精品解析：上海市第五十四中学2026-2027学年第一学期期初学情调研高三数学试卷

五十四中学2026学年度第一学期 期初学情调研 高三数学 试卷 2026年9月 （闭卷120分钟，满分150分） 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）． 1. 已知集合，，则________． 2. 已知为虚数单位，复数z满足，则________． 3. 已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 4. 若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________． 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． 7. 设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________. 8. 的二项展开式中常数项为_______． 9. 若，，则________（用、表示）． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 11. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 12. 已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是__________． 二.（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数在定义域上是（ ） A. 严格增的奇函数 B. 严格增的偶函数 C. 严格减的奇函数 D. 严格减的偶函数 15. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关 16. 记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假： ①函数包裹函数的充要条件是； ②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数. 则下列选项正确的是（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真 三.解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）． 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点． （1）求证：平面PAD； （2）若，求点D到平面PBC的距离． 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 19. 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题． （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率． 20. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，其中点在第一象限，且. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于点，的内切圆圆心是半径是. (i)若求证:圆心在一条定直线上； (ii)若求的面积. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十四中学2026学年度第一学期 期初学情调研 高三数学 试卷 2026年9月 （闭卷120分钟，满分150分） 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）． 1. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，所以， 因此. 2. 已知为虚数单位，复数z满足，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数乘法和除法法则计算出，由模长公式求出答案. 【详解】， 故. 故答案为： 3. 已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据70百分位数的定义计算即可得答案. 【详解】这组数据共有10个，且已按从小到大排列. 因为， 所以这组数据的第70百分位数是这组数据的第7个数与第8个数的平均值， 即为. 4. 若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案. 【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：， ∵抛物线的准线方程为， ∴，∴， ∴抛物线的标准方程为：， 故答案为： 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则在方向上的投影向量为. 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差中项以及等比中项的性质进行化简求值即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以，解得. 又因为是等差数列，所以，所以，解得， 所以 7. 设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________. 【答案】－ 【解析】 【分析】先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos α＝x＝，解方程解答x的值，再利用三角函数的坐标定义求tan α的值. 【详解】因为α是第二象限角， 所以cos α＝x<0，即x<0. 又cos α＝x＝， 解得x＝－3，所以tan α＝＝－. 故答案为－ 【点睛】（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= . 8. 的二项展开式中常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，解出，代入计算即可得答案. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的二项展开式中常数项为. 故答案为：. 9. 若，，则________（用、表示）． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为，由换底公式可得. 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果. 【详解】 设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得， 又，，设的中点为， 在中，，，， 则，，根据， 可知，. 故答案为：. 11. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系 则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 12. 已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积计算公式，求得，根据题意转化为，进而转化为，设，利用导数求得函数的单调性，结合在上单调递减，进而求得的取值范围. 【详解】因为向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 由对任意的，且，， 可得，所以，即， 设，即函数在上单调递减， 又因为时，，解得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 二.（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于， 则可以推出，即必要性成立； 但不能推出，例如，即充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 函数在定义域上是（ ） A. 严格增的奇函数 B. 严格增的偶函数 C. 严格减的奇函数 D. 严格减的偶函数 【答案】A 【解析】 【详解】函数定义域为，关于原点对称.记，， 故为奇函数.将函数变形为，在上严格递增， 则严格递减，严格递增，因此在上严格递增. 15. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆的圆心坐标为和半径为，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即，化简即可得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，可知， 故选：D. 16. 记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假： ①函数包裹函数的充要条件是； ②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数. 则下列选项正确的是（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真 【答案】D 【解析】 【分析】①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确； ②利用反证法证明可得，即，则函数包裹函数，即②正确. 【详解】①因为函数包裹函数， 所以， 又因为，所以， 所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确； ②假设，令， 则当时，，与题意中矛盾， 故假设不成立.所以，即， 所以函数包裹函数，故②正确. 故选：D. 三.解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）． 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点． （1）求证：平面PAD； （2）若，求点D到平面PBC的距离． 【答案】（1）证明：连接BD，如图， ∵底面ABCD为菱形，，则， ∴△BCD为等边三角形， ∵E为BC的中点，∴， ∵，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD，∴， ∵平面PAD，∴ED⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PBC的一个法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ∴， 设平面PBC的法向量为， 则，即，令，则， ∴， 又， ∴点D到平面PBC的距离为：. 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间； （2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值. 【小问1详解】 ∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 19. 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题． （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率． 【答案】（1）分合理 （2）平均数90，方差22.25． （3） 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以， 又，所以． 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以第90百分位数在内． 设第90百分位数为，则，解得， 所以晋级分数线划为分合理． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以． 剔除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为， 平均数与标准差分别为， 则剩余8个分数的平均数， 方差． 【小问3详解】 由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，分别记为． 所有的抽样情况 ，共21个样本点，“选出的2人来自于不同组”，则 ，共14个样本点， 所以． 20. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，其中点在第一象限，且. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于点，的内切圆圆心是半径是. (i)若求证:圆心在一条定直线上； (ii)若求的面积. 【答案】（1） （2）（i）联立椭圆方程与直线的方程， 得，设， 化简得， 所以， ， ， 设直线的斜率分别为， 所以 ， 故直线平分， 所以圆心在一条定直线上； （ii） 【解析】 【分析】（1）首先得，然后根据题意得，求出即可； （2）（i）联立椭圆方程与直线的方程，由韦达定理得，只需证明直线的斜率互为相反数即可；（ii）根据已知条件可得，由数量积为0可求出，进一步求出以及点到直线的距离即可. 【小问1详解】 因为，所以，联立，解得， 所以，解得， 故所求为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）如图所示，设，其中是垂足， 因为， 所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形是等腰直角三角形， 所以， 即 ， 解得或，满足， 但是当时，直线过点， 所以只能，此时， 点到直线的距离为， ， 故所求为. 【点睛】 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是，区间不是，理由如下： 由， 当时，， 所以区间是函数的“美好区间”； 当时，，不是的子集，且， 所以不是的“美好区间”. （2） （3） 由题意，对于任意，，即， 则在R上单调递减， 故取，则， 由，无法满足性质①， 故若存在“美好区间”，只能满足性质②， 因为在R上单调递增且值域为R， 故必与有交点，不妨设交点为， 则任意的区间，使，则，则无法满足性质②， 故存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”； 故取区间，使，则， 故此时对于任意，都有，即满足性质②， 故函数存在“美好区间”． 综上所述，函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2），故只能满足性质①，利用导数研究的单调性，分别令 ，进而分析求解即可； （3）由题意可得在R上单调递减，进而得到的“美好区间”必满足性质②，进而分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，故只能满足性质①， 而，令，得，令，得或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 令或， 令或， 由，故取为m的最小值，故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $