第二十五章、第二十六章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章、第二十六章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义得到，且，进行求解即可． 解：由题意，得：，且， 解得； 故选B． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 4．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 5．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 6．（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 7．（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 12．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 14．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 15．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 16．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）方程系数不适合因式分解，选用公式法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解． （1）解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 移项得 ， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 18.（本题满分8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． （1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 19.（本题满分8分）（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求的面积； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把点代入，求出的值，得出抛物线解析式，配方即可求出抛物线顶点坐标； （2）根据（1）中所求解析式，求出、坐标，即可求出的面积； （3）连接，交对称轴于，连接，根据二次函数的对称性得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，根据顶点坐标可得对称轴为直线，把代入的解析式即可求出点坐标． （1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，连接，， 由（1）可知，抛物线的解析式为， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：如图，连接，交对称轴于，连接， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得, ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点坐标为． 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·全国·周测）某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）直接写出与x之间的函数关系式. （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】（1）；（2）的最大值为 【分析】（1）根据利润（售价-进价） 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. （1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 21.（本题满分10分）（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）． （1）当时，求二次函数的对称轴． （2）若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 【答案】（1）直线；（2）①证明：由题意，点都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． ②的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解； （2）①依据题意，由点都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解； 依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解． （1）解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线； （2）①略 由题意可得， ． 当时，的最大值为4． 22.（本题满分10分）（26-27九年级上·福建·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）填空：__________，__________； （2）设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值． （2）设直线交对称轴于点M，令代入抛物线解析式即可得到C点坐标；以为底，为高，用三角形面积公式计算的面积，将抛物线化为顶点式得对称轴，求出直线的解析式，得到点Ｍ坐标，由写出其表达式，根据，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到D点坐标． （1）解：把，代入，得：， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ∴，， 或． 23.（本题满分10分）（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． （1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 24.（本题满分12分）（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． （1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章、第二十六章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．不存在 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 4．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 12．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 14．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 15．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 16．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 18.（本题满分8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 19.（本题满分8分）（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求的面积； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·全国·周测）某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）直接写出与x之间的函数关系式. （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 21.（本题满分10分）（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）． （1）当时，求二次函数的对称轴． （2）若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 22.（本题满分10分）（26-27九年级上·福建·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）填空：__________，__________； （2）设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 23.（本题满分10分）（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24.（本题满分12分）（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 学科网（北京）股份有限公司 $