专题01 直线与圆中的对称问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以点-线-圆三级对称体系为核心，通过几何性质与代数运算结合，系统提炼对称问题通解方法，覆盖基础到应用全场景，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点/线/圆对称|9题型/9典例+27变式|点对称用中点垂直联立，线对称用轨迹法/夹角公式，圆对称转化圆心对称|从点对称基础概念，到线、圆对称拓展，再到反射光线路径、最值等应用，形成“概念-推导-应用”逻辑链|

专题01 直线与圆中的对称问题 （题型突破·举一反三） 题型一、点关于直线的对称 题型二、直线关于点的对称 题型三、直线关于直线的对称 题型四、圆关于点的对称 题型五、圆关于直线的对称 题型六、曲线关于点、直线的对称 题型七、利用对称性求反射光线路径 题型八、对称点的存在性问题 题型九、利用对称性求最值 直线与圆对称问题核心分为点对称、直线对称、圆对称三类，解题关键是利用对称几何性质，结合中点公式与垂直斜率关系求解。点关于直线对称是基础，核心要点为对称点与原点点连线垂直对称轴，且两点中点在对称轴上，可联立方程求出对称点坐标。 直线关于点、直线对称问题，可依托定点平行性质或夹角公式求解，对称直线与原直线倾斜角满足对称关系，斜率可快速推导。圆的对称只需转化为圆心对称、半径不变，求出对称圆心即可得到对称圆方程。 高频题型为光线反射、最短路径问题，可利用对称转化折线为直线，结合两点之间线段最短、点到直线距离公式求最值。所有对称问题均可数形结合，规避斜率不存在、直线垂直等易错陷阱，简化运算步骤. 1、点关于点对称 设点对称中心为, 则关于的对称点为 2、点关于线对称的一般性结论 点关于直线的对称点坐标为 3、线关于点对称的一般性结论 设原直线, 对称中心则对称直线方程为： 或 推导：由轨迹法，将代入整理即得。 公式2：斜截式速算 若, 对称中心则方程为： 结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。 4、线关于线对称的一般性结论 对于任意直线和对称轴, 对称直线的方程可由对称点性质推导，公式如下： 5、入射关系与反射关系的一般性结论 .入射点的坐标公式 设镜面. 则入射点的坐标为： 其中 (若分母为0, 需单独处理)。 推导逻辑：利用在上且在上联立方程。实战建议：优先用对称点法，此公式备用。 题型01 点关于直线的对称 【典例1】（2026·高二·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·北京丰台·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·山西吕梁·阶段检测）点关于直线对称的点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·浙江宁波·期中）点关于直线对称的点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型02 直线关于点的对称 【典例2】（2026·高二·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式2-1】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 题型03 直线关于直线的对称 【典例3】（2026·高二·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【变式3-2】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 题型04 圆关于点的对称 【典例4】（2026·高二·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知圆：，圆与圆关于点对称，则圆的方程为__________． 【变式4-2】（2026·高二·江苏无锡·期中）若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为______________. 【变式4-3】圆关于对称的圆的方程为________. 题型05 圆关于直线的对称 【典例5】（2026·高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【变式5-1】（2026·高二·广西南宁·阶段检测）已知圆，求圆关于直线的对称圆方程__________. 【变式5-2】（2026·高二·广东深圳·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 【变式5-3】（2026·高二·山东潍坊·期中）圆关于直线对称，则的最小值是______ 题型06 曲线关于点、直线的对称 【典例6】（2026·高二·北京东城·阶段检测）曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上的任意两点间的距离不超过4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2． 其中正确的结论序号是___________． 【变式6-1】（2026·高二·北京昌平·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线G：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线G 有且仅有四条对称轴； ②曲线G上任意两点之间的距离的最大值为6； ③曲线G恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)； ④曲线G所围成的区域的面积为． 其中，所有正确结论的序号是_____________． 【变式6-2】（2026·高二·四川资阳·开学考试）知曲线的方程是，给出下列四个结论： ①曲线与坐标轴至少有一个公共点； ②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点在曲线上，则无最大值； ④曲线围成图形的面积为 其中，所有正确结论的序号是____________． 【变式6-3】（2026·高三·北京平谷·阶段检测）关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线上的点到原点的距离的最小值为 ②曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称； ③曲线上任意一点到原点的距离都不大于； ④.曲线围成的面积是； 其中，所有正确结论的序号是__________. 题型07 利用对称性求反射光线路径 【典例7】（2026·高二·天津红桥·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________. 【变式7-1】（2026·高二·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 【变式7-2】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 【变式7-3】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 题型08 对称点的存在性问题 【典例8】（2026·高三·贵州黔东南·开学考试）已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【变式8-1】若函数的图象上存在两点，关于点对称，则直线的方程是______． 【变式8-2】（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）在直角坐标系xoy中，圆上存在一点P，使得P关于直线的对称点恰好在上，则实数m的取值范围为______． 【变式8-3】（2026·高二·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 题型09 利用对称性求最值 【典例9】（2026·高二·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【变式9-1】（2026·高二·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【变式9-2】（2026·高二·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______ . 【变式9-3】（2026·高二·四川眉山·阶段检测）直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆中的对称问题 （题型突破·举一反三） 题型一、点关于直线的对称 题型二、直线关于点的对称 题型三、直线关于直线的对称 题型四、圆关于点的对称 题型五、圆关于直线的对称 题型六、曲线关于点、直线的对称 题型七、利用对称性求反射光线路径 题型八、对称点的存在性问题 题型九、利用对称性求最值 直线与圆对称问题核心分为点对称、直线对称、圆对称三类，解题关键是利用对称几何性质，结合中点公式与垂直斜率关系求解。点关于直线对称是基础，核心要点为对称点与原点点连线垂直对称轴，且两点中点在对称轴上，可联立方程求出对称点坐标。 直线关于点、直线对称问题，可依托定点平行性质或夹角公式求解，对称直线与原直线倾斜角满足对称关系，斜率可快速推导。圆的对称只需转化为圆心对称、半径不变，求出对称圆心即可得到对称圆方程。 高频题型为光线反射、最短路径问题，可利用对称转化折线为直线，结合两点之间线段最短、点到直线距离公式求最值。所有对称问题均可数形结合，规避斜率不存在、直线垂直等易错陷阱，简化运算步骤. 1、点关于点对称 设点对称中心为, 则关于的对称点为 2、点关于线对称的一般性结论 点关于直线的对称点坐标为 3、线关于点对称的一般性结论 设原直线, 对称中心则对称直线方程为： 或 推导：由轨迹法，将代入整理即得。 公式2：斜截式速算 若, 对称中心则方程为： 结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。 4、线关于线对称的一般性结论 对于任意直线和对称轴, 对称直线的方程可由对称点性质推导，公式如下： 5、入射关系与反射关系的一般性结论 .入射点的坐标公式 设镜面. 则入射点的坐标为： 其中 (若分母为0, 需单独处理)。 推导逻辑：利用在上且在上联立方程。实战建议：优先用对称点法，此公式备用。 题型01 点关于直线的对称 【典例1】（2026·高二·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 【变式1-1】（2026·高二·北京丰台·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为，， 则的中点为，， 则，在直线上， ，① 再由直线与直线垂直，得② 联立①②解得：，． 点关于直线的对称点的坐标是． 故选：A． 【变式1-2】（2026·高二·山西吕梁·阶段检测）点关于直线对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点为. 则，解得. 故选：B. 【变式1-3】（2026·高二·浙江宁波·期中）点关于直线对称的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线对称的点坐标为， 由题意可得：解得：， 所以点关于直线对称的点坐标为， 故选：A. 题型02 直线关于点的对称 【典例2】（2026·高二·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式2-1】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式2-2】直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 【变式2-3】（2026·高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 题型03 直线关于直线的对称 【典例3】（2026·高二·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式3-1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解析】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【变式3-2】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 【变式3-3】（2026·高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 题型04 圆关于点的对称 【典例4】（2026·高二·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知圆：，圆与圆关于点对称，则圆的方程为__________． 【答案】 【解析】由圆：，可得， 设，因为圆与圆关于点对称， 所以与关于点对称， 可得， 所以圆的半径为5，圆心为， 圆的方程为， 故答案为． 【变式4-2】（2026·高二·江苏无锡·期中）若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为______________. 【答案】 【解析】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为. 故答案为 【变式4-3】圆关于对称的圆的方程为________. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 又圆心关于对称的点为，则，得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 题型05 圆关于直线的对称 【典例5】（2026·高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【解析】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 【变式5-1】（2026·高二·广西南宁·阶段检测）已知圆，求圆关于直线的对称圆方程__________. 【答案】 【解析】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得，又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故答案为：. 【变式5-2】（2026·高二·广东深圳·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 由圆与圆关于直线对称，得圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 【变式5-3】（2026·高二·山东潍坊·期中）圆关于直线对称，则的最小值是______ 【答案】 【解析】由可得标准方程为9，即圆心为， 因为该圆关于直线对称，则直线经过圆心， 即，整理得， 则， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是. 故答案为： 题型06 曲线关于点、直线的对称 【典例6】（2026·高二·北京东城·阶段检测）曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上的任意两点间的距离不超过4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2． 其中正确的结论序号是___________． 【答案】①⑤ 【解析】当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 作出曲线C的图象，如下图所示 对于①：由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②：当时，曲线C：，则过点， 同理曲线还过， 共8个整数点，故②错误； 对于③：曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④：曲线C上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤：因为点到直线的距离， 所以，当d最小时，易得点P在曲线C的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确. 故答案为：①⑤ 【变式6-1】（2026·高二·北京昌平·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线G：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线G 有且仅有四条对称轴； ②曲线G上任意两点之间的距离的最大值为6； ③曲线G恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)； ④曲线G所围成的区域的面积为． 其中，所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①③④ 【解析】由， 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第一象限的半圆弧及点，，； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第二象限的半圆弧及点； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第三象限的半圆弧； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第四象限的半圆弧及点； 则曲线G如下图， 对于①，根据圆的性质可得曲线G 有且仅有轴，轴，直线，直线四条对称轴，故①正确； 对于②，由图象可知当曲线G上的两点在直线，直线上时， 其之间的距离的最大值，且最大值为，故②错误； 对于③， 令，则，解得或，可得点，，； 令，则，显然无整数解； 令，则，解得或，可得点，，，，，； 令，，显然不成立， 所以曲线G恰好经过9个整点，故③正确； 对于④，根据图象可得曲线G由四个半径为的半圆所围成的区域， 所以其面积为，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式6-2】（2026·高二·四川资阳·开学考试）知曲线的方程是，给出下列四个结论： ①曲线与坐标轴至少有一个公共点； ②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点在曲线上，则无最大值； ④曲线围成图形的面积为 其中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【解析】曲线C的方程为：， 且， ∴当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 曲线C的图象如图所示， 对于①，因为且，所以曲线C与坐标轴无交点，故①错误； 对于②，由图知，曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确； 对于④，可表示以为圆心， 为半径的圆的面积， 如图所示， 曲线C围成的图形的面积小于以为圆心，为半径的圆的面积， 故④错误. 对于③，若点P、Q在曲线C上，根据③可发现当且仅当P、Q分别位于曲线C图形与x轴的两个交点或曲线C图形与y轴的两个交点时，取得最大值，但且，所以无最大值，故③正确； 故答案为：②③. 【变式6-3】（2026·高三·北京平谷·阶段检测）关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线上的点到原点的距离的最小值为 ②曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称； ③曲线上任意一点到原点的距离都不大于； ④.曲线围成的面积是； 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④ 【解析】对于曲线， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 故可作出曲线C的图象如下图所示， 由图可知： 曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，即，故①错误， 曲线C关于原点对称，也关于x轴，y轴对称，故②正确， 由图形的对称性可知，曲线上到原点距离最远的点有4个，如点,最远距离为,故③正确， 曲线C围成的面积是，故④正确, 故答案为：②③④. 题型07 利用对称性求反射光线路径 【典例7】（2026·高二·天津红桥·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】点关于轴的对称点为，圆的圆心，半径， 由光的反射定律知，反射后光线所在的直线过点，显然该直线斜率存在， 设反射光线所在的直线方程为，即， 由反射光线与圆相切，得，解得或， 所以反射光线所在的直线方程为或. 故答案为：或 【变式7-1】（2026·高二·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 【答案】 【解析】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 【变式7-2】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 【答案】 【解析】以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，且直线BC方程为， 的重心为，即， 设， 点P关于直线BC的对称点为，由， 解得，可得， 点关于y轴的对称点为， 根据光线反射的原理，可知，Q，R，四点共线，且，， 直线QR就是，其方程为，即， 根据直线QR经过点， 可得，解得不符合题意，舍去， 所以，，， 可得， 所以的周长 故答案为： 【变式7-3】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 题型08 对称点的存在性问题 【典例8】（2026·高三·贵州黔东南·开学考试）已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 故答案为： 【变式8-1】若函数的图象上存在两点，关于点对称，则直线的方程是______． 【答案】 【解析】根据题意，设，， 因为线段的中点是， 所以，整理得， 所以，为方程的根，解得， 所以，或，． 由两点式得直线的方程为． 故答案为： 【变式8-2】（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）在直角坐标系xoy中，圆上存在一点P，使得P关于直线的对称点恰好在上，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】设P的坐标为，P关于直线的对称点为， 则有：， 解得：， 即有， 代入， 解得：， 故对称点的轨迹为以为圆心半径为的圆， 由题意可知，直线与方程有交点， 则， 解得：， 故答案为：. 【变式8-3】（2026·高二·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 题型09 利用对称性求最值 【典例9】（2026·高二·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【解析】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 【变式9-1】（2026·高二·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【解析】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 【变式9-2】（2026·高二·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______ . 【答案】 . 【解析】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 【变式9-3】（2026·高二·四川眉山·阶段检测）直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为______. 【答案】 【解析】设点B关于l的对称点的坐标为，连接， 则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆中的对称问题参考答案 题型01 点关于直线的对称 【典例1】【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 【变式1-1】【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为，， 则的中点为，， 则，在直线上， ，① 再由直线与直线垂直，得② 联立①②解得：，． 点关于直线的对称点的坐标是． 故选：A． 【变式1-2】【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点为. 则，解得. 故选：B. 【变式1-3】【答案】A 【解析】设点关于直线对称的点坐标为， 由题意可得：解得：， 所以点关于直线对称的点坐标为， 故选：A. 题型02 直线关于点的对称 【典例2】【答案】C 【解析】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式2-1】【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式2-2】【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 【变式2-3】【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 题型03 直线关于直线的对称 【典例3】【答案】B 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式3-1】【答案】A 【解析】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【变式3-2】【答案】C 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 【变式3-3】【答案】B 【解析】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 题型04 圆关于点的对称 【典例4】【答案】A 【解析】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 【变式4-1】【答案】 【解析】由圆：，可得， 设，因为圆与圆关于点对称， 所以与关于点对称， 可得， 所以圆的半径为5，圆心为， 圆的方程为， 故答案为． 【变式4-2】【答案】 【解析】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为. 故答案为 【变式4-3】【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 又圆心关于对称的点为，则，得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 题型05 圆关于直线的对称 【典例5】【答案】 【解析】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 【变式5-1】【答案】 【解析】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得，又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故答案为：. 【变式5-2】【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 由圆与圆关于直线对称，得圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 【变式5-3】【答案】 【解析】由可得标准方程为9，即圆心为， 因为该圆关于直线对称，则直线经过圆心， 即，整理得， 则， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是. 故答案为： 题型06 曲线关于点、直线的对称 【典例6】【答案】①⑤ 【解析】当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 作出曲线C的图象，如下图所示 对于①：由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②：当时，曲线C：，则过点， 同理曲线还过， 共8个整数点，故②错误； 对于③：曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④：曲线C上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤：因为点到直线的距离， 所以，当d最小时，易得点P在曲线C的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确. 故答案为：①⑤ 【变式6-1】【答案】①③④ 【解析】由， 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第一象限的半圆弧及点，，； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第二象限的半圆弧及点； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第三象限的半圆弧； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第四象限的半圆弧及点； 则曲线G如下图， 对于①，根据圆的性质可得曲线G 有且仅有轴，轴，直线，直线四条对称轴，故①正确； 对于②，由图象可知当曲线G上的两点在直线，直线上时， 其之间的距离的最大值，且最大值为，故②错误； 对于③， 令，则，解得或，可得点，，； 令，则，显然无整数解； 令，则，解得或，可得点，，，，，； 令，，显然不成立， 所以曲线G恰好经过9个整点，故③正确； 对于④，根据图象可得曲线G由四个半径为的半圆所围成的区域， 所以其面积为，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式6-2】【答案】②③ 【解析】曲线C的方程为：， 且， ∴当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 曲线C的图象如图所示， 对于①，因为且，所以曲线C与坐标轴无交点，故①错误； 对于②，由图知，曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确； 对于④，可表示以为圆心， 为半径的圆的面积， 如图所示， 曲线C围成的图形的面积小于以为圆心，为半径的圆的面积， 故④错误. 对于③，若点P、Q在曲线C上，根据③可发现当且仅当P、Q分别位于曲线C图形与x轴的两个交点或曲线C图形与y轴的两个交点时，取得最大值，但且，所以无最大值，故③正确； 故答案为：②③. 【变式6-3】【答案】②③④ 【解析】对于曲线， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 故可作出曲线C的图象如下图所示， 由图可知： 曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，即，故①错误， 曲线C关于原点对称，也关于x轴，y轴对称，故②正确， 由图形的对称性可知，曲线上到原点距离最远的点有4个，如点,最远距离为,故③正确， 曲线C围成的面积是，故④正确, 故答案为：②③④. 题型07 利用对称性求反射光线路径 【典例7】【答案】或 【解析】点关于轴的对称点为，圆的圆心，半径， 由光的反射定律知，反射后光线所在的直线过点，显然该直线斜率存在， 设反射光线所在的直线方程为，即， 由反射光线与圆相切，得，解得或， 所以反射光线所在的直线方程为或. 故答案为：或 【变式7-1】【答案】 【解析】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 【变式7-2】【答案】 【解析】以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，且直线BC方程为， 的重心为，即， 设， 点P关于直线BC的对称点为，由， 解得，可得， 点关于y轴的对称点为， 根据光线反射的原理，可知，Q，R，四点共线，且，， 直线QR就是，其方程为，即， 根据直线QR经过点， 可得，解得不符合题意，舍去， 所以，，， 可得， 所以的周长 故答案为： 【变式7-3】【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 题型08 对称点的存在性问题 【典例8】【答案】 【解析】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 故答案为： 【变式8-1】【答案】 【解析】根据题意，设，， 因为线段的中点是， 所以，整理得， 所以，为方程的根，解得， 所以，或，． 由两点式得直线的方程为． 故答案为： 【变式8-2】【答案】 【解析】设P的坐标为，P关于直线的对称点为， 则有：， 解得：， 即有， 代入， 解得：， 故对称点的轨迹为以为圆心半径为的圆， 由题意可知，直线与方程有交点， 则， 解得：， 故答案为：. 【变式8-3】【答案】 【解析】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 题型09 利用对称性求最值 【典例9】【答案】 【解析】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 【变式9-1】【答案】6 【解析】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 【变式9-2】【答案】 . 【解析】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 【变式9-3】【答案】 【解析】设点B关于l的对称点的坐标为，连接， 则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $