学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（广东省卷，范围：新教材人教版九年级上册第二十五章+第二十六章）

**基本信息** 本试卷以人教版九年级上册二次函数与一元二次方程为核心，结合山西老陈醋、信阳毛尖等地域文化素材及铅球运动、矩形花圃等生活情境，通过基础题、综合题及新定义“相关函数”题，梯度考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、方程根与系数关系|基础概念辨析，如第1题二次函数判定| |填空题|5/15|配方法、利润问题|结合文化情境，如第12题老陈醋销售利润模型| |解答题|8/75|函数图像变换、几何与函数综合、新定义|注重思维与应用，如第20题铅球运动轨迹求最值，第23题“相关函数”创新探究|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11 12 13. 14. 15. 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 16.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) A O/B 18.(7分) a A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（二)：本大题共3个小题，每小题9分，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 19.(9分) 20.(9分) y/m ○ x/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) B dc 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 五、解答题（三)：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分.解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤) 22.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) =2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五章+第二十六章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得，解得． 3．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 4．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 5．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 6．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 8．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 9．如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 10．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 12．山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 且 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ，且， 整理得，解得； 综上，的取值范围是且. 14．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 15．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线过原点，与轴交于另一点，且与不重合， ∴，关于对称轴对称， 可得点坐标为，， ∵是等腰直角三角形，直角顶点只能为， ∴斜边上的高等于斜边的一半，斜边上的高为，可得，即， ∵抛物线过原点， 将代入抛物线解析式得，，即， 将代入上式得， ∵， 若则顶点在原点，与重合，不符合题意， ∴等式两边同时除以得． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程： (1)． (2) 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 2分 则或， 解得，； 3分 （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 5分 则或， 解得，． 7分 17．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】(1) 解：抛物线关于轴对称的图象如图． 2分 （2）解：抛物线关于轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为， 故答案为：． 4分 (3) 解：如图，四边形为菱形．理由如下： 点关于轴对称，点关于轴对称， ， 四边形为平行四边形． 又四边形为菱形． 7分 18．为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 2分 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； 3分 （2）不能，理由如下， 假设面积可以为 ，则， 整理得即， 5分 ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为 ． 7分 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【详解】（1）证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 3分 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， 5分 ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 7分 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 9分 20．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． 2分 （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， 4分 （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） 6分 （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 7.5分 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 9分 21．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒） ∵，， ∴ 2分 ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动 ∴点Q到达点C的时间为（秒） ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P到达点A的时间为（秒） ∴当时，； 当时，； 4分 （3）如图所示，当时，即点P点在上运动时，当时 ∴ ∴ ∴ ∴； 6分 如图所示，当时，即点P点在上运动时，当时 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 9分 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； 1分 （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； 3分 ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 5分 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 7分 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ 10分 ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为． 13分 23．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； 1分 （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 3分 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 5分 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 7分 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； 9分 ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 11分 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 14分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（9分） 20.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 4 5 6 > 8 10 A A 夕 0 A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.14 12.60或80 13.k>-1且k≠0 14.1690 15.-1 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 16. 【详解】(1)解：原方程移项得2x2-7x+3=0, 因式分解得(2x-10x-3)=0, 2分 则2x-1=0或x-3=0 1 解得2，名3=3… 3分 (2)解：原方程因式分解得(x-3(x-3+2x)=0 整理得(x-3)(3x-3)=0 .5分 则x-3=0或3x-3=0, 解得5=3书=1 .7分 17. 【详解】(1) y=x2-3 解：抛物线 关于“轴对称的图象如图。 1/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2分 (2)解：抛物线y=X- 关于”轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为0,3)， y=-x2+3 故答案为： 4分 (3) 解：如图，四边形ACBD为菱形.理由如下： A.B C.D 点关于轴对称，点关于轴对称， ∴.OA=OB,OC=OD ∴.四边形ACBD为平行四边形. 又AB1CD,四边形ACBD为菱形. .7分 18 【详解】(1)解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为 4-3米 则x(24-3x)=45】 x1=3x2=5 解方程得： 2分 当x=3时，长=24-3×3=15>10，故舍去， .x=5 .AB=5(米)， 答：矩形的长为9米，宽为5米；3分 (2)不能，理由如下， 假设面积可以为 60m2,x(24-3x)=60 ,则 2/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 整理得即x2-8x+20=0, 5分 ÷4=(-8-4×1x20=64-80=-16<0 方程无实数解， 故面积不能为 60m2 7分 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 19. 2-2(n-1)x+n2-2n=0 【详解】(1)证明：：对于一元二次方程 .△=[-2(n-10]-4x1x(n2-2n） =4(n2-2n+1）-4n2+8n =4n2-8n+4-4n2+8n =4>0 ∴.无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 3分 (2)解：：AB,AC的长是关于x的一元二次方程 2-2(n-1)x+n2-2n=0 的两个根， 4B+AC=2(n-1)4B.AC=2n (4B+AC)-4(n-1)4B+4C+24B-4C-4(-1) 、AB2+AC2=4(n-1-2(n2-2n =4(n2-2n+1）-2n2+4n =4n2-8n+4-2n2+4n =2n2-4n+4 y 5分 ,△ABC是以BC为斜边的直角三角形， 3/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ..AB2+AC2=BC2, ,第三边BC的长是10， .2n2-4n+4=102, 整理得-2m-48=0,即m-8)n+6)=0 解得%=8乃=6 7分 当n=8时，1B+4C=2(8-1)=14>10 ,符合题意： 当n=-6时， AB+AC=2(-6-1)=-14<0 不符合题意： 、.当n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.9分 20. 【详解】(1)解：由题意可知，当投掷的距离为8m时，铅球落地，即x=8时，y=0, 将点&0)代入y=ar+亏+2a<0),得： 4 4 0=64a+-×8+2」 5 21 解得a=、 160 2分 (2解：y=a2+4x +2=ax+2 +24 5a) 25a, 4 ·抛物线的对称轴直线为x=-5=-2 2a 5a 分三种情况： (1)当对称轴5a ≥4时，即a20 210,当2≤x≤4时，y随着x的增大而增大， 8 即当x=2时，ym=4a+令+2=4a+3.6. 5 当g4时，m=16g++2=16a+52, 5 4/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16a+5.2-(4a+3.6)=0.4 根据题意可知： 解得a= 0)……….4分 10 (②)当对称轴一52时，即4≤-5，在2<x≤4时，y随着x的增大而减力 比时即当=2时，人m=4如+2=4知+36， 当4时，a=16a++2=16a+52。 4a+3.6-(16a+5.2)=0.4 根据题意可知： 解得a,（舍去a 6分 3)当2<-2<4时，即54<、 109 2 2 当x=4时离对称轴直线x=一5a较x=2时离对称轴直线x= 5a远时， 则当=4时，=16g+52=16a+52 4 根据题意可知：一 +2-(16a+5.2)=0.4 25a 2a=7-9 a=17-9 解得80（舍去）或 80 7.5分 2 2 当x=4时离对称轴直线X三5a较x=2时离对称轴直线X= 5a近时， 则当2时ym=40+5+2=4a+3.6 当=品时.aaa动月 2 2)4_2+2=-4+2, 根据题意可知：-25 4+2-(4a+3.6)=0.4, 5/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得a= 5舍)或a=1 2 Γ10（舍）. 10或4v-9 80,9分 21 【详解】(1)解：：BC=6,点P从点C出发，沿折线CB-BA向终点A运动，在BC上以每秒3个单位 长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为6÷3=2（秒） :∠C=90°，AB=10,BC=6 .AC-VAB -BCE=8 2分 :点Q从点A出发，沿AC方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动 ∴点0到达点C的时间为8÷2=4（秒） :在AB上以每秒4个单位长度的速度运动，AB=10 点P到达点A的时间为2+10÷4=4.5（秒） .当0≤t≤2时，BP=BC-PC=6-3t: 当2<1≤4时，BP=4-2)=4-8 .4分 (3)如图所示，当0≤1≤2时，即点P点在BC上运动时，当PO∥AB时 B 0 △CPQ∽△CBA CP CO ·BCAC 3t_8-2t 3 .6分 如图所示，当2<t≤4时，即点P点在AB上运动时，当PO∥BC时 6/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B △APQP△ABC AP AQ ·ABAC .10-(44-8）_21 10 8 :136 13: 4 36 综上所述，当P阳与。BC的一边平行时，f=或1=8,9分 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 22 【详解】(1)解：当a=1,m=1时， y=x2+(3+1)x-(1+2)=x2+4x-3=(x+2)2-7 所以抛物线G的对称轴为直线x=-2;… 1分 (2)解：0=ar+(3a+mjr-(m+2)=am2+3ar+m(k-）-2 当x=1时，y=a+3a-2=4a-2, :对于任意实数m,抛物线G总经过定点P.-6) t=1,4a-2=-6 0=-l;3分 ②由①得：t=1,a=-1P(1,-6) ÷抛物线的解析式为'=-+(-3+m)x-(m+2) 7/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (m-3,),B(m,)在抛物线G上，且线段4B与轴有交点， 点 当hs0 把点4m-3）,B(m⅓)代入=-+(3+m)-(+2)得： 片=-(m-3)}+(-3+m)(m-3)-(m+2)=-m-2 2=-m2+(-3+m)m-(m+2)=-4m-2 :（-m-24m-2)≤0.点4(m-3,-m-2)B(m,4m-2) ,点 1 解得：一2≤m≤2，… 5分 设直线AB的解析式为y=a+b, 把点1m-3,m-2）,Bm加-2）代入得： k(m-3)+b=m-2 km+b=-4m-2, k=-m 解得：b=m2-4m-2, 直线1B的解析式为》=-m+m-4m-2 7分 如图，过点P作P21x轴交AB的延长线于点Q,则点m-5m-2）, :P2=m2-5m-2-(-6)=m2-5m+4 8/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 S=SPAQ-S.PBO =,-)P0-,P阳 -0 m-5m+4[m-(a-3训 =3m2-5m+4 2 m子 10分 5 当m<2时，( 4随m的增大而减小， :-2≤m≤- 2 5)2 9 ∴.当m=-2时， m- 24取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 1 9 当m=- 2时， m-2) 81 4取得最小值，此时S取得最小值，最小值为8， 81 ∴.S的取值范围为8 ≤S≤27 .13分 23 【详解】(1)解：由相关函数的定义可知，当1=-2时，y=2+1的相关函数的解析式为 y= 2x-1(x>-2): 1分 (2)解：①函数的解析武为'=a-4ar+3a(a>0)）.t=0 9/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -ax2+4ax-3a(x>0) 三 :图象F的函数解析式为 ax2-4ax+3a(x≤0)， 2 把x=2代入y=ar2-4x+3a,得y= 40: 把=0代入)=a-4ar+30,得y=30,即图象F与'轴的交点坐标为 0,3a) 把 3 2代入y=-ar2+4ar-3a,得y= 4a. 3分 图象5y四+-如=-a(红-2旷+0的顶点坐标为亿) 当图象F的顶点在线段4B下方，图象B与线段B只有一个公共点时，如图1： 。B 图1 21 0≥1 由题意，得3a≤1 a<1 解得2 ≤a≤ 3… 5分 当图象厂的顶点在线段4B上时，图象B与线段4B无交点时，如图2 图2 10112 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2,a） ,图象1的顶点坐标为 :a=1,此时，图象与'轴的交点坐标为 ,3),即图象F在线段4B上方，符合题意：7分 F 当图象在其对称轴左侧的部分与线段AB只有一个公共点时，如图3： ●B 图3 3 a>1 4 由题意，得3a>1， 解得a>4 3· 4 1 4 综上所述，a的取值范围是2≤a3或a=1或a>3:9分 ②：a=2 y=2x2-8x+6 令y=0,则2x2-8x+6=0, x=1x2=3 解得， 六y=2-8x+6与轴交于0，(80)， y=2x2-8x+6=2(x-2}-2 y=2x2-8x+6 的顶点坐标为2,2) 11分 11/12 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 “点C )是图象F上任意一点，当-1≤x≤3时，”的最大值始终保持不变， 2(t-1-2)-2≤2 :当n的最大值始终为2时，t<2 -V2≤t<2 解得 [t≥3 当n的最大值为0时， 1≤t-1≤3， 解得3≤t≤4， ∴.t 的取值范围是 3-V2≤t<23≤t≤4 或 14分 Y 图4 12112………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五章+第二十六章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 4．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 6．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 8．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 10．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 14．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 15．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程： (1)． (2) 17．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 18．为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 20．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 21．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 23．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五章+第二十六章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 4．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 6．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 8．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 10．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 14．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 15．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程： (1)． (2) 17．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 18．为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 20．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 21．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 23．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． / 学科网（北京）股份有限公司 $