全册综合测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线三大模块，通过基础辨析与综合应用题型，系统整合知识逻辑，培养数学眼光与推理思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量与立体几何|约6题|基底判断、线面关系、异面直线所成角、平行六面体计算|向量运算→空间位置关系→度量计算| |直线与圆|约5题|平行判定、相切条件、弦长计算、反射问题|方程与位置关系→距离公式→应用模型| |圆锥曲线|约8题|离心率、焦点坐标、切线方程、面积最值|定义与方程→几何性质→综合应用|

人教A版选择性必修一综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 5．直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 6．在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．的长为 D．与平面所成角的正弦值为 11．已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则的周长为20 B．k的取值范围是 C．若，则 D．当时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 13．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 14．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 16．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 17．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 18．在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，． (1)求证：平面平面． (2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19．已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若，垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)求面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A A A B ABD ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 2．B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 3．C 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 4．C 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 5．A 【分析】根据直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 由题意可得圆的半径， 且有， 所以，， 所以， 即， 即， 解得. 6．A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 7．A 【分析】首先求出直线恒过的定点，然后求出点关于直线的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值等于（为圆的半径）. 【详解】将直线方程变形为，令，解得，所以定点. 设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以. 圆的方程为，圆心，半径. 的最小值等于， ，， ， 所以的最小值为. 故选：A. 8．B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    9．ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 10．ABD 【分析】通过可判断A，通过，可判断B，由可判断C，对于D，法一：过作平面，确定 与平面所成角为，再通过向量的夹角公式可判断，法二：设底面正的中心为，求得，结合直角三角形即可求解. 【详解】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确； B选项： ， 故，，即，， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确； C选项： ，则，所以C不正确； D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接． 由，且，得为等边三角形，则． 因为平面，所以，，由三角形全等可得， 故在的平分线上，因此与平面所成角为． 由，得，即． ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为； 法二（几何法）： 连接，，，由， ，可得， 即四面体为棱长为1的正四面体． 设底面正的中心为，则， 平面，平面，， 在中，． 设与平面所成角为，则，故D正确． 11．ACD 【分析】由双曲线的定义可判断A；取，可判断B；设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理及已知条件，求出的值，即可得的值，从而判断C；设，将表示成关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可判断D. 【详解】设双曲线的焦距为， 因为实半轴长为，虚半轴长为， 则， 所以， 所以. 对于A，若， 则的周长为，所以A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为. 当直线的斜率为时，直线与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且只有一个交点，不合题意，所以B不正确. 对于C，设直线的方程为，联立双曲线的方程， 得. . ①；②， 又，所以③ 联立①②③解得， 所以，所以C正确； 对于D，易知，设，则； 所以； 当时，最小，最小值为，所以D正确. 12． 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： 13． 【分析】设点坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理以及向量数量积的坐标公式得到关于参数的等式，即可计算结果． 【详解】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 14． 【分析】先建立平面直角坐标系，再得出点的坐标，列式计算求解. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图，设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h， 则， 于是， 所以，即得cm，即该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 15．(1)， (2) 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 16．(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 17．(1) (2)设，．由题可知直线与的斜率互为相反数， 当，代入椭圆方程得， 又在第一象限，故． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 于是直线的方程为，直线的方程为 代入，的坐标并作差，得．①   由，得． 由韦达定理，得，即，②   同理可得．③   将①②③代入，得， 故直线的斜率为定值 【分析】（1）通过焦距确定，通过椭圆定义求得，进而可求解； （2）设，．直线的斜率为，得到直线的斜率为，通过点在直线上作差，及直线方程和椭圆方程联立，进而可求解. 【详解】（1）由题可知，即， ， 所以，即， 则， 故的标准方程为． （2）略 18．(1) 因为平面平面，平面平面， 又平面，且， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，分别为，，的中点， 所以，且， ，且， 所以四边形为平行四边形． 又，，所以，且， 所以四边形为正方形，所以． 因为，且，平面， 所以平面． 又平面， 所以平面平面． (2) 由（1）知，四边形为正方形， 又平面，所以，，两两垂直， 故以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 假设上存在点满足条件， 令，， 则，． 设平面的法向量为， 则 令，则，， 故平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以 解得或（舍）， 即当点为上靠近点的四等分点时，平面与平面夹角的余弦值为． 【分析】（1）由面面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直． （2）建立空间直角坐标系，令，，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，通过判断此方程是否有解进行判断． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)； (2)存在定点，使得为定值，证明如下： 设点，，. 设过的切线方程为（为切线斜率，）， 整理得，将其代入抛物线方程得， 整理得 ②. ∵ 直线与抛物线相切，∴ ， 两边同除以16得 ③. 将①式代入③式，得， 整理得，解得. 将代入所设切线方程，得， 两边同乘得， 将①式代入上式，得，整理得. 即抛物线的过切点的切线方程为. ∵ 点在切线上，∴ ，同理可得. ∴ 点均在直线上，即直线的方程为. 将直线方程整理为，令，解得，即直线恒过定点. ∵ ，垂足为，∴ ，即点的轨迹是以线段为直径的圆. 该圆圆心为中点，半径为. ∴ 存在定点，使得为定值. (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，求解值即可得到抛物线方程. （2）设出点坐标，推导切点弦的直线方程，确定其恒过定点，结合得到点的轨迹为圆，即可得到定点. （3）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，结合点到直线距离公式求出点到直线的距离，写出面积表达式后求最小值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为. ∵ 点到焦点的距离为，由抛物线定义可知. ∴ 解得. ∴ 抛物线的方程为. （2）略 （3）将直线的方程与抛物线联立，消去得： . ∴ ，，. ∴ . 点到直线的距离. ∴ 的面积. ∵ ，∴ 当时，取得最小值. 即面积的最小值为. 【点睛】方法归纳：本题考查抛物线的定义、切点弦方程、定点定值问题及面积最值问题，求解时可先推导抛物线的切点弦直线方程，利用直线过定点确定动点轨迹，再通过代数运算化简面积表达式求最值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $