1.2.3相反数 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

1.2.3　相反数 精讲精练含答案 要点同步精讲 要点一　相反数的概念 1. 相反数的定义：像 和 、 和 这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2. 定义的理解：（1）"只有符号不同"包含两层意思：一是符号相反，二是符号后面的数相同； （2）相反数是成对出现的，不能说"某个数是相反数"，只能说"谁与谁互为相反数"； （3）特别地， 的相反数是 ． 3. 相反数的性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 的相反数是 ． 注意：①符号不同的两个数不一定互为相反数，还要看符号后面的数是否相同，如 与 符号不同，但符号后面的数一个是 、一个是 ，所以它们不是互为相反数；②互为相反数的两个数，符号后面的数一定相同；③ 的相反数是 ，这是相反数的特殊规定． 【例1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A． 与 　　B． 与 　　C． 与 　　D． 与 【分析】 判断两个数是否互为相反数，先看它们的符号是否相反，再看符号后面的数是否相同，两个条件要同时满足；若一个数前面带有"−"号，要先化简，再作判断． 【解答】 解：A 中 与 符号相反，但符号后面的数一个是 、一个是 ，不相同，不是互为相反数；B 中 前面有 2 个"−"号，化简得 ， 与 只有符号不同，符号后面的数都是 ，互为相反数；C 中 与 符号后面的数一个是 、一个是 ，不是互为相反数；D 中 与 符号相同，是同一个数，不是互为相反数．故选 B． 【总结】 判断互为相反数，口诀是"符号相反，数字相同"；遇到 这类带多重符号的数，先化简再判断． 要点二　相反数的几何意义 1. 几何意义：在数轴上，与原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数．也就是说，互为相反数的两个数在数轴上对应的点，分别在原点的两侧，并且到原点的距离相等． 2. 对称性：互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称． 3. 特殊情形： 的相反数是 ，它对应的点就是原点． 注意：①到原点距离相等的两个点表示的数不一定互为相反数，必须强调"两个不同的点"且"分居原点两侧"；②判断两个数是否互为相反数，既可以从符号入手，也可以看它们在数轴上的位置． 【例2】如图，数轴上有点 M、N 两点．（1）点 M、点 N 表示的数分别是多少？它们到原点的距离分别是多少个单位长度？（2）点 M 与点 N 表示的数有什么关系？请说明理由；（3）在数轴上再找出一对表示互为相反数的数的点，并用字母标出来． 【分析】 先从数轴上读出两点表示的数，再看它们到原点相距几个单位长度；到原点距离相等、又分居原点两侧的两个点所表示的数互为相反数． 【解答】 解：（1）点 M 表示 ，它在原点左边 3 个单位长度处，到原点的距离是 3 个单位长度；点 N 表示 ，它在原点右边 3 个单位长度处，到原点的距离也是 3 个单位长度； （2）点 M 与点 N 到原点的距离相等，且分居原点两侧，所以它们表示的数 与 互为相反数； （3）答案不唯一．如表示 的点与表示 的点：它们到原点的距离都是 5 个单位长度，且分居原点两侧，所以表示的数 与 互为相反数（在图上把这两点分别标为 A、B 即可）． 【总结】 相反数的几何意义是"到原点的距离相等，分居原点两侧"；互为相反数的两个点关于原点对称，原点是它们的对称中心． 要点三　相反数的表示与多重符号的化简 1. 相反数的表示：一般地，数 的相反数是 ．这里的 可以是正数，可以是负数，也可以是 ． 2. 对 的理解：（1）当 是正数时， 是负数；（2）当 是负数时， 是正数；（3）当 是 时， 是 ．所以 不一定是负数． 3. 多重符号的化简：一个数前面带有多个"+"号或"−"号时，可以逐一化简．一般地，一个数的前面有奇数个"−"号，化简结果的符号是"−"；有偶数个"−"号，化简结果的符号是"+"；"+"号的个数不影响化简结果（ 除外， 前面无论有多少个"−"号，结果都是 ）． 4. 化简的方法：可以由内向外逐层去括号，也可以直接数"−"号的个数． 注意：①"−"号既表示负号，也表示"求一个数的相反数"，如 表示 的相反数；②化简时要看清"−"号的个数，不要把"+"号误当作"−"号． 【例3】化简下列各数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．并回答问题： 一定是负数吗？请举例说明． 【分析】 化简时先看"−"号的个数：奇数个结果为"−"，偶数个结果为"+"；"+"号可以全部去掉．判断 的符号，要对 分正数、负数、 三种情况讨论． 【解答】 解：（1）＝；（2）＝；（3） 中"−"号共有 3 个，是奇数个，结果为 ；（4） 中"−"号共有 2 个，是偶数个，结果为 ；（5）＝． 不一定是负数．例如：当 ＝ 时，＝，是负数；当 ＝ 时，＝，是正数；当 ＝ 时，＝．所以 可以是正数、负数或 ． 【总结】 化简多重符号看"−"号的个数：奇负偶正；字母 的相反数是 ，但 的符号要由 的符号决定，不能见"−"就说是负数． 典题精练 一、选择题 1．（2025·广西南宁·期中） 的相反数是（　　） A．　　B．　　C．　　D．不存在 2． （2025·广东广州·期中）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A． 与 　　B． 与 　　C． 与 　　D． 与 3．（2025·四川成都·期中）如图，数轴上点 M 表示的数是 ，点 N 与点 M 表示的数互为相反数，则点 N 表示的数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． （2025·河南洛阳·期中）下列关于相反数的说法中，正确的是（　　） A． 一定是负数　　B． 没有相反数　　 C．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数　　D．符号不同的两个数一定互为相反数 5．（2025·湖北武汉·期末）一个数的相反数等于它本身，则这个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D．这样的数不存在 6． （2025·山西太原·期中）化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．（2025·河北石家庄·期末）若 与 互为相反数，且 表示的数在数轴上原点的左边，则下列说法正确的是（　　） A． 一定是正数　　B． 一定是负数　　C． 一定是 　　D． 的正负无法确定 8．（2025·山东·中考） 的相反数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．（2025·辽宁大连·期中）数轴上点 A 表示的数是 ，把点 A 沿数轴移动若干个单位长度后，它表示的数恰好是原数的相反数，则点 A 应（　　） A．向右移动 2 个单位长度　　B．向右移动 4 个单位长度　 C．向左移动 4 个单位长度　　D．向左移动 2 个单位长度 二、填空题 10．（2025·吉林长春·期中） 的相反数是＿＿＿； 的相反数是＿＿＿； 的相反数是＿＿＿． 11．（2025·云南昆明·期末）化简：＝＿＿＿；＝＿＿＿；＝＿＿＿． 12．（2025·贵州贵阳·期中）在数轴上，表示 的点与表示＿＿＿的点到原点的距离相等，且分居原点的两侧，这两个数互为＿＿＿． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·期末）若 的相反数是 ，则 ＝＿＿＿；若 ＝，则 ＝＿＿＿；若 ＝，则 ＝＿＿＿． 14．（2025·江西南昌·期中）如图，数轴上点 A 与点 B 表示的数互为相反数，点 A 表示的数是 ，则点 B 表示的数是＿＿＿，A、B 两点之间的距离是＿＿＿个单位长度． 15．（2025·甘肃兰州·期末）如图是一座商场的楼层示意图，它可以看作一条竖直放置的数轴，地面所在的楼层记为 ．地上 3 层记作 ，那么地下 3 层记作＿＿＿；这两个数互为＿＿＿． 16．（2025·天津·期中）如图是一支温度计的示意图，液柱的上表面在 0℃ 以下第 3 条刻度线处，表示 ．在温度计上与 所在刻度到 0℃ 刻度的距离相等、且在 0℃ 另一侧的温度是＿＿＿℃，它与 互为＿＿＿． 17．（2025·新疆乌鲁木齐·期末）在数轴上，与原点的距离是 5 个单位长度的点有＿＿＿个，它们表示的数分别是＿＿＿和＿＿＿，这两个数互为＿＿＿． 三、解答题 18．（2025·内蒙古呼和浩特·期中）写出下列各数的相反数，并在数轴上把这些数及它们的相反数都表示出来：，，，． 19．（2025·重庆·期中）（1）化简：①；②；③；④；⑤；⑥．（2）观察（1）的结果，你发现一个数的前面有奇数个"−"号与偶数个"−"号时，化简结果有什么规律？（3）利用你发现的规律化简 ，并说明你是怎样判断的． 20．（2025·吉林长春绿园区·期末）如图，数轴上点 A、B、C、D 表示的数分别是 、、、．（1）哪两个点表示的数互为相反数？请说明理由；（2）点 B 与点 C 到原点的距离分别是多少个单位长度？（3）化简 ，并在数轴上描出表示 的点 E，指出点 E 与哪个点重合，以及点 E 表示的数与哪个点表示的数互为相反数． 21．（2025·海南海口·期末）已知 与 互为相反数．（1）若 ＝，求 ；（2）若 ＝，求 ；（3）若 在数轴上表示的点到原点的距离是 4 个单位长度，求 可能表示的数，并说明理由． 22．（2026·广西南宁·模拟）如图，在纸面上画有一条数轴，按要求折叠纸面（折痕与数轴垂直）．（1）若折叠后表示 的点与表示 的点重合，则折痕处的点表示的数是多少？此时表示 的点与表示哪个数的点重合？（2）若折叠后表示 的点与表示 的点重合，则折痕处的点表示的数是多少？此时表示 的点与表示哪个数的点重合？（3）结合上面的操作，说说互为相反数的两个数在数轴上的位置有什么特点． 23．（2026·四川成都·模拟）【综合应用】一条东西向的街道上，小明家在超市东边 400 m 处，小红家在超市西边 400 m 处．以超市为原点，向东为正方向，用 1 个单位长度表示 100 m，画一条数轴表示小明家、小红家的位置．（1）小明家、小红家表示的数分别是多少？这两个数有什么关系？（2）小明家与小红家相距多少米？（3）若小刚家表示的数与小明家表示的数互为相反数，那么小刚家在什么位置？ 24．（2025·河南郑州·期末）已知 与 互为相反数， 是 的相反数， 与 互为相反数．（1）求 、、 分别表示什么数？（2）在数轴上，表示 的点与表示 的点到原点的距离相等吗？这两个点是否重合？（3）化简 ． 25．（2025·北京海淀区·期末）【规律探究】观察下面按一定规律排列的一列数：，，，，，，…（1）第 5 个数与第 6 个数有什么关系？第 7 个数与第 8 个数呢？（2）这列数中，第 10 个数是什么？它的相反数在这列数中是第几个数？（3）请用一句话概括这列数的排列规律，并说明互为相反数的两个数在这列数中的位置关系． 26．（2025·陕西西安·期末）数轴上点 A 表示的数是 ，点 B 与点 A 表示的数互为相反数．（1）点 B 表示的数是多少？点 B 在原点的哪一边？（2）点 A 与点 B 到原点的距离相等吗？各是多少个单位长度？（3）把点 A 向右移动多少个单位长度到达点 B？请把移动过程中依次经过的数写出来；（4）若点 C 表示的数是 ，则点 C 与点 A、点 B 中哪一个点重合？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案： 1．A　解析： 的相反数是 ，这是相反数的特殊规定，故选 A． 2．C　解析： 与 符号相反，且符号后面的数都是 ，互为相反数；A、B、D 中两数符号后面的数不相同，不是互为相反数．故选 C． 3．A　解析：点 N 与点 M 表示的数互为相反数，点 M 表示 ，所以点 N 表示 ．故选 A． 4．C　解析：当 是负数时， 是正数，所以 A 错； 的相反数是 ，B 错；符号不同但符号后面的数也不同的两个数（如 与 ）不互为相反数，D 错．故选 C． 5．C　解析： 的相反数是 ，即相反数等于它本身的数只有 ．故选 C． 6．B　解析： 的前面共有 2 个"−"号，是偶数个，化简结果为 ．故选 B． 7．A　解析： 表示的数在原点左边，说明 是负数；负数的相反数是正数，所以 一定是正数．故选 A． 8．D　解析： 的相反数是 ，只改变符号，符号后面的数不变．故选 D． 9．B　解析： 的相反数是 ；从表示 的点向右数 4 个单位长度，依次经过 、、、，正好到达表示 的点．故选 B． 10．；；　解析：求一个数的相反数，只要在它前面添上"−"号（或去掉"−"号），符号后面的数不变； 的相反数是 ． 11．；；　解析： 的前面有 1 个"−"号，是奇数个，结果为 ； 有 2 个"−"号，是偶数个，结果为 ； 有 3 个"−"号，是奇数个，结果为 ． 12．；相反数　解析：表示 的点在原点左边 4 个单位长度处，与它到原点距离相等且分居原点两侧的点在原点右边 4 个单位长度处，表示 ； 与 只有符号不同，互为相反数． 13．；；　解析： 的相反数是 ，即 ＝，所以 ＝；＝，说明 的相反数是 ，所以 ＝；＝ 说明这个数的相反数是它本身，所以 ＝． 14．；5　解析：点 A 表示 ，它到原点的距离是 个单位长度；点 B 与点 A 到原点的距离相等且在原点另一侧，所以点 B 表示 ；从 向右数到 ，共 5 个单位长度，所以 A、B 两点之间的距离是 5 个单位长度． 15．；相反数　解析：地上与地下是相反意义的量，地上 3 层记作 ，地下 3 层就记作 ；这两个数只有符号不同，互为相反数． 16．；相反数　解析：与 所在刻度到 0℃ 刻度距离相等、且在 0℃ 另一侧的刻度是 ，它与 只有符号不同，互为相反数． 17．2；；；相反数　解析：到原点距离是 5 个单位长度的点，一个在原点右边 5 个单位长度处，表示 ；一个在原点左边 5 个单位长度处，表示 ，共 2 个；这两个数只有符号不同，互为相反数． 18．解： 的相反数是 ； 的相反数是 ； 的相反数是 ； 的相反数是 ．在数轴上， 与 分别在原点右边、左边 2 个单位长度处； 与 分别在原点左边、右边 3.5 个单位长度处； 就是原点； 与 分别在原点右边、左边 个单位长度处．互为相反数的点两两关于原点对称，如图所示． 19．解：（1）①＝；②＝；③ 中"−"号共有 2 个，结果为 ；④ 中"−"号共有 3 个，结果为 ；⑤＝；⑥ 中"−"号共有 3 个，结果为 ；（2）规律：一个数的前面有奇数个"−"号时，化简结果的符号为"−"；有偶数个"−"号时，化简结果的符号为"+"；"+"号的个数不影响化简结果； 的前面无论有多少个"−"号，结果仍是 ；（3） 的前面共有 3 个"−"号，是奇数个，所以化简结果为 ．判断时只需数"−"号的个数，"＋"号全部去掉，不必逐层去括号． 20．解：（1）点 A 与点 D 表示的数互为相反数．理由：点 A 表示 ，点 D 表示 ，它们只有符号不同，符号后面的数都是 ；并且在数轴上，点 A 与点 D 到原点的距离都是 5 个单位长度，且分居原点两侧；（2）点 B 表示 ，它在原点左边 2 个单位长度处，到原点的距离是 2 个单位长度；点 C 表示 ，它在原点右边 2 个单位长度处，到原点的距离也是 2 个单位长度；（3）＝，所以点 E 表示 ，它在原点右边 2 个单位长度处，与点 C 重合；点 E 表示的数 与点 B 表示的数 只有符号不同，互为相反数． 21．解：（1） 与 互为相反数，＝，所以 ＝；（2）＝，所以它的相反数 ＝；（3）到原点的距离是 4 个单位长度的点有两个：原点右边 4 个单位长度处的点表示 ，原点左边 4 个单位长度处的点表示 ，所以 ＝ 或 ＝；当 ＝ 时，＝；当 ＝ 时，＝．所以 表示的数是 或 ． 22．解：（1）表示 的点与表示 的点到原点的距离都是 3 个单位长度，且分居原点两侧，折叠后正好重合，说明折痕经过原点，折痕处的点表示 ；表示 的点与表示 的点到原点的距离都是 5 个单位长度，折叠后重合，所以与表示 的点重合；（2）表示 的点与表示 的点相距 8 个单位长度，折痕在它们正中间，即从表示 的点向右数 4 个单位长度处，依次经过 、、、，所以折痕处的点表示 ；表示 的点在折痕右边 2 个单位长度处，与它重合的点在折痕左边 2 个单位长度处，从 向左数 2 个单位长度依次经过 、，所以与表示 的点重合；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应的点，到原点的距离相等，且分别位于原点的两侧；把数轴沿过原点的折痕折叠时，这两个点正好重合． 23．解：（1）以超市为原点，向东为正方向，1 个单位长度表示 100 m：小明家在超市东边 400 m，即在原点右边 4 个单位长度处，表示 ；小红家在超市西边 400 m，即在原点左边 4 个单位长度处，表示 ；这两个数只有符号不同，互为相反数；（2）从表示 的点向右数到表示 的点，一共 8 个单位长度，即 800 m，所以小明家与小红家相距 800 m；（3）小刚家表示的数与 互为相反数，即表示 ，所以小刚家在超市西边 400 m 处，与小红家在同一个位置． 24．解：（1） 与 互为相反数，所以 ＝； 是 的相反数，所以 ＝； 与 互为相反数，所以 ＝；（2）表示 的点表示 ，到原点的距离是 3 个单位长度；表示 的点也表示 ，到原点的距离也是 3 个单位长度，距离相等；由于它们表示的数相同，所以这两个点重合，是同一个点；（3）＝，＝＝． 25．解：（1）这列数是 ，，，，，，…，第 5 个数是 ，第 6 个数是 ，它们互为相反数；第 7 个数是 ，第 8 个数是 ，它们也互为相反数；（2）这列数每两个一组：第 1、2 个数是 、，第 3、4 个数是 、，第 5、6 个数是 、，第 7、8 个数是 、，第 9、10 个数是 、，所以第 10 个数是 ；它的相反数是 ，是这列数中的第 9 个数；（3）规律：这列数按 ，（＝，，，…）成对排列，每一对中的两个数互为相反数；互为相反数的两个数在这列数中总是相邻出现，奇数位置上是正数，偶数位置上是负数． 26．解：（1）点 B 与点 A 表示的数互为相反数，点 A 表示 ，所以点 B 表示 ； 是正数，所以点 B 在原点的右边；（2）相等．点 A 在原点左边 个单位长度处，点 B 在原点右边 个单位长度处，它们到原点的距离都是 个单位长度；（3）从表示 的点向右数到表示 的点，共 7 个单位长度，依次经过 、、、、、，所以点 A 向右移动 7 个单位长度到达点 B；（4） 中"−"号共有 2 个，化简得 ，所以点 C 表示 ，与点 B 重合． 学科网（北京）股份有限公司 $