第02讲 一定是直角三角形吗 讲义 2026-2027学年 北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第02讲 一定是直角三角形吗 （新教材北师大版） 知识点一、勾股定理的逆定理 2 知识点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 2 知识点三、勾股数 2 【题型1 勾股树（数）问题】 3 【题型2 判断三边能否构成直角三角形】 6 【题型3 在网格中判断直角三角形】 9 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 12 【题型5 勾股定理逆定理拓展问题】 14 【题型6 直角三角形判定的实际应用问题】 16 【题型7 勾股逆定理综合证明与探究】 19 【探究式学习】 24 【课后检测】 27 【复盘笔记】 41 知识点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否 为直角三角形. 知识点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释： 当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释： （1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长。 【题型1 勾股树（数）问题】 【例1】“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 【变式1-1】若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 【变式1-2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 【变式1-3】下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵，，是一组勾股数，不妨设， ∴， ∴，，仍是勾股数，故②正确； ③∵，，，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，a为斜边， ∴由勾股定理得，代入得， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 【题型2 判断三边能否构成直角三角形】 【例2】如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两短边的平方和以及长边的平方，判断得数是否相等，即可得到答案． 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． 【变式2-1】如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式2-2】的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 【变式2-3】下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股定理和直角三角形的判定，根据相关概念和定理逐一判断每个命题即可得到答案； 【详解】解： ①∵、、为一组勾股数，不妨设，且、、都是正整数， ∴， 且、、都是正整数，因此、、仍是勾股数，故①正确； ②直角三角形的两边长为3和4时，若4是斜边，第三边长为，不一定为5，故②错误； ③∵，， ∴，因此这个三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，是斜边， ∴，即， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是①④； 【题型3 在网格中判断直角三角形】 【例3】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 【变式3-1】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．取格点，使得，连接，得到，根据勾股定理的逆定理可推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得，连接， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 【变式3-3】如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，求正切值，连接，由勾股定理可得，，，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，其中，根据正切的定义即可求出答案. 【详解】解：连接， 由勾股定理可得，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，其中， ∴， 即的正切值是2， 故选：B 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 【变式4-1】如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 【变式4-3】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 【题型5 勾股定理逆定理拓展问题】 【例5】若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式5-1】根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 【变式5-2】已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 【变式5-3】在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 【题型6 直角三角形判定的实际应用问题】 【例6】如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量，，，． (1)护林员操控一架无人机从处沿直线飞行到处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：是直角三角形， 理由如下： 在中，，，， ，即， 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中已知条件，在中，由勾股定理直接求解即可； （2）根据已知条件及（1）中求出的，在中，由勾股定理的逆定理直接求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，，，则由勾股定理得， ∴无人机飞行路径的长为； （2）略 【变式6-1】如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 【变式6-2】图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【答案】(1)是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架，，两轮中心的距离， ，即， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 由（1）得，是直角三角形， ， ， 购物车上篮子的左边缘到的距离为． 【变式6-3】如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下： 在中，，由勾股定理得： ， ， 在中，，         是直角三角形，且； (2) 【分析】（1）先由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形； （2）分别求出和的面积，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，     ，         图中种花（阴影）部分的面积． 【题型7 勾股逆定理综合证明与探究】 【例7】 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 【变式7-1】已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 【变式7-2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式7-3】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）略 （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【探究式学习】 1．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 2．解答： 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 (1)小明画出类型①锐角，，，则________； (2)小金画出了类型②直角，，，计算的值； (3)小山画出了类型③钝角，，，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）由周长及等腰三角形性质求得，由正方形面积公式即可求解； （2）由勾股定理即可得，进而得到答案； （3）过点作交的延长线于，则可得，，，设，则，则；由勾股定理列出方程，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴, ∴； （2）解：由题意知，，由勾股定理得：， ，即； （3）解：过点作交的延长线于，在中，，， ， ， ，设，则， 由勾股定理得：， ，的周长为， ，在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ，， 【课后检测】 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，5，7 B．5，13，13 C．7，24，25 D．15，16，5 【答案】C 【分析】验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意； C、∵，，∴，∴能组成直角三角形，故选项符合题意； D、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意． 2．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 【答案】C 【分析】通过比较每组线段中两较短线段的平方和与最长线段的平方是否相等，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 3．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 【答案】B 【分析】未明确最大边时，分为斜边、4为斜边两种情况，结合勾股数为正整数的条件求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 4．线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理进行判断，找出每个选项中的最长边，计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形． 【详解】解：A、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意； B、，， ，能组成直角三角形． 故符合题意； C、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意； D、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意． 5．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 6．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 【详解】解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 7．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 8．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 11．如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 12．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 13．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 14．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 15．如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略 17．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 18．如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； （2）解：略； 19．若一个三角形的三条边长、、满足，则这个三角形是直角三角形吗？ 【答案】 这个三角形是直角三角形． 【分析】利用等式的性质变形可得 ，即可证明结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即， 整理得 ， ∵ ，，是三角形的三边长， ∴ 根据勾股定理逆定理该三角形是直角三角形． 20．如图1，在中，为的中点，为延长线上一点，连接交于点，过点作，垂足为点，交的延长线于点．延长至点，使，连接、．已知． (1)求证：； (2)如图2，当时： ①求证：； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②线段的长为 【分析】（1）根据证明得出，，可得，得出，再根据勾股定理逆定理证明即可得； （1）①连接，可得，证明，，由可证明，根据证明即可得出； ②根据勾股定理得，求出，得出，设，则，由面积关系得，可求出，故线段的长为． 【详解】（1）证明∵是的中点， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴； （2）解：①证明：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴由勾股定理得， ∵由①知，， ∴， ∵是的角平分线， ∴点到直角边，的距离均为4 ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴线段的长为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第02讲 一定是直角三角形吗 （新教材北师大版） 知识点一、勾股定理的逆定理 2 知识点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 2 知识点三、勾股数 2 【题型1 勾股树（数）问题】 3 【题型2 判断三边能否构成直角三角形】 4 【题型3 在网格中判断直角三角形】 4 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 5 【题型5 勾股定理逆定理拓展问题】 6 【题型6 直角三角形判定的实际应用问题】 7 【题型7 勾股逆定理综合证明与探究】 9 【探究式学习】 12 【课后检测】 14 【复盘笔记】 19 知识点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否 为直角三角形. 知识点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释： 当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释： （1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长。 【题型1 勾股树（数）问题】 【例1】“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【变式1-2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【变式1-3】下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【题型2 判断三边能否构成直角三角形】 【例2】如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【变式2-1】如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【变式2-2】的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【题型3 在网格中判断直角三角形】 【例3】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式3-1】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（   ） A． B．2 C． D． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【变式4-1】如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式4-2】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【变式4-3】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【题型5 勾股定理逆定理拓展问题】 【例5】若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式5-1】根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【变式5-2】已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【变式5-3】在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【题型6 直角三角形判定的实际应用问题】 【例6】如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量，，，． (1)护林员操控一架无人机从处沿直线飞行到处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【变式6-1】如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【变式6-2】图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【变式6-3】如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 【题型7 勾股逆定理综合证明与探究】 【例7】 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【变式7-1】已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式7-2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式7-3】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【探究式学习】 1．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 2．解答： 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 (1)小明画出类型①锐角，，，则________； (2)小金画出了类型②直角，，，计算的值； (3)小山画出了类型③钝角，，，计算的值． 【课后检测】 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，5，7 B．5，13，13 C．7，24，25 D．15，16，5 2．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 3．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 4．线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 6．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 7．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 11．如图，在中，，，，则的面积为______． 12．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 13．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 14．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 15．如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 16．如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 17．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 18．如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 19．若一个三角形的三条边长、、满足，则这个三角形是直角三角形吗？ 20．如图1，在中，为的中点，为延长线上一点，连接交于点，过点作，垂足为点，交的延长线于点．延长至点，使，连接、．已知． (1)求证：； (2)如图2，当时： ①求证：； ②若，，求线段的长． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $