专题02 空间向量的应用（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题02 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．D 2．B 3．B 4．BCD 5．B 6．BD 7．BCD 8．A 9．BCD 10．A 11．A 12．BCD 13．AC 14．B 15．A 16．D 17．AB 18．ACD 19．ACD 20．BC 21．ABD 22．B 23．ABD 24．ABD 25．【答案】 【分析】 根据空间向量法求点到平面的距离即得. 【详解】 由题， 点到平面的距离. 故答案为： 26．【答案】（1）证明如下： ∵底面，底面， ∴， ∵⊥，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    可得，，，，， 由为棱的中点，得， ∴，， ∴，， ∵平面， ∴平面；     （2）；     （3）      【分析】 （1）由底面，得到，结合⊥得到线面垂直，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，计算出，得到线面平行； （2）求出平面的法向量，计算出，得到线面角的正弦值； （3）利用两平面的法向量，得到两法向量的夹角余弦值，进而求出面面角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，设平面的法向量为， 则 ，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 27．【答案】（1）证明:由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， AI 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面     （2）.      【分析】 （1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为，且， 由 ， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 28．【答案】（1）证明：因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面.      （2）（i）；（ii）存在，      【分析】 （1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即 ， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即 ， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 29．【答案】（1） 在长方形中，，M为DC的中点，则， 平面平面，平面平面，且， 由，得，则平面，又平面， 所以.      （2）（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii）      【分析】 （1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 由点E是线段上的一动点，设， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则 ，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 解得，点E是线段靠近D1的三等分点， 所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为. （ii）由（i）知，，则点，线段的中点， 由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心 在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O， 由，得，解得， 因此三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 30．【答案】（1） 证明：因为为直三棱柱，所以， 又因为和分别为和的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面；     （2）      【分析】 （1）根据题意，证得和，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 则， 可得， 设平面的法向量为， ， 取，则，所以， 又因为向量，所以点D到平面A1FC1的距离， 因为，分别为，的中点，可得直线平面， 所以直线与平面的距离即为点D到平面的距离， 故直线与平面的距离为. 31．【答案】 【分析】 利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离. 【详解】 设向量在直线上的投影向量为，则， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 32．【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即.      【分析】 （1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. (1) 小问详解： 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； (2) 小问详解： 略 33．【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则 ，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 34．【答案】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面．      （2）证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面．      【分析】 （1）由条件证明，同理可得，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）由（1）证明，根据线面平行判定定理证明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理证明结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．【答案】（1）证明：在四棱锥中，由，是的中点，得， 而，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面.     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）由已知证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，利用面面角的向量求法求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在直角梯形中，，，又，， 平面，则平面，又平面，于是， 由，得，则，即，，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，则，， 设是平面的法向量，则 ，令，得. 由（1）知平面，即平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 36．【答案】（1）     （2） 取中点，连接， 为等边三角形，且，，平面，                          又平面，， 又，，、平面，平面， 平面，平面平面.     （3）      【分析】 （1）求出的面积，利用锥体体积公式可求出四棱锥的高； （2）取中点，连接，分析可知平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值. (1) 小问详解： 因为底面为矩形，，， 则， 设到底面的距离为， ，故四棱锥的高为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为平面，底面为矩形，且， 如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，                则、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量， ，取，得，                设直线与平面的夹角为， . 故直线与平面的夹角的正弦值为. 37．【答案】（1） 取的中点，连接，因为是的中点， 所以，且， 因为和都垂直平面，所以， 所以，且，所以为平行四边形， 所以， 因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为,面,面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面；     （2）      【分析】 （1）利用线面垂直判断面面垂直； （2）将几何体分成两个三棱锥进行计算体积. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，设该几何体的体积为，则， ，所以， ， 所以. 38．【答案】（1） 连接，因为，是中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，又，，得；     （2）      【分析】 （1）根据平面平面，先得面，从而，求得，再由勾股定理得证； （2），，两两垂直，建立如图坐标系，求出面和面的法向量，利用空间向量夹角求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，分别是面和面的法向量，二面角记为， 由 ，令，得， 得是面的一个法向量， 由 ，令，得， 得是面的一个法向量， 所以，所以， 故二面角的正弦值为. 39．【答案】（1）连结，取的中点，连结，， 、在上底面内，不在上底面内，上底面， 平面，又，平面，平面， 平面， 因为, 所以平面平面，由平面，平面；     （2）      【分析】 （1）取的中点，连结，，证得平面平面，即可证得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求所需各点坐标和向量坐标，求出平面和平面的一个法向量，由空间向量夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连结，，， 以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 于是有，，，， ，， 设平面中一个的法向量， 则 ， 于是得平面的一个法向量， 又平面的一个法向量 设二面角为，显然是锐角， 则， 二面角的余弦值为. 【详解】【点晴】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行，向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等. 40．【答案】 【分析】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 直三棱柱中，，，为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，，，，，，， 设异面直线与所成夹角为， 则. 异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 41．【答案】（1） 以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，所以为平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面.     （2）.      【分析】 （1）利用空间向量证明垂直于平面的法向量从而证明平面； （2）利用空间向量法来求点到面的距离即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，平面的一个法向量为， 所以由点到平面的距离公式得， 所以点到平面的距离为. 42．【答案】（1） 因为，所以， 因为平面，在平面内， 所以， 因为，又都在平面内， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面.     （2）.      【分析】 （1）由，得到平面，即可求证； （2）建系，求得直线方向向量、平面法向量，代入夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面平面， 所以平面，在平面内， 所以， 因为，， 所以. 又由（1）知，，两两垂直， 所以以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则 ， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为， 所以. 43．【答案】（1） 为的中点时，平面， 证明如下： 取的中点，连接．因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为中点，为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面 所以平面平面， 因为平面， 所以平面.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）取的中点，连接，证明平面平面，即可判定； （2）结合题意证明两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为平面，平面， 所以 因为四边形是边长为2的正方形， 所以 所以两两垂直， 因为四边形与都是直角梯形，， 所以， 故以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系．     ， 设平面的法向量， 则 ，即 ，取，得， 所以 所以点到平面的距离为. （ii），得， 设平面的法向量， 则 ，即 ，取，得， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为 44．【答案】①     ② 【分析】 根据平行关系，构造直二面角的平面角，根据几何关系，即可求解. 【详解】 设平面和平面交于过点的直线， 因为，平面，平面， 所以平面，平面，且平面平面， 所以， 取的中点，连结， ，，即，， 因为平面平面， 所以，且，， 所以， 所以点到的距离为； 正四棱锥的侧面积为. 故答案为：； 45．【答案】（1） 连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面；     （2）      【分析】 （1）连接，证明，即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有 ，令，则， 所以， 因为，所以， 所以平面， 所以直线与平面所成角的大小为. 46．【答案】（1） 如图（1），设中点为，连接， 底面为正方形，E，F分别为的中点． ，且，而又，, 且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面.      （2）选择条件① ② 均有：，      【分析】 (1)设中点为，连接，由三角形中位线性质可得，且从而可得四边形为平行四边形，再由即可证得平面； (2)按照条件① 、条件② 的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出的长，以及证得平面，再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 选条件① ：连结,过作交于点，又因为，所以点也是中点，连结， ，为的中点，则,又底面为正方形，,， , 在中，, 平面平面，平面平面，平面， 如图（2）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则， ,, 平面，是平面的一个法向量，; 设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ； . 故二面角的余弦值为． 选择条件② ：取的中点为，连结,又平面平面，平面平面，平面， 过作交于点，连结 ,又是中点，所以点也是中点， 平面，平面,, 设 ，则,，, ，，，，故在中，,即，解得，即， 如图（3）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则， ,, 平面，是平面的一个法向量，; 设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ； . 故二面角的余弦值为． 47．【答案】（1），     （2），     （3） 当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD.      【分析】 （1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量，，表示，.； （2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案； （3）由平面ABCD等价于，，利用向量数量积公式计算即得结论. (1) 小问详解： 由题意得，，，， 可知， 则 . (2) 小问详解： 因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. (3) 小问详解： 略 48．【答案】（1） 连接，因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH，如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面．     （2）.      【分析】 （1）分别由线线平行证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可得证； （2）结合图形，依次求得三棱锥的体积和三棱台的体积，即得被夹在平面AMN与平面DBEF之间的几何体的体积，作比计算即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为， 三棱台的体积为 ， 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 49．【答案】（1） 由已知四边形为平行四边形． 又，， 所以， 故，即， 所以四边形为矩形．     （2）①，；②.      【分析】 （1）利用向量的数量积即可求证垂直得解， （2）根据空间向量的线性运算即可求解① ，利用向量的夹角公式即可求解② . (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 由已知， 又，故． ， ② 同理，， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 50．【答案】（1） 证明：取的中点，连接，.    因为，所以，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，故.     （2）      （3）       【分析】 （1）由线面垂直的判定理证明平面即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）求出平面的法向量，再由线面角的向量求法求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，， 所以，则， 由，得， 因为，所以，则. 所以，，互相垂直，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系. 则，，，. ，， 设平面的法向量为， 取，则， 由（1）可知，，易知， 又，，所以，， 又，，平面，所以平面， 则是平面的一个法向量. 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 因为，所以四边形为平行四边形， 则， 又，所以四边形为平行四边形， 则，，又，， 所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 设平面的法向量为， 取，则， 易知，因为点是线段的中点， 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 51．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析     （3）当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值是      【分析】 （1）由底面ABC得，由，得，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，由题设，证明即可； （3）求出平面及平面的法向量，得出平面与平面所成的角余弦值的表达式，根据二次函数的性质确定最大值． (1) 小问详解： 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面， 因为底面，所以， 因为，，所以， 又，，平面， 所以平面． (2) 小问详解： 因为平面，平面， 所以，所以，，两两垂直． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，，，，，，，． 由题设（）． 因为，， 所以， 所以． (3) 小问详解： 设平面的法向量为， 因为，， 所以 ，即 ． 令，则． 因为平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，， 则． 因为，， 所以，当时，取最小值为， 此时取最大值为，此时， 所以当时，平面与平面所成角的余弦值最大，最大值是． 52．【答案】（1） 在等腰梯形中，， 过作交于， 四边形是平行四边形，则， ，， 是等边三角形，， 在中，，解得， ，所以，即， 在中， 又，平面平面， 平面，.     （2）      【分析】 （1）过作交于，易证四边形是平行四边形，得是等边三角形，利用余弦定理求得，再由勾股定理证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，得证； （2）过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）平面，平面，可得平面平面， 过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，设． 则， ， 设平面法向量为， 则 ，则 ， 令，则，则. 又因为平面的一个法向量为， 所以，解得， ，即. 53．【答案】 【分析】 运用点到平面距离的向量求法即可. 【详解】 由题可知，在平面内，，. 故答案为：. 54．【答案】（1） 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意依次得到、，进而得到平面，再由面面垂直判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解； （3）以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心，球的半径为，利用向量法求得球心到平面的距离，进而可得截面圆的半径及截面面积. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. 又由（1）知两两垂直， 所以可以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，所以， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为，所以. (3) 小问详解： 以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心， 所以，则球的半径为， 设球心到平面的距离为，则. 设平面截球的截面圆的半径，则， 所以平面截球的截面面积为. 55．【答案】（1）1     （2）      【分析】 （1）根据向量模的求法及数量积的运算法则求的长； （2）根据线面角的向量求法求解. (1) 小问详解： 设则 ，所以， 因为 因为，所以. 所以. 所以的长为1. (2) 小问详解： ，即， 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 56．【答案】（1） 由题知在直三棱柱中，平面，平面， 所以，当时，为中点， 由题知为等腰直角三角形，所以， 又，平面，， 所以平面，即平面EBC.     （2）      （3）       【分析】 （1）证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解； （3）将四面体补成长方体，根据长方体的外接球就是四面体的外接球，结合点的位置确定外接球半径的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在直三棱柱中，，，， 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 又，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，则，，故， 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的一个法向量为， 又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为 . (3) 小问详解： 设四面体的外接球球心的坐标为，半径为， 则， 故， 则，所以外接球球心I的坐标为， 又，代入得， 即，则，， 当时，取得最小值为， 当或时，，所以， 所以，，当时，取得最小值为， 当时，，所以，所以， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 57．【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即 ，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． (3) 小问详解： 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故 ，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 58．【答案】 【分析】 把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】 ，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】 因为，， 所以，所以或． 故选：D． 2．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 取的中点，连接，证得，过点作，交于点，证得平面平面，由此求出的值. 【详解】 取的中点，连接，由，所以， 过点作，交于点，则，如图所示， 由平面，平面，所以， 且 ，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 由，为的中点，且，所以， 又由，所以，所以. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 如图，利用线面垂直的判定定理与性质确定为刍甍的高，求出即可. 【详解】 如图，取的中点，连接， 则，过点分别作，垂足分别为， 则四边形为矩形，且， 由，平面， 得平面，又平面， 所以，又平面， 所以平面，即为刍甍的高. 又，所以， 因为，为的中点，所以， 所以， 即该刍甍的高为. 故选：B 4．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（       ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【分析】 建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则 ， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26学年高二·安徽·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设平面的法向量，利用 ，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】 设平面的法向量，则 ， 因为，所以 ， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 6．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 已知直线和直线的方向向量分别为，若，则 【答案】BD 【分析】 根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量结合向量垂直计算可判断D的正误，即可得答案. 【详解】 选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误； 选项B：若为空间的一个基底，则不共面， 假设共面，则， 此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立， 即不共面，则可构成空间的另一个基底，故B正确； 选项C： 当时，， 此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 若，所以斜率，，故D正确； 故选：BD 7．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）（多选）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（       ） A. 经过点的平面的方程为 B. 方程为的平面与平面垂直 C. 若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D. l与方程为的平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】 对于,验证法排除；对于，利用两平面法向量垂直即可判定；对于，利用空间向量点面距计算公式进行计算即可；对于，利用空间向量线面角计算公式进行计算即可. 【详解】 对于,把点代入平面方程，不满足，故错误； 对于,平面其法向量为， 平面的法向量为， 则， 即，故面与平面垂直， 则正确； 对于,平面的一个法向量为,显然不全为0，不妨令， 点为平面内一点，则, 故点O到平面的距离为, 故正确； 对于,， 可知一组解为，另一组解为， 为平面的交线，则经过上述两个点， 则直线的一个方向向量为, 又平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 故正确， 故选： 8．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】 以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则， ， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）（多选）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 异面直线所成角的余弦值为 C.  D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【分析】 用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】 因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意画出图像，建立空间直角坐标系，利用向量坐标计算直线与直线所成角的余弦值即可. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 11．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】 A.若，，，则，那么，故A正确； B.若，，，则，故B错误； C.若，，则，或，又，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误； D.若，，，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误. 故选：A 12．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）（多选）正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（       ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点和点D到平面的距离相等 【答案】BCD 【分析】 以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 利用向量法可以判断选项ABD；对于C:先做出截面AEFD1，判断其为梯形，直接求面积即可. 【详解】 以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 对于A:因为，所以直线与直线不垂直.故A错误； 对于B：设平面AEF的法向量，则 取y=1,得.∵且A1G平面AEF,∴直线A1G与平面AEF平行.故B正确； 对于C： 连接∵E,F分别是的中点， ∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1， ∴面AEF截正方体所得的截面面积为：.故C正确； 对于D：由前面可知平面AEF的法向量. ∴点A1到平面AEF的距离， 点D到平面AEF的距离, ∴点和点D到平面的距离相等.故D正确. 故选:BCD. 【点睛】 立体几何题目的基本方法： (1)用几何法证明或计算； (2) 向量法：① 建立合适的坐标系；② 把要用到的向量正确表示；③ 利用向量法证明或计算. 13．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（     ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 【答案】AC 【分析】 根据空间向量投影向量的求法判断A；根据向量夹角的取值范围及相应余弦值的范围判断B；由直线的方向向量与平面的法向量平行，可判断C；由空间向量基本定理及线性运算法则判断D. 【详解】 对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当向量共线且同向时，也成立，但与的夹角不为锐角，故B错误； 对于C，由，即，故，故C正确； 对于D，因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量以为基底时的坐标为， 则， 即. 所以 ，解得 所以以为基底时的坐标为．故D错误. 故选：AC． 14．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据正四棱锥的性质得到平面，，然后根据，，得到的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可. 【详解】 取中点，连接、、， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，， 因为为中点，所以， 因为平面，所以， 因为，，所以，， 在直角三角形中，当时，最小，为， 当点和点重合时，最大，最大为4，所以， ，所以当时，的面积最小为. 故选：B 15．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】 因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 16．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知直线a与两个不同的平面α，β，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 在正方体中，举反例即可判断ABC，利用面面平行以及线面垂直的性质即可求解D. 【详解】 对于A，比如在正方体中，平面，平面，但平面与平面不平行，故A错误， 对于B，正方体中，平面平面，平面，但平面，故B错误， 对于C，正方体中，平面平面，且平面，但平面，故C错误， 对于D ， 由于，故存在平面，使得，且，又，所以，因此，故D正确， 故选：D 17．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（     ） A. 当为棱的中点时，平面 B. 与不垂直 C. 四面体的体积为 D. 平面 【答案】AB 【分析】 选项A，取的中点，连，易得四边形是平行四边形，从而得到，根据线面平行的判定定理得到平面；选项B，在中，利用勾股定理的逆定理得到 ，则与不垂直，又 ，则与不垂直，选项C，只有当为中点时，可求出；选项D，利用线面垂直的判定定理证明平面，若平面，则，显然与不平行，从而得到结论． 【详解】 选项A，如图，取的中点，连，易证，故四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，A正确； 选项B，，在中，，，， ，，与不垂直， ，与显然不垂直，B正确； 选项C，只有当为中点时，， C错误； 选项D，，，，平面，平面， 平面，平面，，同理可得， ，平面，若平面，则， 显然与不平行，故D错误． 故选：AB． 18．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）（多选）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（       ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角的正弦值范围是 C. 异面直线与间的距离为 D. 当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】 由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可. 【详解】 对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部． 以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ， ，，， 则 ，故平面， 则存在与平面的交点使得平面，故A正确； 对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为， 则，即，解得， 显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离， 则，即. 方法二：，， → C _1A=(-3,-3,3)，， 由于，则四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面 同理可得平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 由于在三角形边界及其内部，则， 令， ， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得， 当时，， 则当时， 当时，， 则当时，， 则 ，故B错误； 对C，由题意可知，， 设，使得， ，令，解得 ， 设异面直线与的距离为， 则，故C正确； 对D，， 当时，，， 此时，即平面，则 ， 则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心， 如图2，正三角形边长为，取中点，可得， 则，则， 则点的轨迹长度为，故D选项正确.    故选：ACD. 19．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）（多选）如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 无论点的位置，总有平面 B. 存在点使得平面 C. 若是的中点，则到平面的距离为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】ACD 【分析】 由，可判断A；由与不垂直，可判断B；将点到平面的距离转换成点到直线的距离即可判断C，设，结合线面角的定义列出等式求解即可. 【详解】 对于A，因为，又平面并且平面， 所以平面，故A正确； 对于B，在正方体中易知，与不垂直，故B不正确； 对于C，正方体中易知，，不在平面内，在平面内， 所以平行平面，所以到平面的距离即为到平面的距离， 在正方体中，易知平面平面，且相交于， 所以到平面的距离即为到的距离，又因为点是的中点， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离，设距离为， 又，，解得，故C正确； 对于D，设，所以， 计算可得， 所以点到直线的距离为， 根据三角形相似可得点到直线的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦为， 所以，故D正确． 故选：ACD. 20．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）（多选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（       ） A. 四棱锥的高为 B. 的面积为 C. 在上的投影向量为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】 利用锥体体积公式可判断A选项；建系，推导出，利用三角形的面积公式可判断B选项；推导出，结合投影向量的定义可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项. 【详解】 对于A选项，如图，连接，设， 由题意知，和都是等边三角形， 又因为， 所以点在平面内的射影为的中心，设为，连接， 由，解得，即四棱锥的高为，A错； 对于B选项，由已知，又平面， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且与平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 所以，，则，所以， 又因为，， 所以，B对； 对于C选项，因为，所以，，所以， 所以，，，则，即， 所以在上的投影向量为，C对； 对于D选项，易知，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，可得， 设直线与平面所成的角为，则，D错. 故选：BC. 21．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，为底面内部（包括边界）一动点，下列结论正确的是（       ） A. 存在点使得 B. 存在点使得平面和平面的夹角大小为 C. 若与底面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D.  【答案】ABD 【分析】 建立空间直角坐标系，求解数量积计算判断A，先求出法向量再应用夹角余弦公式计算判断B，线面角及弧长公式计算判断C，应用余弦公式计算判断D. 【详解】 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系， 依题意设， ， 所以，. 对于A，有， 当点为时，，即，故A正确； 对于B，显然平面，则平面的一个法向量为， 另设平面的法向量为， 则 ， 令，则，所以平面的一个法向量为， 若平面和平面的夹角大小为， 则，即， 解得，当，满足，故B正确； 对于C，若与底面所成角的正切值为，即， 则点的轨迹在以为圆心，为半径， 且在底面内的圆弧上，则圆弧与底面交于两点，所以圆心角为， 即其长度为，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，，由及已知得，，，四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，应用点面距的向量求法求的最小值. 【详解】 设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则 ， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B 23．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（       ） A. 平面与平面的夹角余弦值是； B. 的取值范围是； C. 的值可能是5； D. 点的轨迹的长度为. 【答案】ABD 【分析】 A,通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面的夹角余弦值；B,当从到连续变化时，找到当或时，截面为正三角形的面积最小；当时，截面为正六边形的面积最大，再求出最小面积和最大面积即可；C,当从到连续变化时，通过观察分析得到答案；D,当从到连续变化时，首先通过观察分析找到点的轨迹是正三角形的重心到正三角形的重心的线段，再利用等体积法等求出这段线段的长度. 【详解】 如图（1），以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2，，,， 对于选项A：平面，平面的一个法向量为，，平面的一个法向量为，，设平面与平面的夹角为，， 选项A正确； 对于选项B：当或时，如图（2），截面为正三角形，且， 为最小值； 当时，截面为正六边形，如图（3），， 为最大值，选项B正确； 对于选项C：当从到连续变化时，截面多边形的边数可能是三角形，六边形，不能是五边形，则选项C错误； 对于选项D：重心的轨迹是正三角形的重心到正三角形的重心的线段， 设正三角形的重心为，正三角形的重心为， ，，，，， 正三角形的重心到正三角形的重心的线段长度为，选项D正确. 故选：ABD 24．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）（多选）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】 根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；计算利用向量数量积即可判断B；由向量数量积计算可得，判断C；空间向量数量积公式结合向量夹角公式计算即可判断D. 【详解】 对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，，， 所以，，， ，B正确； 对于C，又，， 所以 ，所以与不垂直，C错误； 对于D，易知， ， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 25．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量法求点到平面的距离即得. 【详解】 由题， 点到平面的距离. 故答案为： 26．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： ∵底面，底面， ∴， ∵⊥，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    可得，，，，， 由为棱的中点，得， ∴，， ∴，， ∵平面， ∴平面；     （2）；     （3）      【分析】 （1）由底面，得到，结合⊥得到线面垂直，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，计算出，得到线面平行； （2）求出平面的法向量，计算出，得到线面角的正弦值； （3）利用两平面的法向量，得到两法向量的夹角余弦值，进而求出面面角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，设平面的法向量为， 则 ，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 27．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明:由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， AI 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面     （2）.      【分析】 （1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为，且， 由 ， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 28．（25-26学年高二·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. （1）当时，求证：平面； （2）当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】（1）证明：因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面.      （2）（i）；（ii）存在，      【分析】 （1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即 ， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即 ， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 29．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. （1）求证：； （2）（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 【答案】（1） 在长方形中，，M为DC的中点，则， 平面平面，平面平面，且， 由，得，则平面，又平面， 所以.      （2）（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii）      【分析】 （1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 由点E是线段上的一动点，设， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则 ，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 解得，点E是线段靠近D1的三等分点， 所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为. （ii）由（i）知，，则点，线段的中点， 由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心 在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O， 由，得，解得， 因此三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 30．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.    （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面的距离. 【答案】（1） 证明：因为为直三棱柱，所以， 又因为和分别为和的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面；     （2）      【分析】 （1）根据题意，证得和，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 则， 可得， 设平面的法向量为， ， 取，则，所以， 又因为向量，所以点D到平面A1FC1的距离， 因为，分别为，的中点，可得直线平面， 所以直线与平面的距离即为点D到平面的距离， 故直线与平面的距离为. 31．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离. 【详解】 设向量在直线上的投影向量为，则， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    （1）求的长； （2）证明：. 【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即.      【分析】 （1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. (1) 小问详解： 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则 ，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 34．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面．      （2）证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面．      【分析】 （1）由条件证明，同理可得，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）由（1）证明，根据线面平行判定定理证明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理证明结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由，是的中点，得， 而，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面.     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）由已知证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，利用面面角的向量求法求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在直角梯形中，，，又，， 平面，则平面，又平面，于是， 由，得，则，即，，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，则，， 设是平面的法向量，则 ，令，得. 由（1）知平面，即平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 36．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足. （1）求四棱锥的高； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）     （2） 取中点，连接， 为等边三角形，且，，平面，                          又平面，， 又，，、平面，平面， 平面，平面平面.     （3）      【分析】 （1）求出的面积，利用锥体体积公式可求出四棱锥的高； （2）取中点，连接，分析可知平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值. (1) 小问详解： 因为底面为矩形，，， 则， 设到底面的距离为， ，故四棱锥的高为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为平面，底面为矩形，且， 如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，                则、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量， ，取，得，                设直线与平面的夹角为， . 故直线与平面的夹角的正弦值为. 37．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求该几何体的体积． 【答案】（1） 取的中点，连接，因为是的中点， 所以，且， 因为和都垂直平面，所以， 所以，且，所以为平行四边形， 所以， 因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为,面,面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面；     （2）      【分析】 （1）利用线面垂直判断面面垂直； （2）将几何体分成两个三棱锥进行计算体积. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，设该几何体的体积为，则， ，所以， ， 所以. 38．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，因为，是中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，又，，得；     （2）      【分析】 （1）根据平面平面，先得面，从而，求得，再由勾股定理得证； （2），，两两垂直，建立如图坐标系，求出面和面的法向量，利用空间向量夹角求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，分别是面和面的法向量，二面角记为， 由 ，令，得， 得是面的一个法向量， 由 ，令，得， 得是面的一个法向量， 所以，所以， 故二面角的正弦值为. 39．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径， 是上底面圆的直径，是圆台的一条母线. （1）已知分别为，的中点，求证：平面； （2）已知，.求二面角 的余弦值. 【答案】（1）连结，取的中点，连结，， 、在上底面内，不在上底面内，上底面， 平面，又，平面，平面， 平面， 因为, 所以平面平面，由平面，平面；     （2）      【分析】 （1）取的中点，连结，，证得平面平面，即可证得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求所需各点坐标和向量坐标，求出平面和平面的一个法向量，由空间向量夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连结，，， 以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 于是有，，，， ，， 设平面中一个的法向量， 则 ， 于是得平面的一个法向量， 又平面的一个法向量 设二面角为，显然是锐角， 则， 二面角的余弦值为. 【详解】【点晴】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行，向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等. 40．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 直三棱柱中，，，为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，，，，，，， 设异面直线与所成夹角为， 则. 异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 41．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）如图，已知正方体的棱长为6，点在棱上，且为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，所以为平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面.     （2）.      【分析】 （1）利用空间向量证明垂直于平面的法向量从而证明平面； （2）利用空间向量法来求点到面的距离即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，平面的一个法向量为， 所以由点到平面的距离公式得， 所以点到平面的距离为. 42．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）如图，在三棱柱中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为，所以， 因为平面，在平面内， 所以， 因为，又都在平面内， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面.     （2）.      【分析】 （1）由，得到平面，即可求证； （2）建系，求得直线方向向量、平面法向量，代入夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面平面， 所以平面，在平面内， 所以， 因为，， 所以. 又由（1）知，，两两垂直， 所以以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则 ， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为， 所以. 43．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．    （1）棱上是否存在点，使得平面，并证明； （2）若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 为的中点时，平面， 证明如下： 取的中点，连接．因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为中点，为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面 所以平面平面， 因为平面， 所以平面.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）取的中点，连接，证明平面平面，即可判定； （2）结合题意证明两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为平面，平面， 所以 因为四边形是边长为2的正方形， 所以 所以两两垂直， 因为四边形与都是直角梯形，， 所以， 故以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系．     ， 设平面的法向量， 则 ，即 ，取，得， 所以 所以点到平面的距离为. （ii），得， 设平面的法向量， 则 ，即 ，取，得， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为 44．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为　　　　　　　　　　　　米；正四棱锥的侧面积为　　　　　　　　　　　　平方米． 【答案】①     ② 【分析】 根据平行关系，构造直二面角的平面角，根据几何关系，即可求解. 【详解】 设平面和平面交于过点的直线， 因为，平面，平面， 所以平面，平面，且平面平面， 所以， 取的中点，连结， ，，即，， 因为平面平面， 所以，且，， 所以， 所以点到的距离为； 正四棱锥的侧面积为. 故答案为：； 45．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正方体中，与的交点为，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面；     （2）      【分析】 （1）连接，证明，即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有 ，令，则， 所以， 因为，所以， 所以平面， 所以直线与平面所成角的大小为. 46．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 如图（1），设中点为，连接， 底面为正方形，E，F分别为的中点． ，且，而又，, 且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面.      （2）选择条件① ② 均有：，      【分析】 (1)设中点为，连接，由三角形中位线性质可得，且从而可得四边形为平行四边形，再由即可证得平面； (2)按照条件① 、条件② 的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出的长，以及证得平面，再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 选条件① ：连结,过作交于点，又因为，所以点也是中点，连结， ，为的中点，则,又底面为正方形，,， , 在中，, 平面平面，平面平面，平面， 如图（2）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则， ,, 平面，是平面的一个法向量，; 设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ； . 故二面角的余弦值为． 选择条件② ：取的中点为，连结,又平面平面，平面平面，平面， 过作交于点，连结 ,又是中点，所以点也是中点， 平面，平面,, 设 ，则,，, ，，，，故在中，,即，解得，即， 如图（3）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则， ,, 平面，是平面的一个法向量，; 设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ； . 故二面角的余弦值为． 47．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. （1）用向量，，表示，. （2）为何值时，最小，最小值是多少？ （3）当时，证明：平面ABCD. 【答案】（1），     （2），     （3） 当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD.      【分析】 （1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量，，表示，.； （2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案； （3）由平面ABCD等价于，，利用向量数量积公式计算即得结论. (1) 小问详解： 由题意得，，，， 可知， 则 . (2) 小问详解： 因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. (3) 小问详解： 略 48．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【答案】（1） 连接，因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH，如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面．     （2）.      【分析】 （1）分别由线线平行证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可得证； （2）结合图形，依次求得三棱锥的体积和三棱台的体积，即得被夹在平面AMN与平面DBEF之间的几何体的体积，作比计算即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为， 三棱台的体积为 ， 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 49．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知在三棱柱中，，，，，记，，．    （1）求证：四边形为矩形； （2）若，①用，，表示，并求；②求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） 由已知四边形为平行四边形． 又，， 所以， 故，即， 所以四边形为矩形．     （2）①，；②.      【分析】 （1）利用向量的数量积即可求证垂直得解， （2）根据空间向量的线性运算即可求解① ，利用向量的夹角公式即可求解② . (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 由已知， 又，故． ， ② 同理，， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 50．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）如图，在四边形中，，，，将沿翻折至，使点落在点的位置，且.点，满足，，连接，，.    （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，.    因为，所以，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，故.     （2）      （3）       【分析】 （1）由线面垂直的判定理证明平面即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）求出平面的法向量，再由线面角的向量求法求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，， 所以，则， 由，得， 因为，所以，则. 所以，，互相垂直，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系. 则，，，. ，， 设平面的法向量为， 取，则， 由（1）可知，，易知， 又，，所以，， 又，，平面，所以平面， 则是平面的一个法向量. 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 因为，所以四边形为平行四边形， 则， 又，所以四边形为平行四边形， 则，，又，， 所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 设平面的法向量为， 取，则， 易知，因为点是线段的中点， 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 51．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析     （3）当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值是      【分析】 （1）由底面ABC得，由，得，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，由题设，证明即可； （3）求出平面及平面的法向量，得出平面与平面所成的角余弦值的表达式，根据二次函数的性质确定最大值． (1) 小问详解： 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面， 因为底面，所以， 因为，，所以， 又，，平面， 所以平面． (2) 小问详解： 因为平面，平面， 所以，所以，，两两垂直． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，，，，，，，． 由题设（）． 因为，， 所以， 所以． (3) 小问详解： 设平面的法向量为， 因为，， 所以 ，即 ． 令，则． 因为平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，， 则． 因为，， 所以，当时，取最小值为， 此时取最大值为，此时， 所以当时，平面与平面所成角的余弦值最大，最大值是． 52．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）如图，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，且． （1）证明：； （2）点在线段上，若平面与平面所成的角为，求的长． 【答案】（1） 在等腰梯形中，， 过作交于， 四边形是平行四边形，则， ，， 是等边三角形，， 在中，，解得， ，所以，即， 在中， 又，平面平面， 平面，.     （2）      【分析】 （1）过作交于，易证四边形是平行四边形，得是等边三角形，利用余弦定理求得，再由勾股定理证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，得证； （2）过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）平面，平面，可得平面平面， 过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，设． 则， ， 设平面法向量为， 则 ，则 ， 令，则，则. 又因为平面的一个法向量为， 所以，解得， ，即. 53．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 运用点到平面距离的向量求法即可. 【详解】 由题可知，在平面内，，. 故答案为：. 54．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）若球为三棱锥的外接球，求平面截球的截面面积. 【答案】（1） 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意依次得到、，进而得到平面，再由面面垂直判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解； （3）以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心，球的半径为，利用向量法求得球心到平面的距离，进而可得截面圆的半径及截面面积. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. 又由（1）知两两垂直， 所以可以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，所以， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为，所以. (3) 小问详解： 以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心， 所以，则球的半径为， 设球心到平面的距离为，则. 设平面截球的截面圆的半径，则， 所以平面截球的截面面积为. 55．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）如图，在三棱锥中，．求： （1）的长； （2）异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 （1）根据向量模的求法及数量积的运算法则求的长； （2）根据线面角的向量求法求解. (1) 小问详解： 设则 ，所以， 因为 因为，所以. 所以. 所以的长为1. (2) 小问详解： ，即， 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 56．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，是线段上的动点（不与点，重合），且满足，实数. （1）当时，证明：平面； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）求四面体的外接球半径的取值范围. 【答案】（1） 由题知在直三棱柱中，平面，平面， 所以，当时，为中点， 由题知为等腰直角三角形，所以， 又，平面，， 所以平面，即平面EBC.     （2）      （3）       【分析】 （1）证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解； （3）将四面体补成长方体，根据长方体的外接球就是四面体的外接球，结合点的位置确定外接球半径的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在直三棱柱中，，，， 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 又，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，则，，故， 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的一个法向量为， 又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为 . (3) 小问详解： 设四面体的外接球球心的坐标为，半径为， 则， 故， 则，所以外接球球心I的坐标为， 又，代入得， 即，则，， 当时，取得最小值为， 当或时，，所以， 所以，，当时，取得最小值为， 当时，，所以，所以， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 57．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即 ，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． (3) 小问详解： 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故 ，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 58．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为　　　　　　. 【答案】 【分析】 把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】 ，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（       ） A.  B.  C.  D. 或 2．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 3．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（       ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 5．（25-26学年高二·安徽·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 已知直线和直线的方向向量分别为，若，则 7．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）（多选）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（       ） A. 经过点的平面的方程为 B. 方程为的平面与平面垂直 C. 若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D. l与方程为的平面所成角的正弦值为 8．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）（多选）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 异面直线所成角的余弦值为 C.  D. 若四点共面，则点是线段的中点 10．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 12．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）（多选）正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（       ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点和点D到平面的距离相等 13．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（     ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 14．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知直线a与两个不同的平面α，β，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 17．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（     ） A. 当为棱的中点时，平面 B. 与不垂直 C. 四面体的体积为 D. 平面 18．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）（多选）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（       ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角的正弦值范围是 C. 异面直线与间的距离为 D. 当时，点的轨迹长度为 19．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）（多选）如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 无论点的位置，总有平面 B. 存在点使得平面 C. 若是的中点，则到平面的距离为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 20．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）（多选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（       ） A. 四棱锥的高为 B. 的面积为 C. 在上的投影向量为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 21．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，为底面内部（包括边界）一动点，下列结论正确的是（       ） A. 存在点使得 B. 存在点使得平面和平面的夹角大小为 C. 若与底面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D.  22．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（       ） A. 平面与平面的夹角余弦值是； B. 的取值范围是； C. 的值可能是5； D. 点的轨迹的长度为. 24．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）（多选）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 直线与所成角的余弦值为 25．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是　　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的正弦值． 27．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 28．（25-26学年高二·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. （1）当时，求证：平面； （2）当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 29．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. （1）求证：； （2）（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 30．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.    （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面的距离. 31．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    （1）求的长； （2）证明：. 33．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 34．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： （1）平面； （2）平面平面． 35．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 36．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足. （1）求四棱锥的高； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面夹角的正弦值. 37．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求该几何体的体积． 38．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 39．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径， 是上底面圆的直径，是圆台的一条母线. （1）已知分别为，的中点，求证：平面； （2）已知，.求二面角 的余弦值. 40．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是　　　　　　. 41．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）如图，已知正方体的棱长为6，点在棱上，且为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 42．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）如图，在三棱柱中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 43．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．    （1）棱上是否存在点，使得平面，并证明； （2）若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 44．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为　　　　　　　　　　　　米；正四棱锥的侧面积为　　　　　　　　　　　　平方米． 45．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正方体中，与的交点为，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 46．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 47．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. （1）用向量，，表示，. （2）为何值时，最小，最小值是多少？ （3）当时，证明：平面ABCD. 48．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 49．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知在三棱柱中，，，，，记，，．    （1）求证：四边形为矩形； （2）若，①用，，表示，并求；②求异面直线与所成角的余弦值． 50．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）如图，在四边形中，，，，将沿翻折至，使点落在点的位置，且.点，满足，，连接，，.    （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 51．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 52．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）如图，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，且． （1）证明：； （2）点在线段上，若平面与平面所成的角为，求的长． 53．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为　　　　　　　　　　. 54．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）若球为三棱锥的外接球，求平面截球的截面面积. 55．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）如图，在三棱锥中，．求： （1）的长； （2）异面直线与所成角的余弦值． 56．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，是线段上的动点（不与点，重合），且满足，实数. （1）当时，证明：平面； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）求四面体的外接球半径的取值范围. 57．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 58．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $