专题05 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题05 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．D 2．C 3．BC 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C 11．B 12．B 13．ABC 14．C 15．D 16．BD 17．ABD 18．D 19．AD 20．D 21．ABD 22．B 23．BCD 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. (1) 小问详解： 由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 25．【答案】 【分析】 由正弦定理和椭圆的定义可知，即可． 【详解】 由椭圆方程得：，，． 三角形顶点和，顶点在椭圆上， ， 由正弦定理可知 故答案为：． 【点睛】 本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设动点，表示出 、，代入 ，化简即可得结果； （2）利用点差法求解. (1) 小问详解： 设 ， ， 由题意，，即， 化简得，. (2) 小问详解： 设，因为点平分， 所以根据中点坐标公式，有. 、在轨迹上， ， 由①-② 得：， 将代入得， 根据点斜式方程，直线过点，斜率为2， 则直线，整理得， 经检验点在椭圆内，符合题意， 综上所述，直线的方程为：. 27．【答案】（1）；     （2）存在，点的坐标为和.      【分析】 （1）根据椭圆的短半轴长及圆的标准方程，再利用点到直线的距离公式及椭圆的离心率公式，结合椭圆中三者的关系即可求解； （2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及点在直线上，结合斜率的公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即. 因为，所以. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为直线过点且与轴不重合，所以可设直线的方程为. 联立方程，得 化简并整理得 设，则. 所以 设存在点，则直线与的斜率分别为， 所以 令，解得或. 当时，； 当时，. 因此，满足条件的点的坐标为和. 28．【答案】 【分析】 设，根据椭圆的定义，结合题意分别用表示，由，知，根据勾股定理，分别用表示，进而求得椭圆的离心率. 【详解】 设，则，. 所以， 因为，所以，所以. 所以，化简得.所以得. 在中，，所以，得， 所以． 故答案为：. 29．【答案】 【分析】 推导出，设点，则，可求出点的轨迹方程，结合椭圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】 设，则、，其中， 由已知可得、，则， 设点，则，整理可得，则， 即点在椭圆上，故， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率和椭圆过的点列式求，即可得椭圆方程； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. (1) 小问详解： 因为，所以. 又椭圆C：过点，所以. 所以，.故所求椭圆方程为. (2) 小问详解： 设点，， 联立 消去y得.所以，， 又直线l与椭圆C相交，所以，解得. 则. 又点P到直线l的距离， 所以， 所以，所以，满足，则. 31．【答案】（1）     （2）（i）3； （ii）设直线的方程为 联立 ，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点. 【分析】 （1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. (1) 小问详解： 因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则 ， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）略 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得 ，再根据得，最后计算面积即可. (1) 小问详解： 解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立 ，即 所以 ，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. (1) 小问详解： 解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以 ，解得 ． 所以的方程为. (2) 小问详解： 解：设，，    代入椭圆方程得 ， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 34．【答案】 【分析】 根据椭圆的标准方程直接可得. 【详解】 由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 35．【答案】（1）     （2） 由点，得， 显然点满足椭圆方程，所以点M在椭圆E上，如下图： 由椭圆方程可知，， 所以的周长为.      【分析】 （1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆E经过，两点， 所以由椭圆的结构特征可知，，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆E的方程为. (2) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 根据给定条件，结合椭圆的对称性及定义、余弦定理求得，再利用二倍角公式及离心率的几何意义求出离心率. 【详解】 不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接， 则，又，所以， 在中，由余弦定理得， 则，即，所以. 故答案为： 37．【答案】（1）     （2）① ② 由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点.      【分析】 （1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）① 先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ② 设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. (1) 小问详解： 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程 ，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ② 略 38．【答案】（1）；     （2） ；     （3） 解法一：设直线的方程为， 点关于直线对称，则 又，且， 所以，， 即． 联立 ， 所以 所以， 化简得， 即，则或． 若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）； 若，则直线过定点． 解法二：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即． 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 联立 整理得， 因为且， 所以，所以， 同理可得， 由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为， 因为在直线上，所以， 所以， 同理可得， 所以是关于k的方程的两个根， 则 所以， 所以， 故直线过定点． 解法三：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即．① 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 设直线的方程为， 把椭圆向左平移2个单位长度，得， 即， 联立 ， 即，即（等式两端同除）， 所以是方程的两个根，由韦达定理得 ② 把②代入①得， ，则 ，解得 此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．      【分析】 （1）依题意直接得到、，从而求出椭圆方程； （2）点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，即可求出面积的最大值； （3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解. (1) 小问详解： 根据题意，有 ， ； (2) 小问详解： 因为，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以取得最大值时，即为点M到直线的距离最大时． 直线的方程为， 若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大， 设该切线方程为， 联立 ， ， 因为点M在第一象限内，所以（正值舍去）， 所以点M到直线的距离的最大值为， ， 当时，． (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1）     （2）过定点，定点为与     （3）      【分析】 （1）根据离心率可得a，c关系，代入点坐标，联立可求得，，即可得答案. （2）法1：设，已知，，可得直线、的斜率，根据椭圆方程，可得，设出直线、的方程，即可求得M、N点坐标，即可得以为直径圆的方程，分析即可得答案；法2：已知，，设，可得直线、的方程，即可求得M、N点坐标，即可得以为直径圆的方程，化简整理，分析即可得答案； （3）由（2）知，根据基本不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 由已知可得 ，解得，， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 法1：设，已知，， 所以直线斜率为；直线斜率为， 所以， 又因为，所以， 设直线方程为，则直线的方程为， 所以，， 则以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. 法2：已知，，设， 由为椭圆上的点，可得即， 直线的方程为，令得：， 同理得：， 所以以为直径的圆的方程为， 即 由化简， ， 所以以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. (3) 小问详解： （3）由（2）知， 由对称性可设，所以， 当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为. 40．【答案】（1）     （2）（i）如图： 由（1）可知，设直线的方程为，设点、， 联立 得， 恒成立， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，令得， 所以点，同理可得点， 所以 ，即， 当时，直线与轴垂直，、都在轴上，满足； 当时，有，，则，也满足. 综上所述，. （ii）因为 ， ， 所以，即存在符合条件.      【分析】 （1）根据题意可得出的值，结合离心率可得出的值，由此可得出的值，则椭圆的方程可得； （2）（i）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，可得出点的坐标，同理可得出点的坐标，进而得出点的坐标，结合斜率关系可证明出； （ii）利用韦达定理化简的表达式，并求出的表达式，即可得出的值. (1) 小问详解： 因为点在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率为，则，， 因此，椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 41．【答案】 【分析】 应用椭圆的第二定义结合椭圆的定义及距离和最短计算求解. 【详解】 假设正方形边在平面直角坐标系的轴上， 由题意得，点到点的距离和到边的距离的比为， 根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率的点的轨迹为椭圆）， 点在以点为右焦点，直线为右准线的椭圆上. 设，则准线的方程为，所以 ， 解得 ，故椭圆的标准方程为. 结合正方形的几何约束，如图，点的轨迹为该椭圆上满足的弧段，且，椭圆另一焦点为. 由椭圆的定义知， ，当三点共线时，最短， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 42．【答案】（1）     （2） 设，，，则， 在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为，且， ， 设，则直线的方程为， 联立 ， ，则，则， 同理设，则点， ， ， ，， 故为定值.      （3） 设点的坐标为，且，由已知可得直线的方程为， 代入椭圆方程得，所以， 又，所以，从而，故点的坐标为， 设点的坐标为，同理可得，故点的坐标为， 因为，点的坐标也为， 当轴时，则，易得， 此时直线的方程为，交轴于点，记该点为； 当不垂直于轴，即时， 则， 可知三点共线，即直线恒过点， 综上所述，直线恒过定点． 【分析】 （1）根据条件列出关于的方程组，求解出，则椭圆方程可求； （2）设出的方程表示出点坐标，同理可表示出点坐标，由此可表示出，由点坐标表示，则的结果可求，即完成证明； （3）设出的方程，求出点坐标，同理可求出点坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论即可，由此确定出所过的定点. (1) 小问详解： 由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 43．【答案】（1）     （2）     （3） 解法一：设直线的方程为， 点关于直线对称，则 又，且， 所以，， 即． 联立 ， 所以 所以， 化简得， 即，则或． 若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）； 若，则直线过定点． 解法二：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即． 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 联立 整理得， 因为且， 所以，所以， 同理可得， 由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为， 因为在直线上，所以， 所以， 同理可得， 所以是关于k的方程的两个根， 则 所以， 所以， 故直线过定点． 解法三：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即．① 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 设直线的方程为， 把椭圆向左平移2个单位长度，得， 即， 联立 ， 即，即（等式两端同除）， 所以是方程的两个根，由韦达定理得 ② 把② 代入① 得， ，则 ，解得 此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．      【分析】 （1）依题意直接得到、，从而求出椭圆方程； （2）法一：分析可得关于直线对称，则四边形的面积，设，利用点到直线的距离表示，结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；法二：点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，即可求出面积的最大值； （3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解. (1) 小问详解： 由已知可得，所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 解法一：因为，，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值． 直线的方程为， 设，则M到直线的距离为， ， 因为，所以， 所以， 所以当时，． 解法二：因为，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值． 直线的方程为， 若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大， 设该切线方程为， 联立 ， ， 因为点M在第一象限内，所以（正值舍去）， 所以点M到直线的距离的最大值为， ， 当时，． (3) 小问详解： 略 44．【答案】（1）     （2）（ⅰ），（ⅱ）      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设，，则，因为，，三点共线，所以，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，进而证得直线过定点. （ⅱ）设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立求出根与系数的关系，由，令（），则，进行求解． (1) 小问详解： 由题意可知， 解得，， 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，则， 因为，，三点共线，所以，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，由 得， 则， ，，又， 所以，整理得， 所以，化简得， 根据题意可知，，所以， 故直线恒过定点. （ⅱ）由题意可知，直线的斜率不为0，定点为， 设直线的方程为，，， 将代入，整理得， 则，，， 所以 ， 令（），则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时，则， 故的面积的最大值为. 考点02 双曲线 1．A 2．A 3．A 4．B 5．C 6．ACD 7．ABD 8．C 9．B 10．【答案】5 【分析】 利用双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】 经化简双曲线的渐近线方程为， ∵已知渐近线是，解得. 故答案为：5 11．【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. (1) 小问详解： 如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． (2) 小问详解： 因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 12．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，； (2) 小问详解： 设， 联立 得， 由韦达定理得 ， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 13．【答案】 【分析】 利用双曲线的定义得到，由得到，由得到，设，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到， 在中，利用余弦定理建立的等式计算得解. 【详解】 点在的右支上，， ，， ，， 设，，， ，， ， ，，， ，，， 在中，， 即，整理得，则，又，故. 故答案为： 14．【答案】 【分析】 先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】 依题意，记双曲线的左焦点为，连结，如图， 由双曲线的对称性易得，又， 所以四边形是平行四边形，则， 因为双曲线，所以由双曲线的定义可得，则， 记，则， 又，所以，即，，则， 因为，所以， 在中，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时由于，当且仅当，即时，等号成立， 注意当时，，不满足题意，故， 所以当时，有解， 且由得，满足题意， 所以的最小值为. 故答案为：. . 15．【答案】（1）     （2） 设方程上任意一点， 则 = ， 当时，， ， 当时，， ， 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线；     （3）和      【分析】 （1）根据题意将 代入曲线即可； （2）根据设，分和两种情况，结合两点间距离公式可得，即可得结果； （3）根据题设定义及双曲线的性质，可得对称轴为直线和，再求出和，即可求解． (1) 小问详解： 将 代入曲线可得， 即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知， 对称轴为直线和； 又，得，解得， 又，所以，得， 又， 所以对称轴的方程为和． 16．【答案】（1）     （2）（i）（ii）或      【分析】 （1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. (1) 小问详解： 已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得 (2) 小问详解： 由（1）知，双曲线：，根据，可得， 所以右焦点，设， （ⅰ）若直线的斜率为2，则直线的方程为，即， 联立 ，消得，化简得， 由韦达定理得， 根据弦长公式； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立 ， 消得，化简得， 根据韦达定理得，， 所以 ， 因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 化简得，解得或， 所以直线的方程为或 考点03 抛物线 1．A 2．A 3．C 4．BD 5．ACD 6．【答案】 【分析】 根据准线方程，求出p值，即可得答案. 【详解】 根据准线方程为，故，所以. 故答案为： 7．【答案】 【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可． 【详解】由得：，所以，即： 所以抛物线的准线方程为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题． 8．【答案】（1）     （2）或3      【分析】 （1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出，再表达三角形面积为，求解出，进而求解即可得. (1) 小问详解： 根据抛物线的定义，有， 由题意可得,当时，，所以， 所以抛物线的标准方程为. (2) 小问详解： 抛物线的焦点，设直线的方程为， 联立 ，得，所以 ， 由，解得， 由，解得或，又， 所以或. 9．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）将点代入抛物线方程计算求出，求出焦点坐标即可； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. (1) 小问详解： 抛物线：（）经过点， ，，，抛物线的焦点的坐标为； (2) 小问详解： 设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立 ，消去，整理得到， 与有2个交点，， ，或. 实数的取值范围为或. 10．【答案】（1）     （2） ① 设，， 所以， 同理可得， 因为，所以， 因为， 所以直线的斜率为定值； ②， 或，或      【分析】 （1）利用代入法进行求解即可； （2）① 根据直线斜率公式进行运算证明即可；② 根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为点在抛物线上， 所以， 所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 因为直线的斜率为定值，故设所在直线方程为， 联立方程 消掉得，， 设，，所以，， ， 点到直线的距离， 所以， 得，故或， 所以直线的方程为，或，或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出便可得到离心率. 【详解】 解：由题意得： ， ， 故选：D 2．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】 由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 3．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可. 【详解】 焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或． 故选:BC． 4．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 根据题意，结合椭圆的定义，得到，即可求解. 【详解】 由椭圆，可得，且， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以点与另一个焦点的距离是. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知椭圆的焦距为，则（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 由题意得出，然后对椭圆焦点的位置进行分类讨论，结合、、的关系可求得的值. 【详解】 由题意可得，则， 当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得. 综上所述，或. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由最大距离和最小距离解出，再求离心率即可. 【详解】 因为点到焦点的最大距离为7，最小距离为3， 所以 ，即 ，则椭圆的离心率. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】 因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据方程求得，代入离心率公式求解即可. 【详解】 椭圆中， 所以离心率. 故选：B． 9．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C. 6 D. 3 【答案】C 【分析】 化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质列出方程，即可求解. 【详解】 椭圆的标准方程为，则，， 所以，，故此椭圆的短轴长. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）直线与椭圆交点个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 由直线过定点结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】 由直线，得，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上.即直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 11．（25-26学年高二·安徽·期中）已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】 直线过原点， 可设，则， ； ，， ，. 故选：B. 12．（25-26学年高二·安徽·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】 设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）（多选）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不与轴重合，则下列说法正确的是（       ） A. 椭圆的焦距为 B. 的周长为 C. 的面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ABC 【分析】 根据标准方程得出得出焦距判断A，应用椭圆的定义得出周长判断B，应用几何特征得出面积判断C，因为点在椭圆上且不在轴上，则，判断D. 【详解】 椭圆为：焦距，故A正确； 的周长为，故B正确； 的面积为，所以最大值为，故正确； 因为点在椭圆上且不在轴上，则，取值范围是，故D错误． 故选：ABC. 14．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，可得椭圆的方程． 【详解】 由题意设椭圆的标准方程为， 联立 ，消元得， 设两个交点分别为，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即① ， 因为焦点，所以有② ， 由① ② 得， 所以椭圆方程为， 故选：C. 15．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由对称性不妨设在第一象限，根据轴求得，根据求得，再根据可得，故可求离心率. 【详解】 设椭圆的半焦距为，由对称性不妨设在第一象限. 由题设有，因，故，故， 故，故，因为，故， 故，而， 因为，故， 整理得，故，故（负根舍去）， 故选：D. 16．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）已知为椭圆的焦点，直线与椭圆交于两点，且点恰好是线段的中点，则（       ） A.  B. 椭圆的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BD 【分析】 对于A：根据椭圆的焦点在轴上，以及,计算出;对于B：由选项A可得,再根据离心率公式计算；对于C：根据椭圆的弦的中点坐标以及中点弦斜率公式可求得直线;对于D：由选项C可知直线,注意到它经过上焦点,因此的周长等于. 【详解】 对于A，因为为椭圆的下焦点，则， 所以,故A错误； 对于B，椭圆的方程为,则,离心率,故B正确； 对于C，因为点恰好为线段的中点，所以由椭圆中点弦斜率公式可知， 弦的斜率满足（为原点与点连线的斜率）， 又因为,从而,所以直线的方程为,即,故C错误； 对于D，由直线的方程知直线过上焦点,所以周长为,故D正确. 故选：BD. 17．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知曲线C：，则下列结论正确的有（     ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 【答案】ABD 【分析】 根据圆、椭圆的标准方程，可得答案. 【详解】 对于A，若，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线C：，所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则C：，为焦点在轴上的椭圆，焦点为和，故C错误； 对于D，若，则C：，所以C的长半轴长为，故D正确. 故选：ABD. 18．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）在平面直角坐标系中，已知点，满足条件，则点的轨迹是（     ） A. 椭圆 B. 线段 C. 射线 D. 椭圆或线段 【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义、基本不等式判断即可. 【详解】 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又， 令、，则，， 即， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当且时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 19．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（       ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】AD 【分析】 根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】 设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 20．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的定义，结合，求得，即可求解. 【详解】 设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则， 又因为， 即， 可得，则， 在中，， 即，解得， 所以，则， 所以，解得， 故椭圆的离心率为． 故选：D 21．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（     ） A. 面积的最大值为 B. 存在点，使得 C. 若垂直于轴，则的最小值为-2 D. 若过原点，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】 直译法求出轨迹方程，对于A，当动点运动到上下顶点时，面积的最大，易得面积的最大值为，故A正确；对于B，由余弦定理求出，再结合基本不等式求出的范围即可得解；对于C，设，则 ，利用二次函数值域判断C错误；对于D，因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，利用基本不等式及椭圆的定义即可求得. 【详解】 因为与的斜率乘积恒为， 所以，即． 的面积， 所以当点为与轴的交点时的面积最大，最大为，故A正确； 由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，因为在上单调递减， 且，所以，则存在点，使得，故B正确； 依题意点，, 所以 因为，所以当时，取得最小值，故C错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 ， 当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ABD． 22．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果. 【详解】 的参数方程为： （为参数） 由于都满足方程， 所以曲线是关于点中心对称的图形， 所以曲线上点到原点距离为直径长的一半， 由于，根据二次函数的性质可知， 当时，取得取大值为， 所以，直径为. 故选：B 【点睛】 思路点睛： 利用对称性简化问题：由于曲线的对称性，可以只计算某一区域的直径. 参数方程表示曲线：通过适当的参数化简化曲线方程，方便计算. 求最大距离：通过计算曲线上某一点与原点的距离，并找到最大值. 23．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（     ） A. 该直线的斜率是 2 B. 椭圆的离心率是 C. 三角形 与三角形 面积比为 16 D. 当 时，四边形 的面积是 【答案】BCD 【分析】 由圆的圆心、半径以及切线关系即可求出即可判断A；由 轴表示出点坐标，由，以及椭圆中的关系，整理得关于的方程，求解即可判断B；由三角形与三角形相似，可求其面积比来判断C；由C结合割补法求面积即可判断D. 【详解】 A选项，由题意可得，，， 由勾股定理可得， 故直线的斜率为，故A错误； B选项，设，将P点坐标代入，解得，即； 又，以及，可得， 解得或（舍去），所以椭圆的离心率为，故B正确； C选项，由于三角形与三角形相似，则其面积比为； D选项，； 故选：BCD． 24．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. (1) 小问详解： 由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 25．（25-26学年高二·安徽·期中）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　． 【答案】 【分析】 由正弦定理和椭圆的定义可知，即可． 【详解】 由椭圆方程得：，，． 三角形顶点和，顶点在椭圆上， ， 由正弦定理可知 故答案为：． 【点睛】 本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题． 26．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线、的斜率之积是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与曲线相交于、两点，且点平分线段，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设动点，表示出 、，代入 ，化简即可得结果； （2）利用点差法求解. (1) 小问详解： 设 ， ， 由题意，，即， 化简得，. (2) 小问详解： 设，因为点平分， 所以根据中点坐标公式，有. 、在轨迹上， ， 由①-② 得：， 将代入得， 根据点斜式方程，直线过点，斜率为2， 则直线，整理得， 经检验点在椭圆内，符合题意， 综上所述，直线的方程为：. 27．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）存在，点的坐标为和.      【分析】 （1）根据椭圆的短半轴长及圆的标准方程，再利用点到直线的距离公式及椭圆的离心率公式，结合椭圆中三者的关系即可求解； （2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及点在直线上，结合斜率的公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即. 因为，所以. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为直线过点且与轴不重合，所以可设直线的方程为. 联立方程，得 化简并整理得 设，则. 所以 设存在点，则直线与的斜率分别为， 所以 令，解得或. 当时，； 当时，. 因此，满足条件的点的坐标为和. 28．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，根据椭圆的定义，结合题意分别用表示，由，知，根据勾股定理，分别用表示，进而求得椭圆的离心率. 【详解】 设，则，. 所以， 因为，所以，所以. 所以，化简得.所以得. 在中，，所以，得， 所以． 故答案为：. 29．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、分别是线段、上的动点（均与端点不重合），且满足，直线、的交点为，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 推导出，设点，则，可求出点的轨迹方程，结合椭圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】 设，则、，其中， 由已知可得、，则， 设点，则，整理可得，则， 即点在椭圆上，故， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 30．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点，且离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，若的面积为2，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率和椭圆过的点列式求，即可得椭圆方程； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. (1) 小问详解： 因为，所以. 又椭圆C：过点，所以. 所以，.故所求椭圆方程为. (2) 小问详解： 设点，， 联立 消去y得.所以，， 又直线l与椭圆C相交，所以，解得. 则. 又点P到直线l的距离， 所以， 所以，所以，满足，则. 31．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）     （2）（i）3； （ii）设直线的方程为 联立 ，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点. 【分析】 （1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. (1) 小问详解： 因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则 ， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）略 32．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得 ，再根据得，最后计算面积即可. (1) 小问详解： 解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立 ，即 所以 ，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 33．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. (1) 小问详解： 解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以 ，解得 ． 所以的方程为. (2) 小问详解： 解：设，，    代入椭圆方程得 ， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 34．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆的标准方程直接可得. 【详解】 由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 35．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程； （2）若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 【答案】（1）     （2） 由点，得， 显然点满足椭圆方程，所以点M在椭圆E上，如下图： 由椭圆方程可知，， 所以的周长为.      【分析】 （1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆E经过，两点， 所以由椭圆的结构特征可知，，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆E的方程为. (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，结合椭圆的对称性及定义、余弦定理求得，再利用二倍角公式及离心率的几何意义求出离心率. 【详解】 不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接， 则，又，所以， 在中，由余弦定理得， 则，即，所以. 故答案为： 37．（25-26学年高二·安徽·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】（1）     （2）① ② 由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点.      【分析】 （1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）① 先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ② 设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. (1) 小问详解： 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程 ，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ② 略 38．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知椭圆经过点，点（异于）在椭圆上，过且斜率为2的直线交直线于点，直线与椭圆交于另一点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在第一象限，求四边形面积的最大值； （3）求证：直线经过定点. 【答案】（1）；     （2） ；     （3） 解法一：设直线的方程为， 点关于直线对称，则 又，且， 所以，， 即． 联立 ， 所以 所以， 化简得， 即，则或． 若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）； 若，则直线过定点． 解法二：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即． 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 联立 整理得， 因为且， 所以，所以， 同理可得， 由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为， 因为在直线上，所以， 所以， 同理可得， 所以是关于k的方程的两个根， 则 所以， 所以， 故直线过定点． 解法三：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即．① 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 设直线的方程为， 把椭圆向左平移2个单位长度，得， 即， 联立 ， 即，即（等式两端同除）， 所以是方程的两个根，由韦达定理得 ② 把②代入①得， ，则 ，解得 此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．      【分析】 （1）依题意直接得到、，从而求出椭圆方程； （2）点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，即可求出面积的最大值； （3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解. (1) 小问详解： 根据题意，有 ， ； (2) 小问详解： 因为，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以取得最大值时，即为点M到直线的距离最大时． 直线的方程为， 若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大， 设该切线方程为， 联立 ， ， 因为点M在第一象限内，所以（正值舍去）， 所以点M到直线的距离的最大值为， ， 当时，． (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）求线段长度的最小值. 【答案】（1）     （2）过定点，定点为与     （3）      【分析】 （1）根据离心率可得a，c关系，代入点坐标，联立可求得，，即可得答案. （2）法1：设，已知，，可得直线、的斜率，根据椭圆方程，可得，设出直线、的方程，即可求得M、N点坐标，即可得以为直径圆的方程，分析即可得答案；法2：已知，，设，可得直线、的方程，即可求得M、N点坐标，即可得以为直径圆的方程，化简整理，分析即可得答案； （3）由（2）知，根据基本不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 由已知可得 ，解得，， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 法1：设，已知，， 所以直线斜率为；直线斜率为， 所以， 又因为，所以， 设直线方程为，则直线的方程为， 所以，， 则以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. 法2：已知，，设， 由为椭圆上的点，可得即， 直线的方程为，令得：， 同理得：， 所以以为直径的圆的方程为， 即 由化简， ， 所以以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. (3) 小问详解： （3）由（2）知， 由对称性可设，所以， 当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为. 40．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知椭圆的离心率为，点在上，的左焦点为. （1）求的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于、两点，直线、分别交直线于点、，且的中点为. （i）求证：； （ii）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）如图： 由（1）可知，设直线的方程为，设点、， 联立 得， 恒成立， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，令得， 所以点，同理可得点， 所以 ，即， 当时，直线与轴垂直，、都在轴上，满足； 当时，有，，则，也满足. 综上所述，. （ii）因为 ， ， 所以，即存在符合条件.      【分析】 （1）根据题意可得出的值，结合离心率可得出的值，由此可得出的值，则椭圆的方程可得； （2）（i）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，可得出点的坐标，同理可得出点的坐标，进而得出点的坐标，结合斜率关系可证明出； （ii）利用韦达定理化简的表达式，并求出的表达式，即可得出的值. (1) 小问详解： 因为点在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率为，则，， 因此，椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 41．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用椭圆的第二定义结合椭圆的定义及距离和最短计算求解. 【详解】 假设正方形边在平面直角坐标系的轴上， 由题意得，点到点的距离和到边的距离的比为， 根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率的点的轨迹为椭圆）， 点在以点为右焦点，直线为右准线的椭圆上. 设，则准线的方程为，所以 ， 解得 ，故椭圆的标准方程为. 结合正方形的几何约束，如图，点的轨迹为该椭圆上满足的弧段，且，椭圆另一焦点为. 由椭圆的定义知， ，当三点共线时，最短， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 42．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点． （1）求的方程； （2）若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值； （3）记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 设，，，则， 在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为，且， ， 设，则直线的方程为， 联立 ， ，则，则， 同理设，则点， ， ， ，， 故为定值.      （3） 设点的坐标为，且，由已知可得直线的方程为， 代入椭圆方程得，所以， 又，所以，从而，故点的坐标为， 设点的坐标为，同理可得，故点的坐标为， 因为，点的坐标也为， 当轴时，则，易得， 此时直线的方程为，交轴于点，记该点为； 当不垂直于轴，即时， 则， 可知三点共线，即直线恒过点， 综上所述，直线恒过定点． 【分析】 （1）根据条件列出关于的方程组，求解出，则椭圆方程可求； （2）设出的方程表示出点坐标，同理可表示出点坐标，由此可表示出，由点坐标表示，则的结果可求，即完成证明； （3）设出的方程，求出点坐标，同理可求出点坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论即可，由此确定出所过的定点. (1) 小问详解： 由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 43．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N． （1）求椭圆的方程； （2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值； （3）证明：直线经过定点． 【答案】（1）     （2）     （3） 解法一：设直线的方程为， 点关于直线对称，则 又，且， 所以，， 即． 联立 ， 所以 所以， 化简得， 即，则或． 若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）； 若，则直线过定点． 解法二：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即． 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 联立 整理得， 因为且， 所以，所以， 同理可得， 由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为， 因为在直线上，所以， 所以， 同理可得， 所以是关于k的方程的两个根， 则 所以， 所以， 故直线过定点． 解法三：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即．① 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 设直线的方程为， 把椭圆向左平移2个单位长度，得， 即， 联立 ， 即，即（等式两端同除）， 所以是方程的两个根，由韦达定理得 ② 把② 代入① 得， ，则 ，解得 此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．      【分析】 （1）依题意直接得到、，从而求出椭圆方程； （2）法一：分析可得关于直线对称，则四边形的面积，设，利用点到直线的距离表示，结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；法二：点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，即可求出面积的最大值； （3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解. (1) 小问详解： 由已知可得，所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 解法一：因为，，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值． 直线的方程为， 设，则M到直线的距离为， ， 因为，所以， 所以， 所以当时，． 解法二：因为，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值． 直线的方程为， 若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大， 设该切线方程为， 联立 ， ， 因为点M在第一象限内，所以（正值舍去）， 所以点M到直线的距离的最大值为， ， 当时，． (3) 小问详解： 略 44．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若平行于轴的直线交于，两点，直线与的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）过（ⅰ）中的定点的直线与相交于，两点（异于的左、右顶点），求的面积的最大值. 【答案】（1）     （2）（ⅰ），（ⅱ）      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设，，则，因为，，三点共线，所以，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，进而证得直线过定点. （ⅱ）设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立求出根与系数的关系，由，令（），则，进行求解． (1) 小问详解： 由题意可知， 解得，， 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，则， 因为，，三点共线，所以，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，由 得， 则， ，，又， 所以，整理得， 所以，化简得， 根据题意可知，，所以， 故直线恒过定点. （ⅱ）由题意可知，直线的斜率不为0，定点为， 设直线的方程为，，， 将代入，整理得， 则，，， 所以 ， 令（），则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时，则， 故的面积的最大值为. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（       ） A. 17 B. 19 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 根据双曲线第一定义求解即可. 【详解】 由题意知，根据双曲线第一定义可知（分别为左､右焦点）， 已知，则. 故选：A 2．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线方程的标准方程，求得双曲线的渐近线． 【详解】 双曲线的渐近线方程为，化简得， 故选：A. 3．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 由渐近线方程可得，结合双曲线中，求解即可. 【详解】 因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率为. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）双曲线的焦点为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 化双曲线的方程为，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】 由双曲线，可化为，可得，， 则，所以焦点为. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）双曲线：的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解. 【详解】 因为双曲线：，所以， 则的渐近线方程为. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）（多选）已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（       ） A.  B. 有最大值3 C. 若点，则周长的最小值为12 D. 的内心到轴的距离为1 【答案】ACD 【分析】 根据焦点坐标及a，b，c的关系，可求得b值，即可判断A的正误；根据双曲线定义及的范围，化简整理，即可判断B的正误；因为，代入周长表达式，化简计算，即可判断C的正误；根据内切圆的性质及题中数据，分析计算可得，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点，分析即可得判断D的正误. 【详解】 选项A：由右焦点坐标可知，且，则， 所以，故A正确； 选项B：因为点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义知：， 所以， 因为 ，即， 所以有最大值2；故B错误； 选项C：因为， 所以，故C正确； 选项D：由双曲线方程知，设三角形内切圆与三边的切点分别为M，B，C，如图， 由几何关系可得，，， 所以， 又，所以， 所以，即点在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点. 又因为轴，所以到轴的距离为1，故D正确. 故选：ACD 7．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A. 双曲线的方程为 B. 若，则的面积为 C. 点的坐标为 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 A：根据条件列出的方程组，解之可得双曲线的方程；B：根据双曲线的定义结合勾股定理可求的面积；C：先表示出，再根据角平分线定理可求得的坐标；D：根据选项C中的表示直接求得结果. 【详解】 由题意得，联立，解得 ， 所以双曲线的方程为，故A正确； 在中，联立 ， 解得， 所以的面积为，故B正确； 由角平分线定理有，设，则，且， 所以， 同理可得，代入角平分线定理：，解得， 所以点的坐标为，故C错误； 若，则，故D正确． 故选：ABD． 8．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）若方程“”表示双曲线，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的表示方程，得出不等式，分类讨论求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】 由方程表示双曲线，则满足， 当时，不等式即为，解得或； 当时，不等式为， 即为，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，设，点是的中点，利用中点坐标公式，点分别在圆和双曲线上，计算可得，结合,进而根据离心率的公式即可求. 【详解】 由题，双曲线的左右顶点为， 因为，点是的中点， 设，根据中点坐标公式， 因为点在圆上，所以代入得， 化简得：，又，即， 减去得，解得， 代入，得，解得， 因为点在双曲线上，代入双曲线方程：，化简得， 双曲线中，即， 离心率. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 利用双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】 经化简双曲线的渐近线方程为， ∵已知渐近线是，解得. 故答案为：5 11．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． （1）求的标准方程； （2）求直线的斜率之积． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. (1) 小问详解： 如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． (2) 小问详解： 因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 12．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，； (2) 小问详解： 设， 联立 得， 由韦达定理得 ， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 13．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）设，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，，则的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用双曲线的定义得到，由得到，由得到，设，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到， 在中，利用余弦定理建立的等式计算得解. 【详解】 点在的右支上，， ，， ，， 设，，， ，， ， ，，， ，，， 在中，， 即，整理得，则，又，故. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别交于两点，若，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】 依题意，记双曲线的左焦点为，连结，如图， 由双曲线的对称性易得，又， 所以四边形是平行四边形，则， 因为双曲线，所以由双曲线的定义可得，则， 记，则， 又，所以，即，，则， 因为，所以， 在中，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时由于，当且仅当，即时，等号成立， 注意当时，，不满足题意，故， 所以当时，有解， 且由得，满足题意， 所以的最小值为. 故答案为：. . 15．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， （1）求曲线的方程； （2）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． （3）人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 【答案】（1）     （2） 设方程上任意一点， 则 = ， 当时，， ， 当时，， ， 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线；     （3）和      【分析】 （1）根据题意将 代入曲线即可； （2）根据设，分和两种情况，结合两点间距离公式可得，即可得结果； （3）根据题设定义及双曲线的性质，可得对称轴为直线和，再求出和，即可求解． (1) 小问详解： 将 代入曲线可得， 即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知， 对称轴为直线和； 又，得，解得， 又，所以，得， 又， 所以对称轴的方程为和． 16．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. （1）求的值. （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为2，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）（i）（ii）或      【分析】 （1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. (1) 小问详解： 已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得 (2) 小问详解： 由（1）知，双曲线：，根据，可得， 所以右焦点，设， （ⅰ）若直线的斜率为2，则直线的方程为，即， 联立 ，消得，化简得， 由韦达定理得， 根据弦长公式； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立 ， 消得，化简得， 根据韦达定理得，， 所以 ， 因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 化简得，解得或， 所以直线的方程为或 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知抛物线，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接根据抛物线方程计算可得. 【详解】 抛物线的焦点坐标为. 故选：A 2．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 通过对已知等式化简可得关系式，利用两点间距离公式结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】 由，得，整理得， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：A． 3．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为（       ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 根据三角形重心的性质可得，，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意可知，抛物线，焦点在抛物线上， 且是的重心，， ∴根据抛物线定义可知：. 故选:C 4．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）已知直线：过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论错误的是（     ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到轴的距离为 C.  D.  【答案】BD 【分析】 对于A，由焦点在直线上即可求解，对于B，直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式即可判断，对于C，由轴，轴，得到，，即可判断，对于D，由焦半径公式即可判断. 【详解】 对于A，由题可知在直线：上， 所以，故抛物线的方程为，故A的结论正确； 对于B，设，，联立 ， 整理得， 由，得，， 根据抛物线定义得，， 所以线段的中点到轴的距离为线段， 故B的结论错误； 对于C，如图， 因为，， 所以，， 因为轴，轴， 所以，， 所以，故C的结论正确； 选项D，因为，故D的结论错误. 故选：BD. 5．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）（多选）设抛物线：（）的焦点为，直线交于，两点（，在不同的象限），交轴于点，且，，，过作的准线的垂线，垂足为，设点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 【答案】ACD 【分析】 A选项，根据抛物线的定义计算；B选项，利用焦半径公式得到，然后利用相似列方程，最后解方程即可；C选项，根据点坐标求直线方程即可；D选项，根据点到直线和直线的距离相等得到为的角平分线，然后判断即可. 【详解】    由抛物线的定义可得，所以，故A正确； 由题意得，， 因为，所以，解得， 所以抛物线的方程为，故B错； ，，所以，，或， 或， 所以直线的方程为或， 整理得，故C正确； ，则直线的方程为， 点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以为的角平分线，所以直线与直线关于直线对称，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）抛物线的准线方程为，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据准线方程，求出p值，即可得答案. 【详解】 根据准线方程为，故，所以. 故答案为： 7．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）抛物线的准线方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可． 【详解】由得：，所以，即： 所以抛物线的准线方程为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题． 8．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值. 【答案】（1）     （2）或3      【分析】 （1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出，再表达三角形面积为，求解出，进而求解即可得. (1) 小问详解： 根据抛物线的定义，有， 由题意可得,当时，，所以， 所以抛物线的标准方程为. (2) 小问详解： 抛物线的焦点，设直线的方程为， 联立 ，得，所以 ， 由，解得， 由，解得或，又， 所以或. 9．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）将点代入抛物线方程计算求出，求出焦点坐标即可； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. (1) 小问详解： 抛物线：（）经过点， ，，，抛物线的焦点的坐标为； (2) 小问详解： 设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立 ，消去，整理得到， 与有2个交点，， ，或. 实数的取值范围为或. 10．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点. （1）求的方程； （2）设直线与的斜率分别为，，. ①证明：直线的斜率为定值； ②若的面积为6，求所在直线方程. 【答案】（1）     （2） ① 设，， 所以， 同理可得， 因为，所以， 因为， 所以直线的斜率为定值； ②， 或，或      【分析】 （1）利用代入法进行求解即可； （2）① 根据直线斜率公式进行运算证明即可；② 根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为点在抛物线上， 所以， 所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 因为直线的斜率为定值，故设所在直线方程为， 联立方程 消掉得，， 设，，所以，， ， 点到直线的距离， 所以， 得，故或， 所以直线的方程为，或，或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知椭圆的焦距为，则（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 6．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C. 6 D. 3 10．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）直线与椭圆交点个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 无法确定 11．（25-26学年高二·安徽·期中）已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二·安徽·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）（多选）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不与轴重合，则下列说法正确的是（       ） A. 椭圆的焦距为 B. 的周长为 C. 的面积的最大值为 D. 的取值范围是 14．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）已知为椭圆的焦点，直线与椭圆交于两点，且点恰好是线段的中点，则（       ） A.  B. 椭圆的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 17．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知曲线C：，则下列结论正确的有（     ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 18．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）在平面直角坐标系中，已知点，满足条件，则点的轨迹是（     ） A. 椭圆 B. 线段 C. 射线 D. 椭圆或线段 19．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（       ） A.  B.  C. 7 D.  20．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（     ） A. 面积的最大值为 B. 存在点，使得 C. 若垂直于轴，则的最小值为-2 D. 若过原点，则的最小值为1 22．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 23．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（     ） A. 该直线的斜率是 2 B. 椭圆的离心率是 C. 三角形 与三角形 面积比为 16 D. 当 时，四边形 的面积是 24．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 25．（25-26学年高二·安徽·期中）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　． 26．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线、的斜率之积是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与曲线相交于、两点，且点平分线段，求直线的方程． 27．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 28．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率为　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、分别是线段、上的动点（均与端点不重合），且满足，直线、的交点为，则的最大值为　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点，且离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，若的面积为2，求的值. 31．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 32．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求的面积. 33．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 34．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程； （2）若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 36．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是　　　　　　. 37．（25-26学年高二·安徽·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 38．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知椭圆经过点，点（异于）在椭圆上，过且斜率为2的直线交直线于点，直线与椭圆交于另一点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在第一象限，求四边形面积的最大值； （3）求证：直线经过定点. 39．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）求线段长度的最小值. 40．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知椭圆的离心率为，点在上，的左焦点为. （1）求的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于、两点，直线、分别交直线于点、，且的中点为. （i）求证：； （ii）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 41．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为　　　　　　　　　　. 42．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点． （1）求的方程； （2）若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值； （3）记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 43．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N． （1）求椭圆的方程； （2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值； （3）证明：直线经过定点． 44．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若平行于轴的直线交于，两点，直线与的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）过（ⅰ）中的定点的直线与相交于，两点（异于的左、右顶点），求的面积的最大值. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（       ） A. 17 B. 19 C. 2 D. 1 2．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D. 2 4．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）双曲线的焦点为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）双曲线：的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）（多选）已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（       ） A.  B. 有最大值3 C. 若点，则周长的最小值为12 D. 的内心到轴的距离为1 7．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A. 双曲线的方程为 B. 若，则的面积为 C. 点的坐标为 D. 若，则 8．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）若方程“”表示双曲线，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． （1）求的标准方程； （2）求直线的斜率之积． 12．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与曲线交于两点，求的值. 13．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）设，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，，则的离心率为　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别交于两点，若，则的最小值为　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， （1）求曲线的方程； （2）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． （3）人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 16．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. （1）求的值. （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为2，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知抛物线，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A.  B. 3 C.  D. 4 3．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为（       ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）已知直线：过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论错误的是（     ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到轴的距离为 C.  D.  5．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）（多选）设抛物线：（）的焦点为，直线交于，两点（，在不同的象限），交轴于点，且，，，过作的准线的垂线，垂足为，设点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 6．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）抛物线的准线方程为，则　　　　　. 7．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）抛物线的准线方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值. 9．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 10．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点. （1）求的方程； （2）设直线与的斜率分别为，，. ①证明：直线的斜率为定值； ②若的面积为6，求所在直线方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $