2026-2027学年北师大版数学八年级上册第一轮月考模拟卷（1）

2026-2027学年北师大版初中数学 八年级 (上) 第一轮月考模拟卷（1） （考试范围第1-2章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（       ）个． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数.根据无理数的定义逐个数进行判断即可. 【解答】 解： 是分数，属于有理数； -3.14是有限小数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中 是无理数，故 属于无理数； ，是整数，属于有理数； 32是整数，属于有理数； 0. 23是无限循环小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； -1.121121112...（每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数有 、 、-1.121121112...（每两个2之间依次多一个1），共3个， 故选：C. 2.在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，平方差公式，掌握知识点是解题的关键. 根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，逐一分析各选项是否满足直角三角形的条件. 【解答】 解：A. 由 ，结合三角形内角和为180°，得2 ，故 ， 为直角三角形，排除A. B. ，总份数为3+4+5=12，对应角度分别为 ， ， ，最大角为75°，非直角，故不能判定为直角三角形. C. 展开 得 ，即 ，满足勾股定理的逆定理， 为直角三角形，排除C. D. 设 ， ， ，验证 ， 即 ，满足勾股定理的逆定理， 为直角三角形，排除D. 故选B. 3.如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（        ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的y的值. 【解答】 解：∵ 36的算术平方根是6，6是有理数， ∴ 取6的算术平方根是 是无理数， ∴ 输出y= 故选B. 4.如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A.1 B.2 C.4 D.不能确定 【答案】 C 【解析】 取斜边BC中点O，得 ，设OP=x，则 ，由勾股定理得 代入变形求解即可. 【解答】 解：取斜边BC中点O， 是等腰直角三角形， 则 ，且 设 ，则 在 中，由勾股定理： 则 即： 故 故选C. 5.在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（        ） A. B.的周长为 C.到直线的距离为 D. 【答案】 D 【解析】 先根据勾股定理求出 ， ， ，根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形， ，然后逐项进行验证即可. 【解答】 解：根据勾股定理得： ， ， ， ， 为直角三角形， ， ，故A正确，不符合题意； 的周长为 ，故B正确，不符合题意； 设点A到 BC的距离为 ，则 , 即 , 解得： , 即点A到 BC的距离为4，故C正确，不符合题意； ， ， , ，故D错误，符合题意. 故选D. 6.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（       ） A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 【答案】 A 【解析】 本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【解答】 解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选． 7.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】 解：在第一个图中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故第一个图不能说明勾股定理； 在第二个图中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故第二个图可以证明勾股定理； 在第三个图中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故第三个图可以证明勾股定理； 在第四个图中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故第四个图可以证明勾股定理． 能证明勾股定理的有个． 故选：． 8.某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（        ） A.12米 B.12.6米 C.13米 D.13.6米 【答案】 D 【解析】 由题意可得 米， 米， 米，则 米，设绳子的长度为 米，则 米， 米，再结合勾股定理计算即可得出结果. 【解答】 解：由题意可得： 米， 米， 米， 米， 设绳子的长度为 米，则 米， 米， 由勾股定理得 ， ， ， ， 解得 ， 米， 旗杆 的高度为 米. 故选D. 9.如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先分别求出 、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得. 【解答】 解：是等腰直角三角形，，， ，， 的周长为 ， 同理可得：的周长为 ， 的周长为 ， 归纳类推得：的周长为 （为正整数）， 的周长为 故选C. 10.如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； ；四边形的面积是； ，其中正确结论有个． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D 【解析】 证 即可判断 ①；连接OO'，可推出 是等边三角形，即可判断；由 得 ，推出 ，即可判断 ②；作BH OO'，则 ，可求出OH ，根据四边形AOBO'的面积 ，即可判断 ③；将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接OO"，CO"，作AK OO"，同理可得： 是等边三角形， ，求出 ，根据 ，即可判断 ④； 【解答】 解：连接 ，如图所示： 图 ① 可以由 绕点B逆时针旋转 得到；故 ①正确； 是等边三角形， 是等边三角形， ，故 ②正确； 作 ，如图所示： 将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接OO"，CO"，作AK OO"，如图所示： 同理可得： 是等边三角形， 故选：D 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.要使式子有意义，则x的最大值为___2_____． 【答案】 2 【解析】 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围，最后确定x的最大值. 【解答】 解：式子有意义， 解得： 的最大值为2. 12.在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝________． 【答案】 【解析】 先根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，再根据三角形的面积公式解答即可. 【解答】 如图，在 中，AC=5，BC=12，AB=13， 即 是直角三角形， 即 解得 故答案为： 13.二次根式与最简二次根式可以合并，则_______2_______． 【答案】 【解析】 本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【解答】 解：二次根式与最简二次根式可以合并， 二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ， ， 故答案为：2. 14.如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为___5_____． 【答案】 5 【解析】 设 ，由翻折的性质可知 ，则 ，在Rt DBN中利用勾股定理列方程求解即可. 【解答】 解：设 ，由翻折的性质可知 ，则 ， 是 的中点， . 在Rt DBN中，由勾股定理，得 ， 即 ， 解得 . 即 . 15如图，长方形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 在CB上取点H，使得CH=CD，连接HF，过点H作HG AD于点G，作点A关于CD的对称点 ，连接 ，首先证明 ，由全等三角形的性质可得 ，再由轴对称的性质可得 ，易知 ，当点 三点共线时， 取最小值，即AF+CE取最小值，然后证明四边形HGDC为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得 的值，即可获得答案. 【解答】 解：如下图，在CB上取点H，使得 ，连接HF，过点H作 于点G，作点A关于CD的对称点A，连接AF， 四边形ABCD为矩形， 四边形ABCD为矩形， 在 和 中， (SAS) 点A与点 关于CD对称， 当点 三点共线时， 取最小值，此时 四边形HGDC为矩形， 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 计算 （1） （2） 【答案】 【解析】 （1）先化简二次根式，计算二次根式乘法，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项. 【解答】 （1）解： （2）解： 17.(6分) 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度：            ，      5      ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】 ；5 是直角三角形，证明见解析 【解析】 （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算BD，再利用勾股定理的逆定理即可证明. 【解答】 （1）解： AD （2）解： 是直角三角形； 证明： AB AD 是直角三角形. 18.(8分) 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】 【解析】 （1）根据立方根及算术平方根的定义求得 的值，然后利用无理数的估算求得 的值即可； （2）将 的值代入 中计算，再根据平方根的定义即可求得答案. 【解答】 （1）解： 的立方根是 3， 的算术平方根是 4， 解得：； 是 的整数部分， ; （2） 的平方根为 . 19.(8分) 若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】 是直角三角形. 【解析】 （1）根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出 的值； （2）计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断 是否为直角三角形. 【解答】 （1）解： 且 解得 （2）解： 是直角三角形，理由如下： ，其中 是最长边， ， 是直角三角形. 20.（8分）如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【答案】 证明见解析. 【解析】 连结BD，易证 ，即BD=AE、AC=BC. 又可证明出 ，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的. 【解答】 证明：如图，连结BD， 在 和 中， 又 在Rt 中， 在Rt 中， 。 21.(10分) 解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 【答案】 【解析】 （1）先利用平方差公式对x、y进行分母有理化，再借助 的性质，求出 和 ；接着运用完全平方公式将分子配成 ，由于x、y均大于0， 从而约分，最后将已经求得的 的值代入计算即可得到最终结果。 （2）先对 进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出 ，随后对四次多项式分组、提取公因式 进行降次，把 整体替换为1，再利用推论 进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入a化简后的值计算即可。 【解答】 （1）解：， ， ， ， ， 。 （2）解： ， 移项得 ， 两边平方得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 22.(10分) 如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【答案】 【解析】 （1）由旋转的性质可得 ，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接DE，可证 是等边三角形，可得 ，AD=DE，由旋转的性质可得 ，可得CD=BE=4，由勾股定理可求解. 【解答】 （1） 将 绕点A按顺时针方向旋转得到 (2) 如图，连接 是等边三角形， 将 绕点A按顺时针方向旋转得到 ， 23.(10分) 如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】 100海里 本次航行符合安全标准。 【解析】 （1）根据方位角的定义得出 ，OA=60海里，OB=80海里，利用勾股定理求出AB=100，即可得出答案； （2）过点O作OH AB于H，利用“等积法”求出 ，设OC=OD=50海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出 CH=DH=14海里，进而求出CD=28海里，根据时间 =距离 速度，即可求出从C到D所用时间，即可得出答案. 【解答】 （1）解： 港口A在灯塔O的北偏西 方向上，距离灯塔60海里， ，OA=60海里， 港口B在灯塔O的北偏东 方向上，距离灯塔80海里， ，OB=80海里， ， （海里）， 港口A到港口B的直线距离为100海里 港口 A到港口 B的直线距离为100海里. （2）解：本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点O作 于H， 海里，OB=80海里，AB=100海里， 海里，OB=80海里，AB=100海里， 解得： 设OC=OD=50海里， （海里）， （海里）， 航行的平均速度为每小时20海里， 航行时长 小时，满足安全标准. 24.(10分) 某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴ ，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若． ①求的值； ②求的值． 【答案】 ①3； 【解析】 （1）将每一项分母有理化，再计算加减法即可； （2）①先求出，再化简，代入计算即可； ②先求出，，再将转化为，代入计算即可. 【解答】 （1）解： . （2）解：①， ， ，即， . ②由(2) ①已得：， ， . 25.(12分) 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，， 求证： 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点 （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为，求这个风车图案的面积． 【答案】 ，   见解析   见解析   【解析】 （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【解答】 （1）解：证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: , ， , ， ， 又, , ； （3）证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； （4）由题意,如图, “数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， 小正方形的边长等于 风车的面积为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 八年级 (上) 第一轮月考模拟卷（1） （考试范围第1-2章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（       ）个． A. B. C. D. 2.在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（        ）． A. B. C. D. 4.如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A.1 B.2 C.4 D.不能确定 5.在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（        ） A. B.的周长为 C.到直线的距离为 D. 6.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（       ） A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 7.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 8.某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（        ） A.12米 B.12.6米 C.13米 D.13.6米 9.如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（        ） A. B. C. D. 10.如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：① 可以由绕点逆时针旋转得到；② ；③四边形的面积是；④ ，其中正确结论有个． A.1 B.2 C.3 D.4 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.要使式子有意义，则x的最大值为_______． 12.在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝_______． 13.二次根式与最简二次根式可以合并，则_____________． 14.如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 15如图，长方形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 计算 （1） （2） 17.(6分) 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度：            ，            ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 18.(8分) 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 19.(8分) 若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 20.（8分）如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 21.(10分) 解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 22.(10分) 如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 23.(10分) 如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 24.(10分) 某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴ ，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若． ①求的值； ②求的值． 25.(12分) 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，， 求证： 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点 （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为，求这个风车图案的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 八年级 (上) 第一轮月考模拟卷（1） （考试范围第1-2章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（       ）个． A. B. C. D. 2.在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（        ）． A. B. C. D. 4.如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A.1 B.2 C.4 D.不能确定 5.在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（        ） A. B.的周长为 C.到直线的距离为 D. 6.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（       ） A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 7.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 8.某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（        ） A.12米 B.12.6米 C.13米 D.13.6米 9.如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（        ） A. B. C. D. 10.如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； ；四边形的面积是； ，其中正确结论有个． A.1 B.2 C.3 D.4 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.要使式子有意义，则x的最大值为________． 12.在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝________． 13.二次根式与最简二次根式可以合并，则_______________． 14.如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 15.如图，长方形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 计算 （1） （2） 17.(6分) 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度：            ，            ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 18.(8分) 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 19.(8分) 若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 20.（8分）如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 21.(10分) 解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 22.(10分) 如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 23.(10分) 如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 24.(10分) 某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴ ，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若． ①求的值； ②求的值． 25.(12分) 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，， 求证： 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点 （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为，求这个风车图案的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $