精品解析：安徽合肥卓越中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

合肥卓越中学2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高二数学学科试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（ ） A. 圆与圆相交 B. 若，直线与圆相交于A、两点，则 C. 若，则直线与圆一定相交 D. 若，过上的一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为8 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值等于12 D. 以线段为直径的圆与圆相切 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆恒相交 C. y轴被圆C截得的弦长为 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 11. 如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 在上存在点，使平面 C. D. 二面角的大小为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围是______． 13. 若圆和关于直线对称，则的方程是______． 14. 已知点在圆上，点，当最小时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知直线与直线. （1）当为何值时，与平行，并求与的距离; （2）当为何值时，与垂直. 16. 的顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求过点A，B，C的圆方程． 17. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点． （1）求 （2）求直线与所成角的余弦值 （3）求平面和平面夹角的余弦值． 18. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 19. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥卓越中学2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高二数学学科试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可. 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为. 故选：A. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 3. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 4. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合椭圆定义可求出，再由通径定义可得，进而求出，再由结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以由椭圆定义得， 又由椭圆通径定义可知，所以，即， 所以. 故选：A. 5. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图 所以 所以异面直线与所成角的余弦值 故选：A 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题. 6. 已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，设，利用点到直线的距离公式得到，再利用辅助角公式及的性质，即可求解. 【详解】由题可设， 则点到直线的距离为，其中， 所以当时，最小，最小值为. 故选：D. 7. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式进行求解. 【详解】取AC的中点O，取中点D，连接OD，则平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形， 所以， 因为平面ABC， 所以OB，AC，OD两两垂直， 所以以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，， 故， ， 点到直线的距离为. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（ ） A. 圆与圆相交 B. 若，直线与圆相交于A、两点，则 C. 若，则直线与圆一定相交 D. 若，过上的一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系、弦长公式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距，两圆外切，故A错误； 对于B，易知直线的方程为，则圆心C到直线的距离， 所以，故B正确； 对于C，因为直线过原点，， 原点在圆C外，所以直线与圆C不一定相交，故C错误； 对于D，由题设及圆的切线性质得， ， 直线的方程为，的最小值为圆心C到直线的距离， 则的最小值为，故D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为8 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值等于12 D. 以线段为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 对于A，的最大值为，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B错误； 对于C，设点，则，而， 因此面积的最大值等于，C正确； 对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径， 圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确. 故选：ACD 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆恒相交 C. y轴被圆C截得的弦长为 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由，则圆心，半径， ，故B正确； 对于C，令，整理圆的方程为，解得， 轴被圆截得的弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 在上存在点，使平面 C. D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质证明，即可判断；对于B，取的中点分别为，证明平面平面，即可判断；对于C，建立空间直角坐标系，求是否为，即可判断；对于D，方法一：几何法，利用三垂线定理，证是二面角的平面角，即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，平面的法向量，利用向量法求二面角的大小. 【详解】对于A，因为，， 则，所以， 在直三棱柱中，平面， 又平面，则， 又，平面， 故平面， 又平面，所以， 则直线与直线所成的角为，故选项A正确； 对于B，取的中点分别为，连接， 又为的中点，所以，， 又，，平面，平面， 故平面平面， 又平面，所以平面， 则在上存在点，使平面，故选项B正确； 对于C，以点为坐标原点，以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以，， 因为， 所以与不垂直，故选项C错误； 对于D，方法一：几何法——三垂线定理 在平面内，过作于，连接，由三垂线定理得，所以是二面角的平面角， 依题意知，，，所以，所以二面角的大小为，故选项D正确. 方法二：坐标法 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为， 则，令，则，故， 所以， 又二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特征可得，求解即可. 【详解】若要方程表示椭圆， 则，解得或. 故答案为:. 13. 若圆和关于直线对称，则的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，从而确定圆和关于线段的中垂线对称，根据中点坐标公式和垂直关系斜率乘积为求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为1， 两圆的半径相等， 故圆和关于线段的中垂线对称， 设直线，将代入，，解得， 故线段的中垂线的斜率为1， 的中点坐标为，故线段的中垂线方程为，即， 综上，的方程为 故答案为： 14. 已知点在圆上，点，当最小时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知直线与直线. （1）当为何值时，与平行，并求与的距离; （2）当为何值时，与垂直. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由两直线平行可利用系数构造方程求得结果，再求两平行线间的距离； （2）由两直线垂直可利用系数构造方程求得结果. 【小问1详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线， 所以与的距离为. 【小问2详解】 由直线与垂直，则，解得或. 16. 的顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求过点A，B，C的圆方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式求出直线方程，得到答案； （2）设出圆的一般方程，待定系数法进行求解. 【小问1详解】 直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 设圆的方程为， 将，，代入得 ，解得， 故圆的方程为. 17. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点． （1）求 （2）求直线与所成角的余弦值 （3）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 在棱长为的正方体中， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由正方体，可得平面， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 又， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 18. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果. （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积. 【小问1详解】 圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 19. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可联立求解方程，进而由离心率公式求解. （2）由点到直线距离以及弦长公式，结合面积公式先表示出的面积，即可结合换元法以及二次函数的性质得出的范围． 【小问1详解】 将和代入椭圆方程可得且， 解得，故所求椭圆方程为： 故离心率为， 【小问2详解】 设,，,， 将，代入椭圆的方程， 整理得， ， 所以点到直线的距离为， ， ， 设，则， ， 当时上式取等号．的最大值为 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $