专题03 二次函数图像与直线（线段）的交点问题（题型专练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与直线交点的坐标、个数、截线长及平行四大核心问题，以“原理-方法-典例-变式”构建系统性训练体系，强化方程思想与数形结合，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交点坐标问题|1典例+3变式|联立解析式→消元得一元二次方程→解方程求坐标|从坐标满足双解析式的本质出发，构建代数求解模型| |交点个数问题|1典例+3变式|联立方程→判判别式△值→确定交点个数（2/1/0个）|承接坐标问题，通过方程解的情况实现数形转化| |截线长问题|1典例+3变式|水平/垂直/斜线段分别用横纵差绝对值、距离公式计算|基于交点坐标延伸，强化坐标运算与几何度量| |平行问题|1典例+4变式|利用平行直线斜率关系，结合交点条件列方程求解|综合运用前序知识，培养模型意识与推理能力|

专题03 二次函数图像与直线（线段）的交点问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数图像与直线交点坐标问题 题型02 二次函数图像与直线交点个数问题 题型03 二次函数图像中的“截线长” 题型04 二次函数图像中的平行问题 ▌题型01 二次函数图像与直线交点坐标问题 图例 思路 解题原理：交点既在抛物线上又在直线上，那么坐标同时满足两个解析式子。 解题方法； （1）两个解析式联立方程组 （2）消去y，得到一元二次方程： （3）解方程求出x的值，再代入方程组求出y的值即可。 【典例1】如下图，二次函数的图象与直线相交于点，B．已知点A的横坐标为． 求： (1)该二次函数的表达式． (2)点B的坐标． 【变式1-1】已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 【变式1-2】如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【变式1-3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2． (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)根据图象判断，当x满足什么条件时，？ (3)抛物线上有两点，，且，求m的取值范围． ▌题型02 二次函数图像与直线交点个数问题 交点个数 2个交点 一个交点 没有交点 图例 思路 有两组公共解 只有一组公共解 没有公共解 【典例2】已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为．    (1)求的表达式； (2)若直线与仅有唯一的交点，求m的值； (3)若抛物线关于y轴对称的抛物线记作，平行于x轴的直线记作，试结合图形回答：当n为何值时，与和共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点； 【变式2-1】如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； 【变式2-2】已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上． (2)若该函数的图象与函数的图象有两个交点，则b的取值范围为 ． (3)该函数图象与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范围． 【变式2-3】已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． ▌题型03 二次函数图像与直线的“截线长” 1. 二次函数图像中的“截线段” 类型 图例 思路 水平线段 AB=|| 垂直线段 AB=|| 斜线段 AB= 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标． 【变式3-1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【变式3-2】小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值． 0 1 2 3 4 3 0 (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，x的值为 ； (3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ． 【变式3-3】如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为． (1)求二次函数的解析式和直线的解析式； (2)点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，当点在第一象限时，满足，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． ▌题型04 二次函数图像中的平行问题 类型 平行于y轴 平行于y轴 普通平行 图例 规律 x=m y=m 【典例4】图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 【变式4-1】图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，已知函数 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点且 (1)求点A，B，C的坐标； (2)求与直线BC平行并与函数只有一个交点的直线l的表达式； (3)直接写出不等式的解集． 【变式4-3】如图，抛物线与直线交于点，．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线与y轴平行，交直线于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标． 【变式4-4】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，点为直线下方抛物线上一点，过点作平行于的直线，交于点，连接、、、，如图1，记、的面积分别为，，设，求的最大值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 二次函数图像与直线（线段）的交点问题 参考答案 E 典例精析 【典例1】 【答案】仙y=4 (2)(4,4) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的 性质， (1)直接利用待定系数法即可得出二次函数的表达式： 1 (②)令4=x+2即可得出交点的横坐标，进一步代入得到交点的纵坐标。 2 【详解】(1)解：点4的横坐标为2：且点A在直线y=2+2上， ÷点4的纵坐标为2×-2)+2=1， ∴点A的坐标为(-2,1) 又点A(-2,)在二次函数y=x的图象上， l=a-2,解得0=子， 该=次函数的表达式为= 2+2,解得x=-2,x4. 将x=4代入y=2+2,得y=2X4+2=4, .点B的坐标为(4,4) 【变式1-1】 【答案】()一次函数表达式为y=-x-2,二次函数的解析式为y=- (2)B(2,-4) 1/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解一次函数y=c-2的图像相过点A-L,-), ·1=-k-2,解得k=-1, ·.一次函数表达式为y=-x-2, y=ax2过点A(-1,-1) ∴.-1=a×(-l)2,解得a=-1, ∴二次函数的解析式为y=-x: [y=-x-2 (2)解：由一次函数与二次函数联立可得y=-x， x=-1x2=2 解得以=1=4 .B(2,-4) 【变式1-2】 11 【答案】(14的坐标是(-L,-),点B的坐标是22 2)-1<x<2 y=-2x2+1 【详解】(4)解：根据题意，得=x 1 X= 2 解得x=-1或 1 y=-1 y22 4的坐标是1-小点因的坐标起》： (2)解：根据图象，>2时，乃的图象在2的图象上方， 1 此时-l<x< 2 【变式1-3】 【答案】(1)(-1,0)和(3,0) (2)x<-l或x>2 (3)m>-1 2121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：将x=2代入直线2=x+1得y=3, 将C(2,3)代入抛物线y=-x2+2x+c,得-22+2×2+c=3, 解得：C=3, 即y=-x2+2x+3, 令八=0，得-x2+2x+3=0, 解得x=-1或3， 则求抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0)： (2)由图象可得：当x<-1或x>2时，<y2: (3)由题意得p=-m2+2m+3,9=-(m+4)2+2(m+4)+3=-m2-6m-5. p>9, .p-9=8m+8>0 .m>-1 【典例2】 【答案】(1)y=-(x+1)2+4 am-4 (3)当n=4时，有两个交点；当n=3时，有三个交点；当3<n<4或n<3时，有四个交点 【详解】(1)设9的表达式为y=a(x-h)'+k,顶点是A(-l,4), h=-1 则可得1k=4' y=ax+l)'+4,代入点D0,-3), 则：3=a(0+1)2+4, .a=-1, y=-(x+1)2+4 (2)直线与抛物线有唯一的交点， y=-(x+1)2+4 y=x+m 则：x2+3x+m-3=0, 3121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△=9-4(m-3)=0, 21 .m= 4. (3)由题意可作如图所示： y 4 3米D 43-210 234x -1 -3 结合图象可知：当n=4时，y=4,有两个交点： 当n=3时，y=3有三个交点： 当3<n<4或n<3时，有四个交点. 【变式21】 【答案】(1)y=-x2-2x+3 .9 20<m≤4 【详解】(1)解：抛物线顶点横坐标为-1， b -2 .北= 2a2a =1, .a=-l, ∴抛物线表达式为y=-x2-2x+3, (2)解：，抛物线表达式为y=-x2-2x+3, 当y=0时，0=-x2-2x+3,即x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1(舍去)，故A(-3,0)」 当x=0时，y=3,故B(0,3). 设直线AB的解析式为y=cx+b -3k+b=0 将点A(-3,0)与点B(0,3)代入得，b=3 4121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [k=1 解得b=3 ∴直线AB的解析式为y=x+3 向上平移m个单位后，直线表达式为y=x+3+m 与抛物线y=-x2-2x+3联立得：-x2-2x+3=x+3+m, 整理得：x2+3x+m=0 .抛物线与直线有交点时，△=32-4×1×m=9-4m≥0， 解得m 4 又，m>0, ∴m的取值范围为0<m 4 【变式22】 【答案】(1) 证明：y=x2-2mx+m2+m-1=(x-m)2+m-1. .抛物线的顶点坐标为(m,m-), 表明顶点的纵坐标比横坐标小1，即y=x-1, :不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=x-1的图象上. 2b>-5 4 片w且e片5.超利发与尘东鞋有三个不的，如-15 2或m=1时，抛物线与坐标 轴有两个不同的交点；当m>1时，抛物线与坐标轴有一个交点。 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握判别式的应 用是解答本题的关键， (1)通过转化解析式解出项点坐标即可证明： (2)联立两个函数，根据判别式确定b的取值范围即可： (③)先计算△=4m-4:根据判别式判断与坐标轴的交点个数，抛物线与y轴交点过原忘时m=-1士5 2 分别解不等式即可得到结果。 【详解】(1)略 5121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：联立两个函数可得：x2-2mx+m2+m-1=x+b, 整理得：x2-(2m+1)x+m2+m-1-b=0 根据题意和判别式得：△=(2m+1)2-4(m2+m-1-b)>0, 解得：b>-5 4· 故答案为：b>- 4 (3)解：y=x2-2mx+m2+m-1, △=4m2-4×1×(m2+m-1)=-4m+4, 当△>0时，即-4m+4>0,此时m的范围为m<1: 当x=0时，v=0即抛物线过原点时m2+m-1=0解得：m=土V5 2 m<1且m≠±5 2二时，抛物线与坐标轴有三个不同的交点： 当m=二l±V5 2产时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点： 当△=0时，-4m+4=0,即m=1时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点： 当△<0，-4m+4<0,即m>1时，抛物线与坐标轴有一个交点， 综上：当如且：片5地物设与坐经指有三个不用的发，当而共店 2二或m=1时，抛物线与 坐标轴有两个不同的交点；当m>1时，抛物线与坐标轴有一个交点. 【变式2-3】 【答案】(1)m=-3 (2)△BCD为直角三角形，S,BCn=3 (3)k=4-2√6或-1 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+4x+m对称轴为直线x=2,顶点为点C, ∴.顶点C(2,4+m) :△BAC为等腰直角三角形.过点C作CH⊥AB, .'AH=BH=CH, 6121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=2(4+m) HB D 当y=-x2+4x+m=0时， 解得：x4=Vm+4-2:xg=Vm+4+2, .AB=-xa=21m+4: :.2Wm+4=2(4+m),解得：m=-3: (2)由(1)得：抛物线y=-x2+4x+m=-x2+4x-3 .当y=0时，-x2+4x-3=0,解得：=1，x2=3 :已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴的交点分别为A,B(4在B的左侧) D A1,0),B(3,0) :x=0时，y=-3, .C(0,-3) :CD=√4+16=√20=2√5，BD=V9+9=V18=3√2，BC=V1+1=√2 .BD2+BC2 CD2 .△BCD为直角三角形：∠DBC=90°， ..c3 1 7121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3):抛物线y=-x2+4x-3在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为y=-x2+4x-3引 :直线y=+3与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： y=kx+3 ①当直线y=+3与抛物线y=-x2+4x-31≤x≤3)相切时，故联立得y=-x2+4x-3 整理得：x2+(k-4)x+6=0 :直线y=:+3与抛物线y=-x2+4x-3(1≤x≤3)相切 “方程x2+(k-4)x+6=0有两个相等实数根 即：△=(k-4)-24=0 解得：k=4-2V6,k=4+2V6(舍)， ②当当直线y=x+3经过点B(3,0)时，3k+3=0,解得k=-1,故联立得 y=-x+3 y=-x2+4x-3(1≤x≤3) 整理得：x2-5x+6=0,解得x=2,3=3.满足题意. 综上所述：k=4-2√6或-1. y 3 2.5 1.5 0.5 =1 45 【典例3】 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)点P(2,-3) 【详解】(1)解：：点B(3,0),OB=OC .OB=OC=3,且点C在y轴负半轴， 8121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴点C0,-3),即c=-3, :抛物线y=x+br+c经过点B,点C, .∴.0=9+3b+c 「b=-2 c=-3' .抛物线y=x2-2x-3: (2)如图2，过点P作PF⊥AB, 0 抛物线 与轴交于、两点， D P 图2 y=x2-2x-3 x A B ∴当y=0时，0=x2-2x-3, =-山，3=3 点A(-1,0), ∴.0A=1, 设AC的解析式为ykx+b 则易得y3x3 AC∥PQ ,可设PQ的解析式为y=-3x+m 点g0】 由PQ与抛物线解析式组成方程组 y=x2-2x-3 y=-3x+m 解之得0：1+4+亚成0-14mt正 2 (舍) 2 点B(3,0),点C0,-3) 9121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .直线BC解析式为y=x-3, 由PQ、BC解析式与抛物线解析式组成方程组 y=x-3 y=-3x+m 解之得xDm+3 PD=DO. x知xp+xo 2 m+3_1m,-1+√4m+13 4 23 2 .m=3或m=9 ,=2,p=3(不合题意舍去) 点P2,-3) 【变式3-1】 【答案】(1) .△=(a-1)2-4(a-2) =a2-6a+9 =(a-3)2≥0， ·该方程总有两个实数根： (2)a=1或5 【详解】(1)略 (2)解：令y=0,得：x2-(a-1)x+a-2=0 .x+x3=a-1,x2=a-2, .(-x)=x2+x2-2xx2=(+x)》-4xx2=(a-1)2-4(a-2), :抛物线y=x-(a-l)x+a-2与x轴交于点A,B,且4B=2, .x-x3=2, .(x-x3)=(a-1)2-4(a-2)=4, 化简为：a2-6a+5=0, 10/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：a=1或5 【变式32】 【答案】(1)y=-x2-2x+3 (2)-3或1 (3)n<-5 【详解】(1)解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(~山，4)， 设二次函数的表达式为y=a(x+l)2+4(a≠0)， 将，0)代入得4a+4=0, 解得a=-1, .该二次函数的表达式为y=-x2-2x+3； (2)令y=0,则-x2-2x+3=0, 解得：x=-3,x2=1: (3)令-x2-2x+3=n, 整理得x2+2x-3+n=0, 设点A、B的横坐标为，x, .x,x2是方程x2+2x-3+n=0的两个实数根， x+x2=-2,xx2=n-3 AB>6, x-x2>6, .(x-x2)2>36. (:+x)2-4xx2>36,即4-4(n-3)>36, .n<-5, n的取值范围是n<-5 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问 题是解题的关键。 【变式3-3】 【答案】(1)y=-x2+2x+3,y=-x+3 11/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2P(2,1) 3)存在，(-1,0)或(4，-5) 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为：y=a(x-1)+4, 点B3,0)在抛物线上， ∴.4a+4=0, ∴a=-1, y=-(x-1+4=-x2+2x+3 令x=0得y=3, .D(0,3), 设BD:y=x+b,根据题意，得 b=3 3k+b=0 k=-1 解得1b=3’ .BD:y=-x+3; (2)解：设P(m,-m+3),则M(m,-m2+2m+3),N(m,0) PM =2BN, .-m2+2m+3-(-m+3)=2(3-m）, 解得m=2,m=3(舍)， P(2,): (3)解：作E1BD于点E, B 作OF⊥x轴交BD于F, 12/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点B(3,0),D0,3), ∴B0=D0=3 ∠BOD=90°， ∴.∠BD0=∠DB0=45° QF∥OD」 .∠EFQ=∠BD0=45°. .∠E0F=90°-45°=45°， ∴EF=EQ=2√2 0F=22j+22=4, 设en,-m2+2n+3）, F(n,-n+3), ∴0F=-n2+2n+3-(-n+3=-n2+3nl=4, 即-n2+3n=4或-n2+3n=-4, 则n2-3n+4=0或n2-3n-4=0, 六△=9-16=-7<0或(n+1(n-4)=0, ∴此方程无解，或n=-l或n=4, ∴0(-1,0)或Q(4,-5). 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 等腰直角三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键 【典例4】 【答案】(1)y=-x2+2x+3: (2)SMCD最大=8： 【详解】(1)：点A(-1,0),C(0,3)在二次函数图象上， [0=-1-b+c .3=c .b=2, 13/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.y=-x2+2x+3 (2):y=-x2+2x+3与x轴有两个交点， .0=-x2+2x+3, 点B(3,0), .对称轴为：x= -1+3=1, 2 C(0,3), ∴.设直线BC的解析式为：y=:+b(k≠0)， 3=b 10=3k+b' y=-x+3, :点D在直线BC上，且横坐标为1， 点D12) 过点M作CD的平行线，当点M与二次函数y=-x+br+C有且仅有一个交点时，即△MCD面积有最大 值， 设直线马的解析式为：=-x+b, :直线马与二次函数y=-x2+bx+C有且仅有一个交点， -x2+2x+3=-x+b有一个实数根， ·△=b2-4ac=32-4×(-103-b)=0, 623 4 21 .设直线1的解析式为：=-x+ 4 y=-x2+2x+3 +21 乃=-x+ 得M3,5）: 2'4 过点D作DH⊥x轴交x轴于点H,过点M作MF⊥x轴交x轴于点F, ,∴.△CDM的面积等于梯形COFM减去梯形COHD减去梯形DHFM, 5m39}r32+12+}分8 14/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式41】 【答案】(1)y=-x2+2x+3: 3存在，Q(N5-1,-5)咸5-1,5) 【详解】(1)：点A(-1,0),C(0,3)在二次函数图象上， 0=-1-b+c .3=c .b=2, ,y=-x2+2x+3 (3)存在，理由如下： :点A与点P关于直线CQ对称 ∠ACQ=∠PC9,∠A0C=LPOC,AC=CP, ..ACOPCO ..A0=PO, :AC∥PQ .∠ACQ=∠CQP, ∴.∠PC0=LCoP, ..CP=PO ..AQ=CP=PO=AC, ∴四边形ACPO是菱形， ∴连接AP,CQ交点为点G, 点G是AP,CQ的中点， A(-1,0),C(3,0) 15/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=V+32=10, .CP=10, 设点P(a,-a+3), ∴V0+a+(3-a+3)}=1o, ∴a=t5, ·点(5，-5+3，B(5,5+3) :A点可由C点先向下平移3个单位再向左一个单位得到， ∴，Q点可由P点先向下平移3个单位再向左一个单位得到， ÷点0(N5-1,-5).点0(5-1,5) P2 B 【变式42】 【答案】(1)4(1,0)，B(3,0),C(3,0): 21 (2)y=-x+ 4: 3)x<1或x>2 【详解】(1)在y=-x2+2x+3中，令y=0,可得-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, ∴A点的坐标为(-1,0)，B点的坐标为(3,0)， 在y=-x2+2x+3中，令y=0,可得y=3, .C点的坐标为(0,3)： 16/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设直线BC的解析式为y=:+b,将B(3,0),C(3,0)两点分别代入， 3x+b=0 可得 b=3, k=-1 解得1b=3' ∴.直线BC的解析式为y=-x+3 设与直线BC平行且与函数y=-x+2x+3只有一个交点的直线l的表达式为y=-x+a, y=-x+a 由题意得y=-x2+2x+3得x2-3x+a-3=0' :直线1与函数y=-x2+2x+3只有一个交点， .y=(-3)}-4x1x(a-3)=0, 都的a 21 .直线，的表达式为y=-x+ 4 (2)x<1或者x>2」 y=-X+5 由题意得 y=-x+5 y=-x2+3X-2 可得-x2+2x+3=-x+5, .-x2+3x-2=0 得=1，为3=2： 如图，可知抛物线y1=-x2+3x-2与直线y2=-x+5交点的横坐标为=1，x=2: “y1<y2的解集为x<1或者x>2 即不等式-x2+2x+3<-x+5的解集为x<1或者x>2 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，熟悉并掌握二次函数与方程、不等式的联系是本题的解题关 17/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 键 【变式43】 【答案1y=+2x+月 2eL)或e6)减g2)或e6,2) 【详解1（四秘物线y=m+x+与直线6交于点4-0.44引 0=a-b 2 J =16a+4b+ 2 1 解得： a2, b=2 抛物线的解析武y2+2x+用 (2)假设存在这样的点P、Q,使以点P,Q,C,D为顶点的四边形为平行四边形. 2x+2x 1 51 ,y= 与Cx-2+号，点D是抛物线的顶点，CDM轴 2- 9 D2, 设直线AB的解析式为：y=+m, 0=-k+m 则： 2 =4k+m' 1 k= 2 解得： 1 m22 1 1 y=5x+ 2 2 当x2时，y2 18/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 D2,2, .CD=3 ①当CD为平行四边形的边时，P2∥CD,PQ=CD 设Px+2+月.测：0时+ 1 如图，当P在O点上方时： D 11111 B 0 P0=42x+-3 22x-2 解得，x=1或x=2(舍去)， .01,)； 当P在Q点下方时： D ++x-2x-=3, P№=2x+ 22 2 解得：x=5或x=-2 19/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q63)成02)： ②当CD为平行四边形的对角线时， y D 过点P作PE⊥CD于点E,过点O作OF⊥CD于点F,则PE=OF,DE=FC, 设x+2x+3.则E0+2x+月， 04-x0,r0刘 .51 ”22, 由pE:Cr得号-(+2r+3- 9 5、513 -x- 21 22 2, 解得，x=1或x=2(舍去)， ∴.0(3,2) 综上： QL)政Q5,3)或9-2或Q6.2)时，点B,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形. 【变式44】 【答案】(1)y=x2-4x+3 28 1+b+c=0 【详解】(1)解：将点A1,0)B(3,0)代入y=x2+bx+c,得9+3b+c=0: b=-4 解得c=3,∴抛物线的解析式为y=x-4红+3 (2)解：抛物线与y轴交于点C,.C(0,3), :点P为直线BC下方抛物线上一点，：设P(m,m2-4m+3)(0<m<3), 20/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [k+b=0 设直线4C的解析式为y=x+h:将点A0,0)C(0,3)代入，得6=3 k=-3 解得6=3，∴直线4C的解析式为=-3x+3” 3k3+b2=0 设直线gC的解析式为为=k,x+,'将点B3,0)'C(0,3)代入，得b,=3, [k2=-1 解得么，=3，直线BC的解析式为y=-x+3 :DP∥AC, 设直线DP的解析式为为=-3x+b,将P(m,m2-4m+3)代入，得-3m+b,=m2-4m+3, b=m2-m+3,直线DP的解析式为y=-3x+m2-m+3, 联立直线DP的解析式=-3x+m2-m+3和直线BC的解析式2=-x+3,得-3x+m2-m+3=-+3,解 用将 2“代入为=-x+3 2 2 23 9 9 2 3 对称轴为直线m=- 3)2· ,且开口向下，当3时，S取得最大值，最大值为 2× 2 1m= 0<m<3 2 21/21 专题03 二次函数图像与直线（线段）的交点问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数图像与直线交点坐标问题 题型02 二次函数图像与直线交点个数问题 题型03 二次函数图像中的“截线长” 题型04 二次函数图像中的平行问题 ▌题型01 二次函数图像与直线交点坐标问题 图例 思路 解题原理：交点既在抛物线上又在直线上，那么坐标同时满足两个解析式子。 解题方法； （1）两个解析式联立方程组 （2）消去y，得到一元二次方程： （3）解方程求出x的值，再代入方程组求出y的值即可。 【典例1】如下图，二次函数的图象与直线相交于点，B．已知点A的横坐标为． 求： (1)该二次函数的表达式． (2)点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的性质． （1）直接利用待定系数法即可得出二次函数的表达式； （2）令即可得出交点的横坐标，进一步代入得到交点的纵坐标． 【详解】（1）解：点A的横坐标为，且点A在直线上， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 又点在二次函数的图象上， ，解得， ∴该二次函数的表达式为; （2）解：令，解得． 将代入，得， ∴点B的坐标为． 【变式1-1】已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 【答案】(1)一次函数表达式为，二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标． （1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像相过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为， ∵过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得，， ． 【变式1-2】如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】(1)A的坐标是，点B的坐标是 (2) 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 【变式1-3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2． (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)根据图象判断，当x满足什么条件时，？ (3)抛物线上有两点，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)和 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的性质，涉及解一元二次方程和解不等式． （1）根据点C的横坐标求得其纵坐标，代入二次函数解析式即可求得点c， 令即可求得与x轴交点； （2）结合图象位置关系即可求得； （3）根据题意得求得p和q的表达式以及关系式，解不等式即可； 【详解】（1）解：将代入直线得， 将代入抛物线，得， 解得：c=3， 即， 令，得， 解得或3， 则求抛物线与x轴的交点坐标为和； （2）由图象可得：当或时，； （3）由题意得，， ∵， ∴， ． ▌题型02 二次函数图像与直线交点个数问题 交点个数 2个交点 一个交点 没有交点 图例 思路 有两组公共解 只有一组公共解 没有公共解 【典例2】已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为．    (1)求的表达式； (2)若直线与仅有唯一的交点，求m的值； (3)若抛物线关于y轴对称的抛物线记作，平行于x轴的直线记作，试结合图形回答：当n为何值时，与和共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点； 【答案】(1) (2) (3)当时，有两个交点；当时，有三个交点；当或时，有四个交点 【分析】（1）设的表达式为，由于顶点是，则可得，进而可得，代入点即可求解． （2）由题意可得，整理得，由于仅有一个交点，则，进而可求解． （3）由于与轴平行，故结合图象即可求解． 【详解】（1）设的表达式为，顶点是， 则可得， ∴，代入点， 则： ， ∴， ∴． （2）∵直线与抛物线有唯一的交点， ， 则：， ∴， ∴． （3）由题意可作如图所示：    结合图象可知：当时，，有两个交点； 当时，有三个交点； 当或时，有四个交点． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求函数解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式2-1】如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数和二次函数交点问题，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据顶点横坐标为得到，求出，即可得到抛物线的表达式； （2）首先求出，，然后求出直线的解析式为，然后和抛物线联立利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点横坐标为， ∴， ， ∴抛物线表达式为； （2）解：∵抛物线表达式为， 当时，，即， 解得或（舍去），故． 当时，，故． 设直线的解析式为， 将点与点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 向上平移个单位后，直线表达式为， 与抛物线联立得：， 整理得：． ∴抛物线与直线有交点时，， 解得， 又， 的取值范围为． 【变式2-2】已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上． (2)若该函数的图象与函数的图象有两个交点，则b的取值范围为 ． (3)该函数图象与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范围． 【答案】(1) 证明：， ∴抛物线的顶点坐标为， 表明顶点的纵坐标比横坐标小1，即， ∴不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上． (2) (3)当且时，抛物线与坐标轴有三个不同的交点；当或时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点；当时，抛物线与坐标轴有一个交点． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握判别式的应用是解答本题的关键． （1）通过转化解析式解出顶点坐标即可证明； （2）联立两个函数，根据判别式确定b的取值范围即可； （3）先计算，根据判别式判断与坐标轴的交点个数，抛物线与y轴交点过原点时，分别解不等式即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：联立两个函数可得：， 整理得：， 根据题意和判别式得：， 解得：． 故答案为：． （3）解：， ， 当Δ＞0时，即，此时m的范围为； 当时，，即抛物线过原点时，解得：， 当且时，抛物线与坐标轴有三个不同的交点； 当时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点； 当时，，即时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点； 当，，即时，抛物线与坐标轴有一个交点． 综上：当且时，抛物线与坐标轴有三个不同的交点；当或时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点；当时，抛物线与坐标轴有一个交点． 【变式2-3】已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． ▌题型03 二次函数图像与直线的“截线长” 1. 二次函数图像中的“截线段” 类型 图例 思路 水平线段 AB=|| 垂直线段 AB=|| 斜线段 AB= 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点 【分析】（1）根据题意得出，， ，待定系数法即可求解； （2） 过点作，求得点，，根直线AC的解析式为y=-3x-3，据PQ//AC可设PQ解析式子为y=-3x+m，从而分别求出P、D、Q的坐标。 【详解】（1）解：点，，． ，且点在轴负半轴， 点，，即， 抛物线经过点，点， ， 抛物线； （2）如图2，过点作， 抛物线与轴交于、两点， 当时，， ， 点，， ， 设AC的解析式为y=kx+b 则易得y=-3x-3 ， ∴可设PQ的解析式为y=-3x+m 点 由PQ与抛物线解析式组成方程组 解之得xP=或xP=（舍） 点，，点， 直线解析式为， 由PQ、BC解析式与抛物线解析式组成方程组 解之得xD= ， ∴ m=3或m=9 不合题意舍去 点， 【变式3-1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1) ∵ ， 该方程总有两个实数根； (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 【变式3-2】小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值． 0 1 2 3 4 3 0 (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，x的值为 ； (3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）令，解一元二次方程即可； （3）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为， 设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得：，； （3）令， 整理得， 设点、的横坐标为，， ，是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ，即， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键． 【变式3-3】如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为． (1)求二次函数的解析式和直线的解析式； (2)点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，当点在第一象限时，满足，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再将点代入关系式可得答案；然后根据待定系数法求出直线的关系式即可； （2）先设，再表示点，，然后根据可得，求出解可得答案； （3）作，作轴，可说明是等腰直角三角形，即可得，再根据勾股定理求出，接下来设，则点，进而表示出，然后解一元二次方程求出解可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上， ， ， . 令得， ， 设，根据题意，得 解得， ； （2）解：设，则，， ， ， 解得，（舍）， ； （3）解：作于点， 作轴交于， ∵点， ∴. ∵， ∴. ， ， ， ， ， 设， ， ， 即或， 则或，   ∴或， 此方程无解，或或， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． ▌题型04 二次函数图像中的平行问题 类型 平行于y轴 平行于y轴 普通平行 图例 规律 x=m y=m 【典例4】图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； 【详解】（1）∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． （2）∵与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵点在直线上，且横坐标为， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． 【变式4-1】图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (3)存在，或 【详解】（1）∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． （3）存在，理由如下： ∵点与点关于直线对称 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接，交点为点， ∴点是，的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵A 点可由C点先向下平移3个单位再向左一个单位得到， ∴Q 点可由P点先向下平移3个单位再向左一个单位得到， ∴点，点；    【变式4-2】如图，已知函数 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点且 (1)求点A，B，C的坐标； (2)求与直线BC平行并与函数只有一个交点的直线l的表达式； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或． 【详解】（1）在中，令，可得， 解得或， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 在中，令，可得， ∴C点的坐标为； （2）设直线BC的解析式为,将，两点分别代入， 可得， 解得, ∴直线BC的解析式为, 设与直线BC平行且与函数只有一个交点的直线的表达式为, 由题意得,得, ∵直线与函数只有一个交点, ∴, 解得a, ∴直线的表达式为; （3） 或者． y=-x+5 由题意得 可得， ∴ 得，； 如图，可知抛物线交点的横坐标为，； ∴或者 即不等式或者 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，熟悉并掌握二次函数与方程、不等式的联系是本题的解题关键． 【变式4-3】如图，抛物线与直线交于点，．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线与y轴平行，交直线于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）抛物线与直线交于点，， ， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）假设存在这样的点P、Q，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形． ∵，点D是抛物线的顶点，轴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：， 解得：， ∴， 当x=2时，y= ∴，， ∴CD=3 ①当为平行四边形的边时， 设，则： 如图，当在点上方时： 解得，或(舍去）， ∴； 当在点下方时： ， 解得：或， ∴或； ②当为平行四边形的对角线时， 过点作于点，过点作于点，则． 设 ，则， ，， 由得， 解得，或(舍去）， ∴ 综上：或或或时，点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形． 【变式4-4】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，点为直线下方抛物线上一点，过点作平行于的直线，交于点，连接、、、，如图1，记、的面积分别为，，设，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线与轴交于点，∴， ∵点为直线下方抛物线上一点，∴设， 设直线的解析式为，将点，代入，得， 解得，∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点，代入，得， 解得，∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入，得，∴，∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得，解得，将代入， 得，∴， ， 对称轴为直线，，且开口向下，当时，S取得最大值，最大值为； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $