专题5 绝对值的最值几何意义（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦绝对值的几何意义及最值问题这一核心知识点，从绝对值的概念、性质（代数意义）切入，延伸至几何意义（数轴上点的距离），系统梳理两个或多个绝对值的和与差的最值规律，以及已知/未知范围的绝对值化简、新定义等题型，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以几何直观为特色，通过典例精析（如物流中心选址应用）和变式训练，培养学生抽象能力与推理意识，分层训练题组（A组基础、B组拔高、C组拓展）适配不同学情，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题5 绝对值的最值几何意义 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：绝对值 1．绝对值的概念及性质 概念及性质 表述 运用 概念 在数轴上，一个数所对的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 1．用绝对值求数轴上两点之间的距离； 2．用数轴求多个绝对值之和的最小值； 法则 1．化简绝对值；2．计算； 性质 1．；2．若，则； 3．若，则 1．判断式子的正负；2．求极值； 3．已知绝对值，求原数； 4．非负数原理的运用； 2、两种意义： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．      （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【针对训练】 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．（     ） A． B． C．3 D． 3．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 知识点二：绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： 当n为奇数时，动点x取在中间的定点（即第个定点）时，距离之和取得最小值，最小值为两端点定点之间的距离和减去中间部分重叠距离，最终可化简为所有大端点减去所有小端点的和； 当n为偶数时，动点x取在中间两个定点之间（包含两个端点）任意位置时，距离之和都取得最小值，最小值同样为所有大端点之和减去所有小端点之和。 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 【针对训练】 1. 已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 2．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 3.如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 典例精析 题型一 两个绝对值的和的最值 【例1】已知，那么的最大值与最小值的和等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】若，则的最大值为 ． 题型二 两个绝对值的差的最值 【例2】如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 【变式训练】若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 题型三 多个绝对值的和的最值 【例3】设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 题型四 绝对值中最值问题的应用 【例4】阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【变式训练】如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a，b则A、B两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有A、B两站，现要在AB段上选址物流中心M，使最短，M选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A、B之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有A、B、C三站，如何选址物流中心M．使最短？ 乙的探究：物流中心M应选在C站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有A、B、C、D四站，M选在哪，才使得最短？ 丙的探究：M应选在C、D之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 题型五 已知范围的绝对值化简 【例5】如图所示，已知有理数，，在数轴上位置如图所示，化简式子的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】对于整式：、、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；②若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则；③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型六 未知范围的绝对值化简 【例6】（24-25七年级上·重庆长寿·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对2，，5，9进行“差绝对值运算”的结果是39； ②，，6的“差绝对值运算”的最小值是9； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练】在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 题型七 绝对值化简的新定义问题 【例7】（1）对于有理数a，b，定义一种新运算””，规定ab＝．计算：2（﹣3）的值； （2）若＝1，b＝3，求a+b的值． 【变式训练】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 题型八 绝对值化简问题综合 【例8】有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 1．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，早在两千多年前的《九章算术》中，就有负数，的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 2．等于（　　） A．2023 B． C．1 D．0 3．若，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与4 B．与4 C．与 D．与2 5．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．若，则x的值是_________． 7．若，，则b的值为________． 8．如果，则_____． 9．已知有理数：，，，．将这些有理数化简后，在数轴上表示出来． 10．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 11．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为__________． 编 号 体重情况 12．若|x|≤3.6，则整数x有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 13．若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 15．已知有理数，满足，则的值为（    ） A． B． C．或0 D．或0 16．适合的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 17．符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 18．已知，则的相反数的绝对值为______． 19．在数轴表示的意义是表示6的点与原点之间的距离，式子在数轴上的意义是表示6的点与表示2的点之间的距离．类似的，式子在数轴上的意义是___________ ． 20．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 21．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，_______；（选填“>”“<”或“=”） （2）几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则______； （3）的几何意义是数轴上表示________的点与表示___________的点之间的距离，若，则_______； （4）的几何意义是数轴上表示________的点与表示__________的点之间的距离，若，则_______； （5）找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是______________． 22．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 23．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 24．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 27．当______时，的最小值是______． 28．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 29．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 30．如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 31．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 绝对值的最值几何意义 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：绝对值 1．绝对值的概念及性质 概念及性质 表述 运用 概念 在数轴上，一个数所对的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 1．用绝对值求数轴上两点之间的距离； 2．用数轴求多个绝对值之和的最小值； 法则 1．化简绝对值；2．计算； 性质 1．；2．若，则； 3．若，则 1．判断式子的正负；2．求极值； 3．已知绝对值，求原数； 4．非负数原理的运用； 2、两种意义： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．      （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【针对训练】 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 3．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 知识点二：绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： 当n为奇数时，动点x取在中间的定点（即第个定点）时，距离之和取得最小值，最小值为两端点定点之间的距离和减去中间部分重叠距离，最终可化简为所有大端点减去所有小端点的和； 当n为偶数时，动点x取在中间两个定点之间（包含两个端点）任意位置时，距离之和都取得最小值，最小值同样为所有大端点之和减去所有小端点之和。 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 【针对训练】 1. 已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)<；>；> (2)见解析 (3) 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的概念，绝对值的性质等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）观察数轴，即可得出答案； （2）运用相反数的概念在数轴上表示出相应的点； （3）根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】（1）由图可知： 故答案为：， （2）如图所示： （3）， 又， 2. 有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 3．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 典例精析 题型一 两个绝对值的和的最值 【例1】已知，那么的最大值与最小值的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，则及的符号不能确定，故应分类讨论出及的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可． 【详解】解：①当时， ， 当时，达到最大值5； ②当时， ； ③当时， ， ∴当时，达到最小值1；当时，达到最大值3； 综上分析，最大值是5，最小值是1， ∴的最大值与最小值的和为5+1=6． 故选：D． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 【变式训练】若，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据ab>0，可知ab同号，即a、b同为正或同为负，再根据绝对值的定义和有理数的除法法则进行化简计算即可． 【详解】∵， ∴，两正或两负， ①，时，； ②，时，． ∴原式最大为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论． 题型二 两个绝对值的差的最值 【例2】如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的意义，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2024，故A正确． 故选：A． 【变式训练】若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 多个绝对值的和的最值 【例3】已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 【变式训练】设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 题型四 绝对值中最值问题的应用 【例4】阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 【变式训练】如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a，b则A、B两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有A、B两站，现要在AB段上选址物流中心M，使最短，M选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A、B之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有A、B、C三站，如何选址物流中心M．使最短？ 乙的探究：物流中心M应选在C站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有A、B、C、D四站，M选在哪，才使得最短？ 丙的探究：M应选在C、D之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 【答案】2550 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离． 由题意得：在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0，最中间一项是，代入即可求出答案． 【详解】解：由题意得：可以看成是到个点的距离之和. 在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0， ∵最中间一项是， ∴，即， 当时， 故的最小值为2550． 题型五 已知范围的绝对值化简 【例5】如图所示，已知有理数，，在数轴上位置如图所示，化简式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值，有理数的加减法法则及整式的加减运算，根据数轴可得，，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 【变式训练】对于整式：、、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；②若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则；③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，根据绝对值的意义、整式的加减运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ①正确，符合题意； ，， ， 解得：， ②正确，符合题意； 由题意得：、、、、的绝对值各有2种， “全绝对”操作后的式子化简后有种不同的结果， ③错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 题型六 未知范围的绝对值化简 【例6】对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对2，，5，9进行“差绝对值运算”的结果是39； ②，，6的“差绝对值运算”的最小值是9； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：对2，，5，9进行“差绝对值运算”得： ，故①正确； 对，，6进行“差绝对值运算”得：， 表示的是数轴上点到和6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ，，6的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； ，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③不正确， 综上，故只有1个正确的． 故选：C． 【变式训练】在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②错误，③正确． 【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 有，故①正确． ， ， 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误； ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③错误； 综上分析可知：正确的有1个． 故选：B． 题型七 绝对值化简的新定义问题 【例7】（1）对于有理数a，b，定义一种新运算””，规定ab＝．计算：2（﹣3）的值； （2）若＝1，b＝3，求a+b的值． 【答案】（1）6；（2）a+b的值为4或2 【分析】（1）根据题意所定义的新运算，将原式转换为，根据有理数加减法运算法则以及绝对值的意义进行计算即可； （2）分和两种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：2（﹣3） ＝ ＝1+5 ＝6； （2）若a＝1，则a+b＝1+3＝4； 若a＝﹣1，则a+b＝﹣1+3＝2； 综上，a+b的值为4或2． 【点睛】本题考查了定义新运算，涉及到绝对值以及有理数的加减法，读懂题意理解题目中的新定义、熟练掌握绝对值的意义以及有理数加减法是解本题的关键． 【变式训练】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1)9 (2) (3)32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． （1）根据，进行有理数的加减运算，即可求解； （2）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （3）根据非负数的性质，求出，再代入第（2）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， 把，代入得，． 题型八 绝对值化简问题综合 【例8】有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值的性质、有理数的乘法．先利用数形结合思想可以直观的比较有理数的大小，再利用绝对值的性质即可巧妙的化简含有绝对值的式子．正确去掉绝对值是解本题的关键所在． （1）由数轴知，，从而得出； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 1．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，早在两千多年前的《九章算术》中，就有负数，的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：∵根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数， 又∵是负数，的相反数为， ∴， 故选A． 2．等于（　　） A．2023 B． C．1 D．0 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的性质． 【详解】解：． 3．若，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的定义，互为相反数的两个数绝对值相等，据此求解的值． 【详解】解：∵， ∴． 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与4 B．与4 C．与 D．与2 【答案】C 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两数之和为0． 根据相反数的定义，计算各选项中的数并判断是否互为相反数即可． 【详解】解：，4与4相等，不是相反数； 与4的和为，不是相反数； ，，互为相反数； 与2的和为，不是相反数； ∴互为相反数的是选项C中的两个数． 故选：C． 5．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，求绝对值． 先化简各选项中的数，再根据相反数的定义判断是否互为相反数即可． 【详解】解：，与是同一个数，不是互为相反数； ，3与只有符号不同，互为相反数； ，与是同一个数，不是互为相反数； ，与是同一个数，不是互为相反数； 故选：B． 6．若，则x的值是_________． 【答案】3或 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此方程有两个解． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示x到原点的距离为3， ∴或． 故答案为：3或． 7．若，，则b的值为________． 【答案】 4 或 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，由a的值求出，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴， ∴ 或． 故答案为 ：4 或 ． 8．如果，则_____． 【答案】/ 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．已知有理数：，，，．将这些有理数化简后，在数轴上表示出来． 【答案】化简得，，，， 表示在数轴上为： 【知识点】用数轴上的点表示有理数、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与数轴的关系； 先将有理数化简，然后将有理数表示在数轴上即可． 【详解】略 10．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)，3， (2)沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，绝对值的含义． （1）根据绝对值的含义，数轴上两点之间的距离可得答案． （2）结合数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】（1）解：∵，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度，，， ∴，，． 故答案为：，3， （2）解：沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度，能爬行到距离原点2个单位长度的位置． 11．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为__________． 编 号 体重情况 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 12．若|x|≤3.6，则整数x有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值的定义及整数的定义，求出符合条件的数即可； 【详解】∵， ∴， ∵x是整数， ∴x可以为-3，-2，-1，0，1，2，3， ∴整数x共有7个； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，准确分析判断是解题的关键． 13．若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 14．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 15．已知有理数，满足，则的值为（    ） A． B． C．或0 D．或0 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据题意得到a与b同号或异号，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】∵， ∴当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 16．适合的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 17．符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】根据已知条件依次判断即可. 【详解】∵， ∴a为负数， 表示a的相反数， ∴表示：负数的绝对值等于它的相反数.因此 B选项正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，熟练掌握实数的绝对值的意义是解题的关键. 18．已知，则的相反数的绝对值为______． 【答案】3 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 19．在数轴表示的意义是表示6的点与原点之间的距离，式子在数轴上的意义是表示6的点与表示2的点之间的距离．类似的，式子在数轴上的意义是___________ ． 【答案】数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的含义和应用．根据绝对值的概念结合题目所给的例子可以直接写出答案． 【详解】解：根据题意可得数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 故答案为：数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 20．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)有，3 (4)有，最小值为7， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】（1）根据绝对值的意义求解； （2）结合数轴可知，与及其之间的整数都满足； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）解：， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， ， 因此这样的整数是， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值为3． 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和， 因此当时，有最小值，最小值为； （4）解：有，最小值为7， ， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，最小值0， 当时，有最小值，最小值为7． 【点睛】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． 21．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，_______；（选填“>”“<”或“=”） （2）几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则______； （3）的几何意义是数轴上表示________的点与表示___________的点之间的距离，若，则_______； （4）的几何意义是数轴上表示________的点与表示__________的点之间的距离，若，则_______； （5）找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是______________． 【答案】（1）x，原点，；（2）1；（3）x，3，2或4；（4）x，，0或；（5） 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离，求解即可； （2）根据几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则 （3）的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，数轴上与表示3的点的距离为1的点为2或4，所以若，则或4； （4）的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，数轴上与表示的点的距离为2的点为0或，所以若，则或； （5）的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 则表示的意思是：表示x的点与表示的点之间的距离和表示x的点与表示的点之间的距离的和为7，由此求解即可． 【详解】解：（1）的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离，=； 故答案为：x ，原点 ， ；     （2）∵几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离， ∴， 故答案为：1； （3）的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，数轴上与表示3的点的距离为1的点为2或4，所以若，则或4； 故答案为：x ，3 ，2或4； （4）的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，数轴上与表示的点的距离为2的点为0或，所以若，则或； 故答案为：x ， ，0或；   （5）的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∴表示的意思是：表示x的点与表示的点之间的距离和表示x的点与表示的点之间的距离的和为7， 又∵数轴上表示-5和2的点的距离正好是7， ∴如下图所示，当x在-5的左边时，表示x的点与表示的点之间的距离和表示x的点与表示的点之间的距离的和大于-5到2之间的距离，当x在2的右边时，表示x的点与表示的点之间的距离和表示x的点与表示的点之间的距离的和大于-5到2之间的距离， 当x在-5和2之间（包括-5和2）时，此时正好距离之和为7， ∴满足题意的x的值为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 22．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 23．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义 【详解】解：如图所示， ∴ ． 24．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 25．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 26．如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可． 【详解】解：设相邻两点间的距离为． 若，则， ， ， 解得：． ． 故①说法正确； 若， 数的绝对值从到先大后小， 原点在中点的右边，中点的左边． 故②的说法不符合题意； 设对应，则对应，对应， 若， 即 点是原点． 故③说法正确； 若原点在，之间并且临近点时，有． 故④的说法不符合题意． 综上，正确的说法有①③． 故选：B． 27．当______时，的最小值是______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 28．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 29．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 30．如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【答案】(1)①4；②或1； (2)点P所表示的数为或或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）①根据可得到点P是的中点，据此求出的值，从而求出点P所表示的数； ②分两种情况讨论：若P在点A左侧，则；若P在之间时，利用结合求出的值，从而求出点P所表示的数； （2）根据点P、Q与A、B的位置关系进行讨论：分别表示出所有两点距离、，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：①， 当时，点P是的中点， ， 点P所表示的数：； ②当时，分两种情况讨论： 若P在点A左侧，则， 点P所表示的数：； 若P在之间，， 点P所表示的数：， 点P所表示的数为或1； （2）解：分情况讨论： ①如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ②如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ③如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ④如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； 综上所述，点P所表示的数为或或或． 31．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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