14.1 全等三角形及其性质 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十四章 全等三角形 · 14.1 全等三角形及其性质（导学案） 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十四章 全等三角形 · 第 1 节 · 2 课时 · 教材 P29—P31 一、【导览 · 四个追问】学习目标 · 2 课时 · 从形状走到相等 上一章我们一直在看"一个三角形"：它的三条边有多长、三个角有多大、里面画得出哪些线。这一章换一个视角——同时看"两个三角形"。两张三角形纸片放在一起，怎样才算"一模一样"？答案其实很朴素：叠起来能完全重合。可问题紧接着就来了：如果其中一张先挪个位置、翻个面、转个角度，它们还能重合吗？重合之后，谁与谁对应？两个三角形全等这件事，又能帮我们算出什么？ 这一节的两节课，就围绕一张纸片问四个问题。第一个问题是"什么样才算全等"，落在概念上；第二个问题是"动了还全等吗"，落在平移、翻折、旋转这三种变换上；第三个问题是"谁和谁对应"，落在对应顶点、对应边、对应角上；第四个问题是"全等了能得到什么"，落在符号写法与两条性质上。四问的答案连起来只有一句话：重合，就有对应；有对应，就有一组一组相等的边和角。 容易出岔子的地方有三处。第一处是把"全等"与"面积相等""形状相同"混为一谈：面积相等的两个三角形未必能重合，形状相同而大小不同的两个三角形也未必能重合，唯一的尺子是"能不能完全重合"。第二处是书写时字母不按对应位置排：把 △ABC≌△DEF 随手写成 △ABC≌△DFE，一个字母错位，所有的对应边、对应角就全找错了。第三处是找对应元素只凭"看上去长得像"，图形一翻折或一旋转就抓瞎。把这三处守住，四个追问就答得干净。 （一）本节导览 · 四个追问 如图 1，本节按"形同 → 动而不改 → 对号 → 得等"四个追问一路走下来，四问走完之后再做三件事：落笔（课本原题与练习）、回看（知识结构与自查）、带走（分层作业与自评）。 图 1 四个追问·本节导览：追问一 形同 → 追问二 动而不改 → 追问三 对号 → 追问四 得等 四问的先后不能颠倒：先弄清"什么样才能算是全等"，才谈得上动了之后还全等；认清了对应关系，才写得对符号、用得上性质。前一问没答透，后一问就只是照形状去猜。 （二）课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　全等形、全等三角形与对应元素 P29—P30 能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；平移、翻折、旋转前后的图形全等；对应顶点、对应边、对应角；全等的符号与字母对位的写法 ○ 第 2 课时　全等三角形的性质 P30—P31 全等三角形的对应边相等、对应角相等；课本 P30 原题与 P30 两道练习；《习题14.1》（P31）第 1—5 题 ○ （三）学习目标 1. 知道能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，会用"能不能完全重合"判断两个图形是否全等。 2. 知道两个图形是否全等只与形状、大小有关，与它们摆放的位置无关。 3. 知道一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变了，但形状、大小都没有改变，即变换前后的两个图形全等。 4. 能在两个全等三角形中找出对应顶点、对应边和对应角，会说出它们是重合出来的关系。 5. 掌握找对应元素的基本方法：按字母顺序找，按长短大小找，抓公共边、公共角和对顶角。 6. 会用符号表示两个三角形全等，并把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，会正确读出"全等于"。 7. 掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，并会用符号语言把它写出来。 8. 会用性质求线段的长与角的度数，知道全等三角形的周长、面积也相等，但反过来不成立。 （四）学习重点与难点 项目 内容 学习重点 全等形与全等三角形的概念；全等的符号表示与字母对位的写法；全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及其在求线段、求角度中的运用 学习难点 图形经过平移、翻折、旋转或叠合之后准确识别对应元素（尤其是两个三角形共用一条边、共用一个角或出现对顶角的情形）；由字母顺序读出对应关系并写出规范的符号语言；区分"全等"与"面积相等""形状相同" （五）起跑热身 1. 填空：把一个图形经过平移、翻折或旋转之后，得到的图形与原图形 ______（填"全等"或"不全等"）。 2. 判断：面积相等的两个三角形一定全等吗？说明理由。 3. 填空：能够完全重合的两个三角形叫作 ______ 三角形。 4. 已知 △ABC 与 △DEF 全等，且点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 是对应顶点。那么 AB 与 DE 有什么数量关系？∠A 与 ∠D 呢？ 5. 填空：表示两个三角形全等用符号 ______，读作 ______。 6. 判断：把一个三角形翻折一次，它的形状和大小都改变了。 7. 想一想：两个三角形的周长相等，它们一定全等吗？ 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1 题：全等。第 2 题：不一定，面积相等只说明"占的地儿一样大"，形状可能完全不同，叠起来重合不了。第 3 题：全等。第 4 题：AB = DE，∠A = ∠D。第 5 题：符号是"≌"，读作"全等于"。第 6 题：不对，翻折只改变位置，形状和大小都没有改变。第 7 题：不一定，周长相等同样不能保证重合，还得看形状。 二、【追问一 · 形同】全等形与全等三角形 追问一最朴素：两个三角形摆在一起，怎样才叫作"一模一样"？小学里已经有过经验——把两个图形叠起来，能严丝合缝地对上。这一节要做的，是把"叠起来能不能对上"这句话说准确，并且给它一个名字。说准确的关键只有四个字：完全重合。 （一）什么叫全等形、全等三角形 如图 2，把同一块样板剪出的两张三角形纸片拿出来叠一叠：只要形状相同、大小相同，它们就能完全重合，每一点都能找到落在它上面的那一点。像这样能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 图 2 同一块样板剪出的两张纸片：形状相同、大小相同，叠起来每一点都能重合 "完全重合"是判断全等的唯一尺子。它与摆放的位置无关：两张纸片可以摆得一左一右、一高一低，只要叠得起来，它们就是全等形。 因此，判断两个三角形是否全等，只需问一句话：把它们叠到一起，能不能完全重合？能，就是全等；不能，就不是——不管它们看上去多么"像"。 （二）辨析：这几句话错在哪里 下面四句话里，有的把全等看轻了，有的把全等看重了。逐句辨一辨，正是为了把"完全重合"这四个字钉牢。 说法 对不对 为什么 两个面积相等的三角形是全等三角形 不对 面积相等只说明两块地方一样大，形状可能完全不同，叠起来重合不了 两个形状相同的三角形是全等形 不对 形状相同而大小不同时（比如一大一小两个形状一样的三角形）重合不了，全等还要求大小相同 把一张纸随手折一下，折痕两旁的两部分全等 不一定 只有沿折痕折过去能完全重合时才全等，随手一折的两部分一般不全等 两个全等三角形的周长一定相等 对 能够完全重合，三组对应边就分别相等，周长自然相等 （三）即时练习 1. 判断：能够完全重合的两个图形叫作全等形。（　　） 2. 下列三组图形中，哪一组一定是全等形？说明理由：① 两个面积相等的三角形；② 同一张底片冲洗出的两张照片；③ 两个周长相等的三角形。 3. 填空：能够完全重合的两个三角形叫作 ______。 4. 判断：两个全等三角形叠在一起时，每一点都能找到落在它上面的点。（　　） 5. 说一说：为什么"形状相同"还不足以说明两个图形全等？ 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：对。第 2 题：只有 ②。同一张底片冲洗出的两张照片形状、大小完全相同，能完全重合；①③ 都只规定了"一样大"，形状可以完全不同。第 3 题：全等。第 4 题：对，"完全重合"说的就是这个意思。第 5 题：形状相同只保证了"像"，大小还可能差一截；只有形状、大小都相同，两个图形才能完全重合。 三、【追问二 · 动而不改】平移、翻折、旋转与全等 答完第一问，很自然会冒出第二个问题：把其中一张纸片挪个位置——平平地推一段、沿一条线折过去、绕一个点转一个角度——它们还能重合吗？课本 P29 的思考给的就是这三种动作，它们也正是本节别处要用到的三种"搬家方式"。 （一）三种全等变换 如图 3，三种动作各演一遍：① 把 △ABC 沿某个方向平移一段，得到 △DEF；② 以 BC 所在直线为折痕，把 △ABC 翻折过去，得到 △DBC；③ 把 △ABC 绕一个点旋转一个角度，得到的三角形与原来的重合。三种动作做完，图形的位置都变了。 图 3 三种全等变换：① 平移（平平地推一段）② 翻折（沿一条直线折过去）③ 旋转（绕一个点转一个角度） 三种动作有一个共同点：只改变图形的位置，不改变形状，也不改变大小。所以平移、翻折、旋转前后的两个图形全等。这句话给判断全等添了第二条依据——图形"动过"，丝毫不影响它与原图形全等。 变换 动作 变了什么 没变什么 平移 沿某个方向平推一段距离 图形的位置 形状、大小 翻折 沿一条直线折过去 图形的方向和位置 形状、大小 旋转 绕一个点转一个角度 图形的方向和位置 形状、大小 由此记住两句话：第一句是"位置变，形状大小不变"；第二句是"动过的图形与原图形仍然全等"。画在两个不同位置的三角形，只要形状大小一致，就可以直接判定全等，不必真的把它们挪到一起。 （二）即时练习 1. 判断：把一个三角形平移 5 cm 后，得到的三角形与原三角形全等。（　　） 2. 判断：把一个三角形旋转 90° 后，得到的三角形与原三角形不全等。（　　） 3. 填空：平移、翻折、旋转都只改变图形的 ______，不改变图形的 ______ 和 ______。 4. 把一张纸沿一条折痕折过去，若折痕两旁的两部分能完全重合，这两部分有什么数量与形状关系？说明理由。 5. 说一说：为什么"动过的图形"不能当作"与原来不同的图形"？ 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：对。第 2 题：错，旋转只改变方向与位置，形状和大小没有变，仍与原三角形全等。第 3 题：位置；形状；大小。第 4 题：这两部分全等，因为沿折痕折过去能完全重合。第 5 题：三种变换都只改变位置，形状和大小都保持不变，所以动过之后与原图形仍然能完全重合。 四、【追问三 · 对号】对应顶点、对应边、对应角 前两问解决的是"算不算全等"。可两个三角形一旦全等，随之而来的是一整套"谁配谁"的关系：哪一个顶点与哪一个顶点重合？哪一条边与哪一条边重合？哪一个角与哪一个角重合？这一问是本节最难的一处，因为图形常常被挪过、翻过、转过，看上去完全不一样的两个三角形，偏偏就是全等的。 （一）对应顶点、对应边、对应角 如图 4，把两个全等的三角形重合到一起：重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。图中点 A 与点 D 重合，点 B 与点 E 重合，点 C 与点 F 重合，于是有三组对应顶点、三组对应边、三组对应角。 图 4 △ABC 与 △DEF 完全重合：A 与 D、B 与 E、C 与 F 分别是三组对应顶点 要把"对应"与"位置相近"分开。图形翻折或旋转之后，两个三角形的摆放可能一上一下、一左一右，看上去最靠近的顶点未必是对应顶点；唯一可靠的依据是"重合"，而不是"谁离谁近"。 （二）找对应元素的三招 找对应元素有固定的路子，合起来是三招：第一招看字母顺序，第二招比长短大小，第三招抓公共元素。前两招不看图也能用，第三招必须看图。 招法 怎么做 什么时候最好用 第一招　字母顺序 按"≌"两边字母的位置一一对应，第 1 个对第 1 个、第 2 个对第 2 个 题面已经写出符号的情形，最快也最可靠 第二招　长短大小 最长边对最长边、最短边对最短边；最大角对最大角、最小角对最小角 题面只给了几个相等关系，或字母顺序一时看不出来 第三招　公共元素 公共边是两个三角形的对应边；公共角、对顶角是对应角 两个三角形叠在一起、共用一条边或一个角的情形 如图 5，第三招的三种情形各画一次：① 两个三角形共用一条边 AB，这条公共边本身就是一组对应边；② 两个三角形共用一个角 ∠A，这个公共角本身就是一组对应角；③ 两条线段相交于点 O，∠AOC 与 ∠DOB 是一对对顶角，而对顶角相等，它往往就是一组对应角。 图 5 找对应元素的第三招：① 公共边 AB ② 公共角 ∠A ③ 对顶角 ∠AOC 与 ∠DOB （三）即时练习 1. 已知 △ABC≌△DEF，写出三组对应顶点、三组对应边和三组对应角。 2. 已知 △ABC≌△BAD，点 A 与点 B、点 C 与点 D 是对应顶点，写出三组对应边。 3. 两个三角形共用一条边时，这条公共边在对应关系中扮演什么角色？ 4. 判断：两个全等三角形中，最长的边一定与最长的边对应，最大的角一定与最大的角对应。（　　） 5. 说一说：为什么"≌"两边的字母顺序不能随便调换？ 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：对应顶点 A 与 D、B 与 E、C 与 F；对应边 AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF；对应角 ∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E、∠C 与 ∠F。第 2 题：AB 与 BA、BC 与 AD、AC 与 BD。第 3 题：公共边就是一组对应边，它在重合时与自己重合。第 4 题：对。第 5 题：字母位置写的就是对应关系，顺序一乱，"谁与谁对应"就全部读错，后面的对应边、对应角也就跟着错。 五、【追问四 · 得等】全等的符号表示与全等三角形的性质 三问答完，还剩最后一问：两个三角形全等，这件事本身能带来什么？答案有两样——一样是"写下来的办法"，把对应关系用符号固定住；一样是"算下去的依据"，把重合变成一组一组相等的关系，用来求线段的长和角的度数。 （一）全等的符号表示 两个三角形全等，用符号"≌"表示，读作"全等于"。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如 △ABC≌△DEF，就表示点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 是对应顶点。 字母顺序是"写在纸上的对应关系"。看到 △ABC≌△BAD，就能直接从字母顺序读出 A 与 B、B 与 A、C 与 D 分别对应；反过来，若把它随手写成 △ABC≌△DFE，读出来的对应关系就全错了。 位置 第一组 第二组 第三组 对应顶点 A 与 D B 与 E C 与 F 对应边 AB 与 DE BC 与 EF AC 与 DF 对应角 ∠A 与 ∠D ∠B 与 ∠E ∠C 与 ∠F （二）全等三角形的性质 如图 6，把两个全等三角形重合到一起，三组对应边、三组对应角分别用一道、两道、三道记号标出来。能够完全重合，就意味着这些成对的边一样长、成对的角一样大。 图 6 三组对应边与三组对应角的记号：成对的边一样长，成对的角一样大 这就是全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。用符号语言写出来是——因为 △ABC≌△DEF，所以 AB = DE、BC = EF、AC = DF（对应边相等），∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F（对应角相等）。 由这两条性质还能直接得到两个推论：全等三角形的周长相等，面积也相等。但反过来不成立——周长相等或面积相等的两个三角形，形状可能完全不同，不一定全等。 用性质求值时，顺序固定：先由符号或图形确定对应关系，再把相等的边、相等的角一组一组列出来，最后代数据计算。跳过第一步直接"看着算"，是本节失分最多的地方。 （三）即时练习 1. 已知 △ABC≌△DEF，AB = 5 cm，BC = 7 cm，AC = 4 cm。求 DE、EF、DF 的长。 2. 已知 △ABC≌△DEF，∠A = 60°，∠B = 70°。求 ∠D、∠E、∠F 的度数。 3. 填空：因为 △ABC≌△DEF，所以 △ABC 的周长与 △DEF 的周长 ______。 4. 判断：面积相等的两个三角形一定全等。（　　） 5. 已知 △ABC≌△BAD，点 A 与点 B、点 C 与点 D 是对应顶点，∠BAC = 65°。求 ∠ABD 的度数，并说明理由。 我的即时练习: 【练习提醒】第 1 题：DE = AB = 5 cm，EF = BC = 7 cm，DF = AC = 4 cm。第 2 题：∠D = ∠A = 60°，∠E = ∠B = 70°，∠F = ∠C = 180° - 60° - 70° = 50°。第 3 题：相等。第 4 题：错，面积相等只说明两块地方一样大，形状可能完全不同。第 5 题：∠ABD = ∠BAC = 65°。由 △ABC≌△BAD 得 ∠BAC 与 ∠ABD 是对应角，对应角相等。 六、【落笔 · 例练】例题精讲与课本练习 四个追问答完，该动笔了。这一板块先用课本 P30 的例题把"先定对应、再算角"的顺序完整走一遍，再做课本上的两道练习，最后做几道综合题。做题前先问自己两句：这两个三角形里谁与谁对应？题目要的那个角落在哪一个三角形里？ 例题和两道练习都是课本原题，本稿已按课本原图重画并附在每道题下面，做题时可以对照课本原图一起看。 （一）例题精讲（课本 P30） 例（课本 P30）如图 7，△ABC≌△BAD，点 A 和点 B、点 C 和点 D 是对应顶点，∠BAC = 65°，∠ABC = 26°，AC、BD 的延长线相交于点 E。求 ∠CBD、∠AEB 的度数。（题目见课本 P30 例题） 图 7 △ABC 与 △BAD 的两条边延长后相交于点 E，点 A 与点 B、点 C 与点 D 是对应顶点 第一步，定对应。△ABC≌△BAD 的字母是按对应位置写下来的：第 1 个字母对第 1 个，第 2 个对第 2 个，第 3 个对第 3 个。所以顶点 A 与 B、B 与 A、C 与 D 是三组对应顶点。 第二步，把对应角搬过来。∠BAC 与 ∠ABD 是一组对应角，于是 ∠ABD = ∠BAC = 65°。这一步是本题的关键，因为 65° 这个数据在图上并没有直接标在点 B 处，它得靠"对应角相等"从点 A 那里搬过来。 第三步，算 ∠CBD。点 B 处并排着两个角：大的那个是 ∠ABD，它把 ∠CBD 整个包在里面；小的那个是题给数据的 ∠ABC。所以 ∠CBD 是两个角的差，不是和。 第四步，算 ∠AEB。点 E 落在 AC、BD 的延长线上，所以 ∠BAE 就是 ∠BAC、∠ABE 就是 ∠ABD，它们的大小没有因为多出一个点 E 而改变。回到 △AEB 里用三角形内角和定理即可求出 ∠AEB。 我的解答: 【例题提醒】解：因为 △ABC≌△BAD，所以 ∠ABD = ∠BAC = 65°（全等三角形的对应角相等）。于是 ∠CBD = ∠ABD - ∠ABC = 65° - 26° = 39°。在 △AEB 中，∠AEB + ∠BAE + ∠ABE = 180°（三角形内角和定理），而 ∠BAE = ∠BAC = 65°、∠ABE = ∠ABD = 65°，所以 ∠AEB = 180° - 65° - 65° = 50°。答：∠CBD = 39°，∠AEB = 50°。 【错因对照】三个易错处：①把 ∠CBD 写成 ∠ABD 与 ∠ABC 的和；②看不出 ∠BAE 就是 ∠BAC、∠ABE 就是 ∠ABD，在图上重新找角，越找越乱；③最后一步落在 △ABD 里算内角和，用的不是 ∠AEB 所在的三角形。对照答案时逐条查一查。 （二）课本练习精讲（练习 P30 第 1、2 题） 练习 1（课本 P30 第 1 题）如图 8，△ABC≌△BDE，∠A 和 ∠EBD、∠C 和 ∠E 是对应角。说出这两个三角形的对应边和另一组对应角。（图形见课本 P30 练习第1题） 图 8 课本 P30 练习第 1 题的两个三角形：∠A 与 ∠EBD 是对应角，∠C 与 ∠E 是对应角 做法：题面给了两组对应角，用它们把顶点对上号。∠A 与 ∠EBD 对应，说明顶点 A 与顶点 B 是一对对应顶点；∠C 与 ∠E 对应，说明顶点 C 与顶点 E 是一对对应顶点；剩下的顶点 B 与顶点 D 自然配成一对。顶点对上了，边就跟着对上：AB 与 BD、BC 与 DE、AC 与 BE。 我的解答: 【练习提醒】答：对应边是 AB 与 BD、BC 与 DE、AC 与 BE；另一组对应角是 ∠ABC 与 ∠D。也可以先说对应顶点（A 与 B、B 与 D、C 与 E），再由顶点推边和角，两种写法都对。 练习 2（课本 P30 第 2 题）如图 9，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B、点 A 和点 D 是对应顶点。说出这两个三角形中相等的边和角。（图形见课本 P30 练习第2题） 图 9 课本 P30 练习第 2 题的两个三角形：共顶点 O，点 C 与点 B、点 A 与点 D 是对应顶点 做法：题面已经把对应顶点给全了，直接按"对应边相等、对应角相等"把它们写出来就行。注意两个三角形共用顶点 O，所以 OA 与 OD、OC 与 OB 各是一组对应边。 我的解答: 【练习提醒】答：相等的边有 AC = DB、AO = DO、CO = BO；相等的角有 ∠C = ∠B、∠A = ∠D、∠AOC = ∠DOB。写完回头数一数：三组边、三组角，一组都不能漏。 （三）随堂综合练习 1. 如图 10，把 △ABC 绕点 A 旋转 50° 得到 △ADE，点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应顶点，∠ABC = 40°，∠C = 60°。求 ∠BAC、∠D、∠E 的度数，并写出 ∠BAD 的度数。 图 10 △ABC 绕点 A 旋转 50° 得到 △ADE：点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应顶点 我的随堂练习: 【练习提醒】1. 在 △ABC 中，∠BAC = 180° - 40° - 60° = 80°（三角形内角和定理）；由 △ABC≌△ADE 得 ∠D = ∠ABC = 40°、∠E = ∠C = 60°（对应角相等）；旋转的那个角就是 ∠BAD，所以 ∠BAD = 50°。 2. 判断并说明理由：把 △ABC 绕点 A 旋转一个角度得到 △ADE，则 ∠BAC = ∠DAE。（　　） 3. 已知 △ABC≌△DEF，AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，∠A = 37°，∠B = 53°。求 DE、EF、DF 的长与 ∠D、∠E、∠F 的度数。 4. 两个全等三角形的周长都是 18 cm，其中一个三角形的最短边是 4 cm。判断：另一个三角形的最短边也是 4 cm。（　　）说明理由。 5. 已知 △ABC≌△DEF，且 ∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E 是对应角。判断：∠C 的对应角是 ∠F。（　　）说明理由。 我的随堂练习: 【练习提醒】2. 对。绕点 A 旋转时点 A 不动，AB 转到 AD、AC 转到 AE 的位置，∠BAC 与 ∠DAE 是同一组对应角，所以相等。3. DE = AB = 6 cm、EF = BC = 8 cm、DF = AC = 10 cm（对应边相等）；∠D = ∠A = 37°、∠E = ∠B = 53°（对应角相等）、∠F = ∠C = 180° - 37° - 53° = 90°（内角和定理）。4. 对。两三角形全等，三组对应边分别相等，而最短边一定与最短边对应，所以另一个三角形的最短边也是 4 cm。5. 对。三组对应顶点是 A 与 D、B 与 E、C 与 F，剩下的一对顶点 C 与 F 自然对应，所以 ∠C 的对应角是 ∠F。 七、【回看 · 自查】本节知识结构与三级自查 四个追问答完，把答案整理成一张结构图，再对着它做一次自查。自查分三级：一级能说得出，二级能画得出，三级能用得上。三级都过了，这一节才算真的拿下。 （一）本节知识结构 如图 11，本节的知识结构由五个关键词串起来：重合、变换、对应、记法、性质。它们恰好是四个追问的答案按顺序排下来——"重合"答的是追问一，"变换"答的是追问二，"对应"和"记法"答的是追问三，"性质"答的是追问四。 图 11 本节知识结构：重合 → 变换 → 对应 → 记法 → 性质，五个关键词串起两节课 关键词 回答的是哪一问 一句话 重合 追问一　形同 能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 变换 追问二　动而不改 平移、翻折、旋转只改变位置，不改变形状和大小，变换前后的两个图形全等 对应 追问三　对号 重合的顶点、边、角，分别叫作对应顶点、对应边、对应角 记法 追问三　对号 全等用"≌"表示，读作"全等于"；表示对应顶点的字母要写在对应的位置上 性质 追问四　得等 全等三角形的对应边相等，对应角相等；周长相等，面积也相等 （二）三级自查 级别 自查内容 打勾 一级　说得出 能够完全重合的两个图形叫作全等形；能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；平移、翻折、旋转前后的两个图形全等；重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角；全等用"≌"表示，表示对应顶点的字母写在对应位置上；全等三角形的对应边相等、对应角相等 ○ 二级　画得出 会按"一块样板剪两张纸片"画出两个能完全重合的三角形；会画出平移、翻折、旋转三种变换各一次；会在图上用一道、两道、三道记号把三组对应边、三组对应角标出来 ○ 三级　用得上 会按字母顺序、按长短大小、抓公共元素三种办法找出对应元素；会由全等符号读出对应关系并写出规范的符号语言；会用"对应边相等、对应角相等"求线段的长与角的度数；会用对应关系算出图形的周长与面积 ○ （三）错例诊所 错例 错在哪里 怎么改 把"形状相同"当作全等 只看到两个图形长得像，没看大小是否一样 "完全重合"才是唯一标准：形状相同还要大小相同，叠起来才对得上 把"面积相等"当作全等 面积相等只是"占的地儿一样大"，形状可以完全不同 面积相等推不出全等；反过来，全等一定面积相等、周长也相等 符号里的字母随手调换 把 △ABC≌△DEF 写成 △ABC≌△DFE 字母位置写的就是对应关系：A 对 D、B 对 E、C 对 F，顺序一乱全部读错 找对应元素只看"谁离谁近" 图形翻折或旋转之后，按位置远近去猜对应顶点 以"重合"为准，或用三招：字母顺序、长短大小、公共边与公共角、对顶角 把变换看成"变了形" 以为平移、翻折、旋转会改变图形的形状或大小 三种变换只改变位置，形状和大小都不变，变换前后的两个图形全等 求角时忘了先定对应 拿到数据就直接加减，没有先用对应关系把相等的角搬过来 顺序固定：先由符号或图形定对应，再列相等的边、角，最后代数据计算 （四）我的疑问 把本节还没想通的地方写下来：某个概念的辨析没跟上，某类题的对应关系看不出来，或者哪两句话容易混。写清楚之后，先自己回到课本 P29—P31 对应的地方看一遍，再和同学对一对。 我的疑问: 【自查提醒】自查的顺序：先说得出（六句话——全等形与全等三角形的定义、三种变换的性质、对应元素的定义、符号表示与字母对位、对应边相等、对应角相等），再画得出（三张图——两张纸片叠合图、三种变换图、三组对应元素记号图），最后用得上（四类题——找对应元素、读符号、求线段与角度、算周长与面积）。 八、【带走 · 作业与自评】分层巩固与《习题14.1》 作业按两层安排：必做题来自课本《习题14.1》（P31），与课堂例题同型；分层巩固题按 A、B、C 三组递进，A 组回到定义，B 组练转弯，C 组考综合。做完之后先自己对一遍参考答案，再看最后一栏的自我评价。 凡是与课本图形有关的题目，题面里都注明了图形在课本哪一处，做题时把课本翻开对着看；本稿也按课本原图重画了示意图，附在相应题目的下面。 （一）必做 · 课本《习题14.1》（P31） 1. 如图 12，△ABC≌△CDA，AB 和 CD、BC 和 DA 是对应边。写出其他对应边及对应角。（图形见课本 P31 第1题） 图 12 课本 P31 第 1 题的两个三角形：点 B 与点 D 分居 AC 两侧，AB 与 CD、BC 与 DA 是对应边 2. 如图 13，△ABN≌△ACM，AB 和 AC 是对应边，∠B 和 ∠C 是对应角。写出其他对应边和对应角。（图形见课本 P31 第2题） 图 13 课本 P31 第 2 题的两个三角形：共顶点 A，AB 与 AC 是对应边，∠B 与 ∠C 是对应角 3. 图中有两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则 ∠1 等于多少度？（图形见课本 P31 第3题） 4. 如图 14，△EFG≌△NMH，∠F 和 ∠M 是对应角。在 △EFG 中，FG 是最长边；在 △NMH 中，MH 是最长边，且 EF = 2.1，EH = 1.1，NH = 3.3。(1) 写出其他对应边及对应角；(2) 求线段 NM 及线段 HG 的长度。（题目见课本 P31 第4题） 图 14 课本 P31 第 4 题的两个三角形：点 H 在 EG 上，EF = 2.1、EH = 1.1、NH = 3.3 5. 如图 15，△ABC≌△DEC，CA 和 CD、CB 和 CE 是对应边。∠ACD 和 ∠BCE 相等吗？为什么？（图形见课本 P31 第5题） 图 15 课本 P31 第 5 题的两个三角形：共顶点 C，CA 与 CD、CB 与 CE 是对应边 我的解答: 【作业提醒】第 3 题提示：∠1 与 54°、60° 这两个角同在一个三角形里，三个角凑成一个 180°。第 4 题提示：先由"最长边对最长边"判定 FG 与 MH 是对应边，再把 EG 与 NH 对上；点 H 落在 EG 上，HG 就是 EG 减去 EH。 （二）分层巩固 A 组 1. 填空：能够完全重合的两个图形叫作 ______；能够完全重合的两个三角形叫作 ______。 A 组 2. 填空：表示两个三角形全等用符号 ______，读作 ______。 A 组 3. 已知 △ABC≌△DEF，AB = 5 cm，BC = 7 cm，∠A = 40°。求 DE 的长和 ∠D 的度数。 A 组 4. 判断：把一个三角形平移 3 cm 后得到的三角形与原三角形全等。（　　） A 组作答: B 组 5. 已知 △ABC≌△DEF，△ABC 的周长是 20 cm，AB = 6 cm，BC = 8 cm。求 DF 的长。 B 组 6. 已知 △ABC≌△ADE，点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应顶点，∠B = 45°，∠C = 75°。求 ∠D、∠E 与 ∠BAC 的度数。 B 组 7. 已知 △ABC≌△DEF，∠A = ∠D，∠B = ∠E。判断：AC 与 DF 是对应边。（　　）说明理由。 B 组作答: C 组 8. 已知 △ABC≌△BAD，点 A 与点 B、点 C 与点 D 是对应顶点，∠C = 55°，∠ABD = 70°。求 ∠BAC 与 ∠ABC 的度数。 C 组 9. 已知 △ABC 的三边长分别是 5、7、9，△DEF 的三边长分别是 5、7、x。若 △ABC≌△DEF，求 x 的值，并说明哪两条边是对应边。 C 组 10. 已知 △ABC≌△DEF，点 A 与点 D、点 B 与点 E 是对应顶点。若 △ABC 的周长是 24 cm，DE = 7 cm，DF = 8 cm，求 △DEF 的周长与 EF 的长。 C 组作答: 【作业提醒】分层提示：A 组回到定义和符号；B 组要用"先定对应、再算值"的顺序；C 组多绕一步——第 8 题先在 △ABC 里用内角和，第 9 题要先判断哪两条边是对应边，第 10 题要先想清楚 △DEF 的周长与 △ABC 的周长有什么关系。 （三）自我评价 评价项目 做到了 还要练 说得出全等形、全等三角形的定义，会用"完全重合"作判断 ○ ○ 说得出平移、翻折、旋转的共同点，知道变换前后的两个图形全等 ○ ○ 找得出两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角 ○ ○ 会用"≌"表示全等，并把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ○ ○ 会用对应边相等、对应角相等求线段的长与角的度数 ○ ○ 《习题14.1》必做题全部完成并核对过 ○ ○ （四）学习反思 这一节最花时间的地方在哪里？是辨析"完全重合"，还是找对应元素？把最不顺手的一处写下来，下节课前再练两道同类题。 我的反思: 九、【参考答案】 以下答案按板块顺序排列，先自己做完再对照。对照时重点看三样：对应关系有没有先确定，相等关系有没有写全，符号里的字母有没有写在对的位置上。 （一）导览　四个追问与起跑热身 项目 参考答案 四个追问 形同 → 动而不改 → 对号 → 得等。前两问解决"算不算全等"，第三问解决"谁配谁"，第四问解决"全等能给出什么"。 起跑热身 1. 全等。2. 不一定。面积相等只说明"占的地儿一样大"，形状可能完全不同，叠起来重合不了。3. 全等。4. AB = DE，∠A = ∠D（对应边相等、对应角相等）。5. 符号是"≌"，读作"全等于"。6. 不对。翻折只改变位置，形状和大小都没有改变。7. 不一定。周长相等同样不能保证重合，还要看形状。 （二）追问一　全等形与全等三角形 项目 参考答案 定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形；能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。判断的唯一标准是"能不能完全重合"，与摆放的位置无关。 四句辨析 ①"两个面积相等的三角形是全等三角形"——不对，面积相等不定形状相同；②"两个形状相同的三角形是全等形"——不对，大小可能不同，全等还要求大小相同；③"把一张纸随手折一下，折痕两旁的两部分全等"——不一定，只有沿折痕折过去能完全重合时才全等；④"两个全等三角形的周长一定相等"——对，对应边分别相等，周长自然相等。 即时练习 1. 对。2. 只有 ②。同一张底片冲洗出的两张照片形状、大小完全相同，能完全重合；①③ 都只规定了"一样大"，形状可以不同。3. 全等。4. 对，"完全重合"说的就是这个意思。5. 形状相同只保证了"像"，大小还可能差一截；只有形状、大小都相同，两个图形才能完全重合。 （三）追问二　平移、翻折、旋转与全等 项目 参考答案 三种变换 平移、翻折、旋转都只改变图形的位置（以及方向），不改变形状，也不改变大小，所以变换前后的两个图形全等。 两个结论 ①"位置变，形状大小不变"；②"动过的图形与原图形仍然全等"。 即时练习 1. 对。2. 错，旋转只改变方向与位置，形状和大小没有变，仍与原三角形全等。3. 位置；形状；大小。4. 这两部分全等，因为沿折痕折过去能完全重合。5. 三种变换都只改变位置，形状和大小都保持不变，所以动过之后与原图形仍然能完全重合。 （四）追问三　对应顶点、对应边、对应角 项目 参考答案 定义 两个全等三角形重合在一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。"对应"的依据是"重合"，不是"谁离谁近"。 找对应三招 第一招看字母顺序：按"≌"两边字母的位置一一对应；第二招比长短大小：最长边对最长边、最大角对最大角，最短边对最短边、最小角对最小角；第三招抓公共元素：公共边是两个三角形的对应边，公共角与对顶角是对应角。 即时练习 1. 对应顶点 A 与 D、B 与 E、C 与 F；对应边 AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF；对应角 ∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E、∠C 与 ∠F。2. AB 与 BA、BC 与 AD、AC 与 BD。3. 公共边就是一组对应边，它在重合时与自己重合。4. 对。5. 字母位置写的就是对应关系，顺序一乱，"谁与谁对应"就全部读错，后面的对应边、对应角也就跟着错。 （五）追问四　符号表示与全等三角形的性质 项目 参考答案 符号表示 两个三角形全等用符号"≌"表示，读作"全等于"；记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。△ABC≌△DEF 就表示 A 与 D、B 与 E、C 与 F 是对应顶点。 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。符号语言：因为 △ABC≌△DEF，所以 AB = DE、BC = EF、AC = DF，∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F。 推论与反向 推论：全等三角形的周长相等，面积也相等。反向不成立——周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 即时练习 1. DE = 5 cm，EF = 7 cm，DF = 4 cm。2. ∠D = 60°，∠E = 70°，∠F = 180° - 60° - 70° = 50°。3. 相等。4. 错。面积相等只说明两块地方一样大，形状可能完全不同。5. ∠ABD = 65°。由 △ABC≌△BAD 得 ∠BAC 与 ∠ABD 是对应角，对应角相等。 （六）落笔　例题、课本练习与综合练习 题号 参考答案 例题（P30） ∠CBD = 39°，∠AEB = 50°。因为 △ABC≌△BAD，所以 ∠ABD = ∠BAC = 65°（对应角相等）；∠CBD = ∠ABD - ∠ABC = 65° - 26° = 39°；在 △AEB 中，∠AEB = 180° - 65° - 65° = 50°。 练习 P30 第1题 对应边 AB 与 BD、BC 与 DE、AC 与 BE；另一组对应角是 ∠ABC 与 ∠D。由 ∠A 与 ∠EBD 对应得 A 与 B 对应，由 ∠C 与 ∠E 对应得 C 与 E 对应，剩下的 B 与 D 对应。 练习 P30 第2题 相等的边有 AC = DB、AO = DO、CO = BO；相等的角有 ∠C = ∠B、∠A = ∠D、∠AOC = ∠DOB。 随堂练习 1 ∠BAC = 80°（内角和定理）；∠D = ∠ABC = 40°、∠E = ∠C = 60°（对应角相等）；∠BAD = 50°（旋转的那个角）。 随堂练习 2 对。绕点 A 旋转时点 A 不动，∠BAC 与 ∠DAE 是同一组对应角，所以相等。 随堂练习 3 DE = 6 cm、EF = 8 cm、DF = 10 cm；∠D = 37°、∠E = 53°、∠F = 180° - 37° - 53° = 90°。 随堂练习 4 对。两三角形全等，三组对应边分别相等，最短边一定与最短边对应，所以另一个三角形的最短边也是 4 cm。 随堂练习 5 对。三组对应顶点是 A 与 D、B 与 E、C 与 F，剩下的 C 与 F 自然对应，所以 ∠C 的对应角是 ∠F。 （七）回看　知识结构与三级自查 项目 参考答案 知识结构 重合（答追问一）→ 变换（答追问二）→ 对应、记法（答追问三）→ 性质（答追问四）。五个关键词就是四个追问的答案按顺序排下来。 三级自查 一级说得出六句话（全等形与全等三角形的定义、三种变换的性质、对应元素的定义、符号与字母对位、对应边相等、对应角相等）；二级画得出三张图（两张纸片叠合图、三种变换图、三组对应元素记号图）；三级用得上四类题（找对应元素、读符号、求线段与角度、算周长与面积）。 错例诊所 六条错例分别对应"把形状相同当全等""把面积相等当全等""字母随手调换""只看位置远近找对应""把变换看成变了形""求角忘了先定对应"，改法见板块七表格右栏。 我的疑问 按自己写下的问题逐一解决；解决后在问题旁边打一个勾。 （八）带走　分层巩固与《习题14.1》 题号 参考答案 习题14.1 第1题 其他对应边：AC 与 CA；对应角：∠B 与 ∠D、∠BAC 与 ∠DCA、∠BCA 与 ∠DAC。 习题14.1 第2题 其他对应边：AN 与 AM、BN 与 CM；对应角：∠BAN 与 ∠CAM、∠ANB 与 ∠AMC。 习题14.1 第3题 ∠1 = 66°。∠1 与 54°、60° 在同一个三角形里，三个角的和是 180°，所以 ∠1 = 180° - 54° - 60° = 66°。 习题14.1 第4题 (1) 对应边：FG 与 MH、EF 与 NM、EG 与 NH；其他对应角：∠E 与 ∠N、∠FGE 与 ∠MHN。(2) NM = EF = 2.1（对应边相等）；EG = NH = 3.3，又 EH = 1.1，所以 HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2。 习题14.1 第5题 相等。因为 △ABC≌△DEC，所以 ∠ACB = ∠DCE（对应角相等），两边同时减去 ∠ACE 得 ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即 ∠ACD = ∠BCE。 A 组 1. 全等形；全等三角形。2. "≌"；"全等于"。3. DE = AB = 5 cm；∠D = ∠A = 40°。4. 对，平移只改变位置，形状和大小都不变。 B 组 5. AC = 20 - 6 - 8 = 6 cm，DF 与 AC 是对应边，所以 DF = 6 cm。6. ∠D = ∠B = 45°、∠E = ∠C = 75°；∠BAC = 180° - 45° - 75° = 60°。7. 对。∠A 与 ∠D 对应得 A 与 D 对应，∠B 与 ∠E 对应得 B 与 E 对应，剩下的 C 与 F 对应，所以 AC 与 DF 是对应边。 C 组 8. ∠BAC = ∠ABD = 70°；∠ABC = 180° - 70° - 55° = 55°。9. x = 9。两三角形全等，最长边与最长边对应，△ABC 的最长边是 9，所以 △DEF 的最长边也是 9；对应边是 5 与 5、7 与 7、9 与 9。10. △DEF 的周长与 △ABC 的周长相等，是 24 cm；AB 与 DE 对应，AB = 7 cm，AC 与 DF 对应，AC = 8 cm，所以 BC = 24 - 7 - 8 = 9 cm，EF 与 BC 对应，EF = 9 cm。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $