第十三章、第十四章 综合测试卷 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章、第十四章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第十三章 三角形、第十四章 全等三角形 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 3．（2026·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江绍兴·一模）如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 10．（25-26七年级下·重庆万州如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 12．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 13．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 14．（25-26七年级下·重庆·期中）图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 15．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． （1）求周长的取值范围； （2）已知是的中线，若的周长为，求的周长． 18.（本题满分8分）（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：．（2）已知，，则的长为_________． 19.（本题满分8分）（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，是的外角，且， （1）请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、证明： 20.（本题满分8分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 21.（本题满分10分）（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，在线段上作一点P，使得点P到边和的距离相等； （2）在图2中，把△折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为___________． 22.（本题满分10分）（2026·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． （1）如图，当P与E重合时，求α的度数． （2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 23.（本题满分10分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D （1）如图1，过点D作于点E，说明：； （2）如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； （3）如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 24.（本题满分12分）（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）【综合与实践】 【教材再现】 问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小． 请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】 问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数． 根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】 问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章、第十四章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第十三章 三角形、第十四章 全等三角形 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．（2026·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得，，设D对应的数为x，根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择． 解：设D对应的数为x， ∵点A，B对应的数分别为，5，点C对应的数为， ∴，，，， 根据题意，，， 则， 解得， ∴点D在数轴上对应的数可能为2， 故选：A 4．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 5．（2026·浙江绍兴·一模）如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：，根据直角三角形的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 解：如图， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 7．（25-26七年级下·重庆·期中）某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明，可得． 解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，延长交的延长线于点，证明，可得，为中点，进而求出的长；根据三角形中线性质可知，当时面积最大，从而求解． 解：由作图可知平分，延长交的延长线于点， 平分，， ∴， ∵， ∴， ，为的中点， ， ，即， 为的中点， ， 在中，，， 当时，的面积最大，最大值为， 的最大值为． 10．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，利用“8字模型”表示出 ，进而表示出 和 ，最后利用三角形内角和及对顶角相等建立与的关系即可. 解：设， 平分， ， 设与交于点，在和中，， ， ， ， ， ， ， 共线， ， 设交于点 ， 在中，， 又， 在中，， ， . 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 12．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 13．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 14．（25-26七年级下·重庆·期中）图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 【答案】 解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，最后根据等底等高可得． 解：∵两个同样大小的正方形纸片，，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴根据等底等高可得． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 【答案】 【分析】延长 交 的延长线于点 ，连接，通过证明 将梯形面积转化为 的面积，利用三角形中线性质及面积公式求解． 解：延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， 是 的中线， ， ，，， ， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． （1）求周长的取值范围； （2）已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】（1）；（2）17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． （1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 18.（本题满分8分）（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）已知，，则的长为__________． 【答案】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 19.（本题满分8分）（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，是的外角，且， （1）请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、证明： 【答案】（1） （2）证明：是的外角， ， ， ， ， 又，， ． 【分析】（1）根据题意，作的平分线即可； （2）根据证明两个三角形全等即可证明结论． （1）解：∵，，∴；图略 （2）略 20.（本题满分8分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】（1）稳定；（2）理由：是，的中点，， ，． 又， ， ． 【分析】（1）根据三角形的稳定性即可解答； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 解：（1）略 （2）略 21.（本题满分10分）（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，在线段上作一点P，使得点P到边和的距离相等； （2）在图2中，把△折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为___________． 【答案】（1）如图1，即为所求； （2）①如图2中，直线即为所求；② 【分析】本题考查尺规作图角平分线，线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作射线平分即可； （2）①作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接即可； ②垂直平分线段，所以，可证明的周长，则题目可解． （1）解：如图1中，作的平分线即为所求； 根据角平分线性质定理，满足点P到边和的距离相等； （2）解：①略 ②垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：． 22.（本题满分10分）（2026·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． （1）如图，当P与E重合时，求α的度数． （2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 【答案】（1）25°；（2）①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50° 【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD； （2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°． （1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°， ∵P与E重合，AE平分∠BAC， ∴D在AB边上，AE⊥CD， ∴∠ACD＝65°， ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°； （2）①如图1，当点P在线段BE上时， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β＝40°＋α， ∴2α－β＝50°； ②如图2，当点P在线段CE上时， 延长AD交BC于点F， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β， ∴90°－α＝40°＋α＋β， ∴2α＋β＝50°． 【点拨】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质． 23.（本题满分10分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D （1）如图1，过点D作于点E，说明：； （2）如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； （3）如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 解：（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 24.（本题满分12分）（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）【综合与实践】 【教材再现】 问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小． 请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】 问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数． 根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】 问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 【答案】问题1：； 问题2：的度数为； 问题3：，证明：在线段 上截取，连接， 由问题2可知 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】问题1：由对顶角相等，结合等角的余角相等，即可得与的大小关系； 问题2：在线段上截取，连接，由对顶角相等，结合等角的余角相等，可得，证明，可得，，可得，即可得的度数； 问题3：在线段上截取，连接，由问题2可知，可得，证明，可得，可得，即可得线段和线段的数量关系． 解：问题1： 解：∵，相交于点， ∴， ∵， ∴． 问题2： 解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 问题3：略 【点拨】本题考查对顶角相等，等角的余角相等，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． 学科网（北京）股份有限公司 $