第二章直线与圆的综合训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

【高二数学】06直线与圆的综合 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2006·重庆·高考真题）过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2004·湖北·高考真题）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 5．（2005·北京·高考真题）从原点向圆作两条切线，则两条切线的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 二、多选题 6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 7．（2026·河南·三模）已知点，，为圆：上一点，则（    ） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 8．（2026·宁夏·二模）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 三、填空题 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 10．（25-26高二·全国·暑假作业）已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 11．（2026·山东·模拟预测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 四、解答题 12．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 13．（23-24高二上·湖北·阶段检测）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 14．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 15．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 16．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 17．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 18．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和． (1)试问直线是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由； (2)直线与圆交于，两点，求的取值范围（为坐标原点）． 19．（18-19高一下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点． (1)若，求直线的方程； (2)若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值． 20．（23-24高二上·全国·期末）设为实数，直线和圆相交于，两点. (1)若，求的值； (2)若点在以为直径的圆外（其中为坐标原点），求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【高二数学】06直线与圆的综合》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C B AC ABD AB 1．A 【分析】求出圆的圆心、半径，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，即原点在圆外，而圆心到轴距离， 因此过原点与此圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 由，解得或，则或， 所以所求切线方程或. 故选：A 2．B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 3．C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 4．C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 5．B 【分析】由圆的方程确定半径、圆心，若一个切点为则有，可求出，进而可得两条切线的夹角. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径. 设一个切点为，则，， 在中，， ∴，故两切线的夹角为. 故选：B 6．AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 7．ABD 【分析】由点与圆的位置关系以及两点间的距离求解即可. 【详解】对于A， ，所以在圆外，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，当时，，，，C错误； 对于D，设，则，故 ， ，所以 ， 当且仅当 时取等，D正确． 8．AB 【详解】先将圆方程化为标准形式： ， 圆心，半径. 对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，圆上的点关于的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 将代入：，B正确. 对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离，，化简，判别式，方程无解，故不存在使直线与圆相切，C错误. 对于选项D，直线过定点，弦长最短时，此时，最短弦长，D错误. 9．2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 10． 【详解】联立解得 ∴圆的圆心坐标为． 圆心到直线的距离， 且圆的半径，圆截直线所得弦的长度为4． 由，解得． 11． 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 12．(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 13．(1) (2)或 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 14．(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 15．(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 16．（1）；（2）的方程为，的面积为. 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 17．(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 18．(1)直线恒过定点 (2) 【分析】(1)由题可知，，在以为直径的圆上，利用两圆方程，求得直线的方程，即可求解． (2)直线与圆联立方程组,利用韦达定理解决取值范围. 【详解】（1）直线恒过定点， 设，由题意知，在以为直径的圆上，又，则以为直径的圆的方程为，即， 又圆，即， 两式相减，故直线的方程为，即， 由，解得，，即直线恒过定点， （2）由，消去，得， 直线与圆交于，两点，， 解得， 设，， 由韦达定理，有，， 设，由二次函数的性质可知，的图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，， 的取值范围为. 19．(1) (2) 【分析】（1）设直线的方程，即，根据圆心到直线的距离建立方程求解即可； （2）设，由点在线段上，得，依题意，线段与圆至多有一个公共点，解得舍)或，由此求得，得出圆的方程．分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，分别求得的面积，运用关于斜率k的函数求最值，比较可得最小值. 【详解】（1）解：由题意，圆心坐标为，半径为，则 设直线的方程，即， 圆心到直线的距离， 舍)或， 直线的方程为； （2）解：设，由点在线段上，得， 即， 由，得，即， 依题意，线段与圆至多有一个公共点， 故， 解得舍)或， 是使恒成立的最小正整数，， 圆的方程为． ①当直线：时，直线的方程为，此时； ②当直线的斜率存在时，设的方程为，， 则的方程为，点，， 又圆心到的距离为， ，                                                                    , ， ． 20．(1)或 (2) 【分析】（1）将圆的方程转化为标准方程，可得圆心与半径，再根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得的值； （2）根据点在以为直径的圆外，可知，联立直线与圆的方程，结合韦达定理可得参数的取值范围. 【详解】（1）    将圆的方程化为标准方程， 圆心，半径， 由， 可知圆心到直线得距离为， 所以， 解得或； （2）    设，， 联立，得， 由，得， 且，， 因为点在以为直径的圆外，所以， 即， 即 ， 解得，所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $