第二十五章、第二十六章综合测试卷【基础卷】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章、第二十六章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 反比例函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 4．（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（为任意实数） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 12．（2024·青海西宁·中考真题）已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ______． 13．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 15．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 16．（2026·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．    三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分12分）解下列方程：（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） （3）（用求根公式法） （4）（用因式分解法） 18.（本题满分8分）（25-26九年级上·广东肇庆·阶段检测）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ （2）鸡舍面积能否达到？ 19.（本题满分10分）（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 20.（本题满分10分）（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商店销售一批玩具，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件．设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利元，则每件玩具应降价多少元． 21.（本题满分10分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 22.（本题满分10分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （2）若该二次函数顶点为A，且该二次函数图象与函数交于点B和点C，请求出的面积． 23.（本题满分12分）（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 错误！未找到图形项目表。 第二十五章、第二十六章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 反比例函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：， ， ． 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】将原方程展开成一般形式，计算根的判别式，根据计算结果即可解答． 解：原方程整理，得， ， 原方程有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 7．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 8．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 9．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 10．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 12．（2024·青海西宁·中考真题）已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ______． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，化简所求代数式，代入即可得到结果． 解：∵方程的两根分别为a和b， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 13．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 15．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 16．（2026·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分12分）解下列方程：（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） （3）（用求根公式法） （4）（用因式分解法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． （1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点拨】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 18.（本题满分8分）（25-26九年级上·广东肇庆·阶段检测）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ （2）鸡舍面积能否达到？ 【答案】（1）矩形鸡舍的长为，宽为；（2）解：当， 则， 整理得：， 则， 故所围成鸡舍面积不能为 86平方米． 【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案； （2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况． （1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得，． 当时，（舍去）， 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为； （2）略 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用题目给的条件列出一元二次方程是解题的关键． 19.（本题满分10分）（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为，对称轴为直线；（3）最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． （1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）略 20.（本题满分10分）（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商店销售一批玩具，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件．设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利元，则每件玩具应降价多少元． 【答案】（1）；（2）降价元 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）解方程即可； （1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 解得：； ∵该商店为了尽快减少库存， ∴． 答：每件玩具应降价元． 21.（本题满分10分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意求出点的坐标，进而求解． 解：将代入， 则， ∴， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为． 22.（本题满分10分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （2）若该二次函数顶点为A，且该二次函数图象与函数交于点B和点C，请求出的面积． 【答案】（1）画出二次函数的图象，如下图： （2）3 【分析】此题考查了将函数解析式化为顶点式，求图象与坐标轴的交点，描点法画函数图象，计算三角形的面积，正确掌握二次函数与坐标轴交点坐标的计算方法是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令，求出y的值，令，求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）求出点A，B，C的坐标，即可得出结论． （1）解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴交于点， 当时，， 解得：， ∴二次函数的图象与x轴交于点， ∴点关于直线的对称点为点； （2）解：由（1）得：， 联立得：， 解得：或， ∴点, ∴． 23.（本题满分12分）（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 【答案】（1）0；（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． （3） 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大， （4）①；② 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． （1）解：依题意，把代入函数，得； 故答案为：0． （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $