专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，天津专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·天津河西·期中）设函数满足，当时，，则（       ） A.  B.  C. 0 D.  2．（高三上·天津五区重点校·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为　　　　　　. 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知均是锐角，已知，，则（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）若，则　　　　　． 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（     ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 4．（25-26学年·天津河北区·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（     ） A.  B.  C.  D. 1 5．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知函数，对于任意的，，，且函数在上单调递增，则的值为（       ） A. 3或9 B. 3 C. 9 D. 6 6．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）函数对于都有，恒成立，在区间上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图像左移个单位，上移3个单位得到，则下列选项正确的是（       ） A. 在上单调递增 B. 当时取得最小值为 C. 的对称中心为（） D. 右移m个单位得到，当时，为偶函数 7．（25-26学年高三上·天津河东·期中）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知函数，有下述三个结论： ①的最小正周期是； ②在区间上单调递减； ③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象. 其中所有正确结论的编号是（       ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 9．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（       ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（       ） A. 函数的最小正周期为 B. 当函数的值域为 C. 函数在区间上的零点个数共有6个 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 11．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（     ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域是 12．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（     ） A. 函数图象关于对称 B. 函数图象在内有3个极值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象关于中心对称 13．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年·天津河北区·期中）已知函数，，则图象为如图的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 16．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（     ）    ①；        ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 17．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高三上·天津河西·期中）函数在上的最小值是　　　　　　　． 19．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有　　　　　　.（填序号） 20．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在的最值； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 21．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域． 22．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是　　　. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在中，，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 2．（25-26学年高三上·天津河东·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 3．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 4．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 5．（高三上·天津五区重点校·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 6．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 7．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）在中，角所对的边分别为．已知，． （1）求的值； （2）当时， （i）求的值和的面积； （ii）求的值． 8．（25-26学年·天津河北区·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 9．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）在中，角所对的边分别为，且． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 10．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求边上的高； （3）若，求的值． 11．（25-26学年高三上·天津河西·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为　　　　　. 12．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，,满足． （1）求角的大小； （2）设，. （i）求边的值； （ii）求的值． 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求：的值． （2）求：的值． （3）若，求：的面积． 14．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在中，角所对的边分别为，已知向量，，且． （1）求角： （2）若． （i）求的值； （ii）求的值． 15．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求; （2）若,求; （3）若求的值. 16．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求，； （3）若，求. 17．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）在中，角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．A 2．【答案】1 【分析】 利用平面向量平行的充要条件、同角三角函数的商数关系、诱导公式化简计算即可. 【详解】 由题意可知，即， 所以 . 故答案为： 考点02 三角恒等变换 1．D 2．【答案】 【分析】 利用诱导公式以及二倍角公式计算可求得结果. 【详解】 由可得， 所以. 故答案为： 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．C 2．A 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．C 11．D 12．C 13．C 14．D 15．D 16．B 17．【答案】 【分析】 先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 【详解】 若使函数有意义，需满足：， 解得； 故答案为： 18．【答案】 【分析】 由辅助角公式结合正弦函数的单调性可得. 【详解】 ， 因为， 所以最小值为. 故答案为：. 19．【答案】① ③ 【分析】 由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数，然后求出函数的对称轴判断① ，由区间求出函数值域判断② ，由函数图象解不等式得到解集判断③ ，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④. 【详解】 令平移后的函数为， 由图可知，， ∴，则， 又∵当时，令，即， ∴，则. 令，则为函数的对称轴， 令，则，① 正确； 时，，∴，② 错误； ，即，则， 即，③ 正确； 令，即，则， 令，即，则， 即在右边的极值点依次是， 若在有两个极值点，则，④ 错误. 故答案为：① ③ 20．【答案】（1），对称中心为（）     （2）最大值为3，最小值为0     （3）      【分析】 （1）应用两角差余弦公式结合辅助角公式化简再应用对称中心计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先根据平移伸缩计算得出，再应用同角三角函数及两角和的正弦公式计算解题. (1) 小问详解： ， 令（），， 所以对称中心为（）； (2) 小问详解： ， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， ，，， 所以最大值为3，最小值为0； (3) 小问详解： ， ， 且， ，， ， ， . 21．【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为，     （2）      【分析】 （1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解； （2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解． (1) 小问详解：                                 所以的最小正周期．                                       令，，可得，， 所以的单调递减区间为，； (2) 小问详解：                因为的图象关于点中心对称， 所以，，可得． 因为，所以．                        所以．                   因为，所以，                               所以，． 22．【答案】 【分析】 利用辅助角公式化简函数式，根据极值得出对称轴结合三角函数的对称性、周期性、单调性得出不等式计算即可. 【详解】 由函数，其中， 函数周期是，由① 知， 又因为在区间是单调函数， 所以， 即 ， 所以或. 故答案为： 考点04 解三角形 1．D 2．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由正弦定理得，结合已知条件即可求； （2）根据余弦定理即可求解； （3）由（2）可得，利用二倍角公式可求的正、余弦值，再利用和差的正弦公式计算即可． (1) 小问详解： 由及正弦定理得，，                  所以． 因为，所以． (2) 小问详解： 由余弦定理，             可得，                                  所以． (3) 小问详解： 由（2）可得，                                                所以，．              所以 ． 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用辅助角公式化简即可。 （2）余弦定理求出的值即可. (1) 小问详解： 由题可知， 所以， 即， 又因为 所以. (2) 小问详解： 由余弦定理且，， 得. 所以. 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，即可求得的值； （2）结合已知与余弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式可求的面积. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； (2) 小问详解： 因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 5．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. (1) 小问详解： 因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入① 式有. 又因为三角形内角，因此，所以. (2) 小问详解： 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； (3) 小问详解： 由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 6．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. (1) 小问详解： 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； (2) 小问详解： 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； (3) 小问详解： 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 7．【答案】（1）     （2）（i），；（ii）      【分析】 （1）利用正弦定理角化边可直接求得； （2）（i）利用余弦定理可构造方程求得的值，结合三角形面积公式可求得； （ii）利用余弦定理可得，由同角三角函数关系可得，结合二倍角公式、两角和差正弦公式可求得结果. (1) 小问详解： 由正弦定理得：，又，. (2) 小问详解： （i）由余弦定理得：， ，即，解得：（舍）或， ，， . （ii）由余弦定理得：， ，， ，， . 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据余弦定理即可求解， （2）根据同角三角函数关系，结合正弦定理和面积公式即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，，，由余弦定理得，，解得. (2) 小问详解： 因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积. (3) 小问详解： 因为，所以是锐角，，， ，， 所以. 9．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长； （2）根据已知得，再由正弦定理求； （3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求. (1) 小问详解： 由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； (2) 小问详解： 由且，则， 由正弦定理，则； (3) 小问详解： 由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 10．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）根据题意结合面积关系可得，进而可求高； （3）先利用倍角公式求，再结合两角和差公式运算求解. (1) 小问详解： 因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以. (2) 小问详解： 因为，可得， 联立方程 ，解得 或 （舍去）， 由（1）可得，则，即， 设边上的高为， 则，即，解得， 所以边上的高为. (3) 小问详解： 因为，且，则， 可得， 所以. 11．【答案】 【分析】 利用余弦定理及基本不等式可求得，从而可求解. 【详解】 由题知，，由余弦定理得， 即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的周长取最大值为，此时的面积为. 故答案为：. 12．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． (1) 小问详解： 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； (2) 小问详解： 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 所以. 13．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理以及余弦定理，等量代换及整式化简，可得答案； （2）根据二倍角公式，结合差角公式，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，可得答案. (1) 小问详解： ，由正弦定理得： 将这入上式得，由余弦定理可得. (2) 小问详解： ，由，则， 又，即，，又， 又. (3) 小问详解： ，由知：，由（2）可知， 又， 的面积为. 14．【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用向量数量积的坐标表示以及正弦定理可得； （2）（i）由余弦定理直接计算可得结果； （ii）利用正弦定理以及三角恒等变换代入计算即可. (1) 小问详解： 已知，且． 可得，由正弦定理， 得，显然，得， 由，故； (2) 小问详解： （i）由（1）知，且，由余弦定理， 则得，即． 解得（舍去）； （ii）由正弦定理，且，得， 由，得为锐角，故， 故，且； 故． 15．【答案】（1）     （2）     （3）．      【分析】 （1）根据正弦定理边角互化，即可得求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. (1) 小问详解： 由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． (2) 小问详解： 由余弦定理有， 解得或（舍），故． (3) 小问详解： 由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以． 16．【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可. （2）通过余弦定理得到，进而结合求解即可. （3）通过正弦定理得到，再判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. (1) 小问详解： 由, 根据正弦定理，得， 则， 在中，，则， 又，故. (2) 小问详解： 由， 根据余弦定理可得，整理可得， 又，解得，或，（舍去）. (3) 小问详解： 由，根据正弦定理，得， 则， 又，则，故为锐角， 所以， 则， ， 所以. 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果； （2）根据条件，利用同角三角函数间的关系，得到，再利用正弦定理即可求出结果； （3）法一，利用二倍角公式，求出，利用同角三角函数间的关系求出，即可求出结果；法二，利用，得到，再计算出即可求出结果. (1) 小问详解： 因为，，， 由余弦定理可得，整理得， 解得. (2) 小问详解： 因为，，所以， 由正弦定理，可得， 解得. (3) 小问详解： （法一）由（2）得，， ， ， 所以， 所以． （法二）由余弦定理可得， ∴， ∴ . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·天津河西·期中）设函数满足，当时，，则（       ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】A 【分析】 由题意结合特殊角的三角函数值、诱导公式逐步计算即可得解. 【详解】 因为，当时，， 所以 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了三角函数的求值，考查了运算求解能力，属于基础题. 【详解】 2．（高三上·天津五区重点校·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用平面向量平行的充要条件、同角三角函数的商数关系、诱导公式化简计算即可. 【详解】 由题意可知，即， 所以 . 故答案为： 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知均是锐角，已知，，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得，利用两角差的正弦公式求得正确答案. 【详解】 因为均是锐角，， 则，，又， 所以 . 故选：D 2．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 利用诱导公式以及二倍角公式计算可求得结果. 【详解】 由可得， 所以. 故答案为： 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】 由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于① ，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故① 正确； 对于② ，的图象向左平移得到，故② 正确； 对于③ ，令，解得， 所以的对称轴为，故③ 错误； 对于④ ，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④ 正确. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题目条件求出，利用图象平移规律得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】 由图知函数的最小正周期，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则，解得， 又因为对，在上都不单调，所以，解得. 综上，. 故选：A. 3．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（     ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B 【分析】 根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得是小于等于的正奇数，再进行验证可得. 【详解】 由有，所以函数关于成中心对称， 所以，即， 再由，得是函数的一个极值，所以， 所以，即. 又在上单调，所以，得. 所以且，是小于等于的正奇数. 当时，，再由是极值点， ，得， 易知，但函数不单调，舍去； 当时，由是极值点，，得， ，函数单调递减，符合题意. 所以的最大值为9. 故选：B. 4．（25-26学年·天津河北区·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】 由函数的最小正周期满足，得，解得：. 又因为函数图像关于点对称，所以， 所以，，所以，因此可得：， 所以. 故选：A 5．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知函数，对于任意的，，，且函数在上单调递增，则的值为（       ） A. 3或9 B. 3 C. 9 D. 6 【答案】B 【分析】 根据函数在上单调递增得到的大致范围，再由，得到函数图象的对称性，最后利用正弦函数的图象与性质分情况求解的值并验证，即可得解. 【详解】 设函数的最小正周期为T，因为函数在上单调递增， 所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称， 由知的图象关于点对称． ①，得， 解得，故， 所以，因为的图象关于直线对称， 所以，则， 因为，所以，故， 当时，，满足在上单调递增； ②，解得， 解得，故， 所以，因为的图象关于直线对称， 所以，则， 因为，所以，故， 当时，，不满足在上单调递增，故． 故选：B. 6．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）函数对于都有，恒成立，在区间上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图像左移个单位，上移3个单位得到，则下列选项正确的是（       ） A. 在上单调递增 B. 当时取得最小值为 C. 的对称中心为（） D. 右移m个单位得到，当时，为偶函数 【答案】D 【分析】 根据三角函数的对称性求出对称中心与对称轴可得函数周期求，再利用特殊值求出求出函数解析式，根据图象变换得出的解析式，利用单调性，对称性判断ABC，再根据平移后得为偶函数求，判断D即可. 【详解】 因为，恒成立可知为函数的一个对称中心，为函数的一条对称轴， 所以，，解得. ∴， ,， ∴,满足题意 则， 令,解得，， 当时，的增区间为，故在上不是增函数，故A错误； 当时，不为最小值，故B错误； 令,解得，，所以的对称中心为，故C错误； 右移m个单位后可得，当为偶函数时，，，，故时，，故D正确. 故选：D 7．（25-26学年高三上·天津河东·期中）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】函数的图像向右平移个单位得，所以 ，所以得最小值为． 8．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知函数，有下述三个结论： ①的最小正周期是； ②在区间上单调递减； ③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象. 其中所有正确结论的编号是（       ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【分析】 利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可判断① ；利用正弦型函数的单调性可判断② ；利用三角函数图象变换可判断③. 【详解】 因为. 对于① ，函数的最小正周期是，① 对； 对于② ，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，② 对； 对于③ ，将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后， 得到的图象，③ 错. 故选：C. 9．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（       ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【分析】 利用辅助角公式化简，设函数的最小正周期为，则，结合周期公式求出的取值，再由的范围求出的范围，结合零点的特征求出的范围，即求出的最小值. 【详解】 因为， 设函数的最小正周期为，由可得， 所以，解得； 当时，， 因为在区间内至少存在两个零点， 所以，即； 所以当时取最小值，综上，的最小值为. 故选：B. 10．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（       ） A. 函数的最小正周期为 B. 当函数的值域为 C. 函数在区间上的零点个数共有6个 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【答案】C 【分析】 由题意可求得，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】 若时，的最小值为，可得，解得， 所以，解得，所以，故A不正确； 当时，可得，所以， 所以函数的值域为，故B错误； 令，可得，所以， 解得，可得时，， 所以函数在区间上的零点个数共有6个，故C正确； 函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图像， 所以为偶函数，故D错误. 故选：C. 11．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（     ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域是 【答案】D 【分析】 先根据函数的平移变换得到，进而结合正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】 将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得到函数的图象， 再向左平移个单位，可得的图象. 对于A，， 则直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，， 则点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有增有减， 所以函数在上有增有减，故C错误； 对于D，当时，， 则，即，故D正确. 故选：D 12．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（     ） A. 函数图象关于对称 B. 函数图象在内有3个极值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象关于中心对称 【答案】C 【分析】 本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项. 【详解】 由题意可得 因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以； 当时，或0， 所以不是对称轴，选项A错误； 令,解得， 当时， ；当时， ； 所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误； 当时，，在内单调递增，选项C正确； 当时，， 所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误. 故选：C 13．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由图象中两个零点间的距离，可直接求得的最小正周期，判断① ；求得的解析式，用整体代换的思想判断② ，③ ；由图象平移的规则知函数的图象向左平移个单位长度得到函数的解析式，可判断④ . 【详解】 对于① ，由图可知的最小正周期为.所以① 错误； 对于② ，由① 知，，所以. 根据图象有 ，即 ，所以 解得，所以. 当时，. 令，因为是增函数，在是增函数，所以在区间上单调递增； 所以② 正确； 对于③ ，由② 知，. 当时，，所以. 所以③ 错误； 对于④ ，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，所以④ 错误. 所以四个结论中错误的个数为3. 故选：C. 14．（25-26学年·天津河北区·期中）已知函数，，则图象为如图的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 已知图象关于原点对称，可知函数为奇函数，判断选项A和B错误；函数图象过原点判断选项C错误，分析选项D的函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负，及函数值正负的规律得解. 【详解】 图象关于原点对称，则函数为奇函数； 选项A，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项A错误； 选项B，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项B错误； 选项C，， ，， 而，在出无意义，故选项C错误； 选项D， 设， ，， ，，是奇函数， ，符合已知图像， ，符合已知图像， 在上函数值从到1到0到到0，周而复始进行， 在上函数值恒大于0， 的函数值在上函数值从到正数到0到负数到0，周而复始进行， 故选项D符合已知图像，故选项D正确. 故选：D. 15．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 【答案】D 【分析】 根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】 已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 16．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（     ）    ①；        ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断① ，根据图象变换结合奇偶性判断② ；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③ ④. 【详解】 因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故① 正确； 所以， 对于② ：为奇函数，故② 正确； 对于③ ：因为，则， 由题意可得：，解得，故③ 正确； 对于④ ：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④ 错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 17．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 【详解】 若使函数有意义，需满足：， 解得； 故答案为： 18．（25-26学年高三上·天津河西·期中）函数在上的最小值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由辅助角公式结合正弦函数的单调性可得. 【详解】 ， 因为， 所以最小值为. 故答案为：. 19．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有　　　　　　.（填序号） 【答案】① ③ 【分析】 由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数，然后求出函数的对称轴判断① ，由区间求出函数值域判断② ，由函数图象解不等式得到解集判断③ ，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④. 【详解】 令平移后的函数为， 由图可知，， ∴，则， 又∵当时，令，即， ∴，则. 令，则为函数的对称轴， 令，则，① 正确； 时，，∴，② 错误； ，即，则， 即，③ 正确； 令，即，则， 令，即，则， 即在右边的极值点依次是， 若在有两个极值点，则，④ 错误. 故答案为：① ③ 20．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在的最值； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 【答案】（1），对称中心为（）     （2）最大值为3，最小值为0     （3）      【分析】 （1）应用两角差余弦公式结合辅助角公式化简再应用对称中心计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先根据平移伸缩计算得出，再应用同角三角函数及两角和的正弦公式计算解题. (1) 小问详解： ， 令（），， 所以对称中心为（）； (2) 小问详解： ， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， ，，， 所以最大值为3，最小值为0； (3) 小问详解： ， ， 且， ，， ， ， . 21．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域． 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为，     （2）      【分析】 （1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解； （2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解． (1) 小问详解：                                 所以的最小正周期．                                       令，，可得，， 所以的单调递减区间为，； (2) 小问详解：                因为的图象关于点中心对称， 所以，，可得． 因为，所以．                        所以．                   因为，所以，                               所以，． 22．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是　　　. 【答案】 【分析】 利用辅助角公式化简函数式，根据极值得出对称轴结合三角函数的对称性、周期性、单调性得出不等式计算即可. 【详解】 由函数，其中， 函数周期是，由① 知， 又因为在区间是单调函数， 所以， 即 ， 所以或. 故答案为： 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在中，，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 利用正弦定理确定，根据三角形的内角和求得，进而求得；或根据余弦定理求得，并求解三角形的各角检验即可. 【详解】 在中，由正弦定理，得. 因为，所以，或. 当时，，所以； 当时，，所以. 故选：D. 方法二：由余弦定理，得 ，化简得. 所以，或. 当时，，，符合题意； 当时，，所以，，符合题意. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·天津河东·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由正弦定理得，结合已知条件即可求； （2）根据余弦定理即可求解； （3）由（2）可得，利用二倍角公式可求的正、余弦值，再利用和差的正弦公式计算即可． (1) 小问详解： 由及正弦定理得，，                  所以． 因为，所以． (2) 小问详解： 由余弦定理，             可得，                                  所以． (3) 小问详解： 由（2）可得，                                                所以，．              所以 ． 3．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用辅助角公式化简即可。 （2）余弦定理求出的值即可. (1) 小问详解： 由题可知， 所以， 即， 又因为 所以. (2) 小问详解： 由余弦定理且，， 得. 所以. 4．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，即可求得的值； （2）结合已知与余弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式可求的面积. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； (2) 小问详解： 因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 5．（高三上·天津五区重点校·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. (1) 小问详解： 因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入① 式有. 又因为三角形内角，因此，所以. (2) 小问详解： 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； (3) 小问详解： 由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 6．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. (1) 小问详解： 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； (2) 小问详解： 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； (3) 小问详解： 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 7．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）在中，角所对的边分别为．已知，． （1）求的值； （2）当时， （i）求的值和的面积； （ii）求的值． 【答案】（1）     （2）（i），；（ii）      【分析】 （1）利用正弦定理角化边可直接求得； （2）（i）利用余弦定理可构造方程求得的值，结合三角形面积公式可求得； （ii）利用余弦定理可得，由同角三角函数关系可得，结合二倍角公式、两角和差正弦公式可求得结果. (1) 小问详解： 由正弦定理得：，又，. (2) 小问详解： （i）由余弦定理得：， ，即，解得：（舍）或， ，， . （ii）由余弦定理得：， ，， ，， . 8．（25-26学年·天津河北区·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据余弦定理即可求解， （2）根据同角三角函数关系，结合正弦定理和面积公式即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，，，由余弦定理得，，解得. (2) 小问详解： 因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积. (3) 小问详解： 因为，所以是锐角，，， ，， 所以. 9．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）在中，角所对的边分别为，且． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长； （2）根据已知得，再由正弦定理求； （3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求. (1) 小问详解： 由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； (2) 小问详解： 由且，则， 由正弦定理，则； (3) 小问详解： 由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 10．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求边上的高； （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）根据题意结合面积关系可得，进而可求高； （3）先利用倍角公式求，再结合两角和差公式运算求解. (1) 小问详解： 因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以. (2) 小问详解： 因为，可得， 联立方程 ，解得 或 （舍去）， 由（1）可得，则，即， 设边上的高为， 则，即，解得， 所以边上的高为. (3) 小问详解： 因为，且，则， 可得， 所以. 11．（25-26学年高三上·天津河西·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用余弦定理及基本不等式可求得，从而可求解. 【详解】 由题知，，由余弦定理得， 即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的周长取最大值为，此时的面积为. 故答案为：. 12．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，,满足． （1）求角的大小； （2）设，. （i）求边的值； （ii）求的值． 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． (1) 小问详解： 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； (2) 小问详解： 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 所以. 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求：的值． （2）求：的值． （3）若，求：的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理以及余弦定理，等量代换及整式化简，可得答案； （2）根据二倍角公式，结合差角公式，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，可得答案. (1) 小问详解： ，由正弦定理得： 将这入上式得，由余弦定理可得. (2) 小问详解： ，由，则， 又，即，，又， 又. (3) 小问详解： ，由知：，由（2）可知， 又， 的面积为. 14．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在中，角所对的边分别为，已知向量，，且． （1）求角： （2）若． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用向量数量积的坐标表示以及正弦定理可得； （2）（i）由余弦定理直接计算可得结果； （ii）利用正弦定理以及三角恒等变换代入计算即可. (1) 小问详解： 已知，且． 可得，由正弦定理， 得，显然，得， 由，故； (2) 小问详解： （i）由（1）知，且，由余弦定理， 则得，即． 解得（舍去）； （ii）由正弦定理，且，得， 由，得为锐角，故， 故，且； 故． 15．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求; （2）若,求; （3）若求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）．      【分析】 （1）根据正弦定理边角互化，即可得求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. (1) 小问详解： 由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． (2) 小问详解： 由余弦定理有， 解得或（舍），故． (3) 小问详解： 由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以． 16．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求，； （3）若，求. 【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可. （2）通过余弦定理得到，进而结合求解即可. （3）通过正弦定理得到，再判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. (1) 小问详解： 由, 根据正弦定理，得， 则， 在中，，则， 又，故. (2) 小问详解： 由， 根据余弦定理可得，整理可得， 又，解得，或，（舍去）. (3) 小问详解： 由，根据正弦定理，得， 则， 又，则，故为锐角， 所以， 则， ， 所以. 17．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）在中，角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果； （2）根据条件，利用同角三角函数间的关系，得到，再利用正弦定理即可求出结果； （3）法一，利用二倍角公式，求出，利用同角三角函数间的关系求出，即可求出结果；法二，利用，得到，再计算出即可求出结果. (1) 小问详解： 因为，，， 由余弦定理可得，整理得， 解得. (2) 小问详解： 因为，，所以， 由正弦定理，可得， 解得. (3) 小问详解： （法一）由（2）得，， ， ， 所以， 所以． （法二）由余弦定理可得， ∴， ∴ . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $