内容正文:
2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷
(测试范围:第27章:二次函数)
一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列函数中,二次函数是( )
A. B. C. D.
2.如图,二次函数的图像与轴相交于,两点,对称轴是直线,下列说法正确的是( )
A.
B.当时,的值随值的增大而减小
C.点的坐标为
D.
3.下列各点中,是二次函数图像上的点是( )
A. B. C. D.
4.已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表:根据表中信息,可得一元二次方程的一个近似根可能是( )
x
…
1
2
3
4
…
y
…
3
9
…
A. B. C. D.
5.在同一平面直角坐标系中,二次函数与一次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.如图,二次函数与一次函数的图象交于,两点,已知点,点在轴上,则不等式的解集是( )
A.或 B.或
C. D.
7.已知抛物线经过,,三点,且恒成立,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.老师出示了小黑板的题目后,同学们踊跃回答.甲说:过点;乙说:过点;丙说:;丁说:抛物线被轴截得的线段长为.这四个人的回答中,正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
9.某超市销售一种商品,每件成本为50元.销售人员经调查发现,该商品每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间满足函数关系式.若要求销售单价不得低于成本,为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为( )
A.90元 B.85元 C.80元 D.55元
10.位于我市平远中行镇的秉虹桥,始建于明朝嘉靖年间,是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠,它是形状大小相同的双孔石拱桥,每个孔内侧呈抛物线型,如图1,当一个孔的水面宽度为10米时,则拱顶离水面的高度为5米,若以一个孔的拱顶为坐标原点,桥面为x轴(不考虑拱部顶端的厚度),竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2,可计算出当一个孔的水面宽度为12米时,则拱顶离水面的高度为( )米.
A.7.2 B.6.5 C.5.6 D.6
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.若函数是关于x的二次函数,则a的值为_____.
12.抛物线 的开口方向为___________,对称轴为___________,顶点坐标为___________.
13.建筑队在工地一边靠墙处,用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库,仓库总面积为平方米,为方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门,若设米,则关于的函数关系式为________________________.
14.将抛物线向上平移3个单位长度后,经过点,则的值是_____.
15.公园草坪上,自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的离地高度(米)关于水珠与喷头的水平距离(米)的函数解析式是.那么水珠的最大离地高度是________米.
16.二次函数的部分对应值列表如下,则一元二次方程的解为___________.
…
0
1
3
5
…
…
7
7
…
三、解答题(本大题共8小题,每小题9分,共72分)
17.已知二次函数中的x,y满足如表:
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
0
3
8
…
(1)直接写出该函数图象的开口方向;
(2)当时,求自变量x的值;
(3)直接写出当时,x的取值范围.
18.已知抛物线.
(1)求证:此抛物线与x轴必有两个交点;
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上,求m的值.
19.已知二次函数的图像经过点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当为何值时,?
20.已知二次函数.
(1)直接写出抛物线的顶点坐标:________;对称轴:________;
(2)在所给的平面直角坐标系中,画出它的图象;
(3)当时,相应函数值的取值范围是________.
21.已知二次函数的图象为抛物线C.
(1)抛物线C顶点坐标为_____________;
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到抛物线,直接写出抛物线的函数解析式;
(3)当时,求该二次函数的函数值y的取值范围.
22.如图,二次函数的图象与轴交于,两点.
(1)求,两点的坐标.
(2)抛物线上点的坐标为,求的值.
(3)若是抛物线上一点,且,求的取值范围.
23.如图,已知中,,点P从点A开始,沿边向点B以的速度移动,点Q从点B开始,沿边向点C以的速度移动,P、Q分别从A、B同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止.过Q作交于点D,连结,设运动时间是秒时,四边形的面积为S.
(1) _________(用含的代数式表示);
(2)求S关于的函数解析式,并求出为多少时梯形的面积最大?最大面积是多少?
(3)连结,在运动过程中,能否使为等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过,两点,交轴于点.动点M沿x轴从点A向点B运动,过点M作x轴的垂线交于点N,交抛物线于点P.
(1)求抛物线解析式;
(2)抛物线的对称轴交于点E,顶点是点D,以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时,求点N的坐标;
(3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q,Q的横坐标为m,设该抛物线在点C与点Q之间(包含点C和点Q)的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s,t,当时,直接写出m的取值范围.
试卷第1页(共3页)
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2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷
(测试范围:第27章:二次函数)
一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列函数中,二次函数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义.形如的函数是二次函数,据此进行逐项分析,即可作答.
【详解】解:A、不是二次函数,故该选项不符合题意;
B、不是二次函数,故该选项不符合题意;
C、是二次函数,故该选项符合题意;
D、不是二次函数,故该选项不符合题意;
故选:C.
2.如图,二次函数的图像与轴相交于,两点,对称轴是直线,下列说法正确的是( )
A.
B.当时,的值随值的增大而减小
C.点的坐标为
D.
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质,掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键.
【详解】A.二次函数图像开口向上,故,A错误;
B.对称轴为,图像开口向上,当时,随增大而增大,B错误;
C.抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称,设,则,解得,故,C正确;
D.对应时的函数值,由图像可知在对称轴左侧,此时,故,D错误.
故选:C.
3.下列各点中,是二次函数图像上的点是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象上点的坐标满足其解析式.分别把、0、2代入二次函数解析式中计算出对应的函数值,然后进行判断.
【详解】解:当时,,故A错误;
当时,,故B错误;
当时,,故C错误;
当时,,故D正确;
故选:D.
4.已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表:根据表中信息,可得一元二次方程的一个近似根可能是( )
x
…
1
2
3
4
…
y
…
3
9
…
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根,熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键.根据表格中的数据可得出当时,;当时,,由此即可得出结论.
【详解】解:当时,;当时,,
方程的一个近似根的范围是,
方程的一个近似根可能是,
故选:B.
5.在同一平面直角坐标系中,二次函数与一次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点,且二次函数过原点,即可判断B,D选项,进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号,进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意,根据选项逐一讨论即可解决问题.
【详解】解:联立,
消去得,
∴,即一次函数与二次函数图象无交点,故B不正确;
令,
解得:,,
∴二次函数与x轴的交点坐标为和,故D不正确,不符合题意;
A.抛物线开口向上,对称轴在轴的右侧,则,一次函数图象经过一、三、四象限,则,即,矛盾,故该选项不正确,不符合题意;
C.抛物线开口向上,对称轴在轴的右侧,则,一次函数图象经过二、三、四象限,则,即,故该选项正确,符合题意.
6.如图,二次函数与一次函数的图象交于,两点,已知点,点在轴上,则不等式的解集是( )
A.或 B.或
C. D.
【答案】C
【详解】解:对于二次函数,令,则,
∴二次函数的图象与y轴的交点为,
∵对于一次函数,令,则,
∴一次函数的图象与y轴的交点为,
∵两个图象交于,两点,已知点,点在轴上,
.
则不等式可变形为,
即,
∴由图象可得,它的解集是.
7.已知抛物线经过,,三点,且恒成立,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标,二次函数的图象以及抛物线的对称性,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,二次函数与方程及不等式的关系.
由可得抛物线开口向下,根据抛物线对称轴为直线,结合图象求解.
【详解】解:抛物线,
∴抛物线的顶点坐标为,
∵,抛物线的顶点坐标为,
∴抛物线开口向下,
∴,
∵,
∴,
解得,
,
解得,
综上,存在实数m,使得恒成立,m的取值范围为
故答案为:.
8.老师出示了小黑板的题目后,同学们踊跃回答.甲说:过点;乙说:过点;丙说:;丁说:抛物线被轴截得的线段长为.这四个人的回答中,正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质,关键是灵活应用知识点解题;根据二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】解:∵抛物线过点,抛物线与轴交于,
∴对称轴为:,甲正确;
∵当时,,抛物线过点,
∴对称轴为:,乙正确;
∵抛物线与轴交于,,
∴,
解得:,
∴对称轴为:,丙正确;
∵抛物线被轴截得的线段长为,点在抛物线上,
∴抛物线与轴的另一个交点为:或,
∴对称轴为:或,丁错误;
综上:甲、乙、丙个人回答正确.
故选:A .
9.某超市销售一种商品,每件成本为50元.销售人员经调查发现,该商品每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间满足函数关系式.若要求销售单价不得低于成本,为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为( )
A.90元 B.85元 C.80元 D.55元
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的应用,根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键.根据题意,利润由销售量乘以每件利润得到建立利润关于售价的二次函数,利用顶点式求出最大值对应的售价.
【详解】解:设每月利润为元,则,
展开得:,
此为开口向下的抛物线,最大值出现在顶点处。顶点横坐标为:
,
因,符合条件,
故售价定为80元时利润最大,
故选:C.
10.位于我市平远中行镇的秉虹桥,始建于明朝嘉靖年间,是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠,它是形状大小相同的双孔石拱桥,每个孔内侧呈抛物线型,如图1,当一个孔的水面宽度为10米时,则拱顶离水面的高度为5米,若以一个孔的拱顶为坐标原点,桥面为x轴(不考虑拱部顶端的厚度),竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2,可计算出当一个孔的水面宽度为12米时,则拱顶离水面的高度为( )米.
A.7.2 B.6.5 C.5.6 D.6
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用,依据题意,设抛物线的解析式为,又由题意,抛物线过点,从而求出,可得抛物线的解析式为,再由一个孔的水面宽度为12时,可令,求出y即可得解.
【详解】解:设抛物线的解析式为,
又由题意,抛物线过点,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为,
当一个孔的水面宽度为12时,令,
∴.
故拱顶离水面的高度为7.2米.
故选:A.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.若函数是关于x的二次函数,则a的值为_____.
【答案】0或
【分析】本题考查了二次函数的定义,熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.根据二次函数的定义可知且,从而解得a的值即可.
【详解】解:∵函数是关于x的二次函数,
∴且,
∴且,
即且,
∴或.
故答案为:0或.
12.抛物线 的开口方向为___________,对称轴为___________,顶点坐标为___________.
【答案】 向下 直线
【详解】解:抛物线解析式为, ,
开口方向向下,对称轴为直线,顶点坐标为.
13.建筑队在工地一边靠墙处,用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库,仓库总面积为平方米,为方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门,若设米,则关于的函数关系式为________________________.
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式,根据题意先求出平行于墙的一边长为米,再根据长方形面积计算公式求解即可.
【详解】解:由题意得,平行于墙的一边长为米,
∴,
故答案为:.
14.将抛物线向上平移3个单位长度后,经过点,则的值是_____.
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移,代数式求值,将抛物线向上平移后得到新解析式,代入给定点坐标得到关于、的方程,再变形目标代数式求值.
【详解】解:抛物线向上平移3个单位长度后,解析式为.
该抛物线经过点,代入得:
则,代入得:
故答案为:.
15.公园草坪上,自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的离地高度(米)关于水珠与喷头的水平距离(米)的函数解析式是.那么水珠的最大离地高度是________米.
【答案】
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解.
【详解】∵,
∴时,y取最大值,
即水珠的高度达到最大米时,水珠与喷头的水平距离是2米,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数的应用,解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式.
16.二次函数的部分对应值列表如下,则一元二次方程的解为___________.
…
0
1
3
5
…
…
7
7
…
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合,根据表格信息可得二次函数时,,由此可得二次函数的对称轴为直线,则对应的的值为,故或,由此即可求解.
【详解】解:由表格可得,当或时,二次函数,
∴二次函数的对称轴为直线,
当时,
即对应的的值为,
∴在一元二次方程中,或
解得,,
故答案为:,
三、解答题(本大题共8小题,每小题9分,共72分)
17.已知二次函数中的x,y满足如表:
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
0
3
8
…
(1)直接写出该函数图象的开口方向;
(2)当时,求自变量x的值;
(3)直接写出当时,x的取值范围.
【答案】(1)开口向上
(2)或5
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,二次函数的对称性,二次函数与不等式,解题关键是根据表格分析二次函数的图象和性质.
(1)根据表格中对称点,可求图象对称轴,由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上;
(2)根据二次函数的对称性求表格中的对称点即可求得;
(3)根据函数的图象经过,,以及开口方向即可确定.
【详解】(1)解:∵图象经过,,
∴图象对称轴为直线,
由表格可得,时,y随x增大而增大,
∴抛物线图象开口向上;
(2)∵关于直线的对称点是,
∴当时,求自变量x的值为或5;
(3)∵函数图象经过,,开口向上,
∴当时,x的取值范围为:.
18.已知抛物线.
(1)求证:此抛物线与x轴必有两个交点;
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上,求m的值.
【答案】(1)
证明:令,得方程,
∵ ,
∴该方程有两个不相等的实数根,
∴此抛物线与轴必有两个交点.
(2)
的值为或.
【分析】(1)计算抛物线对应一元二次方程的判别式,证明其恒大于0即可得证;
(2)利用y轴上点的横坐标为0的性质,代入两个函数解析式令函数值相等,列方程求解m.
【详解】(1)略
(2)解:∵抛物线与直线的一个交点在轴上,
∴该交点的横坐标为,
将代入抛物线解析式,得,
将代入直线解析式,得,
∴, 整理得,
解得,,
综上所述,的值为或.
19.已知二次函数的图像经过点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当为何值时,?
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由于二次函数经过点,所以可以设出二次函数的交点式,代入点,即可用待定系数法求出其解析式.
(2)结合二次函数的图像进行分析,得到时的取值范围.
【详解】(1)解:二次函数的图像经过点,
设二次函数的交点式为,
将点代入解析式得:,
解得,
二次函数的解析式为.
(2)解:二次函数的图像经过点和,且二次项系数,
可知抛物线开口向上,
要使,即抛物线在轴的上方,对应的取值范围是或.
20.已知二次函数.
(1)直接写出抛物线的顶点坐标:________;对称轴:________;
(2)在所给的平面直角坐标系中,画出它的图象;
(3)当时,相应函数值的取值范围是________.
【答案】(1),直线
(2)所画函数图象如图所示
(3)
【分析】(1)将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴;
(2)先求出5个点的坐标,再描点、连线,即可得到抛物线的图象;
(3)根据(2)中函数图象即可得出结果.
【详解】(1)解:,
∴顶点坐标为,对称轴是直线;
(2)解:由(1)得顶点坐标为,
当时,,
,
,,
∴与x轴交点为,,
当时,,
∵与关于直线对称,
∴当时,,
∴五个点为(、、、、,所画函数图象略.
(3)解:当时,由图象可得:.
21.已知二次函数的图象为抛物线C.
(1)抛物线C顶点坐标为_____________;
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到抛物线,直接写出抛物线的函数解析式;
(3)当时,求该二次函数的函数值y的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据二次函数的顶点式(),其顶点坐标为即可求解;
(2)根据抛物线平移遵循“左加右减,上加下减”的规律求解;
(3)由题得抛物线的对称轴为直线,可得时,y随x的增大而增大,时,y随x的增大而减小,再得到最值即可求解.
【详解】(1)解:对于二次函数的顶点式(),其顶点坐标为.
在二次函数中,,,
所以抛物线的顶点坐标为.
(2)解:抛物线先向左平移个单位长度,即将变为,
得到,
再向上平移个单位长度,即在整体上加,
得到抛物线的函数解析式为;
(3)解:,
∴,抛物线开口向上,对称轴为,
当时,y随x的增大而增大,
当时,y随x的增大而减小,
当时,y有最小值1.
当时,;
当时,;
,
∴当时,.
22.如图,二次函数的图象与轴交于,两点.
(1)求,两点的坐标.
(2)抛物线上点的坐标为,求的值.
(3)若是抛物线上一点,且,求的取值范围.
【答案】(1),
(2)或
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的结合、二次函数上点的坐标特征以及二次函数在给定区间内的最值问题,关键是掌握二次函数的图象性质与方程的结合.
(1)求二次函数与轴的交点,只需令,解一元二次方程即可;
(2)点在抛物线上,将点的坐标代入函数解析式,得到关于的一元二次方程,解方程即可;
(3)先将二次函数化为顶点式,确定其开口方向与顶点坐标,再结合给定的的范围,分析的最值,从而确定取值范围.
【详解】(1)解:令,则,
因式分解得,解得,,
由图象可知点在轴负半轴,点在轴正半轴,
故,;
(2)解:∵点在抛物线上,
∴将代入解析式得,
解得或.
故或;
(3)解:,
∵抛物线开口向上,顶点坐标为,
又∵,
∴当时,取得最小值;
当时,;
当时,;
比较可得,当时,的最大值为,最小值为,
故的取值范围为.
23.如图,已知中,,点P从点A开始,沿边向点B以的速度移动,点Q从点B开始,沿边向点C以的速度移动,P、Q分别从A、B同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止.过Q作交于点D,连结,设运动时间是秒时,四边形的面积为S.
(1) _________(用含的代数式表示);
(2)求S关于的函数解析式,并求出为多少时梯形的面积最大?最大面积是多少?
(3)连结,在运动过程中,能否使为等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)当秒时,S最大值
(3)存在,当或时为等腰三角形
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和平行线线的性质可得,然后求出即可;
(2)本题主要考查了列代数式、运用二次函数的性质求最值等知识点,根据已知条件表示出,然后利用梯形的面积公式得到,然后利用二次函数的性质可以求出s的最大值即可;求出梯形面积的函数表达式是解题的关键;
(3)如图:过D作,垂足为H,即是矩形,然后可得,,;再
分、、三种情况,分别根据勾股定理得到列出方程并求解即可解答.
【详解】(1)解:由题意得:,
∵在中,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∴.
(2)解:依题意得,
∴,
∴当秒时,S最大值;
(3)解:存在,如图:过D作,垂足为H,即是矩形,
∴,,,,,
∴,,,
①当时、
则,整理得:,解得:(舍去),,
②当时,则,整理得:解得:或(大于都舍去);
③当时,,则,整理得解得:或(舍去);
综上所述,当或时为等腰三角形.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值、等腰三角形的性质、勾股定理、列代数式等知识点,综合运用所学知识成为解题的关键.
24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过,两点,交轴于点.动点M沿x轴从点A向点B运动,过点M作x轴的垂线交于点N,交抛物线于点P.
(1)求抛物线解析式;
(2)抛物线的对称轴交于点E,顶点是点D,以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时,求点N的坐标;
(3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q,Q的横坐标为m,设该抛物线在点C与点Q之间(包含点C和点Q)的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s,t,当时,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果;
(2)将抛物线解析式化为顶点式得出,求出,从而可得直线的解析式为,进而得出,,设,则,,求出,由题意可得,要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形,则,得出,由此计算即可得出结果;
(3)由(2)可得抛物线的顶点坐标为,点的坐标为,分四种情况:当时,当时,当时,当时,分别结合二次函数的性质计算即可得出结果.
【详解】(1)解:∵抛物线经过,两点,
∴,
解得,
∴抛物线解析式为;
(2)解:∵,
∴,
在中,当时,,即,
设直线的解析式为,
将,代入解析式得
,解得,
∴直线的解析式为,
当时,,即,
∴,
∵动点M沿x轴从点A向点B运动,过点M作x轴的垂线交于点N,交抛物线于点P,
∴设,则,,,
∴,
由题意可得,
∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形,则,
∴,
∴或
解得(此时点与点重合,不符合题意,舍去)或,
解得(不符合题意,舍去)或,
∴当时,,当时,,
∴或;
(3)解:由(2)可得抛物线的顶点坐标为,点的坐标为,
∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q,Q的横坐标为m,
∴当时,抛物线在点C与点Q之间(包含点C和点Q)的部分单调递增,最高点为点,最低点为点,即,,则,不满足条件;
当时,抛物线在点C与点Q之间(包含点C和点Q)的部分的最高点为顶点,最低点为点,即,,则,满足条件;
当时,抛物线在点C与点Q之间(包含点C和点Q)的部分的最高点为顶点,最低点为点,且点的值小于,即,,则,不满足条件;
当时,抛物线在点C与点Q之间(包含点C和点Q)的部分的最高点为顶点,最低点为点,即,,
∵,
∴,
解得或(不符合题意,舍去)
综上所述,当时,m的取值范围为或.
试卷第1页(共3页)
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