学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（上海专用，新教材沪教版五四制九年级上册第27.1～28.1章：二次函数+成比例的线段）

**基本信息** 聚焦二次函数与比例线段核心内容，通过基础题（如二次函数定义判断）与综合题（如梯形停车场面积最值）结合，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|比例性质、二次函数定义与图像|基础巩固，如第2题二次函数定义判断| |填空题|11/44|比例计算、二次函数变换、实际应用|创新应用，如第15题雨伞抛物线模型、第17题“2026-优点”新定义| |解答题|7/82|二次函数表达式、几何综合、最值问题|综合探究，如第21题停车场面积最值（模型意识）、第24题抛物线与几何图形综合（运算推理）|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版九年级上册第27.1~28.1章二次函数+成比例的线段。 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 4．下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．如果，那么代数式的值是______． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 9．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 10．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 11．如图，，如果，那么___________． 12．如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 13．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 14．抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 _____． 15．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    16．已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 17．在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 三、解答题:(本大题共7题，共82分【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）已知，，求的值． 19．（10分）如图，中，点D在边上，，．求证：． 20．（10分）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 21．（12分）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 22．（12分）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 23．（13分）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 24．（15分）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共44分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.（10分） 19.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （10分） 21.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分） 23. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 ◆ 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题4分，共24分) 1HA][B][C][D] 3.[A][B][CJ[D] 5.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共44分） 7 8 9. 10 11 13. 16. 17 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.(10分) 19.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 3 2 十23 LL 21.(12分) E G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ : 22.(12分) 23.(13分) 情存各颗日的竺颗区域内作答.超出里色矩形边框限定区域的答案于效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 24.(15分) y B o 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 1 3 6 B B D C 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，共44分） 1.7 8.(0,-5) 9.400 10.a<0 11.8 12. > 13.15-5v5 14.(6,2) 15.6 16(0,6) 17.（62020）或2,2028) 三、解答题：（本大题共7题，共82分【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18.(10分) 【详解1解：设？号==k,则a=2k,b=3认，c=5h,…2分) .a-c=-12, ∴.2k-5k=-12, 解得k=4, a=8,b=12,c=20,…(8分) .a-2b+3c=8-2×12+3×20=44.(10分) 19.(10分) 【详解】证明：DE∥AB, CE CD AEBD,·(4分) :DF∥AC, AF CD BFBD,·(8分) AF CE FBAE· …(10分) 20.(10分) 117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为=a(x-l)+3 ·抛物线过 (0,2) ∴2=a(0-1)}+3 得a=-1 抛物线的表达式为：)=-(x-+3.…(5分) 2)点C3) ∴t=-(3-1)}+3=-1 .C(3,-1) ·43)B0,2) :AB=V2+3-2}-2.BC=32+(2+1=32,4C=V3-1+3+=25 .AB2+BC2=AC2 ∴.∠ABC=90°. 46c-x35=3,(a0分) A 4 3 2KB 3-2-10 -2 21.(12分) 【详解】(1)解：，四边形EFG是矩形， ∴∠EHG=∠EHD=∠FGH=∠FCC=90°，EF=HG,FG=EH=xm, 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠C=∠D=45°， ,△DEH与△CFG都是等腰直角三角形， ∴.DH=EH=CG=FG=xm, HG=CD-DH-CG=(200-2x)m .EF=HG .EF=(200-2x)m “;…(4分) (2)解：由图可知，AB≤EF<CD, ∴.40≤200-2x<200, 解得0<x≤80；…(8分) (3)解：S=EH-EF=x(200-2x)=-2x2+200x=-20x-50+5000 -2<0」 ∴.该二次函数的图象开口向下， ∴.当x=50时，S取得最大值5000， 答：该矩形停车场的最大面积为5000m.…(12分) 22.(12分) 【详解】(1)解：：点-在二次函数”=-+x+b的图像上， 把=3y= 代入-++6，每1=-9+动+6 解得：b=2」 ·二次函数的解析式为'=-r+2x+2 ∴.对称轴为直线x=1. 1,3) 顶点的坐标为 …(6分) (2)解：二次函数的解析式化为’=-(x-)+3 ,将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位， 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·平移后新二次函数的解析式为’=-(+3)'+3+1 “平移后图像经过点化5) 把x=1,y=-5代入y=-(+3+3+1,得-5=-16+3+1 解得：t=8.…(12分) 23.(13分) 【详解】(1)解：=r+2x+c=(+1+c- ∴.顶点坐标为(-1，c-1), 由题意，得： 1-（-1)=4(-2-c+1) 3 解得：C=2:…(6分) (2)解：设与点P互为阶点”的这一点为x+3x+ 表标“，卧点的定义可得：1=+3红+1-2+别 整理得： tx2+(3t-1)x+1=0 只存在一个点与点P互为“t阶点”， :4=(31--4=0 1 解得1=9或1=1·…(13分) 24.(15分) [c=0 9a+3b+c=0 【详解】（a)解：将(0.0）°4B,0°B4,2)代入y=ar+bc+e 得， 16a+4b+c=2' 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 c=0 1 Q= 解得， 2 b=- 2 抛物线的表达式为y=)r23 1 2;…(3分) (2解：如图1，连按0B,在04上取点D,连接D交抛物线，使D0=∠B01, P B D 图1 ∠PBO=∠BOA .OD=BD. 设D(m0）,则0D=m2,BD=(4-m+22 m2=(4-mj}+22 5 解得，m= 2 设直线BD的解析式为y=ac+d, 将B(4,2)、 0代入得， +4=0 4k+d=2, 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得， 10 d=- 410 ·直线BD的解析式为y= 3: 410 3 3 联立 .5 x= 3 解得， x=4或1 10, y=2 如图1， BC‖x轴， ∴.∠CBO=∠BOA,B、C关于对称轴对称， 又，∠PBO=∠BOA, B与C重合， y= 2, 2 3 ·对称轴为直线=一 1 2 2, 2 xc+43 ∴.2 2, xc=-1 解得， :C-12) -2) 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 510 综上所述，点P的坐标为39或12)，…(10分) (3)解：如图2， 图2 BC OA 由题意知， 两直线的距离为2， 04=2n-3,8g=2p-3.-4.p0--2 解得，p+n=3d-4 d, :5=2m-3+2n-32=2x34=46=8 2 d d, p-n>4-2, .d<-2, 8 5=(d<-2).…15分) 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版九年级上册第27.1~28.1章二次函数+成比例的线段。 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 4．下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．如果，那么代数式的值是______． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 9．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 10．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 11．如图，，如果，那么___________． 12．如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 13．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 14．抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 _____． 15．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    16．已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 17．在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 三、解答题:(本大题共7题，共82分【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）已知，，求的值． 19．（10分）如图，中，点D在边上，，．求证：． 20．（10分）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 21．（12分）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 22．（12分）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 23．（13分）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 24．（15分）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版九年级上册第27.1~28.1章二次函数+成比例的线段。 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴交叉相乘得， 即选项B正确； 选项A为，与推导结果不符； 选项C和D仅为特例，不一定成立，因此错误， 故选：B． 2．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 4．下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项符合题意； C、，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意； 故选：B． 5．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 6．已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 9．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【答案】400 【详解】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 10．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 11．如图，，如果，那么___________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8 ． 12．如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴． 故答案为． 13．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 14．抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 _____． 【答案】 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为，即为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即， 故答案为：． 15．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 16．已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 与互相垂直平分，， 轴， 设， 点， ， ∴， 点、在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 故答案为：． 17．在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 【答案】或 【详解】解：∵点满足，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点为“-优点”满足， ∵点C在抛物线上， ∴可设， ∵点C是“2026-优点”， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， 故点C的坐标为或． 检验：对于点，有； 对于点，有． 两点均满足题意． 三、解答题:(本大题共7题，共82分【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）已知，，求的值． 【详解】解：设，则，……（2分） ∵， ∴， 解得， ∴，……（8分） ∴．……（10分） 19．（10分）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【详解】证明：， ，……（4分） ， ，……（8分） ．……（10分） 20．（10分）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：．……（5分） （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ．……（10分） 21．（12分）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴；……（4分） （2）解：由图可知，, ∴， 解得；……（8分） （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为．……（12分） 22．（12分）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴把，代入，得． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线． 顶点的坐标为．……（6分） （2）解：二次函数的解析式化为． ∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图像经过点， ∴把，代入，得． 解得：．……（12分） 23．（13分）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，                 由题意，得：， 解得：；……（6分） （2）解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：，                                 ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或．……（13分） 24．（15分）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为；……（3分） （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或；……（10分） （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴．……（15分） 1 / 2 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