专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 2．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（       ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上皆有可能 3．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）（多选）已知圆方程为，则下列结论正确的是（       ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 5．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）过定点的直线与圆相交于两点，且，则的最小值为（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（       ） A.  B. 6 C. -6 D.  7．（25-26学年高二·安徽·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（       ） A. 0 B.  C. 2 D. 3 9．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）若圆与圆外切，则为（       ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或5 10．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）（多选）已知圆，直线，过上的动点作圆的切线，切点分别为，则（       ） A. 圆上的点到的距离最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为4 14．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（     ） A. 不是定值 B. 恒为 C. 恒为 D. 恒为 16．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与圆相交于两点．若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知曲线C：，则“”是“直线与曲线C有且仅有1个交点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知直线l：，圆C：，其中，则下列说法正确的是（     ） A. 直线l与圆C相离 B. 当时，直线l的斜率不存在 C. 若点为圆C上任意一点，则的最大值为2 D. 过直线l上一点P作圆C的切线，切点为A，的最小值为 20．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知，满足，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的弦长为4时， D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 22．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）（多选）以下四个命题表述正确的是（     ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 23．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）（多选）已知直三棱柱的底面是直角三角形，满足，其外接球球心为．若动点分别在侧面对角线，上（不含端点），且，则（       ） A. 平面 B. 两点距离的最小值为 C. 球的表面积为 D. 直线被球截得的弦长的最大值为 24．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 25．（25-26学年高二·安徽·期中）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 26．（25-26学年高二·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 　　 ． 27．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线方程为　　　　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 29．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 30．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （3）若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 31．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为　　　　　. 32．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知,圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相切，求直线的方程. 33．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则　　　　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 35．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知圆C：（，）与y轴交于A，B两点，，且. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线和直线将圆C的周长四等分，求的值. 36．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知光线从点射出，被直线反射后与圆相切，则反射光线的方程为　　　　　　． 37．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 39．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 40．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 （1）求圆与圆的公共弦的长； （2）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 41．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标. 42．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则　　　　　　　　　　. 43．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 44．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则符合条件的点构成的区域的面积为　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 46．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 47．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知圆点. （1）过作圆的切线，求切线的方程； （2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. （3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】 由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】 根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 2．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（       ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上皆有可能 【答案】C 【分析】 根据直线与圆的位置关系可得，从而确定点与圆的位置关系. 【详解】 若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即， 又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内． 故选：C. 3．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】 因为满足圆的方程， 所以点在圆上，又，所以， 因，则，解得， 故切线：，即. 因为切线与直线平行，所以，解得， 故直线：， 则平行直线与间的距离为. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）（多选）已知圆方程为，则下列结论正确的是（       ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】 对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】 对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由 ， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 5．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）过定点的直线与圆相交于两点，且，则的最小值为（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 利用垂径定理来求解弦长最小值问题. 【详解】 圆心，设圆心到直线的距离为，则， 当直线与垂直时，取最小值． 故选:B． 6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（       ） A.  B. 6 C. -6 D.  【答案】D 【分析】 设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案. 【详解】 设，由，得， 化简得， 若，此时不存在，舍去， 若，此时点坐标为，但不满足， 故不合要求，舍去， 若，即点在圆上， 圆心为，半径. 圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得596， 所以或，即的最小值为. 故选：D. 7．（25-26学年高二·安徽·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】 曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 8．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（       ） A. 0 B.  C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】 设，则， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即． 因为， 所以圆与圆相交， 所以点P的个数为2． 故选：C. 9．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）若圆与圆外切，则为（       ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或5 【答案】A 【分析】 由两圆外切得圆心距等于两圆半径之和，列方程，求出. 【详解】 圆的圆心和半径分别为. 圆的标准方程为，其圆心和半径分别为. 由两圆外切，得，所以，解得. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出到原点的距离为2的轨迹方程，再由题意可知圆与圆有两个公共点，利用圆与圆的位置关系即可求得实数的取值范围. 【详解】 将圆的方程化为标准方程得，所以. 到原点的距离为2的轨迹方程为， 因为圆上有2个点到的距离为2，所以圆与圆相交， 所以，又， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 11．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】 设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 12．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【详解】 圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）（多选）已知圆，直线，过上的动点作圆的切线，切点分别为，则（       ） A. 圆上的点到的距离最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为4 【答案】ACD 【分析】 由圆心到直线的距离可判断ABD，对于C，根据解直角三角形可得，根据可算出的最大值为钝角，故可判断正误. 【详解】 连接， 对于A，由题设有，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 而，故直线与圆相离，故圆上的点到的距离最大值为，故A正确； 对于B，因为，而为到直线的距离， 故，故B错误； 对于C，因为，当且仅当时等号成立， 故，设且为锐角， 则由可得，而为锐角，故， 故，结合可得的最大值可为1， 故C正确； 对于D，由对称性可得， 故，其中为四边形的面积， 而， 由B的分析可得为到直线的距离，故， 故的最小值，当且仅当时取最小值，故D正确；    故选：ACD. 14．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式求解即求得a的范围. 【详解】 由圆心C的横坐标为a，得圆心C的坐标为， 则圆的方程为， 设，由，得， 整理得，因此点在以为圆心，为半径的圆上， 依题意，圆与圆有公共点，则， 即，整理得，解得， 所以圆心的横坐标的取值范围为. 故选：C 15．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（     ） A. 不是定值 B. 恒为 C. 恒为 D. 恒为 【答案】D 【分析】 求出点、的坐标，设，则，再利用两点间距离公式化简即可得出的值. 【详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径， 在圆的方程中，令，可得，解得或， 令可得，解得或，则点、， 因为圆与圆外切，所以， 设，则， . 故选：D． 16．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与圆相交于两点．若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由四边形为菱形，得到到的距离等于1，由点到线的距离公式列出等式求解即可； 【详解】    因为圆上存在一点，使得四边形为菱形， 所以到的距离等于, 即， 解得：， 故选：C. 17．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程. 【详解】 根据题意可知，两圆心关于原点对称， 在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：    显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线； 又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确； 利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为， 又到切线的距离为1，即，解得或； 当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确； 由对称性可知，切线与直线平行， 易知，所以直线的方程为， 可设的方程分别为， 由两平行线间距离公式可得，解得， 即切线的方程分别为，； 整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误； 故选：ABC 18．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知曲线C：，则“”是“直线与曲线C有且仅有1个交点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据直线与圆的位置关系进行讨论即可. 【详解】 曲线表示圆心，半径为4的圆的上半部分（包括与x轴的交点）， 直线的斜率为1，在y轴上的截距为m， 当直线与曲线恰有1个公共点时， 该直线与曲线相切或有一个交点，如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于4，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）； 由图象可知，有一个交点时，； 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或； 所以“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 19．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知直线l：，圆C：，其中，则下列说法正确的是（     ） A. 直线l与圆C相离 B. 当时，直线l的斜率不存在 C. 若点为圆C上任意一点，则的最大值为2 D. 过直线l上一点P作圆C的切线，切点为A，的最小值为 【答案】AD 【分析】 根据点到直线的距离公式即可判断A；根据直线方程即可判断B；根据点与圆的位置关系，结合两点间距离即可判断C；根据直线与圆的位置关系可知当时，取得最小值，即可判断D. 【详解】 对于A， 圆C的圆心为，半径为1， 所以圆心到直线l：的距离， 所以直线l与圆C相离，故A正确； 对于B， 当时，l:，斜率为0，故B错误； 对于C， 因为原点在圆C上，所以， 所以的最大值为4，故C错误； 对于D， 因为，所以当最小时，取得最小值， 当时，由A知,的最小值为，所以，故D正确. 故选：AD. 20．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知，满足，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出圆心和半径，设，则，由题可知直线与该圆有交点，得到圆心到该直线的距离小于等于半径，计算得解. 【详解】 方程化为， 表示以为圆心，半径为1的圆. 设，则，由题可知直线与该圆有交点， 所以，如图，    整理得，，解得， 则，即， 所以的最小值为. 故选：A. 21．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的弦长为4时， D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】 直线变形为可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到的值，选项C错误；当直线与圆心和定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线的斜率，即可得到选项D正确. 【详解】 直线，即，直线恒过定点，故A正确； 由，可知在圆内部，故直线与圆相交，故B正确； 如图，直线与圆相交于两点，连接，则， 过点作于点，则，所以， 即点到直线的距离，由得或，故C错误； 由图知，直线于垂直时，直线被圆截得的弦长最短，因， 此时，，所以直线的方程为， 整理得，故D正确. 故选：ABD 22．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）（多选）以下四个命题表述正确的是（     ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 【答案】BCD 【分析】 对于选项A：将直线整理为，则有 ，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可. 【详解】 对于选项A：将直线整理为，则有 ，解得 ， 直线恒过定点，则选项A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1. 则选项B正确； 对于选项C：曲线：的圆心为，半径， 曲线：的圆心为，半径， 曲线：与曲线：恰有三条公切线， ，，，则选项C正确； 对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：和，这两个圆相减得直线的方程为， 代入，得，整理得， 设 ，解得 ，即直线经过定点（1，2），则选项D正确. 故选：BCD. 23．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）（多选）已知直三棱柱的底面是直角三角形，满足，其外接球球心为．若动点分别在侧面对角线，上（不含端点），且，则（       ） A. 平面 B. 两点距离的最小值为 C. 球的表面积为 D. 直线被球截得的弦长的最大值为 【答案】ABD 【分析】 选项A可通过建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面平行；选项B根据两点间距离公式求最值；选项C先确定外接球半径，再根据球的表面积公式计算；选项D分析直线被球截得弦长的最大值情况. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，由已知， 设（），则，， 又平面的法向量为，所以，故平面，A正确； ，当且仅当时成立，B正确； 把直三棱柱补成长方体，则长方体的外接球就是直三棱柱的外接球, 长方体的体对角线长即外接球的直径，故球的半径为， 故表面积为，C错误； 由已知，又的中点坐标为，， 因为，故． ，当且仅当时成立， 故直线被球截得的弦长的最大值为，所以D正确． 故选ABD． 24．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：． 25．（25-26学年高二·安徽·期中）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. (1) 小问详解： 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 26．（25-26学年高二·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 　　 ． 【答案】1 【分析】 由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】 根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 27．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线方程为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据反射光线的性质，设出反射光线所在直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求直线斜率即可得解． 【详解】 点关于轴的对称点， 根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点， 因为反射光线与圆相切， 易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 所以圆心到直线的距离，解得或， 所以反射光线所在直线方程为或 化简可得：或， 故答案为：或． 28．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由圆的切线的性质，得到点M，N在以PC为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解. (1) 小问详解： 解：设圆坐标为， 因为圆经过，两点，且圆心在直线上， 可得 ，解得， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 解：因为，所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 即，又由圆， 两圆的方程相减，可得，即为直线的方程为. 29．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得 ，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. (1) 小问详解： 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. (2) 小问详解： 设点，则由点M是线段AB的中点得 ，所以 ① ， 因为点B在圆C上运动，所以② ，将① 代入② 得， 化简得点M的轨迹方程是. 30．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （3）若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 【答案】（1） 直线的方程化为， 由 ，解得 ， 所以直线恒过定点.     （2），是圆心为，半径为2的圆；     （3）或.      【分析】 （1）变形直线的方程，建立方程组求出定点坐标即可. （2）根据给定的几何关系列出方程，化简即得的轨迹方程及对应的曲线. （3）求出圆心到直线的距离，再按的斜率是否存在，结合点到直线距离公式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，依题意，，则， 整理得，即， 所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为2的圆. (3) 小问详解： 直线过点，由，得圆心到直线距离， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 于是，解得，此时直线方程为， 所以直线的方程为或. 31．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为　　　　　. 【答案】 【分析】 数形结合，根据圆和圆外切得到三角形三边长，利用等面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】 由题意，的三边长分别为，设内切圆半径为，则. 根据余弦定理，，则， ，. 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知,圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设出圆的一般方程，再将点代入求解即可； （2）设直线的方程时要注意考虑斜率存在与斜率不存在两种情况，再根据圆心到直线的距离等于半径求解. (1) 小问详解： 依题意可设圆的方程为，由圆经过三点知， ，解得 ； 所以圆的方程为，其标准方程为. (2) 小问详解： 若过点的直线的斜率不存在，其方程为， 经检验恰与圆相切，满足题意. 若过点的直线的斜率存在，且设为，其方程为， 即，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于2， 得，即，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 33．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】 结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 34．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】（1），     （2），和      【分析】 （1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. (2) 小问详解： 结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 35．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知圆C：（，）与y轴交于A，B两点，，且. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线和直线将圆C的周长四等分，求的值. 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）由可知，，结合，可知，再联立求解即可； （2）根据分成四等分，可得圆心到直线的距离，进而得到两平行线的距离即可求解． (1) 小问详解： 圆C：（，）， 则圆心，半径，如图：过作轴，    ，，则， 又，则， 即 ， 解得 ， 所以圆C的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线和圆C交于点E，F，直线与圆C交于点M，N.    因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接CE，CF，CM，CN，则， 所以△ECF为等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离为， 同理可得圆心C到直线的距离为， 故直线和直线间的距离为， 所以，即． 36．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知光线从点射出，被直线反射后与圆相切，则反射光线的方程为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 由题意，先求出点关于的对称点，再由反射光线与已知圆相切求出直线斜率，结合图形即可求得反射光线的方程. 【详解】 由配方得：，知圆心为，半径为2， 如图，设关于的对称点为，则 ， 解得 ，即得，依题意，可设反射光线的方程为， 由反射光线与圆相切，可得， 解得，故反射光线的方程为； 又由图知，当反射光线的斜率不存在时，反射光线的方程为恰与圆相切． 故反射光线的方程为或． 故答案为：或. 37．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 38．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） 设直线l的方程为，，， 由 得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点.      【分析】 （1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. (1) 小问详解： 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. (2) 小问详解： 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 40．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 （1）求圆与圆的公共弦的长； （2）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立圆的方程得出公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求出圆到直线的距离，再利用弦长公式求解； （2）利用圆过圆交点设圆系方程，再利用该圆过交点求解． (1) 小问详解： 联立圆方程圆 得两圆公共弦所在直线方程为， 圆到直线的距离为，又圆的半径， 两圆的公共弦长为． (2) 小问详解： 设经过圆与圆交点的圆系方程为， 该圆系经过点， ，解得， 该圆方程为，即． 41．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题设，令，圆的方程为，根据点在圆上列方程求参数，即可得圆的方程； （2）设点到直线的距离为，根据面积可得，再设直线，且与直线距离为，求出直线方程，再求直线与圆的交点即可． (1) 小问详解： 由题设，令，圆的方程为， 则 ，可得 ，故 ， 所以圆C的标准方程. (2) 小问详解： 由（1）知圆心，半径，， 设点到直线的距离为， ，解得， 又，即， 则可设过点与平行的直线，且与直线距离为， ，解得或， 当时，直线，即， 代入圆C得到，解得或， 所以或， 当时，直线，此时直线与圆相离， 综上，或． 42．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由已知等式变形得出，设直线的方程为，可知点到直线的距离为，点到直线的距离为，即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，对圆、圆的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值. 【详解】 由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.    情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. 43．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）根据题意，设，，利用直线与圆相切，利用几何法可得出关于的等式，可求出的值，由此可得出圆的方程； （2）（i）分析可知的面积为，利用三角形的面积公式可求出的大小，分析可知直线的斜率存在，设该直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值即可； （ii）对两直线的斜率是否存在进行分类讨论，求出、，再利用四边形的面积公式可求得的最小值. (1) 小问详解： 设点，， 因为圆与直线相切， 所以点到该直线的距离为，因为，解得， 故圆的方程为. (2) 小问详解： （i）因为的面积为，，所以的面积为， 即，所以， 若，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 若，则圆心到直线的距离为，合乎题意， 所以圆心到直线的距离为， 易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，即直线的斜率为. （ii）当、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为， 此时；    当直线、的斜率都存在时， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以点到直线的距离为，则， 同理可得， 所以 ， 综上所述，，即四边形面积的最小值为. 44．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则符合条件的点构成的区域的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围，得到符合条件的点的区域，进而得到面积. 【详解】 由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦，   由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长，   因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故答案为： 45．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径，计算求解； （2）求出圆心到直线的距离为，由直线被圆截得的弦的长度为，得到，代入数据计算求解. (1) 小问详解： 圆心在直线上，，圆心， 直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径， ，，，， 圆的半径为，圆的标准方程. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 又直线被圆截得的弦的长度为， ，，或. 46．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】（1）     （2）证明见解析     （3）证明见解析      【分析】 （1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. (1) 小问详解： 解：由已知得圆的半径. 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 证明：由（1）可知，， 设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ， 所以为定值. (3) 小问详解： 证明：设直线的方程为，，，已知， 联立 得， ，即. 所以，. 所以. 所以. 所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 47．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知圆点. （1）过作圆的切线，求切线的方程； （2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. （3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和     （2） 假设过点的一条直线倾斜角为， 由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾， 故过的直线不可能垂直于轴. 由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数. 设直线与圆相交于，两点， 直线与圆相交于，两点. 点在上，则 ， 化简得， 由韦达定理得. 点在上，则 ， 化简得， 由韦达定理得. 则直线的斜率为. 易得，.故. 故直线的斜率为定值.     （3）当，定值为；当，定值为，理由如下： 设，因，所以，化简得， . 所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为. 因，所以圆内含于圆.故点一定在圆外，过任意的点都能作两条圆的切线. 因不存在此两条切线同时垂直于轴（否则两切线平行，与两切线都过点矛盾），故不妨设过的切线方程为，切点为. 则. 由圆的方程得. 设.则. 设.即. 把代入化简得， . 继续代入得，. 要使上式对任意的，均成立，则. 解得 或 . 当的坐标为时，；当的坐标为时，.      【分析】 （1）根据斜率是否存在进行分类讨论，用待定系数法求得切线方程； （2）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线的斜率进行化简，求得定值为； （3）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标. (1) 小问详解： 根据圆的方程可知，圆的圆心坐标为，半径为. 点距离圆心的距离，故点在圆外，过点的切线有两条. 当过点的直线不存在斜率时，切线方程为， 圆心距此直线的距离为，与半径相等.故此直线与圆相切. 当过点的直线存在时，设直线方程为，即， 圆心距离此直线的距离应为，故，解得. 故直线方程为，即. 所以过点且与圆相切的直线方程为：和. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．ABC 2．C 3．A 4．BD 5．B 6．D 7．D 8．C 9．A 10．A 11．D 12．C 13．ACD 14．C 15．D 16．C 17．ABC 18．A 19．AD 20．A 21．ABD 22．BCD 23．ABD 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：． 25．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. (1) 小问详解： 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 26．【答案】1 【分析】 由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】 根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 27．【答案】或 【分析】 根据反射光线的性质，设出反射光线所在直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求直线斜率即可得解． 【详解】 点关于轴的对称点， 根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点， 因为反射光线与圆相切， 易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 所以圆心到直线的距离，解得或， 所以反射光线所在直线方程为或 化简可得：或， 故答案为：或． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由圆的切线的性质，得到点M，N在以PC为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解. (1) 小问详解： 解：设圆坐标为， 因为圆经过，两点，且圆心在直线上， 可得 ，解得， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 解：因为，所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 即，又由圆， 两圆的方程相减，可得，即为直线的方程为. 29．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得 ，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. (1) 小问详解： 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. (2) 小问详解： 设点，则由点M是线段AB的中点得 ，所以 ① ， 因为点B在圆C上运动，所以② ，将① 代入② 得， 化简得点M的轨迹方程是. 30．【答案】（1） 直线的方程化为， 由 ，解得 ， 所以直线恒过定点.     （2），是圆心为，半径为2的圆；     （3）或.      【分析】 （1）变形直线的方程，建立方程组求出定点坐标即可. （2）根据给定的几何关系列出方程，化简即得的轨迹方程及对应的曲线. （3）求出圆心到直线的距离，再按的斜率是否存在，结合点到直线距离公式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，依题意，，则， 整理得，即， 所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为2的圆. (3) 小问详解： 直线过点，由，得圆心到直线距离， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 于是，解得，此时直线方程为， 所以直线的方程为或. 31．【答案】 【分析】 数形结合，根据圆和圆外切得到三角形三边长，利用等面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】 由题意，的三边长分别为，设内切圆半径为，则. 根据余弦定理，，则， ，. 故答案为：. 32．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设出圆的一般方程，再将点代入求解即可； （2）设直线的方程时要注意考虑斜率存在与斜率不存在两种情况，再根据圆心到直线的距离等于半径求解. (1) 小问详解： 依题意可设圆的方程为，由圆经过三点知， ，解得 ； 所以圆的方程为，其标准方程为. (2) 小问详解： 若过点的直线的斜率不存在，其方程为， 经检验恰与圆相切，满足题意. 若过点的直线的斜率存在，且设为，其方程为， 即，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于2， 得，即，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 33．【答案】 【分析】 作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】 结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 34．【答案】（1），     （2），和      【分析】 （1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. (2) 小问详解： 结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 35．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）由可知，，结合，可知，再联立求解即可； （2）根据分成四等分，可得圆心到直线的距离，进而得到两平行线的距离即可求解． (1) 小问详解： 圆C：（，）， 则圆心，半径，如图：过作轴，    ，，则， 又，则， 即 ， 解得 ， 所以圆C的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线和圆C交于点E，F，直线与圆C交于点M，N.    因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接CE，CF，CM，CN，则， 所以△ECF为等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离为， 同理可得圆心C到直线的距离为， 故直线和直线间的距离为， 所以，即． 36．【答案】或 【分析】 由题意，先求出点关于的对称点，再由反射光线与已知圆相切求出直线斜率，结合图形即可求得反射光线的方程. 【详解】 由配方得：，知圆心为，半径为2， 如图，设关于的对称点为，则 ， 解得 ，即得，依题意，可设反射光线的方程为， 由反射光线与圆相切，可得， 解得，故反射光线的方程为； 又由图知，当反射光线的斜率不存在时，反射光线的方程为恰与圆相切． 故反射光线的方程为或． 故答案为：或. 37．【答案】或 【分析】 分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 38．【答案】（1）     （2）     （3） 设直线l的方程为，，， 由 得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点.      【分析】 （1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. (1) 小问详解： 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. (2) 小问详解： 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立圆的方程得出公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求出圆到直线的距离，再利用弦长公式求解； （2）利用圆过圆交点设圆系方程，再利用该圆过交点求解． (1) 小问详解： 联立圆方程圆 得两圆公共弦所在直线方程为， 圆到直线的距离为，又圆的半径， 两圆的公共弦长为． (2) 小问详解： 设经过圆与圆交点的圆系方程为， 该圆系经过点， ，解得， 该圆方程为，即． 41．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题设，令，圆的方程为，根据点在圆上列方程求参数，即可得圆的方程； （2）设点到直线的距离为，根据面积可得，再设直线，且与直线距离为，求出直线方程，再求直线与圆的交点即可． (1) 小问详解： 由题设，令，圆的方程为， 则 ，可得 ，故 ， 所以圆C的标准方程. (2) 小问详解： 由（1）知圆心，半径，， 设点到直线的距离为， ，解得， 又，即， 则可设过点与平行的直线，且与直线距离为， ，解得或， 当时，直线，即， 代入圆C得到，解得或， 所以或， 当时，直线，此时直线与圆相离， 综上，或． 42．【答案】或 【分析】 由已知等式变形得出，设直线的方程为，可知点到直线的距离为，点到直线的距离为，即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，对圆、圆的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值. 【详解】 由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.    情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. 43．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）根据题意，设，，利用直线与圆相切，利用几何法可得出关于的等式，可求出的值，由此可得出圆的方程； （2）（i）分析可知的面积为，利用三角形的面积公式可求出的大小，分析可知直线的斜率存在，设该直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值即可； （ii）对两直线的斜率是否存在进行分类讨论，求出、，再利用四边形的面积公式可求得的最小值. (1) 小问详解： 设点，， 因为圆与直线相切， 所以点到该直线的距离为，因为，解得， 故圆的方程为. (2) 小问详解： （i）因为的面积为，，所以的面积为， 即，所以， 若，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 若，则圆心到直线的距离为，合乎题意， 所以圆心到直线的距离为， 易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，即直线的斜率为. （ii）当、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为， 此时；    当直线、的斜率都存在时， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以点到直线的距离为，则， 同理可得， 所以 ， 综上所述，，即四边形面积的最小值为. 44．【答案】 【分析】 根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围，得到符合条件的点的区域，进而得到面积. 【详解】 由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦，   由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长，   因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故答案为： 45．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径，计算求解； （2）求出圆心到直线的距离为，由直线被圆截得的弦的长度为，得到，代入数据计算求解. (1) 小问详解： 圆心在直线上，，圆心， 直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径， ，，，， 圆的半径为，圆的标准方程. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 又直线被圆截得的弦的长度为， ，，或. 46．【答案】（1）     （2）证明见解析     （3）证明见解析      【分析】 （1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. (1) 小问详解： 解：由已知得圆的半径. 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 证明：由（1）可知，， 设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ， 所以为定值. (3) 小问详解： 证明：设直线的方程为，，，已知， 联立 得， ，即. 所以，. 所以. 所以. 所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 47．【答案】（1）和     （2） 假设过点的一条直线倾斜角为， 由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾， 故过的直线不可能垂直于轴. 由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数. 设直线与圆相交于，两点， 直线与圆相交于，两点. 点在上，则 ， 化简得， 由韦达定理得. 点在上，则 ， 化简得， 由韦达定理得. 则直线的斜率为. 易得，.故. 故直线的斜率为定值.     （3）当，定值为；当，定值为，理由如下： 设，因，所以，化简得， . 所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为. 因，所以圆内含于圆.故点一定在圆外，过任意的点都能作两条圆的切线. 因不存在此两条切线同时垂直于轴（否则两切线平行，与两切线都过点矛盾），故不妨设过的切线方程为，切点为. 则. 由圆的方程得. 设.则. 设.即. 把代入化简得， . 继续代入得，. 要使上式对任意的，均成立，则. 解得 或 . 当的坐标为时，；当的坐标为时，.      【分析】 （1）根据斜率是否存在进行分类讨论，用待定系数法求得切线方程； （2）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线的斜率进行化简，求得定值为； （3）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标. (1) 小问详解： 根据圆的方程可知，圆的圆心坐标为，半径为. 点距离圆心的距离，故点在圆外，过点的切线有两条. 当过点的直线不存在斜率时，切线方程为， 圆心距此直线的距离为，与半径相等.故此直线与圆相切. 当过点的直线存在时，设直线方程为，即， 圆心距离此直线的距离应为，故，解得. 故直线方程为，即. 所以过点且与圆相切的直线方程为：和. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $