4.4.2 对数函数的图象与性质教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦对数函数的图象与性质及反函数概念，通过回顾指数函数研究路径，引导学生类比“列表-描点-作图”方法，利用反函数关系构建知识支架，梳理前后知识脉络。 以反函数关系为核心，通过描点、对称性作图，小组合作归纳性质，结合溶液酸碱度实例，培养几何直观、推理能力和应用意识，分层目标与作业设计提升学生参与度，助力教师高效教学，夯实函数基础。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.4.2 对数函数的图象与性质 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数 与指数函数互为反函数(>0,≠1 ). 3.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 教材分析 我们知道，对数函数是指数函数的反函数，它所研究的问题自然也是指数函数“反过来的问题”.例如，指数函数刻画了死亡生物体内碳14的含量 随时间 变化而变化的规律，据此可以确定任意一个时刻 死亡生物体内碳14的含量．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它的死亡时间呢？也就是要解决由的值去求 的值的问题. 由指数函数的单调性（以及连续性）可知，任给一个∈(0,+∞)，都有唯一确定的 ∈R与之对应，所以 是 的函数，以符号记之.因为对数函数与指数函数互为反函数，不难想象，对数函数的性质反映了指数函数性质.所以，对于对数函数的研究，无论从函数的定义还是图象与性质，都要考虑如何根据这种关系，利用指数函数的已有结论得出对数函数的相应结论，而不是去简单重复指数函数的研究过程，这样也能把这个内容处理得简洁明快而且富有数学内涵.当然，像学习指数函数一样，这里也要强调利用对数的运算性质. 指数函数概念是通过比较指数函数与一次函数增长差异的实例引入，建立函数之后就可以借助于函数的图象与性质，通过分析函数而得知现实问题的变化规律.因此接下来研究不同函数增长的差异是有必要的. 一次函数是线性增长，其增长规律是学生熟悉的，因此可以将一次函数作为参照，通过分别将指数函数、对数函数与一次函数比较理解“指数爆炸”、“对数增长”、“直线上升”.在研究的过程中，可以先从具体函数的比较开始，再抽象出一般结论. 学情分析 对数函数是高中阶段学生学习的第三个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础.但是因为对数函数的学习是在其反函数-指数函数得到完整研究的基础上展开的，要借助对数与指数的内在联系，利用指数函数研究对数函数，这是学生以往经验中没有的，所以从这个角度说，学生会遇到一些困难.也就是说，这里的困难主要来自看问题的观点、研究问题的方法.教学中，要通过对数与指数的内在联系，采取适当的教学手段（例如列表对照、将图象画在同一个坐标系中进行比较等），借助指数函数认清对数函数的对应关系.强调通过代数运算的方法研究对数函数的性质，在对数函数作图时也要注意引导学生把它与指数函数的图象联系起来，使学生在借助指数函数研究对数函数的过程中领会这种研究方法的特点. 对三类函数增长速度进行比较是学生之前没有接触过的，对“增长速度”的理解、如何进行增长速度的比较等方面缺乏经验，造成学习的难点.为此，教师可以引导学生从具体函数出发，通过函数图象、代数运算数形结合地展开研究.同时，要借助计算工具的作图、计算功能，引导学生从函数图象上观察当自变量x的值不断增大时函数图象的走势，通过运算观察三种函数值随自变量的不断增大时的增长趋势，形成“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的具体感受.5 单元教学目标 1.由实例，利用指数运算与对数运算的关系得出对应关系，并能利用函数概念和指数函数确定这种对应关系也是函数，从而形成对数函数的概念.能类比指数函数的研究，充分利用指数函数与对数函数的关系，展开对数函数的研究.能利用对数函数解决简单的实际问题. 2.能说出对数函数与指数函数之间的特殊关系，知道对数函数与指数函数互为反函数，且≠1). 3.能结合具体实例，借助计算工具，通过数形结合的方法比较对数函数、一次函数、指数函数的增长差异，能用具体例子说明“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义. 单元教学重点 难点 1.教学重点：对数函数的概念、图象和性质，不同函数增长的差异. 2.教学难点：对数函数性质的归纳；对“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的理解. 单元课时分配 本单元分3课时： 第1课时，对数函数的概念； 第2课时，对数函数的图象和性质； 第3课时，不同函数增长的差异. 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能用描点法与运算性质画出具体对数函数的图象. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能观察具体函数的图象，归纳出对数函数的性质，并初步应用对数函数的图象和性质解决简单问题. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，从具体实例中抽象出反函数的概念，探究反函数的性质. 课时学习重难点 教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：对数函数性质的归纳． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 我们前面研究幂函数、指数函数的经验，在得出函数的概念后，接着要研究什么？类比指数函数，你认为可以按什么路径和方法来研究？ 答： 类比指数函数，对于对数函数图象与性质的研究路径和方法，学生应该能想到：列表一描点一作图、根据同底数函数图象关系作图、用计算工具作图，并观察图象得出性质.教师给予肯定的基础上，用下面的追问引导学生思考新的方法. 二、目标一：学生能用描点法与运算性质画出具体对数函数的图象. 任务一：学生能用描点法画出具体对数函数的图象，得到同底指数函数与对数函数图象的关系 我们知道，对数函数的概念是在学习指数函数的基础上，通过提出“反过来的问题”，并利用指数与对数的内在联系而建立起来的.所以，就像利用指数幂的运算性质证明对数的运算性质那样，我们猜想可以通过对数函数与指数函数的联系，利用指数函数的图象和性质，得出对数函数的图象与性质. 问题1:(1)我们从特殊情况开始，请你在同一个直角坐标系中，用描点法画出和的图象，取点时注意选取哪些特殊点？ (2)观察图象，能说一说的图象和的图象之间有什么关系吗？为什么？如果在已知的图象的基础上，不用描点法，你将如何画出的图象？ 答：（1）①列表：表4.4-2（表中数值精确到1） x y x y 0.5 0.5 -1 0 1 1 0 1 2 2 1 2 4 4 2 2.6 6 6 2.6 3 8 8 3 3.6 12 12 3.6 4 16 16 4 ②描点作图：如图4.4-2 根据指数、对数的性质，取点时要把特殊点取上，比如（1,0），（2,1） （2）观察图象，得出的图象和的图象关于y=x对称.其理由如下： 设点P（,b）是函数图象上的任意一点，则，于是，所以点Q（b,）满足y=，即点Q在的图象上；反之，设点是图象上的任意一点，则 于是，所以点是函数图象上的一点.综上可知，的图象和的图象关于y=x对称. 由此，知道的图象，就可以利用这种对称性得出的图象. 评估一：学生能根据对数运算的性质，得到底数互为倒数的对数函数图象的关系. 在研究指数函数的图象和性质时，我们已经知道底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如函数和，它们的图象是否也有某种对称性呢？ 问题2: 请你利用这两个函数的解析式进行分析，再依据你得到的结论,借助函数的图象画出函数的图象. 答： 函数图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点,-y)都在的图象上，反之也对，通过这种对称性，可以利用y=的图象画出的图象.（如图4.4-3所示）． 图4.4-3 三、目标二：学生能观察具体函数的图象,归纳出对数函数的性质，并初步应用对数函数的图象和性质解决简单问题. 任务二：学生学生能观察具体函数的图象，归纳出对数函数的性质. （小组合作）问题3: （1）类比=2和时的对数函数图象的作图过程，先想象底数为=3，以及=4，时，对数函数图象的关系和形状，再在同一坐标系内画出这些函数的图象. （2）类比指数函数性质的研究过程，先思考从哪些角度观察以上函数的图象，再自己设计一个表格，写出对数函数的性质. 答：（1） 图象 定义域 值域 R 性质 （1）过定点（1,0)，即时， （2）减函数 （2）增函数 （2）1.对数函数的图象及性质：表4.4-3 教师补充（提示）：函数取值的特点：当0<<1,x>1时，自变量取同一个值时，对应的不同函数 的值的大小关系是：底数越大，函数值越小；当0<x<1，且取同一个值时，变化规律相反.当0<x<1时，函数图象位于直线x=1的左侧；当x>1时，函数图象位于直线x=1的右侧.当>1时，可以做类似分析. 通过观察还可以发现函数图象与坐标轴的位置关系：当0<<1时，底数越小，函数的图象越靠近坐标轴，向上靠近y轴，向右靠近x轴.当>1时，可以做类似分析. 评估二：学生能初步应用对数函数的图象和性质解决简单问题. 例3.比较下列各题中两个值的大小： (1)， ; (2)，; (3)，且≠1) 解： （1)和 可看作函数的两个函数值. 因为底数2>1，对数函数 是增函数，且3.4<8.5，所以 （2)和可看作函数的两个函数值.因为底数0<0.3<1，对数函数是减函数，且1.8<2.7，所以 (3)可看作函数 的两个函数值.对数函数的单调性决定于底数 是大于1还是小于1，因此需要对底数 进行讨论． 当>1时，因为函数 是增函数，且5.1<5.9，所以 当0<<1时，因为函数 是减函数，且5.1<5.9，所以 例4.溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔／升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔／升，计算纯净水的pH. 解：（1）根据对数的运算性质，有 在(0,+∞)上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即pH减小.所以，随着的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，pH值越小，溶液的酸性就越强. （2）当时．所以，纯净水的pH是7． 追问： 胃酸中氢离子的浓度是摩尔／升，胃酸的pH值是多少？ 解：当时，．所以，胃酸的pH值约是1.6．可见人体内胃酸的酸性是比较强的. 四、目标三：学生能从具体实例中抽象出反函数的概念，探究反函数的性质. 任务三：生能从具体实例中抽象出反函数的概念. 问题4: 观察和的图象，再对比指数函数、对数函数的图象和性质，你有什么发现？你能解释其中的原因吗？ 答： 对于指数函数，且≠1)和对数函数，且≠1): （1）定义域和值域互换； （2）所过定点的横纵坐标相互交换； （3）单调性都分0<<1,>1两类情况，而且单调性一致； （4）函数图象关于直线y=x对称. 2.反函数：指数函数，且≠1)和对数函数，且≠1)具有上述特殊关系，完全是由这两个函数的对应关系决定的，我们称具有这种特殊关系的两个函数互为反函数. 评估三：学生能探究反函数的性质. 问题5： 对于一般的指数函数，且≠1)与对数函数，且≠1)我们知道，它们互为反函数.那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个，且≠1)，画出指数函数及其反函数的图象.这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的？ 答： 第一步，猜想：指数函数及其反函数的图象关于直线y=x对称； 第二步，从代数的角度进行论证． 设点P(m,n)是函数图象上的任意一点，则，于是m=，所以点满足，即点在的图象上；反之，设点Q(r,s)是图象上的任意一点，则，于是r=，所以点是函数图象上的一点.综上可知，的图象和的图象关于直线y=x对称. 先由学生回顾研究一类函数的基本路径，即“背景→概念→图象与性质→应用”，确定接下来要研究对数函数的图象和性质，并用于解决问题. 学生在老师的指导下，利用指数与对数的关系，列出表格，作出图象，并观察、猜想图象之间的关系． 这个过程有一定的难度，如果学生不能回答，可以由教师直接讲解. 学生类比指数函数中的研究方法和类比问题1中的方法进行分析.如果有困难，教师可以通过问题引导 学生独立思考想象图象，小组合作，列表，描点在同一坐标系画出其余四幅图象，也可以根据运算性质，根据对称性快速作图。 学生类比指数函数性质表格，设计表格，形成小组答案，上台展示作答，小组间补充，教师总结，得出对数函数的性质. 教师通过信息技术可以作出更多的图象，由此可以从整体上突出对数函数的特征，清晰地呈现出对函数图象的类型，从而促使学生想到分类讨论对数函数的图象与性质. 学生在教师的引导下，类比指数函数中同类型问题进行求解. 学生在追问的引导下进行分析．与例3相比，本题中的函数关系是已知的，只是没有用习惯上的x、y表示自变量与函数值，其中“pH”是函数值，“是自变量．基于此就可以确定，第（1）问的本质是要用函数的单调性分析实际问题，第（2）问是求函数值． 学生观察，之后讨论，最后师生一起总结，得出结论 学生能仿照前面的过程进行证明，如果学生有问题的地方，可以由教师直接讲解. 在问题1的基础上，从特殊到一般，直接抽象出对数函数的概念．通过与指数函数关系的分析，明确两者的内在关联性，为后续利用互为反函数的关系研究对数函数做好铺垫. 把取点和列表对照起来，并将的图象和的图象画在同一个坐标系中，有利于学生进一步体会这两个函数之间的内在联系，发现它们的图象之间的对称关系，增强学生建立指数函数与对数函数之间的联系，利用指数函数研究对数函数的意识. 一般而言，学生会把作函数图象简单化为描点作图，通过问题2，可以让学生再一次意识到，可以利用代数性质简化作图.通过不同途径作图，增强学生对知识联系性的认识. 在充分研究函数图象后，先让学生类比指数函数的性质，明确观察函数图象的角度，再观察、归纳具体的对数函数图象的共同特征，进而概括出对数函数的性质.最后让学生比较指数函数、对数函数的图象与性质表，得出它们之间的内在关联.这样设计图象与性质的研究，数形结合非常紧密，而且突出了代数运算的作用，可以让学生充分体会指数函数与对数函数的特殊关系，领悟通过代数运算和函数图象认识函数性质的方法，提高研究函数问题的逻辑性，增加理性思维的成分. 通过应用对数函数的单调性比较大小，进一步理解函数单调性的概念，理解对数函数的单调性.巩固比较大小的方法. 使学生感悟对数函数在刻画现实世界中变化规律方面的重要作用，巩固对数函数的性质，休会数学学习的意义和价值. 将问题一般化，进一步对比指数函数与对数函数，探究它们之间的联系，从而以指数函数与对数函数为例，了解互为反函数的两个函数之间的对称性. 课堂小结 1.对数函数的图象与性质； 2.反函数及其性质. 学生作业 1.基础性作业：教科书第135页练习第1、2、3题； 答案： 1.两者关系：的图象与的图象关于x轴对称. 2.(1) ∵ ｙ=lgｘ在(0,＋∞)上是增函数,且0.6<0.8, ∴ lg0.6<lg0.8 (2)∵在(0,＋∞)上是减函数,且6>4, ∴ (3)①当m>1时,在(0,＋∞)上是增函数, ∵ ５<７∴ ②当0<ｍ<1时,在(0,＋∞)上是减函数, ∵ ５<７∴ 3.(1)由题意得,ｙ=3000(1＋6.8％)ｘ ,１≤ｘ≤５且ｘ∈Ｎ∗ . (2)3000(1＋6.8％)ｘ=3900, 解得 ｘ≈3.99, ∴ 经过4年该地区GDP能达到3900亿元人民币. 2.提升性作业：教科书第140页习题4.4第2、4题； 答案：2.(１)ｍ<ｎ.(２)ｍ>ｎ. (３)ｍ>ｎ.(４)ｍ>ｎ 4.(１)①对应函数，②对应函数 ③对应函数.当底数大于1时，图象在＝1的右侧，底数越大的图象越靠近轴. (２) （3）从(２)的图中发现，，，的图象分别与，的图象关于轴对称.可推广到一般情况. ∵=-且≠1), ∴的图象与且≠1)的图象关于轴对称，它们的单调性相反. 3.拓展性作业:教科书第140~141页习题4.4第7题； 7. (１)互为反函数.的定义域为(０,＋∞ ),值域为R, 的定义域为R,值域为(０,＋∞ ). (２)互为反函数. 由,得=-, ∴= ∴的反函数是. 的定义域为(０,＋∞ ),值域为R; 的定义域为R,值域为(０,＋∞ ). 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $