专题08 平面几何（期中真题汇编，天津专用）高三数学上学期

专题08 平面解析几何 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点01 直线与圆 1．D 2．A 3．【答案】 【分析】 由题可得直线斜率为2，则，建立方程可求得，进而求解即可. 【详解】 由题意，直线的斜率为2， 则，解得，即， 则圆的半径长为. 故答案为：. 4．【答案】或 【分析】 根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解. 【详解】 圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为， 又圆心为，故圆的方程为 圆心到直线的距离为即，解得或． 故答案为：-1或-11 5．【答案】2 【分析】 先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】 因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 6．【答案】 【详解】 由，得， 所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为，所以，解得， 所以圆C的面积． 7．【答案】 【分析】 利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】 根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 根据抛物线方程先确定其焦点坐标，由两直线的位置关系得出方程，再由直线与圆的位置关系、弦长公式计算即可. 【详解】 由抛物线知其焦点， 又与直线垂直，则的斜率为， 所以的方程为，即， 整理圆的方程为， 即圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式得圆心到的距离， 所以该圆与相交所得的弦长为. 故答案为：. 9．【答案】 【分析】 根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】 因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 10．【答案】4 【分析】 根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】 因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 11．【答案】或 【分析】 由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，然后结合弦长，由勾股定理列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】 圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理知，， 则，即，解得， 所以，即， 于是有，解得或. 所以m的值为或. 故答案为：或 考点02 椭圆及其性质 1．B 2．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题可得 ，即得； （2）设，利用韦达定理法可得，进而可得直线，的方程，可得点代入椭圆方程，即得. (1) 小问详解： 由题可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由题可设， 由 ，可得， ∴，即， 所以，即， 当轴时，则，，， 此时，，不合题意， 当与不垂直时，， ∴， 由上可得，所以， 解得，又， 所以， 综上，的值为. 3．【答案】（1），离心率为.     （2），.      【分析】 （1）根据已知条件可得：，进而求得，由此即可求解方程及离心率； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，由韦达定理可得：，，表示出直线的方程为，令即可求解的值，最后根据求解的取值范围. (1) 小问详解： 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为. (2) 小问详解： 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 设直线的方程为，，， 联立 化简并整理得， 由题意得，即，应满足， 所以，， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以直线的方程为，令， 得 ，所以， 此时应满足 即应满足，或， 综上所述，满足题意，此时. 4．【答案】（1），     （2） 三点共线，证明如下： 由题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为 ， 由 得， 设，，则，，， ∵，， ∴ ， ∴，∴三点共线.      【分析】 （1）根据条件可得，，计算的值，即可得到椭圆方程和离心率. （2）设直线方程，与椭圆方程联立，表示，，利用即可证明结论. (1) 小问详解： 由题意得，，，所以， 所以椭圆的方程为，离心率 . (2) 小问详解： 略 考点03 双曲线及其性质 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．B 10．【答案】2 【分析】 利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 ，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】 根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得， ∴，即离心率为. 故答案为：2 考点04 抛物线及其性质 1．A 2．【答案】 【分析】 根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点的坐标，再求出直线的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案. 【详解】 圆心与的焦点重合， 由 可得 由点斜式方程可得： 即：，原点到的距离． 故答案为：. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．【答案】（1）      （2） 设的方程为，，，，. 联立方程 ， 整理得，              ， 即，                     则，，              ， 整理得，              则或，              若，则，则过点，不符合题意，        故，即的斜率为定值. 【分析】 （1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. (1) 小问详解： 由题可知 ，解得，， 故的方程为； (2) 小问详解： 略 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件易得，进而可求解； （2）通过和，结合直线方程、椭圆方程求得坐标，通过向量数量积的坐标表示，列出等式求解. (1) 小问详解： ， 由条件可知，又， 可得：， 所以. (2) 小问详解： 由（1）可知：， 椭圆方程为，设， 当时，直线，， 设夹角为，则， 由， 所以，所以， 所以， 当时，设 联立椭圆方程： ，化简整理得： ， 由，整理得到：， ，， 故， 又， 所以， 由垂直关系易知直线的方程为， 联立 ，得 ， 所以， 所以 由 ，解得：， 所以， 所以， 综上 3．【答案】（1）     （2）① 设：，，，则：， 联立 ，故，，， 故，由代替m，得， 当，即时，：，过点. 当，即时，，：， 令，，直线MN恒过点. 当，经验证直线MN过点. 综上，直线MN恒过点. ②      【分析】 （1）根据题意有，，即可求解； （2）① 设直线：的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点的坐标，继而可得点坐标，考虑直线斜率情况，得到其方程，即可求解；② 根据，表示出的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可求得最大值. (1) 小问详解： 依题意有，，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②， 令，， ∵在上单调递减， ∴，当且仅当，时取等号. 故面积的最大值为. 4．【答案】（1）     （2） 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由 ，得，① 设点，则，直线的方程为， 令得， 将代入整理得，② 由① 得， 代入② 整理得， 所以直线与轴相交于定点． 【分析】 （1）由已知可求得，进而可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设点，求得直线的方程，令，结合根与系数的关系计算可求得定点. (1) 小问详解： 因为椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4， 所以，解得， 又因为椭圆的离心率为，所以，解得， 故，则椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 略 5．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【分析】 (Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； (Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值. 【详解】 (Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得： ，解得： ， 故椭圆方程为：. (Ⅱ)[方法一]： 设，，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：， 即：， 则：. 直线MA的方程为：， 令可得：， 同理可得：. 很明显，且，注意到， ， 而 ， 故. 从而. [方法二]【最优解】：几何含义法 ① 当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以． ② 当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立 得．由题意知，所以．且． 由题意知直线的斜率存在．． 当时， ． 同理，．所以． 因为，所以． 【详解】【整体点评】 方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法. 6．【答案】（1）     （2）     （3）存在，且点      【分析】 （1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值； （3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出 ，求出的值，即可得出结果. (1) 小问详解： 由题意可得 ，可得 ，因此椭圆方程为，即. (2) 小问详解： 设点、，则， 因为 ，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. (3) 小问详解： 在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 7．【答案】（1）     （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）.      【分析】 （1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. (1) 小问详解： 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入② ，并化简得 ，③ 将（2）中① 代入③ 得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 5大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点01 直线与圆 1．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知直线与圆 相切，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知圆心为，直线与圆相切于点，则圆的半径长为　　　　　． 4．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则　　　　　　　　　． 6．（25-26学年·天津河北区·期中）设直线与圆相交于A，B两点，若，则圆C的面积为　　　　　　　　 7．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数　　　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为　　　　　　　　. 9．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为　　　　　. 11．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为　　　　　　　　. 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知椭圆的右顶点，且点在椭圆上，，分别是椭圆的左右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的值. 3．（25-26学年·天津河北区·期中）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 4．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知椭圆 过点 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，关于轴对称的点为，判断三点是否共线，并加以证明. 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（     ） A. 3 B.  C. 5 D.  3．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（     ） A.  B. 2 C.  D.  4．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若，则双曲线E的离心率为（       ） A.  B. 2 C.  D.  6．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为，抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的焦距为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  8．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  9．（25-26学年·天津河北区·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率　　　　　　　　　　. 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为　　　　　　． 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求椭圆的方程. （2）证明：的斜率为定值. 2．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为． （1）求椭圆离心率； （2）已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长． 3．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知椭圆E：过点，且焦距为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 4．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 5．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 6．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； （3）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 5大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点01 直线与圆 1．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知直线与圆 相切，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】 将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 2．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两点式方程写出答案即可 【详解】 圆：化为 所以圆心坐标 要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心 由直线方程的两点式得： ，即 故选：A 3．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知圆心为，直线与圆相切于点，则圆的半径长为　　　　　． 【答案】 【分析】 由题可得直线斜率为2，则，建立方程可求得，进而求解即可. 【详解】 由题意，直线的斜率为2， 则，解得，即， 则圆的半径长为. 故答案为：. 4．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解. 【详解】 圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为， 又圆心为，故圆的方程为 圆心到直线的距离为即，解得或． 故答案为：-1或-11 5．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】 因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 6．（25-26学年·天津河北区·期中）设直线与圆相交于A，B两点，若，则圆C的面积为　　　　　　　　 【答案】 【详解】 由，得， 所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为，所以，解得， 所以圆C的面积． 7．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】 根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据抛物线方程先确定其焦点坐标，由两直线的位置关系得出方程，再由直线与圆的位置关系、弦长公式计算即可. 【详解】 由抛物线知其焦点， 又与直线垂直，则的斜率为， 所以的方程为，即， 整理圆的方程为， 即圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式得圆心到的距离， 所以该圆与相交所得的弦长为. 故答案为：. 9．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】 因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 10．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为　　　　　. 【答案】4 【分析】 根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】 因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 11．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，然后结合弦长，由勾股定理列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】 圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理知，， 则，即，解得， 所以，即， 于是有，解得或. 所以m的值为或. 故答案为：或 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】 设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立① ② 可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知椭圆的右顶点，且点在椭圆上，，分别是椭圆的左右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题可得 ，即得； （2）设，利用韦达定理法可得，进而可得直线，的方程，可得点代入椭圆方程，即得. (1) 小问详解： 由题可得 ，解得， 所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由题可设， 由 ，可得， ∴，即， 所以，即， 当轴时，则，，， 此时，，不合题意， 当与不垂直时，， ∴， 由上可得，所以， 解得，又， 所以， 综上，的值为. 3．（25-26学年·天津河北区·期中）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 【答案】（1），离心率为.     （2），.      【分析】 （1）根据已知条件可得：，进而求得，由此即可求解方程及离心率； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，由韦达定理可得：，，表示出直线的方程为，令即可求解的值，最后根据求解的取值范围. (1) 小问详解： 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为. (2) 小问详解： 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 设直线的方程为，，， 联立 化简并整理得， 由题意得，即，应满足， 所以，， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以直线的方程为，令， 得 ，所以， 此时应满足 即应满足，或， 综上所述，满足题意，此时. 4．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知椭圆 过点 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，关于轴对称的点为，判断三点是否共线，并加以证明. 【答案】（1），     （2） 三点共线，证明如下： 由题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为 ， 由 得， 设，，则，，， ∵，， ∴ ， ∴，∴三点共线.      【分析】 （1）根据条件可得，，计算的值，即可得到椭圆方程和离心率. （2）设直线方程，与椭圆方程联立，表示，，利用即可证明结论. (1) 小问详解： 由题意得，，，所以， 所以椭圆的方程为，离心率 . (2) 小问详解： 略 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】 因为，所以，即， 令，得到，， 由双曲线定义得，， 因为以AB为直径的圆过，所以， 故，得到， 整理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，则，故A正确. 故选：A 2．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（     ） A. 3 B.  C. 5 D.  【答案】D 【分析】 取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为，得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】 取M为的中点，为右焦点，因为，    所以，所以，所以， 因为在上的投影向量的模为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以. 故选：D. . 3．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 写出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程求得，两点的坐标，根据抛物线及双曲线渐近线的对称性及为直角三角形，求得的关系，从而得到双曲线的离心率. 【详解】 由题可知，双曲线的两条渐近线为， 记抛物线与的交点为，与的交点为. 由 得，；由 得，. 由抛物线及双曲线渐近线的对称性知，，且垂直于轴，记垂足为N. 因为为直角三角形，所以. 所以，化简得，即，所以. 所以双曲线的离心率. 故选：C. 4．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点作，垂足为，则，设，则，由直线的斜率为，得出，在中由余弦定理即可求解． 【详解】 过点作，垂足为，则，如图所示， 设，则， 所以， 所以，则， 因为直线的斜率为，所以，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得，， 整理得，， 故选：D． 5．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若，则双曲线E的离心率为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 作于，由抛物线的定义和双曲线的定义，结合已知把，，用表示，然后由勾股定理列式，得的齐次式，从而可求得． 【详解】 由题意，即，设，则， 又，，所以， ，， 作于，如图，则，，， 由得， 化简得，所以，解得（舍去）， 故选：A． 6．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据为正三角形表示点坐标，然后分别带入抛物线和渐近线方程中，解方程即可得到双曲线方程. 【详解】 设，，为第一象限的点， 由题意得双曲线渐近线方程为， 因为为正三角形，所以，则 ，解得 ， 所以双曲线方程为. 故选：B. 7．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为，抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的焦距为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 由题可得代入双曲线，即可得解. 【详解】 抛物线的准线交双曲线于两点.设， ,到准线距离为, 为等边三角形, 代入双曲线,可得， 解得， 故选:D． 8．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得 ，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】 由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 9．（25-26学年·天津河北区·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 结合双曲线的图形，过作轴，根据题设条件分别表示出，，然后利用斜率公式得到关于的等式，进而即可求解. 【详解】    如图，过作轴，交轴于点， 因为，所以，所以； 因为为等腰三角形，所以，所以； 因为是双曲线的左顶点，所以，所以， 因为点在过且斜率为的直线上，所以直线的斜率为，即； 在中，； 所以，即，即，所以的离心率为. 故选：B. 10．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 ，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】 根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得， ∴，即离心率为. 故答案为：2 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据双曲线的性质求出抛物线的参数，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后计算的面积. 【详解】 双曲线的右焦点为，即为抛物线 的焦点， 所以，解得，抛物线方程为，其准线方程为， 因此准线与轴的交点的坐标为；焦点的坐标为， 设点，因为在抛物线上，所以， 则 ，又，且， 代入得：，化简得， 结合，代入展开并整理：， 将代入，得，因此点坐标为或， 则，点到轴（所在直线）的距离为， 则. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点的坐标，再求出直线的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案. 【详解】 圆心与的焦点重合， 由 可得 由点斜式方程可得： 即：，原点到的距离． 故答案为：. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求椭圆的方程. （2）证明：的斜率为定值. 【答案】（1）      （2） 设的方程为，，，，. 联立方程 ， 整理得，              ， 即，                     则，，              ， 整理得，              则或，              若，则，则过点，不符合题意，        故，即的斜率为定值. 【分析】 （1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. (1) 小问详解： 由题可知 ，解得，， 故的方程为； (2) 小问详解： 略 2．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为． （1）求椭圆离心率； （2）已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件易得，进而可求解； （2）通过和，结合直线方程、椭圆方程求得坐标，通过向量数量积的坐标表示，列出等式求解. (1) 小问详解： ， 由条件可知，又， 可得：， 所以. (2) 小问详解： 由（1）可知：， 椭圆方程为，设， 当时，直线，， 设夹角为，则， 由， 所以，所以， 所以， 当时，设 联立椭圆方程： ，化简整理得： ， 由，整理得到：， ，， 故， 又， 所以， 由垂直关系易知直线的方程为， 联立 ，得 ， 所以， 所以 由 ，解得：， 所以， 所以， 综上 3．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知椭圆E：过点，且焦距为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）① 设：，，，则：， 联立 ，故，，， 故，由代替m，得， 当，即时，：，过点. 当，即时，，：， 令，，直线MN恒过点. 当，经验证直线MN过点. 综上，直线MN恒过点. ②      【分析】 （1）根据题意有，，即可求解； （2）① 设直线：的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点的坐标，继而可得点坐标，考虑直线斜率情况，得到其方程，即可求解；② 根据，表示出的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可求得最大值. (1) 小问详解： 依题意有，，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②， 令，， ∵在上单调递减， ∴，当且仅当，时取等号. 故面积的最大值为. 4．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 【答案】（1）     （2） 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由 ，得，① 设点，则，直线的方程为， 令得， 将代入整理得，② 由① 得， 代入② 整理得， 所以直线与轴相交于定点． 【分析】 （1）由已知可求得，进而可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设点，求得直线的方程，令，结合根与系数的关系计算可求得定点. (1) 小问详解： 因为椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4， 所以，解得， 又因为椭圆的离心率为，所以，解得， 故，则椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【分析】 (Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； (Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值. 【详解】 (Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得： ，解得： ， 故椭圆方程为：. (Ⅱ)[方法一]： 设，，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：， 即：， 则：. 直线MA的方程为：， 令可得：， 同理可得：. 很明显，且，注意到， ， 而 ， 故. 从而. [方法二]【最优解】：几何含义法 ① 当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以． ② 当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立 得．由题意知，所以．且． 由题意知直线的斜率存在．． 当时， ． 同理，．所以． 因为，所以． 【详解】【整体点评】 方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法. 6．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； （3）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，且点      【分析】 （1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值； （3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出 ，求出的值，即可得出结果. (1) 小问详解： 由题意可得 ，可得 ，因此椭圆方程为，即. (2) 小问详解： 设点、，则， 因为 ，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. (3) 小问详解： 在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 7．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1）     （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）.      【分析】 （1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. (1) 小问详解： 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入② ，并化简得 ，③ 将（2）中① 代入③ 得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $