第一章 第1周 探索勾股定理-【全能练考卷】2026-2027学年八年级上册数学周末小卷（北师大版·新教材）

周未小卷心周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第一章 第1周 探索勾股定理 勾股定理 ©时间：45分钟 回分值：100分 国得分： ②答案：P1 基础测·教材变式 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.在Rt△ABC中，斜边AB=6,则BC2+AC2的值为 叔 A.36 B.6 C.24 D.4 2.[选材新方向·气象雷达监测图]右图为某气象雷达监测图。规定：1个 单位长度代表10km,以雷达站0为原点，每间隔10km画一个同心圆，并 将圆周平均分成十二等份，每份对应30°扇形。雷达监测到A,B两团雷雨 234 云，则A,B两团雷雨云之间的距离约为 A.5 km B.40 km 南 C.50 km D.30 km 杯 3.下面四幅图中，不能利用面积验证勾股定理的是 S3=4 =2 S2=4 2=5 S3=5 B D.S2=4 S2=3 S=6 S3=10 S=3 母 4.[真实任务情境·文明倡导]如图，某公园里有一块长方形草 小草青青 坪，小明同学发现有极少数人不沿小路AC,CB行走，直接踩踏草坪 脚下留情 总 沿AB行走。为了倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在A处立 一个标牌：小草青青，脚下留情。经过测量得知：A,C两处的距离 为12m,B,C两处的距离为5m,则踩踏草坪少走的距离仅仅为 A.13m B.12m C.7m D.4m 5.（易错题)下列说法正确的是 A.已知a,b,c是三角形的三边长，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，若∠A=90°，则a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，若∠C=90°，则a2+b2=c2 二、填空题（每小题3分，共12分） 6.(常考题)一个直角三角形的两条直角边长分别是8和15，则这个三角形的周长为 7.如图，在△ABC中，∠B=90°，以AC为边作正方形ADEC。若AB=2,BC=4,则正方形ADEC的面 积是 8.[2025江苏连云港中考]如图，长为3的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚线的距离为 1.8m,则梯子顶端离地面的高度h为 m D (第7题) (第8题) （第9题) 9.（常考题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则边AB上的高CD为 三、解答题（共28分） 10.（8分)(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12,求BC的长； (2)在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,BC=9,求AB的长。 11.（10分)[选材新风向·无字证明]我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学 规律和公式，这种方法称之为“无字证明”。下图是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成 的“无字证明”图形。已知直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,图1、图2的面 积相等，请你根据这两个图验证勾股定理。 图1 图2 12.(10分)如图，有一块四边形草地ABCD,其中∠B=∠D=90°，AB=15m,BC=20m,CD=7m,求 这块草地的面积。 B 八年级·数学(BS)·上册1 能力测·迁移应用 一、选择题（每小题3分，共9分） 13.（易错题)在Rt△ABC中，AC=6,AB=8,则BC2= () A.28 B.28或10 C.28或100 D.10 14.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形，面积分别记为S1,S2,S3。 若S3+S2-S1=18,则图中阴影部分的面积为 () 9 7 A.6 C.5 D. ⊙ S2 A 图1 图2 (第14题) (第15题) 15.[中考新角度·规律探索]有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上 各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形。再经过1次“生长”后， 形成的图形如图1所示。如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示。“生长” 了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是 () A.2027 B.2026 C.22026 D.22026-1 二、填空题（每小题3分，共6分） 16.如图，AB平分∠CAD,∠C=∠D=90°，AC=3,BD=4,则AB= C A 传感器」 C 门 D D B (第16题) （第17题) 17.[选材新风向·传感器]如图，一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P,点P离地面的 高度PB=4.6m。当人从门外走到离该传感器5m范围内（含5m)时，传感器便自动播报语音 “欢迎光临”。若身高1.6m的荣荣走到点D处时（即CD=1.6m),恰好响起“欢迎光临”，则 BD的长为 m。 2八年级·数学(BS)·上册 三、解答题（共30分） 18.(9分)如图，已知BE为火车道，BC为公路，A为火车站（点A在射线BE上），P为村庄（点P在 射线BC上)，且BA=BP。公路AD与公路BC互相垂直，垂足为D,经测量AD=12km,PD= 4km。求BA的长。 P D A 19.（10分)[中考新角度·过程性学习]探究实践：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求 △ABC的面积。某学习小组给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程。 (1)作AD⊥BC于点D,设BD=x,用CD= (含x的代数式表示)； (2)根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积。 思维测·拓展创新 20.（11分)[中考新角度·创新实验]为了让学生学会用勾股定理解决实际问题，某校八年级数 学兴趣小组的同学把“测量风筝离地面的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践 调查，并利用皮尺等工具采集了实验数据。 【采集数据】 如图，首先利用皮尺测量水平距离BD=16m,然后根据手中剩余风筝线的长度得出BF=20m, ∠FDB=90°。 【数据应用】 已知图中各点均在同一平面内，点C,F,D,E在同一条直线上。 (1)求FD的长； (2)若一名同学站在点A处不动，想把风筝沿着DC方向从点F上升18m到点C,他还需要放 出风筝线多少米？参考 第一章勾股定理 第1周探索勾股定理 1.A【解析】根据题意，得BC2+AC2=AB,所 以BC2+AC2=62=36。 2.C【解析】如图，连接AB。 北 B 1234 南 由题意可得，∠A0B=3×30°=90°，所以 △AOB是直角三角形。因为OA=30km, OB=40km,所以由勾股定理，得AB2=0A+ 0B2=302+402=502,所以A,B两团雷雨云 之间的距离约为50km。 3.D【解析】因为1+3=4，所以能利用面积验 证勾股定理，选项A不符合题意；因为2+4= 6,所以能利用面积验证勾股定理，选项B不 符合题意；因为5+5=10，所以能利用面积验 证勾股定理，选项C不符合题意；因为3+4= 7≠5，所以不能利用面积验证勾股定理，选项 D符合题意。 4.D【解析】因为AC=12,BC=5,∠C=90°， 所以由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=132,所 以AB=13,所以AC+BC-AB=12+5-13= 4(m),即践踏草坪少走的距离为4m。 5.D【解析】选项A,任意一个三角形未必是 直角三角形，所以a2+b2=c2不一定成立，原 说法错误；选项B,在直角三角形中，任意两 边的平方和不一定等于第三边的平方，只有 两直角边的平方和等于斜边的平方，原说法 错误；选项C,在Rt△ABC中，∠A=90°，则a 答案 是斜边，所以b2+c2=a2,原说法错误；选项 D,在Rt△ABC中，∠C=90°，则c是斜边，所 以a2+b2=c2,说法正确。 6.40【解析】设这个直角三角形的斜边长为 x,由勾股定理得x2=82+152=172,所以x= 17,所以这个三角形的周长为8+15+17=40。 7.20【解析】因为在△ABC中，∠B=90°， AB=2,BC=4,所以由勾股定理，得AC2= AB2+BC2=2+42=20,所以正方形ADEC的 面积=AC2=20。 8.2.4【解析】因为长为3m的梯子斜靠在墙 上，梯子底端离墙脚线的距离为1.8m, 所以h2=32-1.82=2.42,所以h=2.4。 9.4.8【解析】因为∠C=90°，AC=6,BC=8, 所以由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=62+ 82=100=102,所以AB=10。 1 因为SA2AC·BC=2CD·AB) 所以CD=AC:BC=48。 AB (解题大招 求直角三角形斜边上的高，可利用等 (面)积法快速计算：直角三角形的面积 既能用两条直角边长乘积的一半表示， 也能用斜边长与斜边上的高的乘积的一 半表示。 10.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13, AC=12,由勾股定理，得BC2=AB2-AC2= 132-122=52,所以BC=5。 (2)在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15, BC=9,由勾股定理，得AB2=AC2-BC2= 152-92=122,所以AB=12。 1.解：题图1的面积S,=心+a+分ab+=心+ b+6。题图2的面积S=b+女。因为 3 题图1、题图2的面积相等，所以a2+2b+ 3 -bt,即a4=d。 12.解：如图，连接AC。 B C 由题可知，△ABC和△ADC均为直角三角 形。在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2=AB2+BC2,在Rt△ADC中，根据勾股 定理，得AC2=AD+CD2,所以AB2+BC2= AD+CD2。因为AB=15m,BC=20m,CD= 7m,所以152+202=AD2+7,所以AD2=536= 242,所以AD=24m,所以四边形ABCD的 面积为4B.BC+4D.0D=7×15x20+ 2×7×24=150+84=234(m2),即这块草地 的面积为234m2。 13.C【解析】在Rt△ABC中，AC=6,AB=8。 由于无法确定哪个角是直角，因此不能判 定哪条边是斜边，需分两种情况讨论：①若 AB为斜边，则BC2=AB2-AC2=82-62=28; ②若BC为斜边，则BC2=AC2+AB2=62+82= 100,所以BC2=28或100。 (易错警示 运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角 是直角，再分别确定哪个边是直角边，哪 个边是斜边。 14.B【解析】由勾股定理，得BC2-AC2=AB2, 即S3-S1=S2。因为S3+S2-S1=18,所以 S2=9。由题图可知，阴影部分的面积= 9 28=20 15.A【解析】如图，由题意得，正方形A的面 积为1， B A 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C 的面积=正方形A的面积=1，所以“生长” 了1次后形成的图形中所有正方形的面积 之和为1+1=2。同理可得，“生长”了2次 后形成的图形中所有正方形的面积之和为 3,“生长”了3次后形成的图形中所有正方 形的面积之和为4，…依此类推，“生长” 了几次后形成的图形中所有正方形的面积 之和为n+1,所以“生长”了2026次后形 成的图形中所有正方形的面积之和为 2026+1=2027。 16.5【解析】因为AB平分∠CAD,所以 ∠CAB=∠DAB。 r∠C=∠D, 在△ABC和△ABD中，{∠CAB=∠DAB, AB=AB, 所以△ABC≌△ABD(AAS),所以BC=BD= 4。又因为∠C=90°，AC=3,所以AB2= AC2+BC2=32+42=25=52,所以AB=5。 17.4【解析】如图，过点C作CQ⊥AB于 点Q, A 传感器 P 0 门 E D 所以∠CQP=90°，BQ=CD=1.6m,所以 PQ=PB-QB=4.6-1.6=3(m)。由题意 知，PC=5m,所以在Rt△CPQ中，CQ= PC2-PQ2=52-32=42,所以BD=CQ=4me 18.解：设BA=BP=xkm,则BD=（x-4)km。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD+BD= AB2,所以122+(x-4)2=x2,解得x=20,故 BA的长为20km。 19.(1)14-x。 (2)解：因为AD⊥BC,所以在Rt△ADB和 Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD=AB2 BD2,AD2=AC2-CD2, 所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9。 (3)解：由(2)得，BD=9,则 AD2=AB2-BD2=152-92=122, 所以AD=12, 所以5m8C~A0=×14x12=84。 20.解：(1)因为∠FBD=90°，所以在Rt△BDF 中，由勾股定理，得FD2=BF2-BD2=202- 162=122,所以FD=12m。 (2)由(1)得FD=12m, 所以CD=FD+CF=12+18=30(m)。 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=BD+ CD2=162+302=342,所以BC=34m。 因为34-20=14(m), 所以还需要放出风筝线14m。 第2周一定是直角三角形吗 勾股定理的应用 1.B【解析】因为在△ABC中，AB2+BC2= AC2,根据勾股定理的逆定理，可知AC是斜 边，斜边AC所对的角是∠B,因此∠B=90°。 2.B【解析】选项A,因为12+2≠32，所以不 能构成三角形；选项B,因为32+42=9+16= 25=52,所以可以构成直角三角形；选项C, 因为62+122=36+144=180,132=169,180≠ 169,所以不能构成直角三角形；选项D,因 为62+92=36+81=117,102=100,117≠100， 所以不能构成直角三角形。 3.C【解析】因为∠C=90°，AC=8,BC=6,所 以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=82+62= 102,所以AB=10。因为△ABC与△A'B'C 关于直线l对称，所以A'B'=AB=10。 4.D【解析】因为62+82=36+64=100=102， 所以该三角形是直角三角形，长为6m和 8m的边为它的两条直角边，所以该花坛的 西积5=×6x8=24m。 5.A【解析】由题意，可得箭在投壶外面部分 的长度最长为36-24=12(cm)。因为102+ 242=262,所以箭在投壶外面部分的最小长 度为36-26=10(cm),故箭在投壶外面部分 的长度不可能是9cm。 6.不合格【解析】因为802+1002=16400， 1302=16900,所以16400≠16900，所以不能 得到直角三角形，所以这个四边形桌面不是 长方形，即做出的这个桌面不合格。 7.25【解析】勾股数是满足勾股定理的三个正 整数，分两种情况讨论：①当x为最长边时， 根据勾股定理，得x2=7+242=49+576=625, 所以x=25,25是正整数，符合要求；②当24 为最长边时，根据勾股定理，得x2=242-72= 576-49=527。因为没有一个正整数的平方 是527，所以x不是正整数，舍去。综上，x的 值为25。 8.10【解析】画出平面展开图如图所示。由题 意可知AB2=62+82=102,所以AB=10m。 B 8m 4m 2m