专题09 统计与概率（期中真题汇编，天津专用）高三数学上学期

专题09 统计与概率 6大高频考点概览 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 排列与组合 考点04 二项式定理 考点05 古典概型、条件概率、全概率公式 考点06 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（     ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 【答案】C 【分析】 根据百分位数的定义求解. 【详解】 六位选手得分由小到大排列如下： 119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50， 因为， 所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75. 故选：C 2．（25-26学年·天津河北区·期中）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（       ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】 计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】 对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 3．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）下列说法不正确的是（       ） A. 对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【分析】 利用线性回归方程必过样本中心点可判断A，利用正态分布的性质可判断B，根据线性相关系数的性质可判断C，利用百分位数的定义可判断D. 【详解】 对于A，线性回归方程必过样本中心点得，解得，故A正确； 对于B，若随机变量服从正态分布，且， 则，则，故B正确； 对于C，若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，故D错误. 故选：D 4．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则下列结论中正确的是（     ） A. 甲种的样本极差大于乙种的样本极差 B. 甲种的样本平均数小于乙种的样本平均数 C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差 D. 甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数 【答案】D 【分析】 根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本的第60百分位数判断D. 【详解】 对于A，甲种的样本极差为， 乙种的样本极差为， 所以甲种的样本极差小于乙种的样本极差，故A错误； 对于B，，， 所以甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数，故B错误； 对于C，因为甲种的样本平均数与乙种的样本平均数均为10， 甲种的样本方差为， ， 所以甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误； 对于D，因为，故甲种的样本第60百分位数为， 乙种的样本第60百分位数为， 所以甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数，故D正确. 故选：D 考点02 线性回归方程 1．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将代入可求，再根据回归方程经过样本中心点，可求. 【详解】 由题意：. 所以. 又由已知数据，，. 又经过，所以. 所以，. 故选：C 2．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知与之间的一组数据： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于y与x的线性回归方程 ，则的值为　　　． 【答案】2.15 【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出的值． 【详解】由表可得，，将带入方程得： ，解得：，故答案为． 【点睛】本题主要考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数， 属于中档题. 考点03 排列与组合 1．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（       ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 【答案】D 【分析】 根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】 根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 2．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有　　　　　　　　　　　　　种. 【答案】 【分析】 分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可. 【详解】 2名男生1名女生：， 1名男生2名女生：， 故共有种， 故答案为： 考点04 二项式定理 1．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）的展开式中的系数是　　　　　　． 【答案】 【详解】由题意得二项式展开式的通项公式，令即可得出答案． 【详解】解：由题意，的展开式的通项公式， 令得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数，属于基础题． 2．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是　　　　　．（用数字作答） 【答案】135 【分析】 根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数. 【详解】 由题意，，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中项的系数是. 故答案为：135. 3．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）的二项展开式的常数项为　　　　　　　 【答案】20 【详解】的二项展开式的通项为． 令得．所以的二项展开式的常数项为． 4．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）的展开式中，的系数是　　　　　　　　　　（用数字填写答案）. 【答案】.75 【分析】 利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】 解：因为的展开式的通项公式为： ， 所以令，解得， 所以的系数是， 故答案为： 5．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）的展开式中 的系数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由通项公式即可求解. 【详解】 的通项公式为， 令可得含的项， 此时系数为， 故答案为： 6．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）的展开式中的系数是　　　　　　　　　　.（用数字作答） 【答案】240 【分析】 先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】 展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 7．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）的展开式中，项的系数为　　　　　　　　　　． 【答案】252 【分析】 写出二项式通项公式，求出项的对应，进而确定求系数. 【详解】 由二项式展开式通项为， 令，则，则，故项的系数为. 故答案为： 8．（25-26学年·天津河北区·期中）二项式的展开式的常数项是　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 9．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）在的展开式中，所有项的系数之和为　　　　　　，含的项的系数是　　　　　　.（用数字作答） 【答案】①     ② 【分析】 令，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含的项的系数. 【详解】 在的展开式中，所有项的系数之和为， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：；. 10．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）在的展开式中，的系数为　　　　　　. 【答案】80 【分析】 根据二项式展开式通项公式计算得出，再代入计算求解. 【详解】 的展开式中的通项公式为， 所以当时，， 的系数为. 故答案为：80. 考点05 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则　　　　　；设表示两个点数中奇数的个数，则随机变量的数学期望为　　　　　． 【答案】①     ② 1 【分析】 ① 判断出符合古典概型，列出样本空间，找到满足事件的样本点，根据条件概率公式求出；② 列出取值，求出相应的概率，得到随机变量的分布列，根据分布列求得其数学期望. 【详解】 记I号骰子朝上面的点数为，记II号骰子朝上面的点数为，则样本空间共有36个样本点，各样本点出现的可能性相同，此试验为古典概型. 记事件“两个点数不相同”，则事件“两个点数相同”，事件共有6个样本点，所以事件A包含30个样本点. 因为事件“两个点数都没有出现5点”，所以事件“两个点数不相同，且都没有出现5点”，即事件共20个样本点. 所以，. 由题可知，的取值为0，1，2. 因为每枚骰子向上的点数中有3个奇数，3个偶数， 所以，，. 所以随机变量的分布列为： 所以. 所以随机变量的数学期望为. 故答案为： X 0 1 2 P 2．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为　　　　　　　　　．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为　　　　　　　 【答案】① 0.7    ② 0.22. 【分析】 设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】 设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 3．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为　　　　　　　　　　；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】 记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 4．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 方法一、根据题意求出，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解. 【详解】 从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率 .又， 根据条件概率的计算公式可知，. 方法二、从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人， 至少有3名男志愿者有（种）情况， 其中有3名女志愿者有（种）情况. 根据古典概型的概率计算公式可知，. 故答案为：. 5．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是　　　　　　　　　　，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，利用全概率公式即可求解，利用条件概率即可求解. 【详解】 令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 考点06 随机变量及其分布列 1．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是　　　　　;若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的均值E（X）=　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据古典概型概率计算公式以及超几何分布的知识求得正确答案. 【详解】 现从5个小球中任意取出3个小球，共有=10(种)选法， 其中恰有2个小球颜色相同的概率是． X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=， 所以0×+1×+2×． 故答案为：； 2．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为　　　　　　；甲景点A班同学数X的数学期望为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是B班同学，利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为，利用组合及古典概型求出概率，根据公式得到期望. 【详解】 （1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况： 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 所以甲景点恰有2个A班同学的概率. （2）由题知X的取值可能为， ，，， . 故答案为：；. 3．（25-26学年·天津河北区·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　． 【答案】① ，    ② 【分析】 利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】 从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，， ，        所以, 故答案为：，. 4．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）甲、乙、丙人练习投篮，投进的概率分别是 若人各投次，则人都没投进的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　；若表示丙投篮次的进球数，则随机变量的数学期望为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 先综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求人都没投进的概率，再判断随机变量服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】 记事件“甲投篮次投进 ”为，事件“乙投篮次投进”为，事件“丙投篮次投进”为，事件“人都没有投进”为.  则，， 所以人都没有投进的概率为. 随机变量的可能值有，且 ， 所以， 故答案为：； 5．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的4个小球，其中白色球2个，黑色球2个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为　　　　　　　　　　；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ，则随机变量ξ的期望为　　　　　　　. 【答案】①     ② 1 【分析】 求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出连续取球四次，恰好取到两次白球的概率；可得随机变量的可能取值为0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出数学期望. 【详解】 由题可得每一次取到白球的概率为， 连续取球四次，恰好取到两次白球的概率为， 随机变量的可能取值为0，1，2， 则，，， . 故答案为:;1. 【点睛】 思路点睛: 求离散型随机变量的数学期望时，应首先分析出变量的可能取值，然后求出每次取值下的概率，结合数学期望公式即可求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 排列与组合 考点04 二项式定理 考点05 古典概型、条件概率、全概率公式 考点06 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．C 2．C 3．D 4．D 考点02 线性回归方程 1．C 2．【答案】2.15 【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出的值． 【详解】由表可得，，将带入方程得： ，解得：，故答案为． 【点睛】本题主要考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数， 属于中档题. 考点03 排列与组合 1．D 2．【答案】 【分析】 分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可. 【详解】 2名男生1名女生：， 1名男生2名女生：， 故共有种， 故答案为： 考点04 二项式定理 1．【答案】 【详解】由题意得二项式展开式的通项公式，令即可得出答案． 【详解】解：由题意，的展开式的通项公式， 令得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数，属于基础题． 2．【答案】135 【分析】 根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数. 【详解】 由题意，，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中项的系数是. 故答案为：135. 3．【答案】20 【详解】的二项展开式的通项为． 令得．所以的二项展开式的常数项为． 4．【答案】.75 【分析】 利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】 解：因为的展开式的通项公式为： ， 所以令，解得， 所以的系数是， 故答案为： 5．【答案】 【分析】 由通项公式即可求解. 【详解】 的通项公式为， 令可得含的项， 此时系数为， 故答案为： 6．【答案】240 【分析】 先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】 展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 7．【答案】252 【分析】 写出二项式通项公式，求出项的对应，进而确定求系数. 【详解】 由二项式展开式通项为， 令，则，则，故项的系数为. 故答案为： 8．【答案】7 【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 9．【答案】①     ② 【分析】 令，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含的项的系数. 【详解】 在的展开式中，所有项的系数之和为， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：；. 10．【答案】80 【分析】 根据二项式展开式通项公式计算得出，再代入计算求解. 【详解】 的展开式中的通项公式为， 所以当时，， 的系数为. 故答案为：80. 考点05 古典概型、条件概率、全概率公式 1．【答案】①     ② 1 【分析】 ① 判断出符合古典概型，列出样本空间，找到满足事件的样本点，根据条件概率公式求出；② 列出取值，求出相应的概率，得到随机变量的分布列，根据分布列求得其数学期望. 【详解】 记I号骰子朝上面的点数为，记II号骰子朝上面的点数为，则样本空间共有36个样本点，各样本点出现的可能性相同，此试验为古典概型. 记事件“两个点数不相同”，则事件“两个点数相同”，事件共有6个样本点，所以事件A包含30个样本点. 因为事件“两个点数都没有出现5点”，所以事件“两个点数不相同，且都没有出现5点”，即事件共20个样本点. 所以，. 由题可知，的取值为0，1，2. 因为每枚骰子向上的点数中有3个奇数，3个偶数， 所以，，. 所以随机变量的分布列为： 所以. 所以随机变量的数学期望为. 故答案为： X 0 1 2 P 2．【答案】① 0.7    ② 0.22. 【分析】 设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】 设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 3．【答案】①     ② 【分析】 本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】 记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 4．【答案】 【分析】 方法一、根据题意求出，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解. 【详解】 从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率 .又， 根据条件概率的计算公式可知，. 方法二、从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人， 至少有3名男志愿者有（种）情况， 其中有3名女志愿者有（种）情况. 根据古典概型的概率计算公式可知，. 故答案为：. 5．【答案】①     ② 【分析】 令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，利用全概率公式即可求解，利用条件概率即可求解. 【详解】 令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 考点06 随机变量及其分布列 1．【答案】①     ② 【分析】 根据古典概型概率计算公式以及超几何分布的知识求得正确答案. 【详解】 现从5个小球中任意取出3个小球，共有=10(种)选法， 其中恰有2个小球颜色相同的概率是． X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=， 所以0×+1×+2×． 故答案为：； 2．【答案】①     ② 【分析】 （1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是B班同学，利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为，利用组合及古典概型求出概率，根据公式得到期望. 【详解】 （1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况： 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 所以甲景点恰有2个A班同学的概率. （2）由题知X的取值可能为， ，，， . 故答案为：；. 3．【答案】① ，    ② 【分析】 利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】 从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，， ，        所以, 故答案为：，. 4．【答案】①     ② 【分析】 先综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求人都没投进的概率，再判断随机变量服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】 记事件“甲投篮次投进 ”为，事件“乙投篮次投进”为，事件“丙投篮次投进”为，事件“人都没有投进”为.  则，， 所以人都没有投进的概率为. 随机变量的可能值有，且 ， 所以， 故答案为：； 5．【答案】①     ② 1 【分析】 求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出连续取球四次，恰好取到两次白球的概率；可得随机变量的可能取值为0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出数学期望. 【详解】 由题可得每一次取到白球的概率为， 连续取球四次，恰好取到两次白球的概率为， 随机变量的可能取值为0，1，2， 则，，， . 故答案为:;1. 【点睛】 思路点睛: 求离散型随机变量的数学期望时，应首先分析出变量的可能取值，然后求出每次取值下的概率，结合数学期望公式即可求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 6大高频考点概览 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 排列与组合 考点04 二项式定理 考点05 古典概型、条件概率、全概率公式 考点06 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（     ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 2．（25-26学年·天津河北区·期中）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（       ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 3．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）下列说法不正确的是（       ） A. 对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 4．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则下列结论中正确的是（     ） A. 甲种的样本极差大于乙种的样本极差 B. 甲种的样本平均数小于乙种的样本平均数 C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差 D. 甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数 考点02 线性回归方程 1．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）已知与之间的一组数据： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于y与x的线性回归方程 ，则的值为　　　． 考点03 排列与组合 1．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（       ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 2．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有　　　　　　　　　　　　　种. 考点04 二项式定理 1．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）的展开式中的系数是　　　　　　． 2．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是　　　　　．（用数字作答） 3．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）的二项展开式的常数项为　　　　　　　 4．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）的展开式中，的系数是　　　　　　　　　　（用数字填写答案）. 5．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）的展开式中 的系数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）的展开式中的系数是　　　　　　　　　　.（用数字作答） 7．（25-26学年高三上·天津咸水沽第一中学·期中）的展开式中，项的系数为　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年·天津河北区·期中）二项式的展开式的常数项是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）在的展开式中，所有项的系数之和为　　　　　　，含的项的系数是　　　　　　.（用数字作答） 10．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）在的展开式中，的系数为　　　　　　. 考点05 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则　　　　　；设表示两个点数中奇数的个数，则随机变量的数学期望为　　　　　． X 0 1 2 P 2．（25-26学年高三上·天津第五十五中学·期中）甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为　　　　　　　　　．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为　　　　　　　 3．（25-26学年高三上·天津汇文中学·期中）某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为　　　　　　　　　　；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是　　　　　　　　　　. 4．（25-26学年高三上·天津第五十四中学·期中）某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则　　　　　　. 5．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是　　　　　　　　　　，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是　　　　　　　　　　. 考点06 随机变量及其分布列 1．（5-26学年高三上·天津第二十中学·期中）一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是　　　　　;若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的均值E（X）=　　　　　． 2．（25-26学年高三上·天津第一0二中学·期中）某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为　　　　　　；甲景点A班同学数X的数学期望为　　　　　　　． 3．（25-26学年·天津河北区·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高三上·天津红桥·期中）甲、乙、丙人练习投篮，投进的概率分别是 若人各投次，则人都没投进的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　；若表示丙投篮次的进球数，则随机变量的数学期望为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 5．（25-26学年高三上·天津田家炳高级中学·期中）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的4个小球，其中白色球2个，黑色球2个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为　　　　　　　　　　；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ，则随机变量ξ的期望为　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $