直线与圆综合大题题型分类训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 按定点定值、存在性、最值及综合问题分类，系统整合直线与圆的方程、位置关系及代数几何方法，培养数学思维与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点定值定直线|23题|含两圆相交、动直线过定点、斜率/长度定值|以圆的方程为基础，通过参数法、特殊值法推导几何不变量，体现从具体到抽象的数学眼光| |存在性问题|19题|探究点/直线存在性、轨迹方程、垂直平分弦|运用方程思想构建等量关系，培养逻辑推理与论证能力| |最值与范围|19题|面积/距离最值、参数范围、切线长问题|结合几何意义与代数转化，强化数学语言表达与模型意识| |其它问题|13题|公切线、轨迹方程、棋盘距离等综合应用|整合直线与圆的核心概念，提升知识迁移与问题解决能力|

直线与圆综合大题题型分类 一 直线与圆中定点、定值、定直线问题 1.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知圆，点是直线上的动点.    （1）圆与圆交于，两点，求直线的方程； （2）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； （3）易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）因为两圆的圆心距为，且，所以圆与圆相交.所以两圆的公共弦所在的直线方程为：，化简得：，即为直线的方程. （2）设过点的直线与：的交点为，与直线：的交点为.因为为线段的中点，所以.所以直线的斜率为：.所以直线的斜率为定值，且. （3）设，因为，所以直线的方程为.由.因为是方程的一个根，所以另一根，也就是的横坐标为：，所以，即.同理，直线的方程为，由可得.所以，设直线方程为，则.所以直线的方程为.所以直线过定点. 2.（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，动点与两定点，的距离之比为，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知，两点均在轨迹上，且点在第三象限内，点在第四象限内. （i）若延长与轨迹交于另一点，延长与轨迹交于另一点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值； （ii）若，，点为直线上一动点，直线，分别与轨迹交于，两点，若直线与直线不重合，证明：直线恒过定点. 【详解】（1）设动点，由题意可知，， 整理得，. 故轨迹的方程为. （2）如图， （i）设，，直线AC的方程为，由，得， 则，，所以.设，，直线BD的方程为，同理得.由，则， 所以，则，即.设，，因为A，G，D三点共线，所以，则，又，，所以， 因为B，H，C三点共线，同理得，所以，则，故. （ii）证明：将圆向上平移2个单位长度，得到圆.此时，，直线，分别与轨迹交于，两点， 设，，，则，，所以， 则，即， 又，，所以，， 则，整理得.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，整理得， 则，， 所以，整理得，， 则，解得或， 当时，直线的方程为，此时直线恒过点.当时，直线的方程为），此时直线恒过点，此时与重合，不合题意，所以直线恒过点.当直线的斜率不存在时，，则，所以，解得或（舍去）， 此时直线的方程为，则直线恒过点，综上可知，直线恒过点， 根据平移知识可知，直线PQ恒过定点. 3.（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知顶点坐标分别为． （1）求的外接圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 【详解】（1）设圆的一般方程为：，依题意，有，解得， 故的外接圆圆的方程为. （2）设，由代入点的坐标，可得 ，整理得，易得，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆).依题意，圆与圆有公共点.圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2， 而，所以在圆外，所以， 解得，即实数的取值范围为. (3) 依题意，设直线的方程为，由联立消去，可得，则由可得， 设，则（*），则，即， 将（*）式代入整理上式得：，故得或.当时，直线经过原点，不合题意； 当时，直线经过定点. 4.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【详解】（1）设圆心的坐标为.因为是圆上的两点，所以，所以即，解得.因为圆心在直线上，所以，解得，则圆的半径，故圆的标准方程为. (2)①设直线. 由整理得， 则，故.因为， 所以.把代入上式，得. ②直线的方程为，直线的方程为.由得.因为，所以， 所以，即，则，即点在定直线上. 5.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点是圆内一点，直线. （1）若圆的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； （2）若过点作圆的两条互相垂直的弦EF，GH.求四边形EGFH的面积的最大值； （3）若是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为C，D．证明：直线CD过定点. 【详解】（1）因圆的弦AB恰好被圆内的点平分，由垂径定理，可得，即，则弦AB所在直线方程为，即. （2）因圆的半径为，如图1，设点到直线EF、GH的距离分别为，则，因， 故， ，当且仅当，即时取等号，故四边形EGFH面积的最大值为11. （3）因,则C、D两点均在以OQ为直径的圆上，如图2，设，则的中点为，圆的半径为，则该圆的方程为，即：. 又C、D在圆上，则圆与圆的公共弦CD的方程为，即，由，解得，故直线CD过定点. 6.（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． （1）若是等腰三角形，求点P的坐标； （2）①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； （3）求四边形ASBT面积的最大值． 【详解】（1） 设点，由题意可知，即 ，两边平方整理得可得点Q的轨迹方程为.由对称性不妨令，设点，设直线与轴交于点.因为，，所以，，所以若是等腰三角形，则 ，解得，所以点P的坐标为或； （2） ①由（1）知，，则直线PS的斜率 ，直线PT的斜率 ，则有，又直线PS，PT的斜率为，所以 ； ②由题意知，所以直线SB的斜率 ，即 ，设，设直线的方程为，将其代入曲线中，消去可得，则 ，即，               则 ，因为 ， 整理可得 ，则 ，由，可解得，此时恒成立，所以直线AB恒过定点； （3） 由（2）得 ， 则 ， 令，则 ，因为 ，所以当，取得最大值3，即四边形ASBT面积的最大值为，此时，直线AB的方程为. 7.（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． （1）当时，求切线长； （2）求证：直线恒过定点； （3）记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）圆的圆心，半径，当时，，则， 因为为圆的切线，所以，所以； (2)因为，，且，所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为，所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦，所以直线的方程为两圆方程相减，即，化简可得，所以直线经过定点； （3）因为，所以，因为在直线上，所以， 即点C在以为直径的圆上，因为，，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为，因为点C在该圆上，所以为定值． 8.（25-26高二上·河北·阶段检测）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的方程； （2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 【详解】（1）设圆心为，，则圆的方程为，圆心到直线的距离，解得或（舍去），所以圆的方程为. （2）由（1）可知，，设的方程为，，， 联立，消去并整理得，则，， ①四边形的面积，令，则，所以，易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故. ②证明：直线的方程为，直线的方程为， 消去得：，由韦达定理可知，将此式代入上式得，，即，解得，即直线与的交点在定直线上. 9.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）若轴，求四边形的面积； （2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 【详解】（1）当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且，连接，由切线长定理可得，，，故， 则． （2）设，因为，所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，整理得，同理有，所以、是方程的两个实根， 所以，，所以为定值． （3）由题知，，所以点、在以为直径的圆上，由、得该圆的方程为，将与相减，得直线的方程为．取，得，所以直线过定点，又因为为的中点，所以，即，所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为．又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合，所以点的轨迹方程为，即． 10.（25-26高二上·湖北荆州·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1），整理得， 由，解得或，即动圆恒过两定点的坐标为或. （2）由圆的方程可得，圆的圆心坐标为， 圆的半径为，则圆的圆心到直线：的距离为，所以两点间的距离， 整理得，设，其对称轴为，故，所以. （3）设，，将直线代入圆中， 得，整理得，根据韦达定理得， 设，则，，则有， 整理得，即有， 整理得，因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数.故存在定直线，即，其上任意点满足条件.    11.（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． （1）若直线的斜率为，求弦的长； （2）若的中点为，求面积的取值范围； （3）已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上. 【详解】（1）圆，圆心，半径.若直线的斜率为，则直线斜率为，则直线方程为，即，所以圆心到直线的距离..故弦的长为. （2）①当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积； ②当直线的斜率存在且为时， 直线的方程为，经过圆心，过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交，故此时不存在； ③当直线的斜率存在，设为且时，设直线，即.则直线，即由圆心到直线的距离，得，解得．所以圆心到直线的距离，因为，即，所以．由，所以，所以E点到直线的距离即点到直线的距离，所以的面积，令，则，所以，因为，所以，所以，综上所述，面积的取值范围是.        (3)圆，圆心，半径.由题意直线存在斜率，设直线，设，联立消得，，由韦达定理得，，.则，即（）又圆与轴交于，则直线，直线，联立两直线方程消得，，将（）式代入得，，解得.故直线交点在定直线上. 12.（25-26高二上·安徽池州·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【详解】（1） 如图所示，设，因为是中点，所以，即，因为B在圆上运动，所以，即，整理得圆C方程为. （2） 设，因为，所以，化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意.当时，点P在以为圆心，为半径的圆上，依题意圆D与圆C有公共点，又，所以，解得.所以的取值范围为. （3） 设直线l的方程为，，， 由得，所以，且由，得，所以，所以，所以直线l的方程为，当时，恒有，即直线l过定点. 13.（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. （1）求点的轨迹方程. （2）若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 【详解】（1）设点，则有.化简得； （2）（i）记为，则，因为为锐角，即求最大值，即求最大值，又，故只需取最小值即可，则当时，最小，此时取，则，所以的最大值为； （ii）设，，，则，， 联立，则，则，即，故， 联立，则，则，即，故， 即，，由图形的对称性可知，直线的定点在轴上， 记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时，即，得，即，此时直线过点；当直线斜率存在时，即时，有， 即，化简得，又，故，即，故此时直线过点；综上所述直线过定点. 14.（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆是圆周上位于轴上方两点，两点关于轴对称，直线分别与轴相交于点，圆的切线交轴于点． （1）当点横坐标为2时，求直线的方程； （2）若点横坐标为0，，求； （3）若坐标为，直线是否过定点？ 【详解】（1）当的横坐标为时，则纵坐标为，由题意，直线的斜率显然存在， 设直线的方程为，整理得，则圆心到直线的距离，整理得，解得，所以直线的方程为，即. （2）当点的横坐标为时，则点的纵坐标为，，设点，， 则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，令，则，即，设直线的方程为，整理得， 则圆心到直线的距离，整理得，解得， 所以直线的方程为，即，令得，即，所以， ，所以. （3）设，则，直线的方程为， 因为在直线上，可得，整理得，直线的方程为，令，则，即，，又，所以，即，所以直线过定点. 15.（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. （1）若直线的方程是，求的面积； （2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； （3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 【详解】（1）设的高为，则，圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，所以，故的面积为； （2）设线段的中点坐标为，则，，， 即，可得，由几何性质知，所以，即直线斜率为，所以直线的方程为，即. (3)解法一：设，直线，代入圆的方程整理得： ， 因为3，是上述方程的两根，所以，即， ，因为直线与直线的倾斜角互补，所以， 设直线，同理可得：，，所以. 解法二：设直线，且，，由消去并整理得： ，则，是此方程的两实根，故， 且，；因为直线与直线的倾斜角互补，所以， 即，，， 整理得：，去分母并整理得：， 即，， ，若，则，直线过点不合要求，所以，所以，，即直线的斜率为定值. 16.（25-26高二上·江西·阶段检测）已知曲线的方程为. （1）求与轴的公共点的个数. （2）设，，证明：上存在无数个点，使得为定值. （3）过点的直线与交于四个不同的点，求的斜率的取值范围，并证明这四个点的横坐标的乘积小于. 【详解】（1）对于，令，得， 解得，所以与轴的公共点的个数为3. （2）证明：由，得， 所以由圆与圆组成.若点在圆上， 则，所以上存在无数个点，使得为定值. （3）由得则圆：与圆：的交点为，，如图所示   设的方程为，若与圆相切，则， 得，当时，与只有一个公共点，当时，与只有三个公共点.当经过点时，，当经过点时，，所以当与有四个交点时，的取值范围是.将代入，得， 将代入，得，所以这四个点的横坐标的乘积为，因为，所以，所以，则这四个点的横坐标的乘积小于. 17.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知过定点的直线被圆截得的弦长为． （1）求直线的方程． （2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （i）求曲线方程； （ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由； 【详解】（1）圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，所以，当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得或，时，直线的方程为，时，直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为或； （2）（i）设点，由点的坐标为，且是线段的中点，则，可得，即，因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程，   即，整理得，所以点的轨迹方程为； （ii）圆的圆心，半径，因为点为直线上一动点， 则可设，因为都是圆的切线，所以， 所以也在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为， 半径为，所以以为直径的圆的方程为，即①， 化为②，由①②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点.    18.（25-26高二上·广东茂名·期中）已知圆和点． （1），是圆上的动点，且，的中点为，求点的轨迹方程； （2）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补．求证：直线AB的斜率为定值． （3）过点作直线交圆于两个不同的点C，D（线段CD不经过圆心），分别在点，处作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 【详解】（1）连接OK，，因为的中点为，所以． ，所以K的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为． (2)证明：假设过点的一条直线倾斜角为，由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，但过直线外一点作该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾，故过的直线不可能垂直于轴． 由于两直线的倾斜角互补，故两直线的斜率互为相反数．设直线与圆相交于P，A两点，直线与圆相交于P，B两点．点在上，则， 化简得，由韦达定理得， 点在上，则，化简得， 由韦达定理得，则直线AB的斜率为 易得，．故．故直线AB的斜率为定值． (3)设，，，，， 由，则，即，又，故， 同理，所以直线CD为，又在CD上，所以，故点在直线上． 19.（25-26高二上·甘肃白银·期中）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【详解】（1），，即，，设点， ，即，整理得，即圆的方程为． （2） ①设为的中点，，．又，，即圆心到直线的距离为1．圆心到直线l的距离，又点在直线上，即，联立，解得或．直线的方程为或，即或．直线的方程为或． ②设，，，联立直线l与圆的方程得，，，，，直线方程为，令，解得，直线过定点，命题得证． 20.（25-26高二上·山东烟台·期中）已知圆过点，且与圆（）关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于，两点，直线不经过圆心，过点，分别作圆的切线，两切线交于点，求证：点在一条定直线上； （3）设，已知点为圆上任意一点，过点作圆的一条切线，切点为，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为圆和圆关于直线对称，所以点和点关于直线对称，且两圆半径相等．由题知，，设，则有得，即.所以，圆的方程为，又因为点在圆上，所以，所以圆的方程为． (2)设，则．由已知得，，所以，即，即，又因为，所以．同理．所以直线的方程为，又因为点在直线上，所以． 故点恒在定直线上． （3）设，则有，即，若存在点，使为定值，设，，即．又因为， 所以，整理得，所以，即． 要使为定值，则，解得或，故当点时，；当点时，． 21.（25-26高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. （1）求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； （2）过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； （3）设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点. 【详解】（1）设点，因为，所以，整理得．   该圆对应的圆心坐标为，半径为2． （2）当斜率为0时，即，不符合题意；当斜率不为0时，设其方程为，设，，由消去得，②，③．       由，，得，所以，，①，联立①②③，可得，即，∴直线的方程为． (3) 设直线的方程为，，， 由得， 所以，，     所以，       所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点. 22.（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. （3）若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 【详解】（1）法一：设圆，由题意得，得， 所以圆的标准方程为； 法二：设，，得的中点坐标为，，则的中垂线方程为，令，得，则圆的圆心为，半径为2， 故圆的标准方程为； （2）法一：当的斜率为0时，，不符合题意，当的斜率不为0时，设，，， 由，得，易得，， ，得， 故的斜率为； 法二：作，垂足为，设， 由题意得 （注意还有对称的情况），因为，， 所以，得，故的斜率为 法三：当的斜率不存在时，，不符合题意，当的斜率存在时，设，，，示意图同法一，由，得，易得，， ，得.故的斜率为. （3）直线经过定点，理由如下：设，，， 则，，. 易得，得，则， 所以，得，同理得，所以直线的方程为.由，得，所以直线经过定点. 23.（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知圆与圆关于直线对称． （1）求圆的标准方程． （2）过点且与轴不重合的直线与圆交于两点． （i）过点作与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值． （ii）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）设圆心关于直线对称的圆心，由题意有，解得， 所以圆； （2）（i）当直线的斜率不存在时，，则，所以，解出， 所以,,所以，解得或，所以，， 所以四边形的面积为：,当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：，所以圆心到直线的距离为：， 所以，同理得， 所以四边形的面积为：， 令，所以，当且仅当时，即，等号成立，即，所以，即，所以四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上，由题意有，当直线的斜率不存在时，由（i）有，所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以，当斜率存在时，设的方程为：，设，所以，消元得，所以，所以，所以直线的方程为：，直线的方程为：，所以，解得，所以，即点在直线上. 二 直线与圆中存在性问题 24.（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，求的最大值； （3）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设，因为点是点关于点的对称点，所以，即，因为点在圆上，所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ，令，则，可视为直线在轴上的截距，所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，，所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值，理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，由，消去得，设，则，，又，， 则 ，要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值.    25.（25-26高二上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点. （1）在圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由； （2）设点是圆外一点，过点作圆的两条切线和，切点分别是和，求的最小值； （3）对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围. 【详解】（1）由配方得，可知其圆心为，半径为， 假设圆上存在点，由，可得，即动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.因为，则圆与圆相交，故点的个数为. （2）如图，作出符合题意的图形， 由切线性质可得，，且设，由勾股定理得，且平分，在中，，则，于是，令，得到，当且仅当时，即时取等，故的最小值为. （3）如图，设点， 由于点是线段的中点，则，又都在半径为的圆上即得，也即，由方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以对恒成立，即对恒成立，又由可得，故且，解得，所以的半径的取值范围为． 26.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）将点代入圆可得，解得，即圆，将点表示成“点圆”形式：，可设圆的方程为，代入点可得，解得，所以圆的方程为，即； （2）由（1）可知，圆的圆心为，半径，若切线斜率不存在，则，不满足题意舍去；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，解得或，所以切线方程为； （3）由（1）可知：，圆的圆心，半径，设，因为，即，整理得，可知点轨迹是以为圆心，半径的圆，且，可知圆与圆的位置关系为相交，两圆有2个公共点，所以圆上存在2个点，使得． 27.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点到的距离是点到的距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，求的轨迹； （3）设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设点，由题意可得，即， 化简可得，则点的轨迹方程为； （2）设，由（1）得点满足的方程，又点是线段的中点， 则，即，则有，化简得，即的轨迹为； （3）设、，当直线斜率不存在时，，联立，解得， 则，符合；当直线斜率存在时，设， 联立，消去得，则，，则 ，故，故，即；综上所述：直线的方程为或.    28.（25-26高二上·湖北荆州·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由 【详解】（1），整理得， 由，解得或，即动圆恒过两定点的坐标为或. （2）由圆的方程可得，圆的圆心坐标为， 圆的半径为，则圆的圆心到直线：的距离为，所以两点间的距离， 整理得，设，其对称轴为， 故，所以. （3）设，，将直线代入圆中， 得，整理得，根据韦达定理得， 设，则，，则有， 整理得，即有，整理得，因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数.故存在定直线，即，其上任意点满足条件.    29.（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. （1）求实数b的取值范围; （2）若，求四边形ABDC的面积关于b的表达式; （3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点，所以圆心到直线的距离， 解得，则实数b的取值范围为； （2）设，则，由得， 所以，，则， 因为四边形为直角梯形，所以四边形的面积 ，， （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线，联立得， 若为常数，则，其中为常数，可得，解得，所以当时点在一条平行于轴的直线上.    30.（25-26高一下·重庆·期末）已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）圆，圆心，半径，对圆外一点，点在圆上，则：，由题意，即，所以. 设，则，整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即①圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：，点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率，所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点，联立，解得.将代入，得，即，所以，所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，，则，将代入，得，即.    联立，得，.根据根与系数的关系，得，，所以，代入式，得，即，因为对任意，等式恒成立，所以，解得，因此存在定点满足条件. 31.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点到的距离是点到的距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，求的轨迹； （3）设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设点，由题意可得，即，化简可得，则点的轨迹方程为； （2）设，由（1）得点满足的方程，又点是线段的中点，则，即，则有，化简得，即的轨迹为； （3）设、，当直线斜率不存在时，，联立，解得， 则，符合；当直线斜率存在时，设， 联立，消去得，则，，则 ，故，故，即； 综上所述：直线的方程为或.    32.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为，∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得所以，所以圆C的标准方程为； （2）①设，，则，，由得：，所以D在圆C上运动，整理可得点T的轨迹方程E为：    ②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立化简可得，方程的判别式， 设，，，则，若x轴平分∠ANB，则，所以，又，，所以，所以，所以所以 解得，∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 33.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. （1）求圆的方程； （2）若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，若，求实数的取值范围； （3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？ 【详解】（1）设圆心，，由或（舍去），故圆的方程为. （2）如图： 因为与圆相切，且，所以在直角中，，，所以所以问题转化为点到直线的距离不大于 由.所以的取值范围为. （3）如图： 若直线存在斜率，设直线：，将直线方程与圆方程联立，得，消去，整理得.设，，则，假设存在点（）使得轴平分，则对恒成立，所以，所以对恒成立，则，故若直线斜率不存在，则均在轴上，也可以认为轴平分综上，在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 34.（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆的圆心在直线上，且过两个点，点为圆上不同于的两个动点． （1）求圆的方程； （2）为圆上一点，当面积最大时，求直线的方程； （3）若，是否存在与动直线恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设圆心为，圆经过点和，因此：，即：，解得：，因此圆心为，， 所以圆的方程为：； （2）△AOM 的面积公式为：其中 () 是向量和的夹角，面积最大时，即，此时与垂直，即在轴上，圆与轴的交点为和，对于：斜率，方程为：；对于：斜率，方程为：；所以直线的方程或； （3）设，由，利用圆方程化简得： ，设直线方程为，联立圆方程得：，由韦达定理，，代入，得：，直线方程为， 点到直线距离为：，斜率不存在时，直线到距离也为，故定圆以为圆心，半径，方程为. 35.（25-26高二上·广东·期中）如图1，已知圆心在轴的圆C经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）过作两条斜率为，的直线分别与圆交于，两点（在轴上方），若， （i）证明：直线过定点； （ii）将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2，折叠后，在新图形中对应点记为，.是否存在直线，使得折叠后满足，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 【详解】（1）根据题意，设，圆的半径为，设圆的方程为，所以，解得，，所以圆的标准方程为. （2）（i）设直线为，直线为，，，直线与圆联立可得：，所以由韦达定理可得，所以，同理可得，因为，所以，所以，将代入直线为，即，所以，所以，所以将代入直线为，即，所以，所以， 所以，所以设直线：，解得，所以直线过定点. （ii）设直线为，直线与圆联立可得，由韦达定理可得 ，因为，，所以，如图建立空间直角坐标系， 由折叠可知，，，所以，，，将，代入求解可得：，因为， ，所以，因为， 所以，所以，所以，令， 所以，所以或（舍），，解得，所以直线为. 36.（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设点，由题意得，即，解得，所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. （2）（i）设点、，由可得，所以，解得，因为点在上，所以（*），将代入等式（*）得，即，故曲线的方程为； ②假设存在满足题设条件的点，设点、，若直线的斜率为零，则直线与轴重合，不合乎题意，   设直线的方程为，联立, 可得，，由韦达定理可得，，直线的斜率为，同理可得直线的斜率为， 所以 ，即对任意的恒成立，故，解得，故在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 37.（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线：与曲线交于，两点. （1）证明：曲线为圆. （2）若的面积为，求直线的方程. （3）若直线，与直线分别交于点，，判断是否存在以为直径的圆与曲线外切. 【答案】(1)设，由，且，，得，整理得，所以曲线是以为圆心，为半径的圆. （2）由得，由，得，设，，则，，，点到直线的距离，因此，解得或，所以直线的方程为或. （3）直线的方程为，则，同理得，因此以为直径的圆的圆心为，而，则， 以为直径的圆的半径 ，若圆与圆外切，则，由，解得，所以存在以为直径的圆与曲线外切. 38.（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． （1）求圆C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； （3）过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵圆C关于直线对称，∴圆心在直线上， ∴，解得，∴圆的方程为：； （2）直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B，故，由平面几何可知P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，设P、A、C、B所在圆为圆E，设，设圆E上任一点， 则，∴圆， 与圆C：联立得，∴得：，， ∴AB过定点． （3）存在点，理由如下：假设存在Q，使得MQ、NQ斜率之积为1． 设，，，当MN斜率存在时，设，则，， 联立与得，则， ∴，变形得到， 即，化简得∵上述对恒成立， ∴，故，∴，当MN斜率不存在时，中，令得，可知，，由得，， 所以满足题意．综上，存在点使MQ、NQ斜率之积为1． 39.（25-26高二上·四川成都·期中）已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由． 【详解】（1）由题意得直线的斜率不为0，设，即，圆心到直线的距离为，又，即所以，所以，解得， 所以直线的方程为. （2） 由题意得直线的斜率不为0，设，即， 由（1）知，，， 令，则，所以，又，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，取得最大值为， 此时，解得，建立空间直角坐标系，如图，则，，， 所以，，设平面的法向量为， ，可得，设，其中， 所以，，设面的法向量为， ，可得，设平面与平面的夹角为，，解得，所以. （3），设，，由题意得直线的斜率不为0，设， 所以，可得，所以，， ，直线的方程为，① ，直线的方程为，②联立方程①②可得 ，可得，所以点在定直线上. 40.（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值； （3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）设圆心，由圆和直线相切，所以，解得或（舍）， 所以圆的方程为. （2）由题，圆心到直线的距离为，，得. （3）设存在点，，，由，得， 则，，，由，所以， ，即，整理得，即，即，当时，上式成立；当时，；综上，当点的坐标为时，满足成立. 41.（25-26高二上·河北保定·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设动点，则，，而，故，化简得：，故的标准方程为. （2）设，，联立得：，故，根据弦长公式得： ，令，，    故，设，易知在上单调递减，故当，最大，即 最大，此时，故（舍）或，故最大值为. （3）设点坐标为，，，过点的动直线为：.联立得：，故，，，又，位于过点的动直线： 上，故，. 则，将代入上式，得：，若使为定值，则必须为常数，而且与无关，故此时只能为.当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 42.（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由得设直线的斜率为，则方程为.又圆的圆心为，半径，由，解得或. 所以直线方程为或，即直线的方程为或. （2） 设的中点为，则，又，所以，,         化简得 （2） （1）得代入（2）得  或   或，             以为直径的圆的方程为或. （3）存在实数满足题意由直线与圆交于，两点，则圆心到直线的距离，解得.   设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上.所以的斜率，而，所以    由于   故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦. 三 直线与圆中最值与范围问题 43.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足， （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，动点不在轴上，点在射线上，且满足． （i）设，求点的坐标（用表示）； （ii）设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值． 【详解】（1）设，，，由，得， 所以又因为点在圆上，所以，即； （2）（i）设点，，故，其中；点在射线上，且，所以，即①，又因为在上，所以，即②；由①②联立求解得， 所以点的坐标为； （ii）直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又为是上的一点， 其中圆的圆心为，半径为3，则，所以当四点共线，且在之间时，取得最大值，最大值为. 44.（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）法1：设，由题意、存在，∴， ∴曲线T的方程为：． 法2：由，得，∴曲线T的方程为：． 法3：∵，∴，即曲线T的方程为：． （2）法1：由题意可知：直线l一定与T相交于不同的两点，且直线l的斜率不为0， 不妨设，，，由，解得． 由韦达定理得：，． ∵ ． 令，则，．又∵，∴，∴． 法2：当直线不存在斜率时，即，则，，； 当直线存在斜率时，不妨设，，，由，解得：，由韦达定可得：，，则，，则， 令则，，则，综上所述，∴． （3）由（2）中方法1可知，，， ，因为，所以，同理， 所以，将，代入上式，可得 使得为定值，则，则或或，即存在，，满足要求． 45.（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【详解】（1）设圆的一般方程为，将A、B、C三点坐标分别代入方程可得，解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． （2）已知圆的方程为，则圆心，半径，设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，整理得；综上，直线的方程为或． （3）设的坐标，因为，所以， 整理得，，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在圆，所以两个圆有公共点，故有，解得．    46.（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，是函数图像上的三个点. （1）当时，线段的垂直平分线方程为，求直线的方程； （2）在（1）的条件下，求外接圆的标准方程. （3）过点的两条直线，相互垂直，且直线的斜率为，直线，与轴交点的横坐标为，.若，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，即，由线段的垂直平分线方程为，可得， 所以方程为：，即，联立，消去，可得：， 解得，即，所以，所以直线的方程为：， 即 （2）由（1）知，，，设圆的方程为：， 则，解得：，即圆的方程为：， 即. （3）由题意可得：，，令，因为， 可得：，，令，可得：，所以，因为，所以，所以，所以所以，即的取值范围是 47.（25-26高一下·浙江宁波·期中）经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 【详解】（1）为，，的斜率为，又，的斜率为，又，∴直线的方程，即； （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点，∴设直线方程为，联立圆：，可得，设，，则，又，∴直线为，令，可得 ，直线恒过轴上定点； （3）法1：设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，，又，， 四边形的面积，又，令因为在上是增函数，，，所以， 即，四边形的面积的取值范围为． 法2：当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为，所以，圆心到直线的距离为，所以，．直线的方程可设为整理得，圆心到直线的距离为，所以， ．所以，，令，所以，上式可化为：，，所以，．综上，的取值范围是． 48.（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【详解】（1）设，又C是线段的中点，，即，又点 A 在圆 上，，即，故曲线C 的方程为. （2）因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为， 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得，所以圆心C到直线的距离为，解得，则直线，即直线，综上所述，直线的方程为或. （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在的直线不重合，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为，由题可知：，故，又因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 49.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程． （2）过直线：上的点作圆的切线，，切点分别为，． ①求四边形面积的最小值； ②当四边形的面积最小时，求直线的方程． 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，则圆的标准方程为（）， 圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上， ，解得圆的标准方程为． （2） ①圆心到直线的距离，由（1）可知圆的半径，则， 四边形的面积，四边形面积的最小值为； ②当四边形的面积最小时，直线的方程为， 由，得，即的坐标为，，，，在以为直径的圆上，，，设为直径的圆的圆心为，半径为，则标准方程为，，为直径的圆的方程为，，在圆上，直线的方程为，即． 50.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长； （3）直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值． 【详解】（1）因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上，又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心，所以圆的标准方程为． （2）由直线的方程知，若直线的斜率存在，则；直线恒过定点，且此定点在圆内，如图所示， 当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为轴，斜率，又直线的斜率，所以弦长没有最大值；当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为1，所以最短弦长． （3）由（2）知，直线恒过点，如图所示， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为，由（2）知，， 弦是圆的直径，所以，所以四边形的面积； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离，所以， 同理得，所以四边形的面积 ，令，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由，解得，即；因为，所以四边形面积的最大值为7． 51.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为. （1）求圆、的方程； （2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围. 【详解】（1）设圆的方程为，由题意可得，解得， 所以圆的方程为，即，因为点在直线上，设，圆的半径为，则圆的方程为，即， 因为圆与圆交于，两点，故两圆相交即得相交弦所在直线方程，即，因为直线的方程为，即， 故系数比例相同，即，解得，，所以圆的方程为； （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，所以点在圆内， 因为，所以，圆心，半径为，若直线斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为，，圆心到直线的距离为，，此时，若直线斜率存在，设斜率为，则直线的斜率为， 则直线，直线，圆心到直线的距离为，故， 圆心到直线的距离为，故，所以，化简可得，, 令，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即，综上，四边形面积的取值范围为. 52.（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，两点，为平面上的动点，且满足，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明轨迹的形状； （2）过点作曲线的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交曲线于，两点，再过点作与直线垂直的直线，交曲线于，两点，记四边形的面积为，求的最大值． 【详解】（1）设动点的坐标为，则，．    因为，所以，即，所以曲线的方程是，轨迹形状是以为圆心，半径为2的圆． （2）当切线斜率不存在时，显然与圆相切．    当切线斜率存在时，设切线方程为，即．由圆心到切线的距离为2，得，解得， 则，整理，得．综上，切线方程为和． （3）当直线的斜率不存在时，，，；     当直线的斜率为0时，，，；    当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离， 所以．    因为，用替换上式中的，可得，则 当且仅当，即时，等号成立．综上所述，因为，所以的最大值为7． 53.（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程. （2）若点满足直线斜率是直线斜率的2倍， （i）求证：点在定直线上； （ii），是直线上两个不同动点，且轴，记以，为圆心的圆半径分别为，，若圆、圆、圆均两两外切，求的取值范围. 【详解】（1）由已知可得    所以圆. (2)（i）设，则，     解得或，即点在定直线或定直线上. （ii）由题意可知，，是直线上两个不同动点，不妨设点在点上方，记圆与圆切点纵坐标为，     则，，因为，，所以，         化简得，当时，；当时，，，令，对函数,，所以函数在单调递减，所以，所以；综上 所以取值范围为. 54.（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知点A，B分别是两射线和上的两点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长； （2）若线段的中点在直线上，且直线与圆相切，求直线的方程； （3）若点在直线上，为坐标原点，求面积的最小值，并求取最小值时直线的方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，，此时中点坐标，不是点，不合题意；即直线的斜率存在，不妨设为，依题意或， 此时的方程为，由可得，由可得， 因的中点为，则，解得：，则，，则. （2）   若直线的斜率不存在，即的方程可设为，，易得，此时的中点为显然不在直线上，不合题意； 即直线的斜率存在，设为，且或，此时，可设直线的方程为：， 由可得，由可得，则的中点为，因点在直线上，则因，解得：，故直线的方程可化为，又直线与圆相切，则，解得或当时，直线与两射线不相交，不合题意，故，此时直线的方程为. （3）当直线斜率不存在时，由（1）的结论，可得； 当的斜率存在时，设为，依题意或则直线的方程为，由（1）可得，又 ，设，则，令， 则，即，可得，因，故当，即时，取得最小值为6，此时直线的方程为. 55.（25-26高二上·江西·阶段检测）已知圆：. （1）设直线与圆相切于点，求点的坐标； （2）求圆与圆：的公共弦所在直线的方程； （3）设，，为直线上的动点，，分别与圆交于点，（，均异于，），求点到直线的距离的最大值. 【详解】（1）将代入，得，解得， 所以点的坐标为. （2）圆：的圆心的坐标为，半径，圆：的圆心坐标为，半径，圆与圆的圆心距为，，所以圆与圆相交， 用圆与圆的方程作差得，整理得，所以圆与圆：的公共弦所在直线的方程为. （3）依题意可得直线的斜率不能为0，则可设直线：. 由得，则，即.设，，则，，. 又因为直线：，直线：，所以将代入， 得 . 又因为直线，的交点在直线上，所以，解得，所以直线过定点. 当时，点到直线的距离最大，且最大值为. 56.（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    （1）若弦的长为，求直线的方程 （2）记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，此时，； ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，则由，知圆心到直线的距离为，则，得，所以的直线为和； （2）解法一：设由题知，，，①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示，   将，代入，解得，，， ，，； ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，设，，则，，联立，消去得， ，，连接，，由圆的性质可得，， ；所以； 综上可得，； 解法二：设直线方程为，，，联立，消去得，，，，整理得， ，所以； （3）由（2）知，直线和直线方程分别为或，联立，消去得，点在直线上，如图所示，    ，，，的取值范围为. 57.（25-26高二上·北京大兴·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. （1）求圆M的方程； （2）若点Q是直线：上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四边形的面积的最小值； （3）若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 【详解】（1）设，由，得，化简得. （2）因为,是圆的切线,所以,，四边形的面积,,所以，因为的最小值为圆心到直线的距离,所以面积最小值为. （3）直线过圆心，则,即., 由,可得，由基本不等式得：, 当且仅当,即时等号成立.所以.所以的最小值是20. 58.（25-26高二上·福建福州·期中）已知圆的方程为. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）已知直线与圆交于点，，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【详解】（1）设圆心到直线的距离为，则 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为1，符合， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，则圆心到直线的距离， 解得，即直线方程为，综上直线的方程为：或 （2）联立，得或，即，设，满足，由可得：，化简可得：，即，即，又，当或时，对应的点只有一个或，舍去，当时，符合条件的点有两个，故，所以实数的取值范围； （3） 当过点且不与轴重合的直线斜率不存在时，即， 易得，此时方程为，联立，得，此时方程为，联立，得，所以，， 所以，当此直线斜率存在时，设直线方程为，联立圆的方程消去得：得，对应所以则所以直线的方程为，联立，得，所以直线的方程为，联立，得，所以， 所以，综上的最大值为. 59.（25-26高二上·江西·期中）已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴正负半轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． （1）若是等腰三角形，求点的坐标； （2）①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）求四边形面积的最大值． 【详解】（1）设点，由，得，整理得曲线的轨迹方程为，可得，设点，若是等腰三角形，则，解得，所以点的坐标为或. （2）①由（1）知，，则直线的斜率，直线的斜率，有，又直线，的斜率为，所以； ②因为，则直线的斜率，即，设直线，代入得：，设，则，， 因为，整理得，则，而，解得，所以直线恒过定点； （3）由（2）得，，则，令，则，而，则当时，取得最大值，即取得最大值，此时，所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 60.（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. （1）求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）设经过，，三点的圆的方程为， 则，解方程组可得，，，所以圆的方程为（或）；又点的坐标满足上述圆的方程，点在圆上； （2）由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设过点的直线方程为，即，所以可得，可得，所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3） 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 四边形面积等于2倍三角形的面积，，， 又，即最小时，最小，此时三角形的面积最小，即四边形面积最小， 当最小时，即与直线垂直时，四边形面积最小，此时圆心到直线的距离，四边形EMTN面积最小值为. 61.（25-26高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 【详解】（1）设，由得，，化简得，， 所以点的轨迹的方程为． (2)由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆．设的坐标为，则．由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为，即， 与的方程相减得，即为直线的方程．又，所以直线的方程化为． 则有，解得，则直线恒过定点． （3）当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时，则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，．当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为．联立得，，设，则， 则 用替换得．所以． 设，则，且，其图象为一段圆弧．当时，令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 四 直线与圆中其它问题 62.（25-26高二上·河北保定·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【详解】（1）设圆：，，根据题意可得，解得，， 所以圆的标准方程为，可知直线：，圆心到的距离，因为，所以，即，解得或，所以直线的方程为或. （2）若存在圆与圆外切，连接，即存在点使得,因为到的距离， 所以，所以，即，所以或，所以的取值范围为. 63.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设直线的斜率为，若恒与圆相交，交点为，求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【详解】（1）由配方得，则圆的圆心的坐标为，半径为. （2）依题，直线的方程为，即，因恒与圆相交，则圆心到直线的距离（*）， 设，令，则， 则，由函数的单调性可得或，则，即， 故由（*）可得，因，故得，即正实数的取值范围为；设，由消去，整理得：，（），由韦达定理：，易得，因为锐角，则 ，即得，因，化简得.故实数的取值范围是. 64.（25-26高二上·河南郑州·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 【详解】（1）可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线与的方程为或. （2）由切线的几何性质可得，，所以， 又，，所以. （3）的圆心，半径；的圆心，半径.   因为，所以与外切，因此与共有条公切线.与两方程相减，得一条公切线为.设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点，则，所以，即，所以.所以，，所以.将代入，得，所以一条公切线为，即.根据对称性，直线，即也是与的公切线.综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 65.（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知圆C：的半径为2． （1）求实数m的值． （2）过直线l：上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （ⅰ）当点P的坐标为时，求这两条切线的方程； （ⅱ）证明的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标． 【详解】（1）圆C的方程化为标准方程得，因为圆C的半径为2，所以，得． （2）（ⅰ）由（1）知圆心为，设过点P的切线为， 当的斜率不存在时，方程为，符合题意． 当的斜率存在时，设方程为，即，利用点到直线的距离公式可得，解得，所以的方程为，即． 综上，这两条切线的方程分别为和． （ⅱ）因为PA，PB与圆C相切，所以，，所以P，A，B，C四点都在以PC为直径的圆上，即的外接圆必过的一个定点为．设，则PC的中点为，，以PC为直径的圆的方程为， 整理可得，由  解得或 所以的外接圆过定点，． 66.（25-26高二上·湖北黄冈·期中）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． （1）求面积的最小值； （2）设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 【详解】（1）设l的直线方程为，则l与的交点为，l与的交点为，又A，B纵坐标均为正数，∴∴．∴．令，则，， ∴．当且仅当，即时等号成立．故面积的最小值为12． （2）（i）依题意有．化简得．点M的轨迹方程为． （ii）设直线m：，n：，点M到平行直线m，n的距离之和为若为定值，则T为定值．而点M轨迹是圆心为，半径为的圆，则该圆在两平行直线m，n之间．又圆心到直线n的距离为．圆心到直线m的距离为． ∴∴或．直线m的纵截距为，直线m在圆的下方，结合图象有．．则a的取值范围为． 或解：依题意，点M轨迹是圆心为，半径为的圆，令，则有， ∴，若为定值，即为定值， ∴恒成立，∴，即． 67.（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 （1）求圆与圆的公共弦的长； （2）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【详解】（1） 联立圆方程圆得两圆公共弦所在直线方程为， 圆到直线的距离为，又圆的半径，两圆的公共弦长为． （2）设经过圆与圆交点的圆系方程为，该圆系经过点，，解得，该圆方程为，即． 68.（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足. （1）求线段长的最小值； （2）若以为圆心所作的圆与圆有公共点，试求半径最小值时圆的方程. 【详解】（1）由题意，，因为，切点为，定点所以 ，，所以，所以，因为，当最小时，最小，此时，，所以.故线段长的最小值. （2）以为圆心所作的圆与圆有公共点，半径最小时，最小值为点到直线的距离，即此时，圆的方程为. 69.（25-26高二上·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）易得圆的标准方程为，其半径， ，或（舍去），圆的圆心为，半径为，，圆与圆相交； (2)由（1）得圆，由得，直线的方程为，直线的方程为，，，直线与的交点在定直线上． 70.（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知，P为圆C上任意一点. （ⅰ）试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若点，试求的最小值. 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，因为直线与圆相切，所以点到直线的距离，因为，所以，故圆的标准方程为； （2）（ⅰ）假设存在定点，设（），设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为，故存在定点使得为定值， 的坐标为； （ⅱ）由（ⅰ）知，故，从而，当且仅当、、三点共线时，最小，且．所以的最小值为5. 71.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆与圆的半径都是1且，过动点分别作圆、圆的切线（其中与为切点），使得.若以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，其中. （1）求点的轨迹的方程. （2）设点为直线上的一动点.过点作轨迹的两条切线，切点为. （i）当四边形的面积最小时，求点的坐标. （ii）若的面积为，求点的坐标. 【详解】（1）因为，所以，所以，设点，所以，所以的方程为. （2）（i）圆的方程为，则圆心为，半径，因为分别是圆的切线，连接，所以.所以四边形的面积为 所以当最小时，四边形的面积最小，所以此时，又直线，所以直线方程为，由，解得，所以； （ii）因为分别是圆的切线，连接，所以 所以，所以对于方程，则，所以方程无解，所以，则，所以设，所以，所以，解得或，所以或. 72.（25-26高二上·重庆渝北·期中）在平面直角坐标系中，点，设圆的半径为1，圆心在直线上. （1）若圆心也在直线上， ①过点作圆的切线，求切线方程； ②斜率存在且过点的直线与圆交于A、B两点，当面积最大时，求直线斜率； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 【详解】（1）①圆心在直线上，在直线上，所以联立，解得，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：， 若切线斜率存在，设过点的切线方程为，由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，即：，化简得，两边平方得： ，因此，切线方程为： ，即.若切线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为：，也符合；因此，切线方程为： 或.    ②设直线方程为，圆心到直线的距离为：，弦长为：，所以面积为：， 根据函数性质可得当时，可取得最大值，因此我们有： ，两边平方得： ，即，解得.    （2）设点，则，两边平方得： ，即， 所以点在圆上，因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 圆的圆心为，半径为，所以，化简得， 平方得：，所以，所以圆心的横坐标的取值范围为：.      73.（25-26高二上·广东·期中）已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为. （i）求的取值范围； （ii）若，求点到直线的距离. 【详解】（1）设，则设圆，因为两圆内切，所以， 而圆过点，可得，两边同时平方可得，解得，故，于是T的方程为. （2）（i）由题意得圆与交于两点，则其圆心之间的距离为，则，解得，故的取值范围是. （ii）如图，作出符合题意的图形，设，连接，与交于，   由公共弦性质得，由切点弦性质得， 而，可得三点共线，由两点间距离公式得，因为，所以，解得，联立方程组，可得，即直线的方程为，由点到直线的距离公式得G到AB的距离，则P到的距离，设点P到的距离为s，即，由题意得，， 则，则，即，由勾股定理得， 得到，由题意得，故点到的距离即与间的距离，该距离为. 74.（25-26高二上·吉林·阶段检测）已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 【详解】（1）设圆的半径为，圆心为则圆的方程为. 由题可得，解得.所以圆的方程为:. （2）（i）由（1）知，.记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为，两点的坐标分别为，关于轴对称，所以；当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程，得，化简得.设，则.设直线的斜率为，直线的斜率为.由，得.因为，所以.所以直线与直线关于轴对称，所以；综上，. （ii）当直线的斜率为零时，三点共线，不能构成三角形，所以直线与直线的斜率均不为零.由（i）知，当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为.线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为.所以线段的垂直平分线为.线段的垂直平分线与线段的垂直平分线（轴）的交点为，即外接圆圆心坐标为，其横坐标为.当直线的斜率存在时，线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为.线段的垂直平分线为.线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为.线段的垂直平分线为. 由，得.整理得，，即， 所以.因为，且.所以.即线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标为，即外接圆圆心的横坐标为.综上，外接圆圆心的横坐标为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆综合大题题型分类 一 直线与圆中定点、定值、定直线问题 1.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知圆，点是直线上的动点.    （1）圆与圆交于，两点，求直线的方程； （2）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； （3）易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 2.（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，动点与两定点，的距离之比为，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知，两点均在轨迹上，且点在第三象限内，点在第四象限内. （i）若延长与轨迹交于另一点，延长与轨迹交于另一点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值； （ii）若，，点为直线上一动点，直线，分别与轨迹交于，两点，若直线与直线不重合，证明：直线恒过定点. 3.（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知顶点坐标分别为． （1）求的外接圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 4.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 5.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点是圆内一点，直线. （1）若圆的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； （2）若过点作圆的两条互相垂直的弦EF，GH.求四边形EGFH的面积的最大值； （3）若是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为C，D．证明：直线CD过定点. 6.（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． （1）若是等腰三角形，求点P的坐标； （2）①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； （3）求四边形ASBT面积的最大值． 7.（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． （1）当时，求切线长； （2）求证：直线恒过定点； （3）记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 8.（25-26高二上·河北·阶段检测）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的方程； （2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 9.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）若轴，求四边形的面积； （2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 10.（25-26高二上·湖北荆州·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 11.（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． （1）若直线的斜率为，求弦的长； （2）若的中点为，求面积的取值范围； （3）已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上. 12.（25-26高二上·安徽池州·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 13.（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. （1）求点的轨迹方程. （2）若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 14.（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆是圆周上位于轴上方两点，两点关于轴对称，直线分别与轴相交于点，圆的切线交轴于点． （1）当点横坐标为2时，求直线的方程； （2）若点横坐标为0，，求； （3）若坐标为，直线是否过定点？ 15.（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. （1）若直线的方程是，求的面积； （2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； （3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 16.（25-26高二上·江西·阶段检测）已知曲线的方程为. （1）求与轴的公共点的个数. （2）设，，证明：上存在无数个点，使得为定值. （3）过点的直线与交于四个不同的点，求的斜率的取值范围，并证明这四个点的横坐标的乘积小于. 17.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知过定点的直线被圆截得的弦长为． （1）求直线的方程． （2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （i）求曲线方程； （ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由； 18.（25-26高二上·广东茂名·期中）已知圆和点． （1），是圆上的动点，且，的中点为，求点的轨迹方程； （2）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补．求证：直线AB的斜率为定值． （3）过点作直线交圆于两个不同的点C，D（线段CD不经过圆心），分别在点，处作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 19.（25-26高二上·甘肃白银·期中）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 20.（25-26高二上·山东烟台·期中）已知圆过点，且与圆（）关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于，两点，直线不经过圆心，过点，分别作圆的切线，两切线交于点，求证：点在一条定直线上； （3）设，已知点为圆上任意一点，过点作圆的一条切线，切点为，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 21.（25-26高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. （1）求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； （2）过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； （3）设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点. 22.（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. （3）若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 23.（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知圆与圆关于直线对称． （1）求圆的标准方程． （2）过点且与轴不重合的直线与圆交于两点． （i）过点作与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值． （ii）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 二 直线与圆中存在性问题 24.（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，求的最大值； （3）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 25.（25-26高二上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点. （1）在圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由； （2）设点是圆外一点，过点作圆的两条切线和，切点分别是和，求的最小值； （3）对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围. 26.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 27.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点到的距离是点到的距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，求的轨迹； （3）设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 28.（25-26高二上·湖北荆州·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由 29.（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. （1）求实数b的取值范围; （2）若，求四边形ABDC的面积关于b的表达式; （3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 30.（25-26高一下·重庆·期末）已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 31.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点到的距离是点到的距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，求的轨迹； （3）设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 32.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 33.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. （1）求圆的方程； （2）若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，若，求实数的取值范围； （3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？ 34.（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆的圆心在直线上，且过两个点，点为圆上不同于的两个动点． （1）求圆的方程； （2）为圆上一点，当面积最大时，求直线的方程； （3）若，是否存在与动直线恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由． 35.（25-26高二上·广东·期中）如图1，已知圆心在轴的圆C经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）过作两条斜率为，的直线分别与圆交于，两点（在轴上方），若， （i）证明：直线过定点； （ii）将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2，折叠后，在新图形中对应点记为，.是否存在直线，使得折叠后满足，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 36.（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 37.（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线：与曲线交于，两点. （1）证明：曲线为圆. （2）若的面积为，求直线的方程. （3）若直线，与直线分别交于点，，判断是否存在以为直径的圆与曲线外切. 38.（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． （1）求圆C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； （3）过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 39.（25-26高二上·四川成都·期中）已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由． 40.（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值； （3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 41.（25-26高二上·河北保定·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 42.（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 三 直线与圆中最值与范围问题 43.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足， （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，动点不在轴上，点在射线上，且满足． （i）设，求点的坐标（用表示）； （ii）设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值． 44.（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 45.（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 46.（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，是函数图像上的三个点. （1）当时，线段的垂直平分线方程为，求直线的方程； （2）在（1）的条件下，求外接圆的标准方程. （3）过点的两条直线，相互垂直，且直线的斜率为，直线，与轴交点的横坐标为，.若，求的取值范围. 47.（25-26高一下·浙江宁波·期中）经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 48.（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 49.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程． （2）过直线：上的点作圆的切线，，切点分别为，． ①求四边形面积的最小值； ②当四边形的面积最小时，求直线的方程． 50.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长； （3）直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值． 51.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为. （1）求圆、的方程； （2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围. 52.（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，两点，为平面上的动点，且满足，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明轨迹的形状； （2）过点作曲线的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交曲线于，两点，再过点作与直线垂直的直线，交曲线于，两点，记四边形的面积为，求的最大值． 53.（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程. （2）若点满足直线斜率是直线斜率的2倍， （i）求证：点在定直线上； （ii），是直线上两个不同动点，且轴，记以，为圆心的圆半径分别为，，若圆、圆、圆均两两外切，求的取值范围. 54.（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知点A，B分别是两射线和上的两点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长； （2）若线段的中点在直线上，且直线与圆相切，求直线的方程； （3）若点在直线上，为坐标原点，求面积的最小值，并求取最小值时直线的方程. 55.（25-26高二上·江西·阶段检测）已知圆：. （1）设直线与圆相切于点，求点的坐标； （2）求圆与圆：的公共弦所在直线的方程； （3）设，，为直线上的动点，，分别与圆交于点，（，均异于，），求点到直线的距离的最大值. 56.（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    （1）若弦的长为，求直线的方程 （2）记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 57.（25-26高二上·北京大兴·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. （1）求圆M的方程； （2）若点Q是直线：上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四边形的面积的最小值； （3）若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 58.（25-26高二上·福建福州·期中）已知圆的方程为. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）已知直线与圆交于点，，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 59.（25-26高二上·江西·期中）已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴正负半轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． （1）若是等腰三角形，求点的坐标； （2）①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）求四边形面积的最大值． 60.（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. （1）求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 61.（25-26高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 四 直线与圆中其它问题 62.（25-26高二上·河北保定·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 63.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设直线的斜率为，若恒与圆相交，交点为，求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 64.（25-26高二上·河南郑州·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 65.（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知圆C：的半径为2． （1）求实数m的值． （2）过直线l：上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （ⅰ）当点P的坐标为时，求这两条切线的方程； （ⅱ）证明的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标． 66.（25-26高二上·湖北黄冈·期中）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． （1）求面积的最小值； （2）设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 67.（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 （1）求圆与圆的公共弦的长； （2）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 68.（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足. （1）求线段长的最小值； （2）若以为圆心所作的圆与圆有公共点，试求半径最小值时圆的方程. 69.（25-26高二上·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 70.（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知，P为圆C上任意一点. （ⅰ）试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若点，试求的最小值. 71.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆与圆的半径都是1且，过动点分别作圆、圆的切线（其中与为切点），使得.若以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，其中. （1）求点的轨迹的方程. （2）设点为直线上的一动点.过点作轨迹的两条切线，切点为. （i）当四边形的面积最小时，求点的坐标. （ii）若的面积为，求点的坐标. 72.（25-26高二上·重庆渝北·期中）在平面直角坐标系中，点，设圆的半径为1，圆心在直线上. （1）若圆心也在直线上， ①过点作圆的切线，求切线方程； ②斜率存在且过点的直线与圆交于A、B两点，当面积最大时，求直线斜率； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 73.（25-26高二上·广东·期中）已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为. （i）求的取值范围； （ii）若，求点到直线的距离. 74.（25-26高二上·吉林·阶段检测）已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $