专题03 导数及其应用（期中真题汇编，天津专用）高三数学上学期

专题03 导数及其应用 2大高频考点概览 考点01 导数在研究函数中的应用 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数在研究函数中的应用 1．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）若在上有两个极值点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求导，将问题转化为在上有两个不相等实数根，换元，令，进而根据二次函数的图像以及的图像交点个数求解. 【详解】 ． 要使在上有两个极值点，则在上有两个不相等实数根， 令，由，则. 令; 故，且图象如下： 当时,有两个解，则在上有四个不相等实数根，不合题意； 当时，只有一个变号零点，不合题意； 当时，此时无实数根，不符合题意， 当，函数在时与只有一个交点，对应的有两个；对应的值有1个，故不为0，所以． 故选：B． 2．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A. （，π） B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意构造函数，进而根据导数研究函数单调性，利用单调性求解不等式即可. 【详解】 解：令，因为当时，有， 所以，当时，， 所以，函数在(内为单调递减函数， 所以，当时，关于的不等式可化为，即， 所以； 当时，，则关于的不等式可化为，即 因为函数为奇函数，故，也即 所以，即， 所以，． 综上，原不等式的解集. 故选：D． 3．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小. 【详解】 设,则, 当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增, 故当时,函数取得最大值, 因为,, , 当时,,函数单调递减,可得, 即. 故选:C 4．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论． 【详解】 由题意方程（）有两个实根， 即在上有两个实根， 设，则， 当时，，单调递减，时，，单调递增， ，又，而时，， ∴当时，的图象与直线在上有两个交点， 即原函数有两个零点． 故选：C 5．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由推出，将不等式转化为，利用单调性可得答案. 【详解】 令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故关于对称， 因为等价于，等价于， 所以，即， 故，即不等式的解集是. 6．（高三上·天津五区重点校·期中）已知，，若成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】 由，得， 即为偶函数， 当时，，且， 即在单调递增，在单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 7．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）若在上不单调，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】 由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求导，根据导函数得到在上的单调性和最值，根据函数有6个零点得到和时分别有4和2个零点，然后列不等式求解即可. 【详解】 解：当，， 由可得，由可得， 故可得在单调递减，在单调递增， 故在有最小值为， 又因为当时，， 由函数有6个零点，故可得两段函数分别存在4和2个零点. 若存在四个零点，此时需满足： ， 若存在实数，使得函数有6个零点，此时有两种情况： ①： ； ②： ， 综上：. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：函数零点个数问题： ①转化为方程的根的个数问题； ②转化为函数图象与轴交点个数问题； ③转化为两个函数图象交点个数问题. 9．（25-26学年·天津河北区·期中）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是　　　　　　　　　　 【答案】 【详解】 ，分类讨论： ① 当时，， 函数的最大值，舍去； ② 当时，，此时命题成立； ③ 当时，， 则： 或 ，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 10．（25-26学年·天津河北区·期中）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增.     （2）      【分析】 （1）先求的导数，直接根据的范围，讨论导函数的正负，即可求解函数单调性； （2）讨论的范围，利用函数的单调性进行最大值和最小值的判断，进而求解的取值范围. (1) 小问详解： 由，可得， 令，得或. 因为，则当时，；当时，. 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. (2) 小问详解： 当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为，最大值为或. 所以， 所以 当时，设，，单调递减， 因为，，所以的取值范围是. 当时，单调递增，所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 11．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，则方程有6解等价有6解,判断的单调性得出的根的分布情况，得出方程的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围. 【详解】 ， 令 ，则 ， 当或时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 又越来越小时，g（x）趋近0，g（2）=0，当x越来越大时，g（x）也越来越大， 作出的函数图像如图所示， 令，由图像可知，当时，方程有3解， 当或时，方程有1解， 当时，方程有2解，当时，方程无解， 方程有6个解， 即有6个解， 关于的方程在有2个解， ，解得. 故答案为：. 【点睛】 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图像的交点个数问题，画出两个函数的图像，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图像的交点个数问题 . 12．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知函数 （1）当时， 求曲线处的切线方程; （2）求的单调区间; （3）设函数 ，求证: 当时，在上存在极小值. 【答案】（1）     （2） 当时，的单调递增区间是，误减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；     （3） 由得：， 因为，由（2）得：在递增，又因为， 取，显然，， ∴存在满足， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， ∴时，在存在极小值.      【分析】 （1）求导，确定切线斜率即可求解； （2）求导，通过讨论和，确定导数符号，即可求解； （3）由，结合（2）确定在上的单调性，即可求证. (1) 小问详解： 当时， ，则，又， 所以曲线处的切线方程为， 即. (2) 小问详解： 解：由得： ①时，，∴在递增； ②时，若时，，若，则，故在递增，在递减； 综上：当时，的单调递增区间是，误减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是； (3) 小问详解： 略 13．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】（1）     （2）或.     （3）      【分析】 （1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. (1) 小问详解： ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. (2) 小问详解： 当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. (3) 小问详解： 由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26学年高三上·天津河东·期中）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 因为，所以，即求直线的纵截距的最小值，设，利用导数证明在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解. 【详解】 因为，所以， 所以即求直线的纵截距的最小值， 设，所以， 所以在单调递增，所以在的图象上凹， 所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小， 令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为 所以的直线方程为， 当时，， 即直线与相切时， 直线与无交点， 设，所以， 所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率， 所以可令直线在处与相交，在处与相交， 所以直线方程为， 所以截距为. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于，，即求直线的纵截距的最小值的分析. 2．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知函数. （1）求曲线在点处的切线斜率； （2）当时，求证：． 【答案】（1）1     （2）证明：令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，．      【分析】 （1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. (1) 小问详解： 由，可得， 所以切线斜率为． (2) 小问详解： 略 3．（25-26学年·天津河北区·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求的定义域，再求、、，由直线方程的点斜式可得出所求切线的方程； （2）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解. (1) 小问详解： 的定义域为. 当时，，则， 所以，， 曲线在处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 当时，等价于. 设， 则，且. （i）当，时，则，所以， 故，则在上单调递增，因此，符合题意； （ii）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】 求函数的单调区间的方法： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 4．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知函数． （1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围； （2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. (1) 小问详解： 当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需，           解得． (2) 小问详解： 当时，，的图象与轴没有交点；                当时，令，解得或． 当时， ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以；                                 当时， ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以；                                              综上， 0 2 0 0 极大值 极小值 0 2 0 0 极小值 极大值 (3) 小问详解： 由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，，      又因为在上单调递增， 所以的值域为，              依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即 ，              解得的取值范围是． 5．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知函数. （1）当 时，求函数在区间的最值； （2）若，求 的取值范围； （3）当 时，求证： ． 【答案】（1）最大值为，最小值为0     （2）      （3） 令， ， 令， ， 当时，， 所以，单调递增，， 即，单调递减，， 当时， ，又，所以， 即，单调递增，， 综上，当 时，．      【分析】 （1）求导，根据导数的符号确定单调性，得到最值； （2）令，求导，分，，三种情况讨论，利用导数确定参数的取值范围； （3）令，求导再令，继续求导，利用导数确定单调性，根据最值证明恒成立即可． (1) 小问详解： 当 时，，， ，，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，又， 所以函数在区间的最大值为，最小值为0； (2) 小问详解： 令， ， 当时，， ， 在单调递增，，即成立； 当时，， 若，即时，，， ， 在上单调递减， ， 又，所以，即， 则， 在单调递增，， 若，即，存在，使得时，， ，所以不满足成立， 综上，的取值范围为； (3) 小问详解： 略 6．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数（）. （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）     （2）      【分析】 （1）（ⅰ）得到函数后求导数，得到切线斜率，然后由点斜式求得切线方程； （ⅱ）整理不等式得，然后令并求导数，利用导数求得函数的单调区间，即可求出函数的最小值，然后得到实数的取值范围； （2）由及整理得到，令，构造函数并求导数，由题意得函数在区间上有零点，则函数在上有一个实根，从而得到且有解，建立不等式组解得实数的取值范围，验证后得结论. (1) 小问详解： （ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即 （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以， (2) 小问详解： 设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，， 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，， 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为 7．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1）     （2）     （3） 因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕.      【分析】 （1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. (1) 小问详解： 当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. (3) 小问详解： 略 8．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若正实数，，，满足，求证：． 【答案】（1）     （2）      （3） 由（2）可知，当且时，， 故， 当时，，， 令，则， 故在上单调递增， 设，其中，且， 则，因此在上单调递增， 从而， 则， 进而可知， 故.      【分析】 （1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可； （2）当时，设，求导，利用导数分析函数的单调性，然后求解即可； （3）根据题意得出当且时， ，又当时，在单调递增. 设，其中，且，然后证明即可. (1) 小问详解： 当时，，即， 而，则， 故曲线在点处的切线方程为. (2) 小问详解： 由，则， 设，， 则， 设，， 则， 若，则， 则函数在上单调递增，则，即， 因此函数在上单调递增， 故，符合题意； 若，且，则， 令，即， 此时，在上单调递增，在上单调递减， 则，而， 设为的零点，注意到为增函数， 当时，此时，故， 从而在上单调递增，故，符合题意； 当时，则存在，使得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得， 此时，即，因此， 综上所述，. (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于，求m的取值范围； （3）讨论的零点个数． 【答案】（1）；     （2）；     （3） ，无零点； ，有1个零点； ，有2个零点.      【分析】 （1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集； （3）由，令，对其求导，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数. (1) 小问详解： 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：. (2) 小问详解： 函数的定义域为，且， 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不符合； 当时， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以可得 (3) 小问详解： ． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增，最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值， 又当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， ① 若，即，无零点，故无零点； ② 若，即，有1个零点，故有1个零点； ③ 若，即，有2个零点，故有2个零点. 10．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知函数， （1）时，求在处的切线方程； （2）若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，证明：. 【答案】（1）     （2）     （3） 因为是函数在区间上的极值点， 由（2）可知，故，即， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，， 所以函数在没有零点，在上存在唯一零点， 则，即. 因为 ， 令，， 所以， 即函数在上单调递增， 因为，所以，即， 所以，而，， 且在上单调递增，所以.      【分析】 （1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，分析函数在上的单调性，分析可知在上有唯一的变号零点，由此可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）由（2）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，结合极值点的定义可得出，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，由结合函数在上的单调性可证得结论成立. (1) 小问详解： 当时，， 则，所以切线斜率， 因为，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即 (2) 小问详解： 因为， 设，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 因为，且函数在上有唯一的极值点， 即在上有唯一的变号零点， 所以，即，故实数的取值范围是. (3) 小问详解： 略 11．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知函数，曲线的一条切线的方程为． （1）求实数的值； （2）设，求函数的最小值； （3）若对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出切点坐标，求出导数并利用导数的几何意义求出值. （2）由（1）求出，再利用导数求出最小值. （3）由（2）中信息，化简得，进而求出的最大值. (1) 小问详解： 设直线与曲线相切的切点为， 由函数求导得， 则， 即，又， 因此. (2) 小问详解： 由（1）知，，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值为． (3) 小问详解： ，由（2）知， 因此，依题意，， 解得，所以的最大值为. 12．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，，证明：. 【答案】（1）     （2） 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增.     （3） 由（2）知，当时，有两个极值点， 其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以， 要证，只要证， 由， 代入可得，原式， 令，设， 所以，即， 则在上单调递增，所以， 则，即， 所以原不等式成立.      【分析】 （1）当时，，利用导数求出处的斜率，从而可求切线方程； （2）由，分情况讨论，，再结合导数即可求解； （3）设是的极大值点，是的极小值点，要证要证，只要证，即等价于，令，设，再结合导数求出，从而可求解. (1) 小问详解： 由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. (2) 小问详解： ， ① 当，因为，恒成立，所以在上单调递减； ② 当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. (3) 小问详解： 略 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：，） 【答案】（1）     （2）（或）.     （3） 由可知，的定义域为， 因为， ，所以在上单调递减， ，， 存在，使得，即， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，也是最大值， 所以， 令，， 则，在区间上单调递增， 故， 所以.      【分析】 （1）由导数求得切线斜率后可得切线方程； （2）不等式分离参数为，令，，利用导数求得的最小值即可得； （3）利用导数求得且满足，，由，再引入新函数，，利用导数得的最大值，从而证明结论． (1) 小问详解： ，，， ， 又， 所以所求切线方程为． (2) 小问详解： 由，，得， 令，，则， 又时，，可知， 所以在上单调递减， 所以，故（或）. (3) 小问详解： 略 14．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增     （2）（i）； （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得， 所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立．      【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. (1) 小问详解： 函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． (2) 小问详解： （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且， 所以 ，解得． （ii）略 15．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）；     （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.     （3）1.      【分析】 （1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调性. （3）将给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可. (1) 小问详解： 当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 小问详解： 函数的定义域为， ，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而，所以整数m的最小值为1. 16．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知函数. （1）当时， （i）求函数在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （2）若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）增区间为；减区间为，极大值为，极小值为.     （2）.      【分析】 （1）（i）利用导数求出切线斜率，再由点斜式写出方程即可；（ii）利用导数研究函数的单调性，进而确定单调区间和极值. （2）将问题转化为，在上恒成立，利用导数求最值，即可求参数范围. (1) 小问详解： 当时，， ， （i）， 所以函数在点处的切线方程为， 整理为： （ii）令得，， 的变化如下表： 的增区间为；减区间为， 极大值为，极小值为. 2 + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 (2) 小问详解： 由，则， 令， ，由， 所以时单调递减；时单调递增. 只需恒成立，则. 17．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为　　　　　　　　. 【答案】18 【分析】 先求定义域，再求导，得到的单调性，画出其图象，令，则有两个不等实根，设为，，则，结合函数图象可得，得到，从而得到，求出，计算可得，从而求出最大整数m为18. 【详解】 中，令得，故定义域为， ，令得， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，画出的图象如下：    令，则中恒成立， 故有两个不等实根，设为，，则， 而有三个实数解，， 故有1个根，有2个不等实根， 结合，故， ，则在上单调递减， 故， ， 因为，所以， ，其中，代入计算可得， 满足的最大整数m为18. 故答案为：18 18．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知函数，． （1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）     （2）当时，没有零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点．     （3）      【分析】 （1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可； （2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数； （3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值. (1) 小问详解： ， 依题意，，解得． (2) 小问详解： 的零点的根． 设， ①当时，没有零点； ②当时，，所以在内是增函数． 取，取， 所以在上有且仅有一个零点； ③当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而． 当时，没有零点； 当时，在上有且仅有一个零点； 当时，， 取，取， 所以在上有两个零点． 综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点． (3) 小问详解： ， 构造函数，则． 而， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时． 因为当时，单调递减，故， 两边取对数得，，所以， 令，则， 令得，，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故a的最小值是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 考点01 导数在研究函数中的应用 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数在研究函数中的应用 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．【答案】 【分析】 由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】 由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 求导，根据导函数得到在上的单调性和最值，根据函数有6个零点得到和时分别有4和2个零点，然后列不等式求解即可. 【详解】 解：当，， 由可得，由可得， 故可得在单调递减，在单调递增， 故在有最小值为， 又因为当时，， 由函数有6个零点，故可得两段函数分别存在4和2个零点. 若存在四个零点，此时需满足： ， 若存在实数，使得函数有6个零点，此时有两种情况： ①： ； ②： ， 综上：. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：函数零点个数问题： ①转化为方程的根的个数问题； ②转化为函数图象与轴交点个数问题； ③转化为两个函数图象交点个数问题. 9．【答案】 【详解】 ，分类讨论： ① 当时，， 函数的最大值，舍去； ② 当时，，此时命题成立； ③ 当时，， 则： 或 ，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 10．【答案】（1） 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增.     （2）      【分析】 （1）先求的导数，直接根据的范围，讨论导函数的正负，即可求解函数单调性； （2）讨论的范围，利用函数的单调性进行最大值和最小值的判断，进而求解的取值范围. (1) 小问详解： 由，可得， 令，得或. 因为，则当时，；当时，. 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. (2) 小问详解： 当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为，最大值为或. 所以， 所以 当时，设，，单调递减， 因为，，所以的取值范围是. 当时，单调递增，所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 11．【答案】 【分析】 令，则方程有6解等价有6解,判断的单调性得出的根的分布情况，得出方程的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围. 【详解】 ， 令 ，则 ， 当或时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 又越来越小时，g（x）趋近0，g（2）=0，当x越来越大时，g（x）也越来越大， 作出的函数图像如图所示， 令，由图像可知，当时，方程有3解， 当或时，方程有1解， 当时，方程有2解，当时，方程无解， 方程有6个解， 即有6个解， 关于的方程在有2个解， ，解得. 故答案为：. 【点睛】 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图像的交点个数问题，画出两个函数的图像，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图像的交点个数问题 . 12．【答案】（1）     （2） 当时，的单调递增区间是，误减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；     （3） 由得：， 因为，由（2）得：在递增，又因为， 取，显然，， ∴存在满足， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， ∴时，在存在极小值.      【分析】 （1）求导，确定切线斜率即可求解； （2）求导，通过讨论和，确定导数符号，即可求解； （3）由，结合（2）确定在上的单调性，即可求证. (1) 小问详解： 当时， ，则，又， 所以曲线处的切线方程为， 即. (2) 小问详解： 解：由得： ①时，，∴在递增； ②时，若时，，若，则，故在递增，在递减； 综上：当时，的单调递增区间是，误减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是； (3) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）或.     （3）      【分析】 （1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. (1) 小问详解： ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. (2) 小问详解： 当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. (3) 小问详解： 由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．A 2．【答案】（1）1     （2）证明：令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，．      【分析】 （1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. (1) 小问详解： 由，可得， 所以切线斜率为． (2) 小问详解： 略 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求的定义域，再求、、，由直线方程的点斜式可得出所求切线的方程； （2）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解. (1) 小问详解： 的定义域为. 当时，，则， 所以，， 曲线在处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 当时，等价于. 设， 则，且. （i）当，时，则，所以， 故，则在上单调递增，因此，符合题意； （ii）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】 求函数的单调区间的方法： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 4．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. (1) 小问详解： 当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需，           解得． (2) 小问详解： 当时，，的图象与轴没有交点；                当时，令，解得或． 当时， ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以；                                 当时， ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以；                                              综上， 0 2 0 0 极大值 极小值 0 2 0 0 极小值 极大值 (3) 小问详解： 由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，，      又因为在上单调递增， 所以的值域为，              依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即 ，              解得的取值范围是． 5．【答案】（1）最大值为，最小值为0     （2）      （3） 令， ， 令， ， 当时，， 所以，单调递增，， 即，单调递减，， 当时， ，又，所以， 即，单调递增，， 综上，当 时，．      【分析】 （1）求导，根据导数的符号确定单调性，得到最值； （2）令，求导，分，，三种情况讨论，利用导数确定参数的取值范围； （3）令，求导再令，继续求导，利用导数确定单调性，根据最值证明恒成立即可． (1) 小问详解： 当 时，，， ，，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，又， 所以函数在区间的最大值为，最小值为0； (2) 小问详解： 令， ， 当时，， ， 在单调递增，，即成立； 当时，， 若，即时，，， ， 在上单调递减， ， 又，所以，即， 则， 在单调递增，， 若，即，存在，使得时，， ，所以不满足成立， 综上，的取值范围为； (3) 小问详解： 略 6．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）     （2）      【分析】 （1）（ⅰ）得到函数后求导数，得到切线斜率，然后由点斜式求得切线方程； （ⅱ）整理不等式得，然后令并求导数，利用导数求得函数的单调区间，即可求出函数的最小值，然后得到实数的取值范围； （2）由及整理得到，令，构造函数并求导数，由题意得函数在区间上有零点，则函数在上有一个实根，从而得到且有解，建立不等式组解得实数的取值范围，验证后得结论. (1) 小问详解： （ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即 （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以， (2) 小问详解： 设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，， 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，， 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为 7．【答案】（1）     （2）     （3） 因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕.      【分析】 （1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. (1) 小问详解： 当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. (3) 小问详解： 略 8．【答案】（1）     （2）      （3） 由（2）可知，当且时，， 故， 当时，，， 令，则， 故在上单调递增， 设，其中，且， 则，因此在上单调递增， 从而， 则， 进而可知， 故.      【分析】 （1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可； （2）当时，设，求导，利用导数分析函数的单调性，然后求解即可； （3）根据题意得出当且时， ，又当时，在单调递增. 设，其中，且，然后证明即可. (1) 小问详解： 当时，，即， 而，则， 故曲线在点处的切线方程为. (2) 小问详解： 由，则， 设，， 则， 设，， 则， 若，则， 则函数在上单调递增，则，即， 因此函数在上单调递增， 故，符合题意； 若，且，则， 令，即， 此时，在上单调递增，在上单调递减， 则，而， 设为的零点，注意到为增函数， 当时，此时，故， 从而在上单调递增，故，符合题意； 当时，则存在，使得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得， 此时，即，因此， 综上所述，. (3) 小问详解： 略 9．【答案】（1）；     （2）；     （3） ，无零点； ，有1个零点； ，有2个零点.      【分析】 （1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集； （3）由，令，对其求导，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数. (1) 小问详解： 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：. (2) 小问详解： 函数的定义域为，且， 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不符合； 当时， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以可得 (3) 小问详解： ． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增，最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值， 又当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， ① 若，即，无零点，故无零点； ② 若，即，有1个零点，故有1个零点； ③ 若，即，有2个零点，故有2个零点. 10．【答案】（1）     （2）     （3） 因为是函数在区间上的极值点， 由（2）可知，故，即， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，， 所以函数在没有零点，在上存在唯一零点， 则，即. 因为 ， 令，， 所以， 即函数在上单调递增， 因为，所以，即， 所以，而，， 且在上单调递增，所以.      【分析】 （1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，分析函数在上的单调性，分析可知在上有唯一的变号零点，由此可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）由（2）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，结合极值点的定义可得出，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，由结合函数在上的单调性可证得结论成立. (1) 小问详解： 当时，， 则，所以切线斜率， 因为，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即 (2) 小问详解： 因为， 设，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 因为，且函数在上有唯一的极值点， 即在上有唯一的变号零点， 所以，即，故实数的取值范围是. (3) 小问详解： 略 11．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出切点坐标，求出导数并利用导数的几何意义求出值. （2）由（1）求出，再利用导数求出最小值. （3）由（2）中信息，化简得，进而求出的最大值. (1) 小问详解： 设直线与曲线相切的切点为， 由函数求导得， 则， 即，又， 因此. (2) 小问详解： 由（1）知，，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值为． (3) 小问详解： ，由（2）知， 因此，依题意，， 解得，所以的最大值为. 12．【答案】（1）     （2） 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增.     （3） 由（2）知，当时，有两个极值点， 其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以， 要证，只要证， 由， 代入可得，原式， 令，设， 所以，即， 则在上单调递增，所以， 则，即， 所以原不等式成立.      【分析】 （1）当时，，利用导数求出处的斜率，从而可求切线方程； （2）由，分情况讨论，，再结合导数即可求解； （3）设是的极大值点，是的极小值点，要证要证，只要证，即等价于，令，设，再结合导数求出，从而可求解. (1) 小问详解： 由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. (2) 小问详解： ， ① 当，因为，恒成立，所以在上单调递减； ② 当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. (3) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）（或）.     （3） 由可知，的定义域为， 因为， ，所以在上单调递减， ，， 存在，使得，即， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，也是最大值， 所以， 令，， 则，在区间上单调递增， 故， 所以.      【分析】 （1）由导数求得切线斜率后可得切线方程； （2）不等式分离参数为，令，，利用导数求得的最小值即可得； （3）利用导数求得且满足，，由，再引入新函数，，利用导数得的最大值，从而证明结论． (1) 小问详解： ，，， ， 又， 所以所求切线方程为． (2) 小问详解： 由，，得， 令，，则， 又时，，可知， 所以在上单调递减， 所以，故（或）. (3) 小问详解： 略 14．【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增     （2）（i）； （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得， 所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立．      【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. (1) 小问详解： 函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． (2) 小问详解： （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且， 所以 ，解得． （ii）略 15．【答案】（1）；     （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.     （3）1.      【分析】 （1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调性. （3）将给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可. (1) 小问详解： 当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 小问详解： 函数的定义域为， ，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而，所以整数m的最小值为1. 16．【答案】（1）（i）；（ii）增区间为；减区间为，极大值为，极小值为.     （2）.      【分析】 （1）（i）利用导数求出切线斜率，再由点斜式写出方程即可；（ii）利用导数研究函数的单调性，进而确定单调区间和极值. （2）将问题转化为，在上恒成立，利用导数求最值，即可求参数范围. (1) 小问详解： 当时，， ， （i）， 所以函数在点处的切线方程为， 整理为： （ii）令得，， 的变化如下表： 的增区间为；减区间为， 极大值为，极小值为. 2 + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 (2) 小问详解： 由，则， 令， ，由， 所以时单调递减；时单调递增. 只需恒成立，则. 17．【答案】18 【分析】 先求定义域，再求导，得到的单调性，画出其图象，令，则有两个不等实根，设为，，则，结合函数图象可得，得到，从而得到，求出，计算可得，从而求出最大整数m为18. 【详解】 中，令得，故定义域为， ，令得， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，画出的图象如下：    令，则中恒成立， 故有两个不等实根，设为，，则， 而有三个实数解，， 故有1个根，有2个不等实根， 结合，故， ，则在上单调递减， 故， ， 因为，所以， ，其中，代入计算可得， 满足的最大整数m为18. 故答案为：18 18．【答案】（1）     （2）当时，没有零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点．     （3）      【分析】 （1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可； （2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数； （3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值. (1) 小问详解： ， 依题意，，解得． (2) 小问详解： 的零点的根． 设， ①当时，没有零点； ②当时，，所以在内是增函数． 取，取， 所以在上有且仅有一个零点； ③当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而． 当时，没有零点； 当时，在上有且仅有一个零点； 当时，， 取，取， 所以在上有两个零点． 综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点． (3) 小问详解： ， 构造函数，则． 而， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时． 因为当时，单调递减，故， 两边取对数得，，所以， 令，则， 令得，，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故a的最小值是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 2大高频考点概览 考点01 导数在研究函数中的应用 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数在研究函数中的应用 1．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）若在上有两个极值点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A. （，π） B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（高三上·天津五区重点校·期中）已知，，若成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）若在上不单调，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 9．（25-26学年·天津河北区·期中）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是　　　　　　　　　　 10．（25-26学年·天津河北区·期中）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 11．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　． 12．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知函数 （1）当时， 求曲线处的切线方程; （2）求的单调区间; （3）设函数 ，求证: 当时，在上存在极小值. 13．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26学年高三上·天津河东·期中）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知函数. （1）求曲线在点处的切线斜率； （2）当时，求证：． 3．（25-26学年·天津河北区·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若当时，，求的取值范围. 4．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知函数． （1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围； （2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 0 2 0 0 极大值 极小值 0 2 0 0 极小值 极大值 5．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知函数. （1）当 时，求函数在区间的最值； （2）若，求 的取值范围； （3）当 时，求证： ． 6．（高三上·天津五区重点校·期中）已知函数（）. （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 7．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 8．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若正实数，，，满足，求证：． 9．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于，求m的取值范围； （3）讨论的零点个数． 10．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知函数， （1）时，求在处的切线方程； （2）若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，证明：. 11．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知函数，曲线的一条切线的方程为． （1）求实数的值； （2）设，求函数的最小值； （3）若对任意，恒成立，求实数的最大值． 12．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，，证明：. 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：，） 14．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 15．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 16．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知函数. （1）当时， （i）求函数在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （2）若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为　　　　　　　　. 18．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知函数，． （1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $