专题04 平面向量与复数（期中真题汇编，天津专用）高三数学上学期

专题04 平面向量与复数 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．A 2．C 3．D 4．C 5．【答案】①     ② 【分析】 作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】 过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 6．【答案】①     ② 【分析】 根据平面向量线性运算求出，设，设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】 因为，所以， 所以； 设()，则， 设()，则， 又，，三点共线，则，得， 因为菱形的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理得， 解得或（舍去）．故． 故答案为：； 7．【答案】①     ② 【分析】 根据，求得的值，得到，在中，利用余弦定理，求得，进而得到得到大小，以为坐标原点，得到和，求得，再由，得到，结合向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】 因为，可得，且，所以， 由，且，可得，可得，所以， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为且，可得点到轴和轴的距离分别为，即， 又因为，且，所以， 因为且，可得，可得， 又因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 由，可得，， 可得， 又由，则， 设向量和的夹角为，则， 当时，取得最大值，最大值为， 即的最大值为. 故答案为：；. 8．【答案】①     ② 【分析】 根据向量的线性运算求解空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】 对于第一空，因为,所以,所以. 因为为线段的中点,所以; 对于第二空，因为,所以,即①. ,即,代入① 式后，化简可得：. 所以 故答案为：. 9．【答案】①     ② 0 【分析】 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】 如图，以中点为坐标原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以，，，， 当为圆弧的中点时，， 此时，， 则，， 所以在上的投影向量的模长为； 当点为圆弧上的动点时，设，，， 所以满足，则，所以， 所以，， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为：；. 10．【答案】9 【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案. 【详解】由题， 故答案为9 【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目. 11．【答案】①     ② 【分析】 由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值． 【详解】 由，可得， 则 ； 由，可得， 则， 由，可得， 即， 整理得， 故， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 故答案为：；． 12．【答案】①     ② 【分析】 先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】 在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. 13．【答案】 【分析】 运用数量积的定义求得，，，，确定的取值范围，再由向量的三角形法则和基本不等式及函数单调性，即可得到所求最大值． 【详解】 解：由题可得图形如下： 由于，， ，， 因为，所以 ， 则 ，， 当且仅当，即时取等号，即取最小值，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以的最大值为. 故答案为：． 14．【答案】14 【分析】 如图，利用平面向量数量积的几何意义求解即可． 【详解】 如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 故答案为：14 15．【答案】① .5    ② 【分析】 利用平面向量的线性运算，结合共线向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用数量积的运算律结合已知求出. 【详解】 由是的中点，得，而在上，即 于是，又，则，又 E，O，C三点共线， 因此，解得，则，而，不共线， 所以，； 显然， 则， 因此，解得，所以即． 故答案为：； 16．【答案】① 2    ② 【分析】 根据给定条件，利用和角的正弦公式化简求得，再利用数量积运算律求得；利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 在中，， 则，而，于是，，即， 由，得，因此； 由，得，又点在线段上， 则，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 17．【答案】① 1    ② 【分析】 先求关于与的表达式，得到的值，进而计算；先求关于与的表达式，根据向量的数量积公式计算即可. 【详解】 因为，所以， 化简得，有， 因为，所以，可知. ， . 故答案为：. 18．【答案】① 7    ② 【分析】 设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】 因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以 ，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 19．【答案】①     ② 【分析】 根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【详解】 依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 考点02 复数 1．A 2．【答案】 【分析】 移项，再利用分母实数化进行计算即可. 【详解】 , 故答案为：. 3．【答案】 【分析】 利用复数的除法求解即得. 【详解】 . 故答案为： 4．【答案】-1 【分析】 化简方程左边，利用两复数相等，得到方程组，求出的值. 【详解】 故答案为：-1 5．【答案】 【分析】 利用复数的除法运算法则即可求解. 【详解】 由，可得. 故答案为：. 6．【答案】 【详解】分子分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 7．【答案】 【分析】 根据复数的除法运算求出，再根据复数模的计算公式，即可求得答案. 【详解】 由，得， 故， 故答案为： 8．【答案】 【分析】 运用复数的模，复数除法等知识计算即可. 【详解】 ， . 故复数的虚部为. 故答案为：. 9．【答案】四 【分析】 先根据复数的运算法则求得，再结合几何意义求解即可. 【详解】 由， 则在复平面内对应的点为，在第四象限. 故答案为：四. 10．【答案】5 【分析】算出后可计算. 【详解】，故. 故答案为：5. 【点睛】本题考查共轭复数、复数的加减法以及复数的模，本题属于基础题. 11．【答案】 【分析】 根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】 由复数，所以. 故答案为：. 12．【答案】2 【分析】 根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】 因为复数是纯虚数， 所以 ，解得． 故答案为：2. 13．【答案】3 【分析】 先根据复数的运算得到复数，再根据共轭复数的概念和复数虚部的概念求解. 【详解】 因为，所以. 所以. 所以复数的共轭复数虚部为3. 故答案为：3 14．【答案】 【分析】 由复数的除法运算及复数模的公式即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 15．【答案】 【分析】 利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】 ， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（高三上·天津五区重点校·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（     ） A. 3 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 由题意列出等量关系，然后由向量的数量积化简等式，进而得到即可. 【详解】 由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）已知平面向量，若与共线，则实数的值为（       ） A. 9 B. 4 C. －4 D. －9 【答案】C 【分析】 根据平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】 由题可知，，解得. 实数的值为. 故选：C. 3．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知向量，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量的坐标运算和向量的数量积的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】 因为向量，可得，所以A不正确； 由，所以与不共线，所以B不正确； 由，所以，所以C不正确； 由，所以，所以D正确. 故选：D. 4．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知平面向量，且，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】 因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 5．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则　　　　　　　　；若，点为线段上的动点，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】 过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 6．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示　　　　　；若，则的值为　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据平面向量线性运算求出，设，设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】 因为，所以， 所以； 设()，则， 设()，则， 又，，三点共线，则，得， 因为菱形的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理得， 解得或（舍去）．故． 故答案为：； 7．（高三上·天津五区重点校·期中）在梯形中，，，，与交于点，且，则　　　　　　，点在线段上，满足，平面内有一动点满足，则的最大值为　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据，求得的值，得到，在中，利用余弦定理，求得，进而得到得到大小，以为坐标原点，得到和，求得，再由，得到，结合向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】 因为，可得，且，所以， 由，且，可得，可得，所以， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为且，可得点到轴和轴的距离分别为，即， 又因为，且，所以， 因为且，可得，可得， 又因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 由，可得，， 可得， 又由，则， 设向量和的夹角为，则， 当时，取得最大值，最大值为， 即的最大值为. 故答案为：；. 8．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）中，为边中点，,,,则　　　　　　　　　　（用,表示），若,,则　　　　　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 根据向量的线性运算求解空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】 对于第一空，因为,所以,所以. 因为为线段的中点,所以; 对于第二空，因为,所以,即①. ,即,代入① 式后，化简可得：. 所以 故答案为：. 9．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为　　　　　；当点为圆弧上的动点时，的最小值为　　　　　． 【答案】①     ② 0 【分析】 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】 如图，以中点为坐标原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以，，，， 当为圆弧的中点时，， 此时，， 则，， 所以在上的投影向量的模长为； 当点为圆弧上的动点时，设，，， 所以满足，则，所以， 所以，， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为：；. 10．（25-26学年·天津河北区·期中）设四边形为平行四边形，.若点满足，则=　　　　　　. 【答案】9 【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案. 【详解】由题， 故答案为9 【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目. 11．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为　　　　　　　　　；点是线段上一点，且，若，则的最大值为　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值． 【详解】 由，可得， 则 ； 由，可得， 则， 由，可得， 即， 整理得， 故， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 故答案为：；． 12．（25-26学年高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】 在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. 13．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 运用数量积的定义求得，，，，确定的取值范围，再由向量的三角形法则和基本不等式及函数单调性，即可得到所求最大值． 【详解】 解：由题可得图形如下： 由于，， ，， 因为，所以 ， 则 ，， 当且仅当，即时取等号，即取最小值，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以的最大值为. 故答案为：． 14．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则　　　　　. 【答案】14 【分析】 如图，利用平面向量数量积的几何意义求解即可． 【详解】 如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 故答案为：14 15．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）如图，在中，是的中点，与交于点．设，则　　　　　　；若，则　　　　　　． 【答案】① .5    ② 【分析】 利用平面向量的线性运算，结合共线向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用数量积的运算律结合已知求出. 【详解】 由是的中点，得，而在上，即 于是，又，则，又 E，O，C三点共线， 因此，解得，则，而，不共线， 所以，； 显然， 则， 因此，解得，所以即． 故答案为：； 16．（25-26学年高三上·天津蓟州·期中）在中，已知，且，则　　　　　　；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为　　　　　． 【答案】① 2    ② 【分析】 根据给定条件，利用和角的正弦公式化简求得，再利用数量积运算律求得；利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 在中，， 则，而，于是，，即， 由，得，因此； 由，得，又点在线段上， 则，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 17．（25-26学年高三上·天津河东·期中）在中，，，，为所在平面内的点，且，若，则　　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　　． 【答案】① 1    ② 【分析】 先求关于与的表达式，得到的值，进而计算；先求关于与的表达式，根据向量的数量积公式计算即可. 【详解】 因为，所以， 化简得，有， 因为，所以，可知. ， . 故答案为：. 18．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则　　　　　 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为　　　　　　　　　　　 【答案】① 7    ② 【分析】 设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】 因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以 ，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 19．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）在中，为线段上一点.，则　　　　　　　　　　；若在线段上运动，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【详解】 依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 考点02 复数 1．（25-26学年高三上·天津河东·期中）若 （为虚数单位），则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复数的除法先求，然后可得. 【详解】 因为，所以， 所以. 故选：A 2．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）已知为虚数单位，,则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 移项，再利用分母实数化进行计算即可. 【详解】 , 故答案为：. 3．（25-26学年·天津河北区·期中）为虚数单位，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用复数的除法求解即得. 【详解】 . 故答案为： 4．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）已知，其中是虚数单位，那么实数　　　　　 ． 【答案】-1 【分析】 化简方程左边，利用两复数相等，得到方程组，求出的值. 【详解】 故答案为：-1 5．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）已知复数z满足，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用复数的除法运算法则即可求解. 【详解】 由，可得. 故答案为：. 6．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）是虚数单位，复数　　　　　　　　. 【答案】 【详解】分子分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 7．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）已知复数满足，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复数的除法运算求出，再根据复数模的计算公式，即可求得答案. 【详解】 由，得， 故， 故答案为： 8．（高三上·天津五区重点校·期中）已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为　　　　　　. 【答案】 【分析】 运用复数的模，复数除法等知识计算即可. 【详解】 ， . 故复数的虚部为. 故答案为：. 9．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）i是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第　　　　　象限． 【答案】四 【分析】 先根据复数的运算法则求得，再结合几何意义求解即可. 【详解】 由， 则在复平面内对应的点为，在第四象限. 故答案为：四. 10．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）已知复数为虚数单位），则=　　　　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】算出后可计算. 【详解】，故. 故答案为：5. 【点睛】本题考查共轭复数、复数的加减法以及复数的模，本题属于基础题. 11．（25-26学年高三上·天津河西·期中）已知复数，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】 由复数，所以. 故答案为：. 12．（25-26学年高三上·天津河东·期中）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】 因为复数是纯虚数， 所以 ，解得． 故答案为：2. 13．（25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知复数满足，则复数的共轭复数虚部为　　　　　. 【答案】3 【分析】 先根据复数的运算得到复数，再根据共轭复数的概念和复数虚部的概念求解. 【详解】 因为，所以. 所以. 所以复数的共轭复数虚部为3. 故答案为：3 14．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）已知 是虚数单位，则 　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由复数的除法运算及复数模的公式即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 15．（25-26学年高三上·天津第二南开学校·期中）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】 ， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01平面向量 考点02复数 D考点01平面向量 1.（痛三上天津五区重点校期中）已知向量。卢。的夹角为号若2。-在。方向上的投影狗量为g则 a b 3 2 A.3 B. 3-2 C.2 D片 2.(25-26学年高三上·天津蓟州·期中)己知平面向量 =x,-61,6=2,3若。)共线，则实数x的值 为( ) A.9 B.4 C.-4 D.-9 3。（25-26学年高三上天津田家炳高级中学：期中)已知向量。=2,0,6=1,1？则下列结论正确的是 ( A.a.b=1 B.a//b c.a- D.a-bLb 4.(25-26学年高三上~天津经济技术开发区第一中学期中)己知平面向量a=1,8口小且 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-2ba则a-b- A.2 B.3 C.4 D.5 5.(25-26学年高三上天津第二南开学校期中)在平面四边形ABCD中，AB=2V口，AD=6,向量 AB在向量AD上的投影向量为AD,则∠BAD :若BC=号AD,点E为线段 3 BD上的动点，则CE~AE的最小值为 6.(25-:26学年高三上天津第一0二中学：期中)在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60,记AB=a An=b点M是线段nD点，点N是线段nC上点，卫A,M,N=点共线书R义-2，则m。 b表示AN= 一：者ANGM=-贵则只的的为 7.（高三上：天津五区重点校：期中)在梯形ABCD中，AB=3DC'AB=3BC=2:AC与BD交 于点E,且BE=3V二， 则∠ABC= 点F在线段AB上，满足AF=5FB:平面内有一 动点p满足PF=1,则DP·AC的最大值为 8.(2526学年商三上天津成水洁第一中学期中)△ABC中，D为AB边中点，CE=专CD,AB=a0 AC=b则AE= (用ab表示)，若AE=1AE⊥CB则AECD= 9.(25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学.期中)如图，已知正方形ABCD的边长为2，圆弧 AD是以AD为直径的半圆弧.当点p为圆弧AD的中点时，AD在AP上的投影向量的模长为 :当点p为圆弧AD上的动点时，PC~PB的最小值为 D 215 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(25-26学年·天津河北区·期中)设四边形ABCD为平行四边形， AB=6,AD=4若点M,N满足 BM=3MC,DN-2NC'AM.NM- 11.(5-26学年高三上·天津第二十中学·期中)在平行四边形ABCD中，E是线段CD的中点，点F满足 AE=3EF若设BA=aBC=b则BF可用a,6表示为 点M是线段AD上一 点，且DM=2AM,若BM⊥BF,则cos∠ABC的最大值为 12.(25-26学年高三上·天津河西·期中)在△ABC中， AB=7:AC-4∠BAC=3且 3AE=4EBAF=FC'BF与CE交于点0，则BF,CE= cos∠EOF=- 13·(25-26学年高三上·天津汇文中学·期中)在等腰梯形ABCD中，已知 AB/DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60,动点E和F分别在线段BC和DC上，且 BE=BC,DF=是DC,则AE~AF的最大值为 6λ 14.(25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学期中)在△ABC中，已知AB=8,AC=6,点 0为三角形的外心，则BC0A= 15.(25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点， BE=2EA,AD与CE交于点0：设A0=mAB+nAC:则m+n= ABAC=6AO-EC,则AB AC A E B D 16.(25-26学年高三上天津蓟州期中)在△ABC中，已知sinB=c0 sAsinC,且AB:AC=4则 315 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ICAI= 若在线段AB上存在动点P,使得CP=2mCA+nCBm,n>0,则+2的最 m n CA 小值为 17.(2526学年商三上天津河东期肿)在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=号E为△ABC 所在平面内的点，且2BA+BC=4BE若CE=mAB+nAC则m-n= BE·CE= 18.(25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中)在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60, CE=2EBCP=2FD:已知点M在线段EF上，且AM=XAB+号AD则AM 一，若 点N为线段BD上一个动点，则ANMN的最小值为 19·(25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中)在△ABC中， AB=4,AC=3,∠A=60,AD=3DB,P为线段CD上一点AP=XAC+3AB,则X= :若p在线段CD上运动，则AP·Bp的取值范围是 考点02复数 1.(25-26学年高三上·天津河东·期中)若(1+)2=1-31（为虚数单位），则z=（ A.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i 2.（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中)已知i为虚数单位，3+2iz=8+i,则z= 3.(25-26学年天津河北区期中)1为虚数单位，则，+21 2-i 4.（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中)已知(a-}=21其中是虚数单位，那么实数 三 5.(25-26学年高三上·天津第五十四中学期中)已知复数z满足z(1+i)=7-9i,则z= 6。（25-26学年高三上天津田家炳高级中学期中)i提虚数单位，复数1+31 1+2i 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(25-26学年高三上·天津第一0二中学期中)已知复数z满足1+iz=z-2i,则z= 8.(高三上·天津五区重点校·期中)已知复数z满足z1+2=3-4,(其中为虚数单位)，则复数2 的虚部为 9.(25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学.期中)i是虚数单位，复数z=2+3-2,则z在复 平面内对应的点在第 象限， 10。(526学年高三上·天津第二十中学·期中)已知复数z=3+ii为虚数单位)，则2+5 11. (25-26学年高三上·天津河西期中)已知复数z=i2-i-1,则z= 12.（25-26学年高三上天津河东·期中)已知；为虚数单位，复数2=02-4+2a+4i0∈R是纯虚数， 则a三 13.(25-26学年高三上·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知复数z满足iz=3+2i,则复数z的共轭 复数虚部为 4.(2526学年高三上天津红桥期中)已知1是嘘数单位，则]一三 5,2526学车三天津第南开学校期肿)足知0∈R,为虚数单位，卷 为实数，则a的值 为 5/5