专题03 直线和圆的方程（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题03 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．D 3．C 4．D 5．ABD 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．A 13．B 14．ABD 15．C 16．A 17．【答案】 【详解】 设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为， 因为，由题意知． 所以，即． 故答案为：. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． (1) 小问详解： 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． (2) 小问详解： 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 19．【答案】（或） 【详解】 20．【答案】 【分析】 首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】 设为原点，直线与坐标轴分别交于点，当时，记的交点为，直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，该四边形对角互补，有外接圆，因为斜率为，所以斜率为，所以； 当与轴的交点为时直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 若该四边形有外接圆，则，所以， 此时的斜率为，方程为，即，此时，符合题意，． 综上得，． 故答案为： 考点02 直线的方程 1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．ABC 9．B 10．BD 11．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. (1) 小问详解： 解：直线的方程可化为， 令 ，解得，即点的坐标为. (2) 小问详解： 解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 12．【答案】（1）和     （2）      【分析】 （1）根据截距为0和不为0两种情况，即可根据待定系数法求解直线方程， （2）联立方程求解交点坐标，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解斜率，进而根据直线的点斜式求解即可. (1) 小问详解： ① 截距均为：设直线方程：， 因为直线过定点， 所以， ② 截距不为0：设直线方程：，因为直线过定点， 所以 ， 所以，即 综上，满足题意直线方程为，. (2) 小问详解： 设的交点为，直线斜率为， 联立 ，解得 ，所以的交点为， 因为与直线垂直，直线的斜率为， ， 由点斜式可得， 整理得，即. 13．【答案】（1）     （2）①；②．      【分析】 （1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知为的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解； ②联立直线BC的方程与直线CD的方程即可求得点C的坐标. (1) 小问详解： 由已知得直线AB的方程为：，即． 故直线AB的方程为． (2) 小问详解： ① 解方程组 ，解得 ，故． 又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为， 故CD所在直线的方程为，即， 所以CD所在直线的方程为． ② 由 ，解得 故顶点C的坐标为． 14．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线相交，可得交点坐标，根据平行可设直线一般式方程，代入交点坐标即可得到结果. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. (1) 小问详解： 由 得 ，即交点坐标为，                     ∵直线与直线平行， ∴设所求直线方程为，代入得，解得    ∴所求直线方程为. (2) 小问详解： 当横、纵截距都为0时，设直线的方程为， ∵直线过点，∴，解得，      ∴直线的方程为，即. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点，∴，解得， ∴直线方程为，即.           综上，所求直线方程为或. 15．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线， 联立方程组 ，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 16．【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 （1）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为，分和，两种情况讨论，分别求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线的斜率， 设所求直线的斜率为，因为所求直线与直线平行，所以， 又因为所求直线经过，所以， 即所求直线方程为. (2) 小问详解： 解：由直线的斜率， 因为两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为， 设所求直线的斜率为，可得，解得， 又因为所求直线经过点，可得，即直线方程为. (3) 小问详解： 解：设直线在轴截距为，在轴截距为， ①当时，直线过原点，设方程为， 因为直线过点，可得，此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件， 此时直线方程为； ②当时，则直线方程为且． 又所求直线过点，可得， （i）若，代入得，解得，所以直线方程为； （ii）若，代入得，解得，所以直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或或. 17．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. (1) 小问详解： 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. (1) 小问详解： 当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则 解得， 综上所述，的取值范围为； (2) 小问详解： 当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．AD 7．C 8．AD 9．AD 10．B 11．AD 12．【答案】 【分析】 利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 点到直线的距离. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 根据两平行线间的距离公式计算直接求解. 【详解】 因为两直线平行， 所以两平行线之间的距离为. 故答案为： 14．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 15．【答案】 【分析】 由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 直线可化为， 所以与间的距离． 故答案为： 16．【答案】 【详解】【知识点】 求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】 如图，设关于直线的对称点为，则 ， 解得 ，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 17．【答案】 【分析】 先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】 ， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 18．【答案】5 【分析】 作点关于直线的对称点，则，故，根据两点间线段最段，当、、三点共线时，取最小值，即，设，利用是的垂直平分线求出，利用和求出，得到关于和的一个方程，利用的中点在直线上，得到关于和的另一个方程，这两个方程联立方程组求解就是的坐标，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点，则， 故，根据两点间线段最短， 当、、三点共线时，取最小值，即， 设，是的垂直平分线，， ，，， ，，的中点在直线上， ，联立 ，解得 ，， ，的最小值为5. 故答案为：5. 19．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据对称，写出点关于轴对称的点的坐标为，求出直线的截距式方程，化成一般式方程； （2）根据两直线平行，求得参数m的值，利用平行线间的距离公式求得与的距离． 【详解】 （1）因为经过点的直线在轴上的截距为4，所以其斜率存在，且不为0. 即直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零， 所以设直线关于轴对称的直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零. 点关于轴对称的点的坐标为， 设直线关于轴对称的直线方程为， 把代入方程得，所以直线关于轴对称的直线方程为，即. （2）由直线与平行，则 ，解得. 所以此时直线，， 所以与的距离. 考点04 圆的方程 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．AD 8．ACD 9．D 10．BC 11．ACD 12．A 13．【答案】 【分析】 利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】 依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．【答案】 【分析】 求出圆心关于直线的对称点，即对称圆的圆心，两对称圆的半径相等，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 所以圆关于直线的对称的圆的方程为. 故答案为：. 15．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设出圆的一般式方程，利用待定系数法求出方程，再化成标准方程. （2）法一，利用三角代换及向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求出最大值；法二，作出辅助线，利用直角三角形边角关系，结合二倍角的正弦及正弦函数性质求出最大值. (1) 小问详解： 依题意，设圆的方程为， 由圆经过三点，已知， 则 ，解得 ； 所以圆的方程为，其标准方程为. (2) 小问详解： 法一：由（1）设 ，显然方向相同， ，， 则， 当且仅当时，取最大值.    法二：令圆与轴另一交点为，连接，设，， 依题意，，，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以取最大值. 16．【答案】（1）     （2）最小值是，最大值是.     （3）或      【分析】 （1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. （3）根据斜率存在与否进行分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可求出直线方程. (1) 小问详解： 设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. (2) 小问详解： 就是，其半径是4， 圆心是，.     显然在圆外，故的最小值是，最大值是. (3) 小问详解： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相切，满足题意. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，则直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 17．【答案】（1），是以为圆心，为半径的圆；     （2）．      【分析】 （1）由已知得，结合两点间距离公式，进行化简整理便可得到点P的轨迹方程； （2）通过计算可知A在圆E的外部，直线AE的方程与联立，可得的取值范围，从而得解. (1) 小问详解： 设点P的坐标为， 则，， 由已知得，所以， 化简整理得， 所以轨迹C的方程为． 配方得：， 故轨迹C是以为圆心，为半径的圆． (2) 小问详解： 由已知得， 由，且，所以A在圆E的外部． 直线AE的方程为． 由与联立得， 整理得，解得，， 所以直线AE与圆有两个交点为，． 求得，， ， 即， 故的取值范围为． 18．【答案】① 20    ② 【分析】 先证明和推得、、三点共线，设与交于点，利用菱形的性质，结合图形计算即得；再设得计算得，，推出，结合的范围和正切函数的单调性即得答案. 【详解】 如图，连接， ，同理则、、三点共线， 设与交于点，四边形是菱形， 则 ， ； 设则记， 则， ，又，则， ， ，则， 故． 故答案为：20； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 0 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知直线经过点，，则的斜率为（     ） A.  B. 2 C.  D.  4．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）（多选）若点和点关于直线对称，则（     ） A. 的中点坐标为 B.  C. 直线的斜率为1 D.  6．（25-26学年高二·安徽·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（     ） A.  B. 或 C.  D.  7．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）若直线与直线平行，则的值为（       ） A.  B.  C. 或1 D.  8．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 9．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线经过、两点，直线的方向向量为，若，则（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  10．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）若直线与平行，则实数的值为（       ） A. 3 B.  C. 或3 D. 0 11．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）（多选）已知直线，，，则下列选项正确的是（       ） A. 的倾斜角的取值范围是 B. 一定经过第一､四象限 C. 若，则 D. 若，则 15．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（     ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 17．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 19．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）直线的倾斜角的大小是　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则　　　　　　　　　　　． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）直线在轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二·安徽·期中）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（     ） A. 2 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）经过点，且与垂直的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. 2 B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知点，若直线与线段相交，则该的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）（多选）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（       ） A.  B.  C. -2 D. 2 9．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 直线在轴上的截距为1 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 D. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 11．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 12．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）请求出满足题意的直线方程： （1）过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 13．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为． （1）求直线AB的方程； （2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 14．（25-26学年高二·安徽·期中）求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 15．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）求出满足下列条件的直线方程： （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与直线垂直； （3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 17．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 18．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线的方程为，. （1）若不经过第二象限，求的取值范围； （2）若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）点到直线的距离是（     ） A. 2 B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）点关于直线的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）两条平行直线与间的距离为 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二·安徽·期中）已知，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 4 5．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）（多选）已知直线与直线平行，且与间的距离为，则的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）设直角坐标平面中任意两点，，记.已知点，点在直线上，则的最小值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）（多选）对于直线，下列选项正确的是（     ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 9．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（       ） A. 平面PAC B. 平面EFC C. 点F到直线CD的距离为 D. 点A到平面EFC的距离为 10．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（     ） A. 5 B. 3 C.  D. 2 11．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）平行线与之间的距离为　　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 15．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知两条平行直线，则与间的距离为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为　　　　　　　　 17．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知点，，C为直线上一点，则的最小值是　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（1）若经过点的直线在轴上的截距为4，求直线关于轴对称的直线方程； （2）已知直线与直线平行，求与的距离． 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（       ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 2．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）圆心为，且经过点的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）过三点的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的一个方向向量为 B. 圆的圆心为，半径为 C. “”是“直线与直线平行”的充要条件 D. 经过点的直线与以、为端点的线段总有公共点，则该直线斜率的取值范围为 8．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知圆的方程为为原点，则（     ） A. 圆的半径为定值 B. 当在圆外部时， C. 当圆上的点都在第一象限时， D. 当点在直线上时，圆上的点到的距离最大值为 9．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）已知圆和直线，则（       ） A. 圆的半径为5 B. 直线恒过点 C. 直线不过点 D. 直线与圆一定相交 12．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知，直线l：与圆C：相交于A，B两点，则的最大值为（       ） A. 12 B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知圆，则的取值范围为　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）圆关于直线对称的圆的方程为　　　　　　　 15．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知，圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）已知点为圆上一点，且，为垂足，求的最大值． 16．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数（，）的动点轨迹.已知，，动点满足. （1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. （3）设直线经过点，且与（1）所求的圆相切，求直线的方程. 17．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知，，动点P与点A距离是它到点B距离的2倍． （1）求点P的轨迹C的方程，并判断其形状； （2）求的取值范围． 18．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且，则　　　　　　　　　　　；当点在半圆上运动时，点纵坐标的取值范围是　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线的倾斜角的定义求解即可. 【详解】 由于直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知直线经过点，，则的斜率为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 利用斜率公式求解. 【详解】 解：直线的斜率． 故选：C 4．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】 因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）（多选）若点和点关于直线对称，则（     ） A. 的中点坐标为 B.  C. 直线的斜率为1 D.  【答案】ABD 【分析】 根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】 易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 6．（25-26学年高二·安徽·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】 直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B 7．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）若直线与直线平行，则的值为（       ） A.  B.  C. 或1 D.  【答案】D 【分析】 根据两条直线平行的判定列出式子，解方程组即可得出答案. 【详解】 由题意得， ， 解得. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】 根据题意，求得直线的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】 由直线，可得，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，则，可得. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线经过、两点，直线的方向向量为，若，则（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 根据题意求出两直线的斜率，根据可得出两直线的斜率相等，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】 当时，此时的斜率不存在，而直线的斜率，显然不平行，故不等于， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，整理得，解得或. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）若直线与平行，则实数的值为（       ） A. 3 B.  C. 或3 D. 0 【答案】B 【分析】 根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【详解】 直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 11．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】 当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】 两直线垂直，，即解得． 故选：A. 13．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合图象，根据直线斜率等于倾斜角的正切值求解即可. 【详解】 因向左平移3个单位，得到直线. 如图，设直线过点，向左平移后过，即 若与的距离为，即.则. 所以. 因为直线的倾斜角与相等或互补. 所以直线的斜率为． 故选：B. 14．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）（多选）已知直线，，，则下列选项正确的是（       ） A. 的倾斜角的取值范围是 B. 一定经过第一､四象限 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 由斜率的范围判断A，根据直线所过的定点判断B，根据直线平行或垂直的判断方法求出对应的参数值判断C，D即可. 【详解】 对于A，设直线的倾斜角为，则， 由题设有直线的斜率为，设，故，故A正确； 对于B，直线过定点，且该直线的斜率非零或不存在， 故一定经过第一､四象限，故B正确； 对于C，因为，故，故或，故C错误； 对于D，因为，故，故， 此时，，平行，故D正确. 故选：ABD. 15．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 16．（25-26学年高二上·安徽青桐鸣·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（     ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】A 【分析】 首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】 解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 17．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为　　　　　　． 【答案】 【详解】 设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为， 因为，由题意知． 所以，即． 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． (1) 小问详解： 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． (2) 小问详解： 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 19．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）直线的倾斜角的大小是　　　　　　． 【答案】（或） 【详解】 20．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】 设为原点，直线与坐标轴分别交于点，当时，记的交点为，直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，该四边形对角互补，有外接圆，因为斜率为，所以斜率为，所以； 当与轴的交点为时直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 若该四边形有外接圆，则，所以， 此时的斜率为，方程为，即，此时，符合题意，． 综上得，． 故答案为： 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）直线在轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出直线与轴交点的纵坐标即可. 【详解】 令，解得，即直线在轴上的截距为， 故选：A. 2．（25-26学年高二·安徽·期中）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程的两点式得直线方程，令，解出即可求解. 【详解】 根据直线方程的两点式公式可得，化简可得， 令，可知，解得，所以直线l在x轴上的截距为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】 因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 4．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角． 【详解】 因为直线的一个方向向量为， 所以直线斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，即． 故选：B． 5．（25-26学年高二上·安徽金榜教育·期中）经过点，且与垂直的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】 所给直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线斜率为 又所求直线过点， 因此，所求直线方程为，即. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 令求解即可. 【详解】 在中令，得， 所以直线在轴上的截距为 故选：B 7．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知点，若直线与线段相交，则该的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先确定直线过定点，求出直线的斜率，由直线与线段相交得出斜率的不等关系，从而可得结论. 【详解】 直线，即，令 ，解得 ， 直线过定点， ，， 直线可化为，其斜率为， 直线与线段相交，直线斜率为需要满足， 即或. 故选： 8．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）（多选）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（       ） A.  B.  C. -2 D. 2 【答案】ABC 【分析】 利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】 由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 9．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】 不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 直线在轴上的截距为1 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 D. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 【答案】BD 【分析】 对A可直接计算并判断，对B根据斜率和截距进行判断，对于C考虑特殊直线，对于D根据斜率的范围来确定倾斜角的范围. 【详解】 对于A，将代入直线方程，可得，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以可化为， 所以直线的斜率，纵截距，所以直线经过第一、二、四象限，故B正确； 对于C，经过任意两个不同的点的直线，当斜率等于0时，， 当斜率不存在时，，都不能用方程表示，故C错误； 对于D，直线的方程为， 当时，直线方程为，倾斜角， 当时，直线方程化为，斜率， 因为，所以，即， 又因为，所以. 综上可得，故D正确． 故选：BD． 11．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. (1) 小问详解： 解：直线的方程可化为， 令 ，解得，即点的坐标为. (2) 小问详解： 解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 12．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）请求出满足题意的直线方程： （1）过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】（1）和     （2）      【分析】 （1）根据截距为0和不为0两种情况，即可根据待定系数法求解直线方程， （2）联立方程求解交点坐标，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解斜率，进而根据直线的点斜式求解即可. (1) 小问详解： ① 截距均为：设直线方程：， 因为直线过定点， 所以， ② 截距不为0：设直线方程：，因为直线过定点， 所以 ， 所以，即 综上，满足题意直线方程为，. (2) 小问详解： 设的交点为，直线斜率为， 联立 ，解得 ，所以的交点为， 因为与直线垂直，直线的斜率为， ， 由点斜式可得， 整理得，即. 13．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为． （1）求直线AB的方程； （2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 【答案】（1）     （2）①；②．      【分析】 （1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知为的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解； ②联立直线BC的方程与直线CD的方程即可求得点C的坐标. (1) 小问详解： 由已知得直线AB的方程为：，即． 故直线AB的方程为． (2) 小问详解： ① 解方程组 ，解得 ，故． 又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为， 故CD所在直线的方程为，即， 所以CD所在直线的方程为． ② 由 ，解得 故顶点C的坐标为． 14．（25-26学年高二·安徽·期中）求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线相交，可得交点坐标，根据平行可设直线一般式方程，代入交点坐标即可得到结果. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. (1) 小问详解： 由 得 ，即交点坐标为，                     ∵直线与直线平行， ∴设所求直线方程为，代入得，解得    ∴所求直线方程为. (2) 小问详解： 当横、纵截距都为0时，设直线的方程为， ∵直线过点，∴，解得，      ∴直线的方程为，即. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点，∴，解得， ∴直线方程为，即.           综上，所求直线方程为或. 15．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线， 联立方程组 ，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 16．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）求出满足下列条件的直线方程： （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与直线垂直； （3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 （1）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为，分和，两种情况讨论，分别求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线的斜率， 设所求直线的斜率为，因为所求直线与直线平行，所以， 又因为所求直线经过，所以， 即所求直线方程为. (2) 小问详解： 解：由直线的斜率， 因为两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为， 设所求直线的斜率为，可得，解得， 又因为所求直线经过点，可得，即直线方程为. (3) 小问详解： 解：设直线在轴截距为，在轴截距为， ①当时，直线过原点，设方程为， 因为直线过点，可得，此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件， 此时直线方程为； ②当时，则直线方程为且． 又所求直线过点，可得， （i）若，代入得，解得，所以直线方程为； （ii）若，代入得，解得，所以直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或或. 17．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. (1) 小问详解： 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 18．（25-26学年高二上·安徽部分学校·期中）已知直线的方程为，. （1）若不经过第二象限，求的取值范围； （2）若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. (1) 小问详解： 当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则 解得， 综上所述，的取值范围为； (2) 小问详解： 当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）点到直线的距离是（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由点到直线的距离公式求解， 【详解】 点到直线的距离， 故选：B 2．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）点关于直线的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】 设对称点的坐标为则 解得： 故选：B. 3．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）两条平行直线与间的距离为 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】由直线平行的充要条件可得：， 结合平行线之间的距离公式可得， 两条平行直线6与间的距离为： . 本题选择C选项. 4．（25-26学年高二·安徽·期中）已知，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】 表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得： , 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 5．（25-26学年高二上·安徽池州贵池区·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】 因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）（多选）已知直线与直线平行，且与间的距离为，则的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 直线，即， 设所求直线的方程为， 由题意可得，解得或． 故所求直线的方程为或． 故选：AD． 7．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）设直角坐标平面中任意两点，，记.已知点，点在直线上，则的最小值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 设，则，代入得，利用绝对值函数分段，结合函数单调性可得结果. 【详解】 解：，点为直线上动点， 设，则， 则， 又 ， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，取得最小值， 即的最小值是． 故选：C． 8．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）（多选）对于直线，下列选项正确的是（     ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】 将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】 已知直线，则， 由 ，得 ， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 9．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（       ） A. 平面PAC B. 平面EFC C. 点F到直线CD的距离为 D. 点A到平面EFC的距离为 【答案】AD 【分析】 根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解. 【详解】 解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示 由题意可知，，，，，，， 所以，，，. 因为，所以，即 ，所以，即.又， 所以平面PAC，故A正确； 设平面EFC的法向量为，则 ，即 ，令，则，所以. 因为，所以，故B不正确； 设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确； 设点A到平面EFC的距离为d，，则 ，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（     ） A. 5 B. 3 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可. 【详解】 当时，则满足，解得， 此时：，：， 则两直线间的距离为. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据几何意义得，所求直线l需满足与MN平行或经过MN的中点，逐个选项检验即可． 【详解】 当l与MN平行时，直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即， D选项的直线方程为，斜率为，显然与直线 MN平行，符合题意； 当l过MN的中点时，经检验只有A选项的直线方程符合题意． 故选：AD． 12．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 点到直线的距离. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）平行线与之间的距离为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两平行线间的距离公式计算直接求解. 【详解】 因为两直线平行， 所以两平行线之间的距离为. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 15．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）已知两条平行直线，则与间的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 直线可化为， 所以与间的距离． 故答案为： 16．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为　　　　　　　　 【答案】 【详解】【知识点】 求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】 如图，设关于直线的对称点为，则 ， 解得 ，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 17．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】 ， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 18．（25-26学年高二上·安徽皖北七校·期中）已知点，，C为直线上一点，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 作点关于直线的对称点，则，故，根据两点间线段最段，当、、三点共线时，取最小值，即，设，利用是的垂直平分线求出，利用和求出，得到关于和的一个方程，利用的中点在直线上，得到关于和的另一个方程，这两个方程联立方程组求解就是的坐标，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点，则， 故，根据两点间线段最短， 当、、三点共线时，取最小值，即， 设，是的垂直平分线，， ，，， ，，的中点在直线上， ，联立 ，解得 ，， ，的最小值为5. 故答案为：5. 19．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（1）若经过点的直线在轴上的截距为4，求直线关于轴对称的直线方程； （2）已知直线与直线平行，求与的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据对称，写出点关于轴对称的点的坐标为，求出直线的截距式方程，化成一般式方程； （2）根据两直线平行，求得参数m的值，利用平行线间的距离公式求得与的距离． 【详解】 （1）因为经过点的直线在轴上的截距为4，所以其斜率存在，且不为0. 即直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零， 所以设直线关于轴对称的直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零. 点关于轴对称的点的坐标为， 设直线关于轴对称的直线方程为， 把代入方程得，所以直线关于轴对称的直线方程为，即. （2）由直线与平行，则 ，解得. 所以此时直线，， 所以与的距离. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（       ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】 因为是方程的两个不等实数根，且. 所以 ，. 所以点在圆外. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·安徽滁州·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】 圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 3．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）圆心为，且经过点的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求得所求圆的半径，进而求得圆的标准方程，得到答案. 【详解】 由圆心为和点，可得圆的半径， 则圆的标准方程为． 故选：C. 4．（25-26学年高二上·安徽皖江名校联·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】 因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 5．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程. 【详解】 圆的圆心坐标为，关于直线对称点的坐标为， 所以圆的方程是. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）过三点的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 待定系数法求出圆的方程. 【详解】 设圆方程为， 则 ， 解得， 所以圆的方程为． 故选：D． 7．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的一个方向向量为 B. 圆的圆心为，半径为 C. “”是“直线与直线平行”的充要条件 D. 经过点的直线与以、为端点的线段总有公共点，则该直线斜率的取值范围为 【答案】AD 【分析】 根据直线方向向量的定义可判断A；把一般方程转化为标准方程可判断B；根据两直线平行的条件可判断C；利用两点斜率公式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围可判断D. 【详解】 对于A，由于直线的一个方向向量为，则A正确； 对于B，把圆的一般式化成标准方程为圆心为，半径为，则B错误； 对于C，若两直线平行，则有，解得或，经检验均满足要求， 故充分性成立而必要性不成立，则C错误；    对于D，如图，直线过，斜率，所以，则D正确． 故选：AD 8．（25-26学年高二上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知圆的方程为为原点，则（     ） A. 圆的半径为定值 B. 当在圆外部时， C. 当圆上的点都在第一象限时， D. 当点在直线上时，圆上的点到的距离最大值为 【答案】ACD 【分析】 将圆的方程化成标准方程，即可判断A；由，求出的范围，即可判断B；由 ，解得，即可判断C；由题意可得的坐标为，求得上的点到的距离最大值为，即可判断D. 【详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为A正确； 当在圆外部时或B错误； 当圆上的点都在第一象限时 ，解得，C正确； 当点在直线上时，则有，解得， 所以圆心的坐标为，    圆上的点到的距离最大值为，D正确. 故选：ACD． 9．（25-26学年高二上·安徽皖南八校·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】 由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则 ，所以 ， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 求出的垂直平分线方程为，设，则，再根据半径，列方程求出，进而得到圆的方程. 【详解】 ，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 11．（25-26学年高二上·安徽联盟·期中）（多选）已知圆和直线，则（       ） A. 圆的半径为5 B. 直线恒过点 C. 直线不过点 D. 直线与圆一定相交 【答案】ACD 【分析】 利用直线的方程可以找到直线恒过一个定点，然后结合圆得标准方程，进行逐一判定. 【详解】 对于A，将圆化为， 可得圆的圆心为，半径为5，故A正确； 对于B，将直线化为， 由 得 ，所以直线恒过点，故B错误； 对于C，将圆心代入直线中，得， 显然圆心不在直线上，故C正确； 对于D，因为， 所以点在圆内，则直线与圆一定相交，故D正确. 故选:ACD. 12．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知，直线l：与圆C：相交于A，B两点，则的最大值为（       ） A. 12 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出直线l所过的定点，取AB的中点为Q，易得，根据圆的几何性质得Q点的轨迹为以CN为直径的圆，进而利用点与圆的位置关系求得距离的最大值，即可得解. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为4，过定点， 设AB的中点为Q，连接CQ，根据圆的几何性质得， 所以Q点的轨迹为以CN为直径的圆，其圆心为，半径为1． 又，且， 所以，即的最大值为12. 故选：A． 13．（25-26学年高二上·安徽江淮名校·期中）已知圆，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】 依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·安徽合肥·期中）圆关于直线对称的圆的方程为　　　　　　　 【答案】 【分析】 求出圆心关于直线的对称点，即对称圆的圆心，两对称圆的半径相等，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 所以圆关于直线的对称的圆的方程为. 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·安徽宿州十三校·期中）已知，圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）已知点为圆上一点，且，为垂足，求的最大值． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设出圆的一般式方程，利用待定系数法求出方程，再化成标准方程. （2）法一，利用三角代换及向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求出最大值；法二，作出辅助线，利用直角三角形边角关系，结合二倍角的正弦及正弦函数性质求出最大值. (1) 小问详解： 依题意，设圆的方程为， 由圆经过三点，已知， 则 ，解得 ； 所以圆的方程为，其标准方程为. (2) 小问详解： 法一：由（1）设 ，显然方向相同， ，， 则， 当且仅当时，取最大值.    法二：令圆与轴另一交点为，连接，设，， 依题意，，，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以取最大值. 16．（25-26学年高二上·安徽芜湖·期中）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数（，）的动点轨迹.已知，，动点满足. （1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. （3）设直线经过点，且与（1）所求的圆相切，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）最小值是，最大值是.     （3）或      【分析】 （1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. （3）根据斜率存在与否进行分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可求出直线方程. (1) 小问详解： 设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. (2) 小问详解： 就是，其半径是4， 圆心是，.     显然在圆外，故的最小值是，最大值是. (3) 小问详解： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相切，满足题意. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，则直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 17．（25-26学年高二上·安徽涡阳县第三中学·期中）已知，，动点P与点A距离是它到点B距离的2倍． （1）求点P的轨迹C的方程，并判断其形状； （2）求的取值范围． 【答案】（1），是以为圆心，为半径的圆；     （2）．      【分析】 （1）由已知得，结合两点间距离公式，进行化简整理便可得到点P的轨迹方程； （2）通过计算可知A在圆E的外部，直线AE的方程与联立，可得的取值范围，从而得解. (1) 小问详解： 设点P的坐标为， 则，， 由已知得，所以， 化简整理得， 所以轨迹C的方程为． 配方得：， 故轨迹C是以为圆心，为半径的圆． (2) 小问详解： 由已知得， 由，且，所以A在圆E的外部． 直线AE的方程为． 由与联立得， 整理得，解得，， 所以直线AE与圆有两个交点为，． 求得，， ， 即， 故的取值范围为． 18．（25-26学年高二上·安徽鼎尖名校大·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且，则　　　　　　　　　　　；当点在半圆上运动时，点纵坐标的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】① 20    ② 【分析】 先证明和推得、、三点共线，设与交于点，利用菱形的性质，结合图形计算即得；再设得计算得，，推出，结合的范围和正切函数的单调性即得答案. 【详解】 如图，连接， ，同理则、、三点共线， 设与交于点，四边形是菱形， 则 ， ； 设则记， 则， ，又，则， ， ，则， 故． 故答案为：20； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $