上海市晋元高级中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

晋元中学2026-2027学年第一学期高三年级数学开学考 2026.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分) 1 1.函数y= +(3x-5)°的定义域为 (x-1) 2.若函数y=sinox+coS Ox的最小正周期为元，则0= 3.在△ABC中，BD=BC,若AB=a,AC=方，则而= 4.若=+2，宋的值. (2-) 5.三项式3xg) 的展开式中的常数项为， 10 6.若等比数列{a,}的前n项和为S,且4+a,=3，a,+a,= 0 7.过点(1,3)，且与直线1：x-√3y+2=0的夹角为30°的直线方程为 8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f(x)=x2+2x,则f(x)= 9.分别以D={1,2,3,4,5}，A={0,1为定义域和值域的函数共有 个 10.已知f(x)=log(9-ax)(其中a>0,a≠1)，若函数y=f(x)在区间[1,3]上是严格 减函数，则实数a的取值范围是 11、手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪。现用与底面成45° 角的平面斜截底面直径为4.6cm,高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm· 从某条母线1出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线。 沿母线1将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆 周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm).若摊平后的截线恰为函数 y=Asin(wx+中)+k（A>0,w>0,0≤中<2π)在一个完整周期上的图像，则其解析式为 y= (·写精确式或保留三位小数均可). y 最高点 母线l 最高点(4.0,6.8) y=Asin(wz+)+k 6.8 高9.0 裁剪线 45° 0 4.0 矩形宽=底面周长 2 弧长4.0 底面直径4.6 图1纸筒与45°截线图2沿母线1剪开摊平后的示意图 12、若平面上的三个向量4、b、c中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正 交系统”.对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于（八∈），则称其为“ 强正交系统”.已知平面上的三个单位向量、巴，、，构成一个“1-强正交系统”，则 日+8+6的取值范围为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分） 13.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则() ◆频数 +频数 ·环数 ·环数 345678910 345678910 甲 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数； B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数； C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差； D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差. 14.已知函数y=f(x)在R上可导，其导函数为y=f'(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图 像如图所示，则下列结论中一定成立的是（) A.函数y=f(x)有极大值f(3)和极小值f(1); B.函数y=f(x)有极大值f(-3)和极小值f(1); C.函数y=f(x)有极大值f(-3)和极小值f(3); D.函数y=f(x)有极大值f(3)和极小值f(-3)· 15.盒子中有4个相同小球，标有号码1,2,3,4，从盒子中不放回地随机取两次，每次 取1个球事件A:“第一次取出1号球”，事件A:“第二次取出3号球”，事件B:“两次 取出球的号码和为4”，事件B,：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（) A.P(4)= B.P(B)+P(B)=1 C.A,,B,独立 D.A,,B,独立 16.如图，在棱长为V3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，AC,是它的一条体对角线.将底面 对角线BD绕直线AC,旋转一周，则BD所扫过区域的面积为() A. B.2元 C. -2 D.3π 三、解答题（本大题共有5题，满分78分) 17.在直四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面四边形ABCD满足AB∥DC,AD⊥DC,且 AD=AB=1,DC=2,侧棱DD,=√2. (1)设E是DC的中点，求证：直线D,E∥平面ABD; (2)求二面角A-BD-C,的大小（结果用反三角函数值表示）. D C B D E C B 18.已知A、B、C为△MBC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=-】 2 (1)若sinA=2sinB,求b、c; (2)若cos 19.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医 疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、中、青员工分 别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项 附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D, E,F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取 2人接受采访. 项目员工 A B D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 × (i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的 概率. 20.已知抛物线C:y2=2px（p>0)经过点P(2,4),其焦点为F,过焦点F的直线l 与抛物线C交于A、B两点，定点M(6,0). (1)求抛物线C的方程； (2)若直线I的斜率为1，求△ABM的面积； (3)设点Q在抛物线C上，试问直线x-2y+4=0上是否存在点N,使得四边形PQFN 是平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由. 21.已知函数()=-2alax-名g()=-(a+1ar-名，其中aER. (1)若x=2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； (2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间； (③)若存在xe[,](e为自然对数的底)，使得不等式f()s8()成立，求实数u的 取值范围. 晋元中学2026-2027学年第一学期高三年级数学开学考 2026.9 一、填空题 1.函数y= +（3x-5)'的定义域为 1og (x-1) 【答案】 }2 【解析】①要使(3x-5)'有意义，须3.x-5≠0，即x≠ 1 ②要使 有意义，须l0g,(x-1)>0(分母不为零且被开方数为正). Log,(x-1) 3 因为底数∈(0,1)，所以lg(x-1)>0=log,1台0<x-1<1,即1<x<2. 3 综上，定义城为}（怎，2 2.若函数y=sinox+coS Ox的最小正周期为元，则0= 【答案】0=±2（若限定0>0，则0=2） 【解析】y=sin+cOS=V2sinr@x+ ,其最小正周期T= 0=2 故回=2，即0=±2. 3.在△ABC中，BD=BC,若AB=a,AC=i,则AD= 【答案】而-3ā+方 44 【解标1而=孤+丽=西+减=丽+c-)-丽+好衣-+5。 4.若=+20，求的值. (2-) 【答案】z=8 【解析】由复数模的性质=， 及=l” aN1+2-_a-(=8 2- （5 5.二三式3x 的展开式中的常数项为 【答案】252 【解新1限所式通级为=G(✉广（八-c(哥. 令8-4=0，将=2.做常藏项为（兮=8×=28x9=28. 6。若等此蒙列o}的前a项和为S,且a+a号，&+号，则子 a 【答案】 =3”-1 0m2 10 【解析】设公此为9·由4，+a,=9(a,+4)得q=马+：=9= 1 4+103 3 又a+6=a(+g)=ag号放4=3. w附”-，8.0-0r到 12 3 (验证：n=1时=1，而3 而，=1，相符.) a 7.过点(1,3)，且与直线1：x-V3y+2=0的夹角为30°的直线方程为 【答案】y=3或V3x-y+3-5=0 【解析】直线1：式-3+2=0的斜率为，故其倾斜角为30加 所求直线与1的夹角为30°，故其倾斜角为30°-30°=0°或30°+30°=60°. ①倾斜角为0°时，直线过点(1,3)且水平，方程为y=3; ②倾斜角为60°时，斜率k=tan60°=√5， 由点斜式得y-3=5(x-1),即V3x-y+3-V3=0. 8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f(x)=x2+2x,则f(x)= 【答案】f(x)=xx+2x,即：x>0时f(x)=x2+2x;f(0)=0;x<0时f(x)=-x2+2x 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0. 设x<0,则-x>0,由已知f(-x)=(-x)+2(-x)=x2-2x. 再由奇函数性质f(x)=-f(-)=-x2+2x.三段合并可写成f(x)=xx+2x. 9.分别以D={1,2,3,4,5}，A={0,1}为定义域和值域的函数共有 个 【答案】30 【解析】以D={1,2,3,4,5}为定义域、取值在A={0,1}中的映射共有25=32个. 其中值域为{0}与值域为{1}的常值映射各1个，它们的值域不是A,应当去掉. 故满足条件的函数共有32-2=30个. 10.已知f(x)=logn(9-ax)(其中a>0,a≠1)，若函数y=f(x)在区间[1,3]上是严格 减函数，则实数a的取值范围是 【答案】1<a<3 【解析】因为a>0,内层函数u=9-ax在[1,3]上严格递减. 要使y=log,u在[1,3]上严格递减，须外层y=log u为增函数，即a>1. 又须真数恒为正，即u=9-ax>0在[1,3]上恒成立，只需最小值9-3a>0,得a<3. 故1<a<3. 11、手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪。现用与底面成45° 角的平面斜截底面直径为4.6cm,高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm· 从某条母线1出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线。 沿母线1将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆 周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm).若摊平后的截线恰为函数 y=Asi(wx+)+k（A>0,w>0,0≤中<2元)在一个完整周期上的图像，则其解析式为 y= (·写精确式或保留三位小数均可). 最高点 母线 最高点(4.0,6.8) y=Asin(wx+)+k 6.8 高9.0 裁剪线 45 4.0 矩形宽=底面周长 弧长4.0 底面直径4.6 图1纸筒与45°截线图2沿母线1剪开摊平后的示意图 【答案】y=2.3sin0x+5元-40」 23*+2元-23+45，x∈[0,4.6m]; 其中6=5元_40≈6.115，即y=2.3sin(0.435.x+6.15)+45,xe[0,4.6m] 223 12、若平面上的三个向量4、、c中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正 交系统”.对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于入()∈)，则称其为“2一 强正交系统”.已知平面上的三个单位向量，、e2、巴构成一个“1-强正交系统”，则 ++的取值范围为 I答案】[2-1，U(5,v2+] 二、选择题 13.甲、乙两人在一次射击此赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( ◆频数 ◆频数 2 →环数 ◆环数 4 5678910 567 8910 甲 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数； B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数； C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差； D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差. 【答案】C 【解析】由条形图知：甲的成绩为3,4,5,6,7；乙的成绩为4,4,4,5,8. 平均数：甲为3+4+5+6+7=5，乙为 4×3+5+8 =5,两者相等，A错； 中位数：甲为5，乙为4，两者不等，B错； 方差：甲为4+1+0+1+4-2，乙为1+1+1+0+9=24，故甲的方差小于乙的方差，C对； 5 5 极差：甲为7-3=4，乙为8-4=4，两者相等，D错.故选C. 14.已知函数y=f(x)在R上可导，其导函数为y='(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图 像如图所示，则下列结论中一定成立的是（) A.函数y=f(x)有极大值f(3)和极小值f(1); B.函数y=f(x)有极大值f(-3)和极小值f(1); C.函数y=f(x)有极大值f(-3)和极小值f(3); D.函数y=f(x)有极大值f(3)和极小值f(-3). 【答案】C 【解析】记g(x)=(1-x)f'(x). 由图像知g(x)在(-0，-3)上为正，在(-3,1)上为负，在(1,3)上为正，在(3，+∞)上为负、 当x<1时1-x>0,f(x)与g(x)同号：f'(x)>0于(-o,-3),f'(x)<0于(-3,1)； 当x>1时1-x<0,f(x)与g(x)异号：f'(x)<0于(1,3)，f'(x)>0于(3，+∞)： 故'(x)在x=-3处由正变负，f(x)取极大值f(-3);在x=1的两侧f'(x)均为负，x=1 不是极值点；在x=3处由负变正，f(x)取极小值f(3).故选C. 15.盒子中有4个相同小球，标有号码1,2,3,4，从盒子中不放回地随机取两次，每次 取1个球.事件A:“第一次取出1号球”，事件A,:“第二次取出3号球”，事件B:“两次 取出球的号码和为4”，事件B,:“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是() A.P(4)=月 B.P(B)+p(B2)=1 C.A2,B,独立D.A,B,独立 【答案】C 【评解1题意可得P4)-P(4)-g子P(a)3名P(a)3号 Γ4×33 故选项A,B错误； 对打CP()-女吉P(4)Pr医)，放选厦C正确 对于D,P(4)=女古P()P国)，做滤限D猫误 16.如图，在棱长为√3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，AC,是它的一条体对角线.将底面 对角线BD绕直线AC,旋转一周，则BD所扫过区域的面积为() A. B.2π C. D.3π 【答案】A 【详解】因为CC,⊥平面ABCD,且BD∈平面ABCD,所以CC,⊥BD, 又AC⊥BD,且AC∩CC,=C,AC,CC,c平面ACC,,所以BD⊥平面ACC,, 因为AC,c平面ACC,所以BD⊥AC, 因为B,C⊥平面ABB,A,且A,Bc平面ABB,A，所以B,C1⊥AB, 又A,B⊥AB,,且B,C,∩AB1=B1,B,C1,AB,c平面AB,C1,所以A,B⊥平面AB,C1, 因为AC,C平面AB,C,所以AB⊥AC, AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD,所以AC,⊥平面ABD, B 因为BDC平面A,BD且平面ABD垂直于旋转轴AC,, 所以BD绕AC,旋转一周时，它始终在一个固定的垂直平面内运动， 因此，线段BD扫过的区域是一个平面圆环， 设旋转轴AC,穿过平面A,BD的交点为H, 易得三棱锥A-A,BD为正三棱锥，所以顶点到底面的垂线， 其垂足是底面正三角形的中心，因为AC,⊥平面ABD且交点为H, 所以H是这个等边三角形ABD的中心，即求线段BD绕中心H旋转所形成的圆环面积， 易得等边△A,BD的边长a=V(W3+(W3=V6, 外圆是由线段BD距离中心最远的端点B或D扫过的轨迹， 所以外圆半径R是点H到端点B的距离HB, 在等边三角形aA,BD中，H既是中心也是外接圆的圆心，即HB是三角形的外接圆半径， 1 360° E 方体/仲心0 设AB,BD,DA的中点分别是E,G,P,因为边长为V6,则BG=6 2 则46--G--(-,则4m-子6-子9-， 2 一X 32 所以AH=BH=HD=V2,即R=√2， 内圆是由线段BD上距离中心最近的点扫过的轨迹， 在等边三角形中最短线段为中心到边的垂线的长度，即HG, 易得E,F,G为等边三角形内切圆与三角形的切点，即内圆半径r=HG, 在直角三角形BHG中，∠HBG=30°，所以r=R=5 21 2 所以扫过区域的面积S=πR2-π2=πV2y-π =2- 13 2 2 三、解答题 17.在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面四边形ABCD满足AB∥DC,AD⊥DC,且 AD=AB=1,DC=2,侧棱DD,=V2. (1)设E是DC的中点，求证：直线D,E∥平面A,BD; (2)求二面角A-BD-C,的大小（结果用反三角函数值表示）. D B V10 【答案】(1)见证明； (2) arccos (即arctan3) 10 【解析】因为该四棱柱为直棱柱，DD,⊥底面ABCD,又AD⊥DC, 故可以D为原点，DC、DA、DD,所在直线分别为x、y、?轴建立空间直角坐标系， 则D(00,0)，C(20,0)，4(01,0）,B(11,0)，D,(0,02),4(01,2,C(2,0,2), E(1,0,0). (1)DA=(0,1,0),EB=(11,0)-(1,0,0)=(01,0), 所以D,A=EB,即D,A1IIEB且D,A,=EB, 故四边形AD,EB是平行四边形，从而DE‖A,B. 又A1BC平面ABD,DE4平面A,BD,所以DE∥平面A,BD. (2)棱为BD,取i=DB=(1,1,0), 风-a1间长：上的狗务哥-u 故D中与BD垂直的分量为所-(Q,1问-20-（22； 同理DC=(2,0V2)在立上的投影向量为(1,1,0)，与BD垂直的分量为m,=(（1,-1,V②) 二面角A,-BD-C,的大小即为m1与m2的夹角日， 11 +2 m'm2 22 1 10 ◆ 4+2V1+1+2h0x 1,1 10 4+ -×2 2 所以二面角才-D-C的大水为ms西，也可写成orm3。 18.已知A、B、C为aMBC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=-】 (1)若sinA=2sinB,求b、c; (2)若cos 【答案】(1)b=1,c=V7; (2)c=5V6 【解析】(1)由正弦定理及sinA=2sinB得a=2b,又a=2,故b=1. 曲余孩定里四C=t站“-分，将心7，放7. 一三一 2ab 4 2由ac=宁cec=号mc-经从面4引，4- 若4-30,004-子后于是m4-哥引音mg-盟专与B知 又4-要0时4到1写故4-牙0，m4-到号 于是咖4=咖[4-引月引-m4-到子+4-引n肾-()-语 由正弦定理=C。得c= asinC 2x3 2-10W5 =5N6. sin A sinC sin A 10 19.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医 疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、中、青员工分 别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项 附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D, E,F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取 2人接受采访. 项目员工 A B E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 × X (ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的 概率. 【答案】(1)老、中、青分别抽取6人、9人10人；(2)(i)共15种；(i)P(M)= 15 【解析】(1)总人数72+108+120=300，抽样比为25/300=1/12，故老、中、青分别抽 取72/12=6人，108/12=9人，120/12=10人. (2)（i)从A,B,C,D,E,F这6人中任取2人，所有可能结果为：AB,AC,AD, AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,C(6,2)=15. (ⅱ)由表可知：A与B享受项目相同（子女教育、住房贷款利息、赡养老人）；C享受继 续教育、住房租金；D享受子女教育、大病医疗；E享受继续教育、住房贷款利息；F享受 子女教育、继续教育、住房贷款利息、赡养老人· 事件M的对立事件是“抽取的2人享受的专项附加扣除没有一项相同”，其结果为AC, BC,CD,DE,共4种.故P(M)=1-4= 1515 20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(2,4),其焦点为F,过焦点F的直线1 与抛物线C交于A、B两点，定点M(6,0). (1)求抛物线C的方程； (2)若直线I的斜率为1，求△ABM的面积； (3)设点2在抛物线C上，试问直线x-2y+4=0上是否存在点N,使得四边形P2FW 是平行四边形？若存在，求出2点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1)y2=8x; (2)16W2; (3)存在，2(0,0)或2(32,16) 【解析】(1)将P(2,4)代入y2=2px得16=4p,故p=4, 抛物线方程为y2=8x,焦点F(2,0). (2)直线l:y=x-2,即x=y+2.代入y2=8x得y2-8y-16=0, 则y+=8,2=-16,以-2=V(y+)'-4y,2=64+64=8V5. 又FM=6-2=4,且y2<0,即A、B位于x轴两侧， 故sw=2FM,-2=2×4x8N2=162. (3)四边形P2FW为平行四边形÷对角线PF与2N互相平分. P(2,4),F(2,0),故PF的中点为(2,2)· 设管小则信中关相小-营小 将N代入直线x-2y+4=0:4-片-2(4-乃)+4=0， 8 化简得-益+2=0，即，(-10)=0，解得八=0或以=16. 8 当=0时，2(0,0)，N(4,4),此时P2=（-2,-4),2F=(2,0)不平行，四点不共线； 当=16时，(32,16)，N(-28,-12),此时P=(30,12),F=(-30,-16)不平行，四 点不共线.故这样的点N存在，对应卫点的坐标为(0,0)或(32,16). 21.已知函数f()=-2aax-2,g()=m-(a+1ax-是，其中aeR. (1)若x=2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； (2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间； 《3)若存在xe[日e时](e为自然对数的底)，使得不等式f()≤g()成立，求实数a的 取值范围. 【答案】(1)a=三； (2)见解析； (3)【-e,+o∞) 【解析】(1)若x=2是函数f(x)的驻点，则f'(2)=0,可得-2a× 计会-0，即得a= 一十 (2)函数g(x)的定义域为(0，+∞)， gy=a-2a+1+2=ar2-(2a+10c+2_ax-1x-2 x2 当a>0时，令g'(x)=0,可得x=二>0或x=2. ①当1=2，即a=号时，对任意的x>0,g(x)≥0， 此时，函数g(x)的单调递增区间为(0，+∞). ②当0<<2，即a>;时， 2 令gx)>0,得0<x<1或x>2;令g(x)<0,得1<x<2. a 时，西数的单始区间为号和树)，单院递区为 ③当后>2，即0<a<时，令g>0,得0<x<2或x>令g)<0,得2<x< 此时，函数g()的单调递增区间为(Q,2)和日+，单调递诚区间为2)】 ③)由58，可得am-h0,即a,其中[小， 令0=，xe[日e],若存在xe[e],使得不等式)5g成立。 则axe[2ec],=1,令a=0,得x=e[已e] 当<x<e时，h)=0;当e<≤e时，h'(x)<0, 函数4()在[已]上严格递增，在(ee]上严格递减。 函数h(x)在端点x=二或x=e处取得最小值. 日-4(24（日o=日月-，a2e 因此，实数a的取值范围是[-e,+o)·