专题06 数列（期中真题汇编，天津专用）高三数学上学期

专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（25-26学年·天津河北区·期中）设为等差数列的前项和，若，，则 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果. 2．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）记等差数列的前项和为，则（       ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【分析】 利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 3．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知等差数列的前项和为.若，则（       ） A. －12 B. －13 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等差数列的求和公式即可得到方程组，解出，最后利用等差数列前项和公式即可得到答案. 【详解】 设该等差数列的公差为， 则由题意得 ，解得 ， 则. 故选：C. 4．（高三上·天津五区重点校·期中）等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（     ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】D 【分析】 先由数列各项都为正数，得，再由等差数列中任意两项的关系及基本不等式可得. 【详解】 因等差数列中，，设公差为，则，， 因各项都为正数，所以，， 得，当，所以. . 当且仅当，符合各项为正数. 故选：D. 5．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）在数列中，，，则等于（     ） A. 630 B. 648 C. 660 D. 675 【答案】C 【分析】 根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】 依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列， 则，当时，，当时，， 所以 . 故选：C 6．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用等比中项的性质求出的关系，结合等差数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】 由题意知等差数列的公差，，，构成等比数列， 则，即， 即得，则， 故， 故答案为： 7．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知等差数列中，为其前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）     （2） 由（1）可得， 故.      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求与，进而可得数列的通项公式. （2）利用裂项相消法求和. (1) 小问详解： 由题意等差数列中，，，设公差为， 可得 ，解得 ， 故. (2) 小问详解： 略 考点02 等比数列 1．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（       ） A. 127 B. 255 C. 31 D. 63 【答案】D 【分析】 原式变形得，即，结合等比数列通项公式求解即可 【详解】 由及，得，又，所以数列是等比数列，于是前6项和为， 故选：D. 2．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）记为等比数列的前项和，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】 根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 故． 故选：C． 3．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知等比数列的前项和为，记，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 先利用求出，再化简即可求出最值. 【详解】 ，， 则， 又符合上式，故， 则， 当或时，取最小值， 故的最小值为. 故答案为： 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）数列满足，则（       ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据给定的递推公式，依次计算即得. 【详解】 数列中， ， . 故选：B 2．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 计算等差数列的基本量，进而得，数列记为，则为等比数列，即可得，由等差数列通项公式即可求解. 【详解】 依题意，即，解得，故． 新数列，记为，则为等比数列， 所以公比， 所以， 又因为， 所以． 故选：B 3．（25-26学年高三上·天津河西·期中）记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（     ） A.  B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 【答案】B 【分析】 利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断. 【详解】 由，时，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：B. 4．（高三上·天津五区重点校·期中）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（     ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】B 【分析】 由题意，根据等差、等比数列前n项求和公式依次求出每组的最后一个数，归纳出，结合即可求解. 【详解】 由题记第一组数为:1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，； 第二组数为:1，2，个数为2，和为， 最后一个数为第项，； 第三组数为:1，2，4，个数为3，和为， 最后一个数为第项，； 第四组数为:1，2，4，8，个数为4，和为， 最后一个数为第项，； ； 第组数为:1，2，4，8，，，个数为，和为， 最后一个数为第项， ， 因式所以 由可知，从13开始计数， 因为 ， ， 第9组的数为:1,2,4,8,16,32,64,128,256， 即 所以要满足，则，， 故n的个数为个. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知数列的前项和为，若，，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据数列的递推公式，由求出、，进而求出. 【详解】 已知，所以； 因为，所以；  因为，所以. 故答案为： 6．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知数列满足，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求； （2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案. (1) 小问详解： 对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. (2) 小问详解： 新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 7．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）设是等差数列，若，，则　　　　　　　；若，则数列的前项和　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求. 【详解】由题意得： . 因为， 所以，，， 所以. 故答案为：；. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 8．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求等差数列的公差，进而得到数列的通项公式；构造数列，判断其为等比数列，利用等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法可求数列奇数项的项和，利用等比数列的求和公式可求数列偶数项的项和，再相加即可. (1) 小问详解： 对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. (2) 小问详解： 因为. ， 所以 . 9．（高三上·天津五区重点校·期中）等比数列中，，则 　　　　　　　　　　　 【答案】 【详解】等比数列中，由可得．等比数列，构成以 为首项， 为公比的等比数列，所以． 【点睛】若数列为等比数列，则构成等比数列． 10．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和为， （3）设，求数列的前项和为 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）应用等比数列列式化简结合等差数列通项公式基本量运算求解； （2）代入计算应用裂项相消计算求解； （3）两次应用错位相减法计算求解. (1) 小问详解： 由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，，              ，， (2) 小问详解： ，                      (3) 小问详解： 两式相减得        令                      11．（25-26学年高三上·天津河西·期中）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）数列{bn}的前和即，所以， 因此{}是以为首项，公比为2的等比数列. 【分析】 （I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式；（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求，要证数列是等比数列⇔即可 【详解】 （I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d 依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5 所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d 依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去） 故{bn}的第3项为5，公比为2 由b3=b1•22，即5=4b1，解得 所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，通项公式为 （II）略 12．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）设出公比，根据等差中项得到方程，求出公比，求出通项公式； （2）分组求和，利用错位相减法和裂项相消法分别求出奇数项和偶数项之和，相加即可. (1) 小问详解： 设公比为，， 即，故， 故，所以，解得， 又，所以； (2) 小问详解： ， 当时，， 故 ， 设① ，则② ， 式子① -② 得 ， 故， 所以 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知数列满足，，则　　　　　. 【答案】 【分析】 分和两种情况，根据题意结合前n项和与通项之间的关系运算求解. 【详解】 因为， 若，则； 若，则， 两式相减可得； 且不符合，所以 ，. 故答案为： . 14．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1） 由题意有：， 所以数列是公比的等比数列， 所以， 即， 设等差数列的公差为， 由 ，解得， 所以；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用等比数列的定义即可得证，进而求出，设等差数列的公差为，求出，进而求得； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）由（1）有，利用错位相减法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）有， 所以； (3) 小问详解： 由（1）知， 所以，① ② ①-② 得 ， 所以. 15．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）正项数列满足，则　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由数列的通项与求和公式的关系求得，然后求得，最后利用裂项相消法求和化简即可求解. 【详解】 正项数列满足， 可得， 两式相减得，可得， 当时，，适合上式. 所以，所以， 所以 . 故答案为： 16．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，． （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和： （3）设数列满足其中，求的前项和． 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式，求解出等差数列公差与等比数列公比，进而求得结果即可； （2）直接利用错位相减法进行求和即可； （3）首先求出数列的通项公式，然后分为奇数项和偶数项分别根据等差数列和等比数列前项和进行求解即可. (1) 小问详解： 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由． 可得：， 解得：或（负值舍去） 则，； (2) 小问详解： 记数列的前项和为，则 ， 两式相减可得， 化为； (3) 小问详解： ， 则数列的前项和 ． 17．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在数列中，，且数列满足． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）证明：中的任意三项均不能构成等比数列； （3）求． 【答案】（1） 数列中，，且， 则， 又，所以是首项为1，公差为的等差数列，故     （2） 设数列中的任意三项为，， 则．假设成等比数列， 则， , 可得 ， 得，所以，与矛盾． 所以中的任意三项均不能构成等比数列．     （3）      【分析】 （1）根据等差数列定义以及递推公式证明结论即可， （2）利用反证法假设成等比数列，得出矛盾得出结论； （3）由通项公式利用裂项相消求和计算可得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以． 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）正项等差数列中，，则的最小值为（     ） A. 9 B.  C.  D. 6 【答案】B 【分析】 结合等差数列性质与基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】 由等差数列性质可得，又、， 则 ， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）证明：. 【答案】（1）；     （2）；     （3） 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证.      【分析】 （1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. (1) 小问详解： 当时，； 当时，； 又， 所以 (2) 小问详解： 因为，，所以. 所以. 所以① ， 所以② ， 所以①② 得 ， 所以 (3) 小问详解： 略 3．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，数列的前项和. （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前n项和. （i）求； （ii）若对于，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1），；     （2）（i）；（ⅱ）.      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程，即可得到数列的通项公式，利用与的关系即可求出的通项公式； （2）（i）根据题意可得，利用错位相减即可求出； （ii）根据题意可得，利用裂项相消即可求出，根据单调性求出的范围即可求出实数的最小值. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由于，且，，成等比数列， 所以 ，解得： ，或 （舍去）， 所以数列的通项公式为：， 由于数列的前项和， 当时，，解得：； 当时，① ， ② ， ①② 可得：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列 则数列的通项公式为：； (2) 小问详解： （i）由于 所以 则 （ⅱ）由于 则， 随着增大而增大，由于，， 当时，，当时，， 即，则 所以最小值为. 4．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到仅有. (1) 小问详解： 设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. (3) 小问详解： 由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去. 综上所述，满足题意的正整数仅有. 5．（高三上·天津五区重点校·期中）已知等差数列满足，，其中为的前项和，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）数列满足，，数列中第，，，…，，…项构成新的等比数列，求. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据等差数列的定义与求和公式计算基本量可得，利用等差中项的性质及等比数列的定义计算可得； （2）先错位相减法计算，再裂项相消法计算，两者相加即可； （3）设是等比数列，根据条件先计算其通项公式，再计算求和即可. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，，， ，，，. 设等比数列公比为（其中）， ，或 由于数列为正项等比数列，则，所以 (2) 小问详解： 设， 则， 两式相减，得 ， 则有， 由于 则 所以 (3) 小问详解： 设是等比数列，且，， 所以数列首项为3，公比为3，则 则，， 6．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知是等差数列，是递增的等比数列.，，. （1）求数列和的通项公式及； （2）若数列满足，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，     （2）（ⅰ）证明：因为，， 所以， 即，又 所以是以为首项，公比为的等比数列. （ⅱ）      【分析】 （1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、公比即可得解通项公式，再由等差数列求和公式求； （2）（ⅰ）根据条件及，利用等比数列的定义证明为等比数列； （ⅱ）求出，再由等比数列的求和公式化简得出，分奇数、偶数求出数列的最大值即可得解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则 ，解得或（由等比数列递增知不符合题意，舍去）， 所以， 所以，. . (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，所以， 故， 所以， 当时，单调递减，所以时有最大值， 当时，单调递增，且， 因为，所以，即的最大值. 因为恒成立，所以. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点之一，利用等比数列的求和公式求和的运算得出， 关键点之二，利用分类讨论的思想，分别求出数列中的偶数项、奇数项的最值得出的最大值. 7．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）设（），求数列的前项和； （3）设（），数列的前项积为，求的最大值. 【答案】（1），.     （2）     （3）      【分析】 （1）公式法求出通项公式； （2）裂项相消法求数列的奇数项的和，错位相减法求偶数项的和，两部分的和即为所求； （3）作差法判断的单调性，再求的最大值. (1) 小问详解： 设的公差为，的公比为（）， ，，又，， ， (2) 小问详解： 当为奇数时， ， 数列的前项中所有奇数项之和 ， 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ① －② 得 . . . (3) 小问详解： ，， 当和时，； 当时，，即 又，，，，， ，，当时，， 的最大值为. 考点05 数列新定义 1．（高三上·天津五区重点校·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. （1）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； （2）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 【答案】（1），是“数列”     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）利用与的关系求出的通项公式，再根据定义判断是否为“数列”； （2）（i）首先设数列的公比为，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到或再分类讨论去验证即可得到答案； （ii）发现规律当时，，，因此，再用错位相减法求和即可. (1) 小问详解： 由，得① ，则② ， ② －① 得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 由于，所以是“数列” (2) 小问详解： （ⅰ）设数列的公比为，则. 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即. 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即. 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，. 当，时，，设. ， 又， 所以为递增数列，因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”. 当，时，，则. 因为，所以数列不是“数列”. 综上， （ⅱ），，，，…，，， 当时，，， 所以 ， 记， ， 两式相减得， 化简得，所以. 2．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知数列是各项都为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）对于数列满足：当时，. （i）若，求； （ii）若，证明：对于任意正整数. 【答案】（1）     （2）（i）； （ii）设， 则. 若是偶数，则，则， 因为，于是. 所以. 若是奇数，则，设是中第一个为0的数， 则，， 所以， . 因为，所以即. 综上所述，对于任意正整数，.      【分析】 （1）设出公比，根据条件求得公比，进而写出通项公式； （2）（i）当时，，然后利用错位相减求和法计算；（ii）分为偶数和奇数分别研究的关系，然后证明. 【详解】 （1）因为数列是各项都为正数的等比数列， 所以设公比为，因为， 所以，即， 所以或，因为，所以， 因此. （2）（i）当时，， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（25-26学年·天津河北区·期中）设为等差数列的前项和，若，，则 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）记等差数列的前项和为，则（       ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 3．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知等差数列的前项和为.若，则（       ） A. －12 B. －13 C.  D.  4．（高三上·天津五区重点校·期中）等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（     ） A.  B. 5 C.  D.  5．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）在数列中，，，则等于（     ） A. 630 B. 648 C. 660 D. 675 6．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知等差数列中，为其前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 考点02 等比数列 1．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（       ） A. 127 B. 255 C. 31 D. 63 2．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）记为等比数列的前项和，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知等比数列的前项和为，记，则的最小值为　　　　　. 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）数列满足，则（       ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 2．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·天津河西·期中）记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（     ） A.  B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 4．（高三上·天津五区重点校·期中）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（     ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 5．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知数列的前项和为，若，，则　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知数列满足，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 7．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）设是等差数列，若，，则　　　　　　　；若，则数列的前项和　　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 9．（高三上·天津五区重点校·期中）等比数列中，，则 　　　　　　　　　　　 10．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和为， （3）设，求数列的前项和为 11．（25-26学年高三上·天津河西·期中）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列． 12．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知数列满足，，则　　　　　. 14．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. （3）若，求数列的前项和. 15．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）正项数列满足，则　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，． （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和： （3）设数列满足其中，求的前项和． 17．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在数列中，，且数列满足． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）证明：中的任意三项均不能构成等比数列； （3）求． 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）正项等差数列中，，则的最小值为（     ） A. 9 B.  C.  D. 6 2．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）证明：. 3．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，数列的前项和. （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前n项和. （i）求； （ii）若对于，恒成立，求实数的最小值. 4．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 5．（高三上·天津五区重点校·期中）已知等差数列满足，，其中为的前项和，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）数列满足，，数列中第，，，…，，…项构成新的等比数列，求. 6．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知是等差数列，是递增的等比数列.，，. （1）求数列和的通项公式及； （2）若数列满足，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围. 7．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）设（），求数列的前项和； （3）设（），数列的前项积为，求的最大值. 考点05 数列新定义 1．（高三上·天津五区重点校·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. （1）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； （2）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 2．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知数列是各项都为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）对于数列满足：当时，. （i）若，求； （ii）若，证明：对于任意正整数. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 6．【答案】 【分析】 利用等比中项的性质求出的关系，结合等差数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】 由题意知等差数列的公差，，，构成等比数列， 则，即， 即得，则， 故， 故答案为： 7．【答案】（1）     （2） 由（1）可得， 故.      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求与，进而可得数列的通项公式. （2）利用裂项相消法求和. (1) 小问详解： 由题意等差数列中，，，设公差为， 可得 ，解得 ， 故. (2) 小问详解： 略 考点02 等比数列 1．D 2．C 3．【答案】 【分析】 先利用求出，再化简即可求出最值. 【详解】 ，， 则， 又符合上式，故， 则， 当或时，取最小值， 故的最小值为. 故答案为： 考点03 数列的通项公式与求和 1．B 2．B 3．B 4．B 5．【答案】 【分析】 根据数列的递推公式，由求出、，进而求出. 【详解】 已知，所以； 因为，所以；  因为，所以. 故答案为： 6．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求； （2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案. (1) 小问详解： 对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. (2) 小问详解： 新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 7．【答案】①     ② 【分析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求. 【详解】由题意得： . 因为， 所以，，， 所以. 故答案为：；. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 8．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求等差数列的公差，进而得到数列的通项公式；构造数列，判断其为等比数列，利用等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法可求数列奇数项的项和，利用等比数列的求和公式可求数列偶数项的项和，再相加即可. (1) 小问详解： 对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. (2) 小问详解： 因为. ， 所以 . 9．【答案】 【详解】等比数列中，由可得．等比数列，构成以 为首项， 为公比的等比数列，所以． 【点睛】若数列为等比数列，则构成等比数列． 10．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）应用等比数列列式化简结合等差数列通项公式基本量运算求解； （2）代入计算应用裂项相消计算求解； （3）两次应用错位相减法计算求解. (1) 小问详解： 由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，，              ，， (2) 小问详解： ，                      (3) 小问详解： 两式相减得        令                      11．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）数列{bn}的前和即，所以， 因此{}是以为首项，公比为2的等比数列. 【分析】 （I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式；（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求，要证数列是等比数列⇔即可 【详解】 （I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d 依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5 所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d 依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去） 故{bn}的第3项为5，公比为2 由b3=b1•22，即5=4b1，解得 所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，通项公式为 （II）略 12．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）设出公比，根据等差中项得到方程，求出公比，求出通项公式； （2）分组求和，利用错位相减法和裂项相消法分别求出奇数项和偶数项之和，相加即可. (1) 小问详解： 设公比为，， 即，故， 故，所以，解得， 又，所以； (2) 小问详解： ， 当时，， 故 ， 设① ，则② ， 式子① -② 得 ， 故， 所以 13．【答案】 【分析】 分和两种情况，根据题意结合前n项和与通项之间的关系运算求解. 【详解】 因为， 若，则； 若，则， 两式相减可得； 且不符合，所以 ，. 故答案为： . 14．【答案】（1） 由题意有：， 所以数列是公比的等比数列， 所以， 即， 设等差数列的公差为， 由 ，解得， 所以；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用等比数列的定义即可得证，进而求出，设等差数列的公差为，求出，进而求得； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）由（1）有，利用错位相减法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）有， 所以； (3) 小问详解： 由（1）知， 所以，① ② ①-② 得 ， 所以. 15．【答案】 【分析】 由数列的通项与求和公式的关系求得，然后求得，最后利用裂项相消法求和化简即可求解. 【详解】 正项数列满足， 可得， 两式相减得，可得， 当时，，适合上式. 所以，所以， 所以 . 故答案为： 16．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式，求解出等差数列公差与等比数列公比，进而求得结果即可； （2）直接利用错位相减法进行求和即可； （3）首先求出数列的通项公式，然后分为奇数项和偶数项分别根据等差数列和等比数列前项和进行求解即可. (1) 小问详解： 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由． 可得：， 解得：或（负值舍去） 则，； (2) 小问详解： 记数列的前项和为，则 ， 两式相减可得， 化为； (3) 小问详解： ， 则数列的前项和 ． 17．【答案】（1） 数列中，，且， 则， 又，所以是首项为1，公差为的等差数列，故     （2） 设数列中的任意三项为，， 则．假设成等比数列， 则， , 可得 ， 得，所以，与矛盾． 所以中的任意三项均不能构成等比数列．     （3）      【分析】 （1）根据等差数列定义以及递推公式证明结论即可， （2）利用反证法假设成等比数列，得出矛盾得出结论； （3）由通项公式利用裂项相消求和计算可得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以． 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．B 2．【答案】（1）；     （2）；     （3） 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证.      【分析】 （1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. (1) 小问详解： 当时，； 当时，； 又， 所以 (2) 小问详解： 因为，，所以. 所以. 所以① ， 所以② ， 所以①② 得 ， 所以 (3) 小问详解： 略 3．【答案】（1），；     （2）（i）；（ⅱ）.      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程，即可得到数列的通项公式，利用与的关系即可求出的通项公式； （2）（i）根据题意可得，利用错位相减即可求出； （ii）根据题意可得，利用裂项相消即可求出，根据单调性求出的范围即可求出实数的最小值. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由于，且，，成等比数列， 所以 ，解得： ，或 （舍去）， 所以数列的通项公式为：， 由于数列的前项和， 当时，，解得：； 当时，① ， ② ， ①② 可得：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列 则数列的通项公式为：； (2) 小问详解： （i）由于 所以 则 （ⅱ）由于 则， 随着增大而增大，由于，， 当时，，当时，， 即，则 所以最小值为. 4．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到仅有. (1) 小问详解： 设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. (3) 小问详解： 由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去. 综上所述，满足题意的正整数仅有. 5．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据等差数列的定义与求和公式计算基本量可得，利用等差中项的性质及等比数列的定义计算可得； （2）先错位相减法计算，再裂项相消法计算，两者相加即可； （3）设是等比数列，根据条件先计算其通项公式，再计算求和即可. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，，， ，，，. 设等比数列公比为（其中）， ，或 由于数列为正项等比数列，则，所以 (2) 小问详解： 设， 则， 两式相减，得 ， 则有， 由于 则 所以 (3) 小问详解： 设是等比数列，且，， 所以数列首项为3，公比为3，则 则，， 6．【答案】（1），，     （2）（ⅰ）证明：因为，， 所以， 即，又 所以是以为首项，公比为的等比数列. （ⅱ）      【分析】 （1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、公比即可得解通项公式，再由等差数列求和公式求； （2）（ⅰ）根据条件及，利用等比数列的定义证明为等比数列； （ⅱ）求出，再由等比数列的求和公式化简得出，分奇数、偶数求出数列的最大值即可得解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则 ，解得或（由等比数列递增知不符合题意，舍去）， 所以， 所以，. . (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，所以， 故， 所以， 当时，单调递减，所以时有最大值， 当时，单调递增，且， 因为，所以，即的最大值. 因为恒成立，所以. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点之一，利用等比数列的求和公式求和的运算得出， 关键点之二，利用分类讨论的思想，分别求出数列中的偶数项、奇数项的最值得出的最大值. 7．【答案】（1），.     （2）     （3）      【分析】 （1）公式法求出通项公式； （2）裂项相消法求数列的奇数项的和，错位相减法求偶数项的和，两部分的和即为所求； （3）作差法判断的单调性，再求的最大值. (1) 小问详解： 设的公差为，的公比为（）， ，，又，， ， (2) 小问详解： 当为奇数时， ， 数列的前项中所有奇数项之和 ， 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ① －② 得 . . . (3) 小问详解： ，， 当和时，； 当时，，即 又，，，，， ，，当时，， 的最大值为. 考点05 数列新定义 1．【答案】（1），是“数列”     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）利用与的关系求出的通项公式，再根据定义判断是否为“数列”； （2）（i）首先设数列的公比为，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到或再分类讨论去验证即可得到答案； （ii）发现规律当时，，，因此，再用错位相减法求和即可. (1) 小问详解： 由，得① ，则② ， ② －① 得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 由于，所以是“数列” (2) 小问详解： （ⅰ）设数列的公比为，则. 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即. 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即. 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，. 当，时，，设. ， 又， 所以为递增数列，因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”. 当，时，，则. 因为，所以数列不是“数列”. 综上， （ⅱ），，，，…，，， 当时，，， 所以 ， 记， ， 两式相减得， 化简得，所以. 2．【答案】（1）     （2）（i）； （ii）设， 则. 若是偶数，则，则， 因为，于是. 所以. 若是奇数，则，设是中第一个为0的数， 则，， 所以， . 因为，所以即. 综上所述，对于任意正整数，.      【分析】 （1）设出公比，根据条件求得公比，进而写出通项公式； （2）（i）当时，，然后利用错位相减求和法计算；（ii）分为偶数和奇数分别研究的关系，然后证明. 【详解】 （1）因为数列是各项都为正数的等比数列， 所以设公比为，因为， 所以，即， 所以或，因为，所以， 因此. （2）（i）当时，， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $