专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  4．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（       ） A. P，A，B，C四点共面 B. P，A，B，D四点共面 C. P，B，C，D四点共面 D. P，A，C，D四点共面 6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（       ） A. 0 B. 2 C.  D.  7．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 8．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）（多选）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（       ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 9．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（       ） A.  B. 5 C.  D.  10．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为60°，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知，则 等于　　　　　　　 13．（25-26学年高二·安徽·期中）已知空间向量，，两两夹角为，且，则　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知与的夹角为120°，则　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二·安徽·期中）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 17．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为　　　　　　　 18．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则　　　　　　　　. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）在四面体中，点满足，为中点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知是空间一个基底，向量，，，若，则的值是（     ） A.  B. 2 C.  D.  4．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 2 5．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 7．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    （1）用、、表示向量； （2）若，，点满足，且，求. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联考·期中）若点是点在平面内的射影，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二·安徽·期中）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（       ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 5．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知向量，，若与共线，则（     ） A. 12 B. 9 C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知空间直角坐标系中的三点，则为（       ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）设，向量，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则的长为（       ） A.  B.  C. 8 D. 24 9．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知向量，，若，则（       ） A. 3 B.  C. 5 D.  10．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知向量，若，则等于（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 11．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（       ） A. 若非零向量满足，，，则有 B. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面 C. 任意向量满足 D. 已知向量，，若，则为锐角 13．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）在空间直角坐标系中，球心的坐标为，半径为，则球面的方程为.已知为坐标原点，，点满足，则的最大值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 14．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知向量，，，若，，共面，则z等于（       ） A.  B. 9 C.  D. 5 15．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知空间中，，，四点共面，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  16．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知空间向量. （1）求； （2）判断与以及与的位置关系. 19．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知向量，，则　　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.B 2.C 3.B 4.C 5.c 6.B 7.B 8.BD 9.A 10.A 11.c 12.【答案】-4 【分析】 根据空间向量加法、数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 a+b=1,0,1+-2,-1,1=-1,-1,2 c=3,1,0 所以a+6c=-1x3+-1×1+2x0=-4 故答案为：-4 13.【答案】2只/▣ 【分析】 利用向量模长计算公式可得答案， 【详解】 由于两两夹角均为60°，且模长均为2，有： 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-b=2×2×c0s60°=4×1=2， 2 a:C=2×2×c0s60°=4×号-2， b:C=2×2×c0560°=4×1=2， a-b+2f-0-6+2c0-6+2c =aa+-b-6+l2c2c+2a-b+2a-2c+2-b2c =4+4+16+(-4)+8+(-8)=(4+4+16)+[(-4)+8+(-8)]=24+(-4)=20 因此： a-6+2c- 故答案为：2V▣ 14.【答案】2 【分析】 利用空间向量的基底运算，即可求解 【详解】 设AB=a,AD=b,AA=c D b.万 a B .∠A1AD=∠A1AB=60,∠DAB=90,AB=AD=AA1=2' ..a.b=0,a.c=2,b.c=2'.AD=AD-AA=b-c'BD:=AD+AA-AB=b+c-a, AD-BD,-6-c6+c-a56+6c-ba-b:c-c2+0c=4+2-0-2-4+2=2 故答案为：2 15.【答案】叵 2/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 由题知 b=3' 进而根据模的公式计算即可. 【详解】 因为d=1,6=1,2-21,0与6的夹角为120， 所以b=3,a~b=1×3×cos120°=-3 所 2a--40-4a-6*2-4-4×-2引+9=192 2a-b=9/▣ 故答案为：叵 16.【答案】(1)MC,=-a+b+号 (2) 法1：连接AD1, B C P A D M B D 易知MP‖AD1,AD1IBC, 故MPBC1,得M、P、C1、B四点共面； 法2：BC,=BC+BB1=2A,P+2MA1=2A,P+MA,=2MP: 故BC,MP:得MP、CB四点共面： 法3：以B为原点，BA、BC、BB所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B-Xyz, 3/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ZA D M D 易得p0.0,0rn3.0,2引C03,3p333 得BC,=0,3,3MP=0,22 33, 故有BC,=2MP'BC,‖MP 得M、P、C1、B四点共面. 【分析】 (1)由向量的线性表示即可求解： (2)法1：由题可得MP‖AD1,AD1‖BC1,进而得到MP‖BC1即可证明；法2：根据向量的线性 运算可得BC,=2MP即可证明：法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明BC,MP即可。 (1)小问详解： MC-MA+A B+B C,-ZBB-BA+BC--a+b+ 1 (2)小问详解： 略 17.【答案】2/▣ 【分析】 2 以B,A1,BB,B,C,为空间向量的一组基底，A1E2=BE-B1A1厂，利用空间向量的加法、减法、数量 积运算即可求解 【详解】 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A B E B 以B,A,BB,B,C,为空间向量的一组基底， 则AE=BE-BA -12 所以AE=BE-B,A1 -号8c+C-8A-号ie+c号8c-8a号8+®c-8a 2 -B+BC+BA+BB-BC-BB-BA-2BCBA =4+4+4+2×4×1-2×4×1-2×0=12, 2 所以A1E=29□ 故答案为：2叵 18.【管1身 【分析】 设pH=入PD以PA,PB,PC,PD为基底表示出EH,EF,EG:利用E,F,G:H四点共面，得到 APD-ZPA- g-ayPa+pc 得到 3 再由ADBC: 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 2Y 6ys、1 7 6 2 2 PC=2PD-2PA+PB 代入上式，即可得到方程组 3y0 1 -X ，进而求出结果。 3 2 3y=λ 【详解】 由题知，设PH=APD则EH=PH-PE=APD-PA. 又EF=Pr-PE=PBPA.且EG=EF+FG-号PB-PA+PG-PF 3 3 因为E,F,G:H四点共面，所以EH=xEF+yEG 3 又因为ADBC,则AD=BC,即PD-PAPC-PB. 所以PC=2PD-2PA+PB' 所uEG=-号Pc-PA-PB+号PD-名PA, 3 3 6 所以Pn号PA=xP8PAy}PB+号PD-名rA 2 3 6 x名ypa+号x+pP阳+导PD 6/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +、> 1 s、1 2 、3 11 所以 3+ 30 解得y= 6 11 2 5y=λ λ= 4 11 PH_4 放PH-4-PD,所以HD=子PD,所以D} 11 11 4 故答案为： 》 考点02空间向量基本定理 1.B 2.D 3.D 4.A 5.A 6.AB 7.【答案】(1)ED,=-a+b+c (2)▣ 【分析】 (1)利用空间向量的基本定理可将ED,用向量。6。表示： (2)由题意得出AM~ED,=0结合空间向量数量积的运算性质得出关于入的值，再利用空间向量数量积 的运算性质可求得AM的值. (1)小问详解： 由题可rD=Ai.-Ac-AD+AA厂AB+号AA-AB+AD+AA, =-q+b+-c. (2)小问详解： 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AMED-3 =3a+3ab+号-刀a*c+a6:c。3 日3x2+3x2x2x5+号x2x3x12x3x人33.90 22 22 因为AM1ED:所以AMED,=+号A=0,解狗2-号 所以AMr-3a+c 3 =9a2+2ac+2=9×2+2x2×3×号+×32=43 9 29 故AM=R□ 考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.C 2.A 3.D 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 11.A 12.BD 13.C 14.B 15.D 16.C 17.【答案】(0,1,2) 【分析】 根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解 8/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 点0为坐标原点，0A=-2,-1,1,0B=2,3,3 则A=(-2,-1,1),B=(2,3,3), 所以线段AB的中点坐标为(0,1,2)， 故答案为：(0,1,2. 18.【答案】(1)-3 (2)alb elld 【分析】 (1)直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可. (2)利用向量垂直和平行的判定直接判断即可. 1)小问详解： 由题知，。， a+c=-1,5,0' 所以a+-6-1,50221-3 (2)小问详解： 因为a,26侵 所-12个号1-0 2 所以a16 因：-23，中1 所以=-21,3-2d所以c1d 19.【答案】2/▣ 【分析】 9/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在空间直角坐标系中，点(x,y,2)到x轴的距离等于该点y坐标与z坐标的平方和的平方根 【详解】 已知p-3□所以点p到x轴的距离为：99口 故答案为：2V叵 20.【答案】V叵 【分析】 利用空间向量的坐标运算和平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】 AB=1,1,1,AC=2,-1,0?以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 ABACsin∠BAC=T ==石=石 21.【答案】4 【分析】 首先求出2。-。的坐标。再根据向量模的坐标表示计算可得 【详解】 由于a=2,1,06=2,-1,□则2ā-b=22,1,0-2,-1,2,3,阿□ 于是2a-6=如 故答案为：4 10/10 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】 因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B． 2．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】 . 故选：C. 3．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】 以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 4．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】 对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，结果不一定为零向量，故C符合题意； 对于D，，故D不符合题意. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（       ） A. P，A，B，C四点共面 B. P，A，B，D四点共面 C. P，B，C，D四点共面 D. P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】 利用向量线性运算得，由空间向量共面定理的推论求解即可. 【详解】 因为， 所以， 即， 故，所以P，B，C，D四点共面. 故选：C． 6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（       ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量的共面定理计算即可． 【详解】 由，得， 所以， 动点Q在所在平面内运动，可知四点共面， 则，所以实数m的值为2． 故选：B． 7．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】 因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD，    则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 8．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）（多选）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（       ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 【答案】BD 【分析】 对于AB，利用共面向量定理判断，对于C，利用求解，对于D，利用向量的夹角公式计算. 【详解】 假设共面，则， 所以 ，方程组无解，所以假设不成立， 所以空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误； 假设共面，则， 即，解得， 所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确； 由题意，得， 所以，C错误； ，设向量和的夹角为， 则，又，所以，D正确. 故选：BD. 9．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（       ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 由，两边平方，根据向量数量积的运算性质求解. 【详解】 ∵平面与平面所成的二面角的大小为，， ∴的夹角为，， ， 因为， 所以 ， 故. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的线性运算的几何表示可得. 【详解】 如图，， 故选：A 11．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为60°，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设、得到，作，，垂足分别为点、，连接，由空间向量的线性运算得出，利用空间向量数量积的运算性质得出，结合基本不等式可求得长的最小值. 【详解】 设，，则， 如图，作，，垂足分别为点、，连接，    则， 所以， 由图可知，， ，，， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知，则 等于　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据空间向量加法、数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 ， ， 所以. 故答案为：. 13．（25-26学年高二·安徽·期中）已知空间向量，，两两夹角为，且，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】 由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 利用空间向量的基底运算，即可求解. 【详解】 设． ， ， . 故答案为： 15．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知与的夹角为120°，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题知，进而根据模的公式计算即可. 【详解】 因为与的夹角为120°， 所以， 所以，故. 故答案为： 16．（25-26学年高二·安徽·期中）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 【答案】（1）     （2） 法1：连接， 易知，， 故，得、、、四点共面； 法2：； 故，得、、、四点共面； 法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得，，，， 得，， 故有，， 得、、、四点共面．      【分析】 （1）由向量的线性表示即可求解； （2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为　　　　　　　 【答案】 【分析】 以为空间向量的一组基底，，利用空间向量的加法、减法、数量积运算即可求解. 【详解】    以为空间向量的一组基底， 则， 所以 ， 所以. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组 ，进而求出结果. 【详解】 由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以 ，解得 ， 故，所以，所以. 故答案为： 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）在四面体中，点满足，为中点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】 在四面体中，点满足，为中点， 连接，则， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 3．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知是空间一个基底，向量，，，若，则的值是（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 由向量平行得到，求解即可. 【详解】 因为，所以， 即，， 所以. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 2 【答案】A 【分析】 根据空间中四点共面的条件判断出P点所在的平面，进而转化为C点到该平面的距离问题可得. 【详解】 如图：    取中点，则，因为， 所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 因为， 所以的面积， 设三棱锥的高为，则，所以. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 由图可得：， 故选:A． 6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】 对于A，确定点在线段上，得到可判断；对于B，确定平面，可判断；对于C，确定三点共线，线段在中，可得到点为中点时，最小，即可判断；对于D，由，结合，求得范围，即可判断. 【详解】 对于A，当时，，即点在线段上，则，又平面，平面，平面，A正确 对于B，平面，且平面，， ， 又平面，且相交，平面，又平面，，B正确 对于C，当时，，即，即三点共线，线段在中，因为，所以当点为中点时，最小，此时，，C错误 对于D，点在平面上的射影为点，所以与平面所成的角为，，又，所以，所以，又，所以，D错误 故选：AB 7．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    （1）用、、表示向量； （2）若，，点满足，且，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. (1) 小问详解： 由题意可得 . (2) 小问详解： ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】 由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 2．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联考·期中）若点是点在平面内的射影，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据投影求出点坐标，再求坐标即可. 【详解】 因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用空间直角坐标系中点的对称性可得答案. 【详解】 点关于平面对称的点的坐标为， 故选：D． 4．（25-26学年高二·安徽·期中）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（       ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明求解即得. 【详解】 平面的法向量，直线的方向向量， 由，得与不平行，则直线不垂直于平面； 由，得与不垂直，则直线，且不平行于平面， 所以与的位置关系是相交但不垂直. 故选：D 5．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知向量，，若与共线，则（     ） A. 12 B. 9 C.  D.  【答案】C 【分析】 由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】 由向量，共线， 故存在，使得，即 ， 解得，，所以． 故选：C． 6．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知空间直角坐标系中的三点，则为（       ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【分析】 应用模长公式计算求解得出等边三角形． 【详解】 由题可得， 经计算，，所以是等边三角形． 故选：D. 7．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）设，向量，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量的平行、垂直关系可得，进而可求，结合空间向量的模长公式运算求解. 【详解】 因为，所以，解得， 可得， 所以， 故选：C. 8．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则的长为（       ） A.  B.  C. 8 D. 24 【答案】B 【分析】 利用两点间的距离公式即可得. 【详解】 由两点间的距离公式得 故选:B. 9．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知向量，，若，则（       ） A. 3 B.  C. 5 D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量共线坐标运算列式求解即可. 【详解】 向量，，若，则， 所以，，故. 故选：A． 10．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知向量，若，则等于（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】 因为， 可得：， 解得， 故选：B 11．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 应用投影向量公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】 由题意可得． 故选：A. 12．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（       ） A. 若非零向量满足，，，则有 B. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面 C. 任意向量满足 D. 已知向量，，若，则为锐角 【答案】BD 【分析】 根据空间向量的平行和垂直判断A；根据题意向量线性运算可得判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹角公式求解判断D. 【详解】 对于A选项，若空间非零向量满足，，，则不一定平行，故A错误； 对于B选项，若、、是空间的一组基底，且， 则，即， 则四点共面，故B选项正确； 对于C选项，因为，不一定共线，故不一定成立，故C选项错误； 对于D选项，当与共线且同向时，有，即 ，解得 （舍去） 即与不能共线且同向，故时，为锐角， 即时为锐角，故D选项正确． 故选：BD． 13．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）在空间直角坐标系中，球心的坐标为，半径为，则球面的方程为.已知为坐标原点，，点满足，则的最大值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 设，由得点的轨迹，再根据轨迹关系求解最值即可. 【详解】 设，由得， 整理得：， 所以点在以为球心，为半径的球面上， 所以的最大值为. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知向量，，，若，，共面，则z等于（       ） A.  B. 9 C.  D. 5 【答案】B 【分析】 根据共面列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值. 【详解】 向量，，， 由于共面，所以存在，使得， 即， 所以 ，解得：，所以. 故选：B. 15．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知空间中，，，四点共面，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】 因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面， 而、不共线，则存在唯一实数对，使得， 所以， 所以 ，解得． 故选：D. 16．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用空间向量法求出球心的坐标，计算球的半径，利用球的表面积公式即得. 【详解】 如图，由正四面体的性质可知，顶点在所在平面内的投影为的重心， 连接，则在上，且. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    因为，则，， 所以，，，，，， 取的中点，则， 因为,分别为棱，的中点，所以， 则，，则， 设球心的坐标为，因为，，，均在球的球面上， 所以，， 即， ， ， 解得，，，故得， 所以球的半径为， 则球的表面积为. 故选：C. 17．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】 点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知空间向量. （1）求； （2）判断与以及与的位置关系. 【答案】（1）     （2）；.      【分析】 （1）直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可. （2）利用向量垂直和平行的判定直接判断即可. (1) 小问详解： 由题知，， 所以. (2) 小问详解： 因为， 所以， 所以； 因为， 所以，所以. 19．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 在空间直角坐标系中，点到轴的距离等于该点坐标与坐标的平方和的平方根 【详解】 已知，所以点到轴的距离为； 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算和平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】 ，以为邻边的平行四边形的面积为 21．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知向量，，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】 由于，，则， 于是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $