，，而，两者相等。 教师板演(3)的推导：设，则，于是。根据性质(3)得，即，所以 （，且；；，且）。 教师给出名称（教材原文）：我们把上式叫做对数换底公式。 教师用自然语言描述（教师用书 p.178）：一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数。 1、亲身体验“计算器上只有和”的困难； 2、用计算工具算出、，发现恰好等于； 3、参与推导：把化为指数式，再两边取以为底的对数； 4、用自己的话复述换底公式的结构。 由“计算器没有任意底的对数键”这一真实困难逼出换底公式，学生才能体会它的必要性。教师用书指出“具体、特殊的问题往往能启发思路、发现规律，进而推广到一般情形。这种从特殊到一般的过程是我们思考和解决问题时常用的方法”（教师用书 p.178）。 新知 探究4 【回到起点：解决4.2.1留下的问题】 教师引导学生回到4.2.1的问题1：求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值。 教师板演：由换底公式可得 。 利用计算工具，可得 。 教师小结（教材原文）：由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍。类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，所需要的年数。 教师点题：这节课我们把上节课只能“估算”的问题精确地算出来了。 1、把上节课的遗留问题重新写出来； 2、用换底公式改写成； 3、用计算工具求出≈6.64，按题意取整得7年； 4、体会“引入对数→建立运算性质→导出换底公式”这条线索的价值。 教材在此处回到节首问题，形成首尾呼应的闭环。让学生看到数学工具“从问题中来、回到问题中去”，比单纯记公式更有价值。 典例 精讲3 【例5（教材P126）】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为 。 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和。由，可得 ，。 于是， 所以。 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍。 1、先把和分别代入，写出与； 2、用性质(2)把写成； 3、由得； 4、思考教材旁注“想一想”：为什么震级仅差1级，能量却相差那么多？ 本例把对数运算性质用在真实的地震问题上。“想一想”追问把学生引向“指数爆炸”的直观感受——这正是教师用书所说的“在指数幂运算中，‘指数增长’的变化非常快；在对数运算中，‘对数增长’的变化就比较慢”（教师用书 p.178）。 课堂 练习 【教材P126 练习】 1、求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。 2、用，，表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。 3、求下列各式的值： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 1、独立完成三组练习，限时10分钟； 2、第1题直接套用三条性质； 3、第2题注意先化分式与根式，再用性质； 4、第3题用换底公式统一化为同底后约简，第(2)问注意、。 三组练习分别对应“数值计算”“字母化简”“换底公式的应用”，与三个例题一一呼应。第3题是换底公式的典型综合应用，也是本节的能力落点。 课堂 小结 教师引导学生构建本节知识框架： 一、研究方法 把对数问题转化为指数幂问题：设，，用指数幂的运算性质推出对数的运算性质。 二、对数的运算性质（，且；，） （1）； （2）； （3）（）。 三、换底公式 （，且；；，且）。 四、核心思想 对数运算把乘法转化为加法、除法转化为减法、乘方转化为乘法——降低运算级别，简化运算。 五、闭环 ，约7年后游客人次翻倍。 1、分模块口述本节知识框架； 2、独立绘制知识结构图：对数的概念运算性质（3条）换底公式应用； 3、明确易错点：性质中、不能少；不要把拆开；换底公式中分子分母的位置不要颠倒。 形成结构化的认识，把“运算性质”与“换底公式”放在“降低运算级别”这一统一视角下；同时用4.2.1问题的闭环收束，让学生体会数学工具的价值。 作业 布置 【教材 习题4.3】分层布置： 1、复习巩固（必做）：第3题——用运算性质求值（6小题）； 2、复习巩固（必做）：第4题——用运算性质表示（4小题）； 3、综合运用（必做）：第7题——证明换底公式的两个推论； 4、拓展探索（选做）：第8、9、10题。 【部分答案（教师用书 p.194）】 第3题：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。 第4题：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 第7题：(1) 换底化为；(2) 。 第8题：由得。 记录作业要求，课后独立完成；第3、4题巩固运算性质，第7题巩固换底公式，第8、9、10题是实际应用，供学有余力的学生选做。 分层作业，巩固提升；第7题让学生自己证明换底公式的两个常用推论，加深对换底公式结构的理解；第8、9、10题把对数运算用到增长率、复利与实际问题中。 板书 设计 4.3.2 对数的运算 一、研究方法 把对数问题转化为指数幂问题：设 ， 用指数幂运算性质推出对数运算性质 二、对数的运算性质（，且 ；，） （1） （2） （3）（） 三、换底公式 （，且 ；；，且 ） 推导：设 四、核心思想 乘法 加法，除法 减法，乘方 乘法（降低运算级别） 五、应用（闭环） 约 7 年后游客人次翻倍 六、典型例题 例3：直接求值（根式化分数指数幂、积的对数） 例4：字母化简（商 积 指数，顺序不能乱） 例5：地震能量（，9.0 级是 8.0 级的约 32 倍） 学科网（北京）股份有限公司 $