第九讲 勾股定理折叠问题 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理在折叠问题中的应用，核心知识点包括折叠的轴对称变换本质，即对应边、角相等及折痕是垂直平分线，梳理出找相等线段、设元、表示直角三角形三边、列方程求解的通用步骤，搭建从勾股定理基础到几何变换综合应用的学习支架。 资料以三角形和四边形折叠题型为框架，通过例题精析与变式训练结合，培养学生几何直观与推理能力。如矩形折叠中设未知数表示线段，用勾股定理列方程，体现模型意识。课中辅助教师系统教学，课后作业帮助学生巩固通法，查漏补缺。

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第九讲 勾股定理 —— 折叠问题 第9讲 讲 折叠问题 一、知识讲解 1、折叠问题解题核心原理 折叠本质是轴对称变换： ①折叠前后对应边相等、对应角相等； ②折痕是对应点连线的垂直平分线。 2、勾股定理解决折叠题通用步骤 1）找折叠带来的相等线段，设关键未知线段为x； 2）用含x的代数式，表示出同一个直角三角形的三条边； 3）利用勾股定理 a2+b2=c2 列方程； 4）解方程，舍去负数解，得到线段长度。 3、两大题型分类 1. 三角形折叠： 直角三角形翻折，可使顶点落在对边、对边延长线上；经常结合垂直平分线、直角三角形斜边中线性质。 2. 四边形折叠（矩形、正方形）： 长方形 / 正方形沿对角线、某条直线折叠，常出现 “平行线 + 折叠” 产生等腰三角形；正方形折叠多用设元，在直角三角形中列方程求解。 二、例题精析 类型一 利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 【例1】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=8，将△ABC 折叠，使点 B 与 AC 的中点 D 重合，折痕为 EF，则线段 BF 的长是 ( ) A. B.2 C. D. 解析： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=8。 AC²=AB²BC²=10064=36，AC=6。 D 是 AC 中点，所以 CD=1/2 AC=3。 由折叠性质，BF=DF。 设 BF=DF=x，则 CF=8x。 在 Rt△DCF 中，CD²+CF²=DF² 3² + (8x)² = x² 9 + 64 −16x + x² = x² 16x=73 x=。 答案：D 【例2】如图，在△ABC 中，已知 AC=3，BC=4，点 D 为边 AB 的中点，连接 CD，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，将△ACE 沿直线 AC 翻折到△ACE' 的位置。若 CE' ∥ AB，则 CD= 。 解析： 在△ABC 中，AC=3，BC=4， ∵ CE'∥AB，∴∠E'CA=∠CAB。 由翻折得∠E'CA=∠ECA，∴∠ECA=∠CAB。 ∵AE⊥CD，∠CEA=90°，∴∠CAB+∠B=∠ECA+∠DCB=90°，可得∠DCB=∠B。 ∴CD=BD。 又 D 是 AB 中点，CD=AD=BD，CD=1/2 AB。 设 CD=x，则 AB=2x，BD=AD=x。 过 B 作 BF⊥CD 交 CD 延长线于 F。 可证△ACE≌△CBF (AAS)，CF=AE，BF=CE。 S△ABC=34=6，S△ACD=S△BCD=3。 由勾股联立解得 AB=5，CD=。 答案： 【例3】如图，一张三角形纸片 ABC，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，现将纸片折叠，使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于 cm。 解析： Rt△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6。 AB²=6²+8²=100，AB=10。 折叠 A、B 重合，折痕 DE 垂直平分 AB，E 在 AC，D 在 AB。 AD=BD=5。 设 CE=x，则 BE=AE=8x。 Rt△BCE：BC²+CE²=BE² 6²+x²=(8x)² 36+x²=6416x+x² 16x=28，x=。 AE=8=。 Rt△ADE，DE²+AD²=AE² DE²+5²=()² DE²== DE=。 答案： 【例4】小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图 1，将 Rt△ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点 A 与 B 重合，折痕为 DE (1) 如果 AC=6 cm，AB=10 cm，可求得△ACD 的周长为 cm； (2) 如果∠CAD: ∠BAD=1: 4，可求得∠B 的度数为 操作二：如图 2，小王拿出另一张 Rt△ABC 纸片，将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，若 AC=9 cm，AB=15 cm，请求出 CD 的长。 解析： 操作一 (1) 折叠 A、B 重合，DE 垂直平分 AB，∴AD=BD。 △ACD 周长 = AC+CD+AD =AC+CD+BD =AC+BC。 Rt△ABC，AB=10，AC=6，BC==8。 周长 = 6+8=14。 (2) 设∠CAD=x，则∠BAD=4x。 由折叠 AD=BD，∠B=∠BAD=4x。 ∠C=90°，∠CAB+∠B=90°，x+4x+4x=90°，9x=90°，x=10°。 ∠B=4x=40°。 操作二 Rt△ABC，AC=9，AB=15，BC==12。 折叠，AC=AE=9，CD=DE，∠AED=∠C=90°。 BE=ABAE=159=6。 设 CD=DE=x，则 BD=12x。 Rt△BDE：DE²+BE²=BD² x²+6²=(12x)² x²+36=14424x+x² 24x=108 x=4.5。 答案：操作一 (1) 14；(2) 40°；操作二 CD=4.5 cm。 类型二 利用勾股定理解决四边形中的折叠问题 【例5】如图，在长方形纸片 ABCD 中，AD=4 cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 O。若 OC=5cm，则 CD 的长为 ( ) A.6cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 解析： (1) △ADE≌△AFE。 (2) 由折叠，AF=AD=10。 长方形 AB=8，∠B=90°。 Rt△ABF，BF²=AF²AB²=10²8²=36，BF=6。 (3) BC=AD=10，FC=BCBF=106=4。 设 EF=DE=x，则 EC=8x。 Rt△EFC，EC²+FC²=EF² (8x)²+4²=x² 6416x+x²+16=x² 16x=80 x=5。 答案：(1)△ADE≌△AFE；(2) BF=6 cm；(3) EF=5 cm。 【例6】如图，长方形纸片 ABCD 的长 AD=10 cm，宽 AB=8cm，AD 沿 AE 折叠，点 D 正好落在 BC 上的点 F 处，AE 是折痕。 (1) 图中有全等的三角形吗？如果有，请直接写出来； (2) 求线段 BF 的长； (3) 求线段 EF 的长。 解析： (1) △ADE≌△AFE。 (2) 由折叠，AF=AD=10。 长方形 AB=8，∠B=90°。 Rt△ABF，BF²=AF²AB²=10²8²=36，BF=6。 (3) BC=AD=10，FC=BCBF=106=4。 设 EF=DE=x，则 EC=8x。 Rt△EFC，EC²+FC²=EF² (8x)²+4²=x² 6416x+x²+16=x² 16x=80 x=5。 答案：(1)△ADE≌△AFE；(2) BF=6 cm；(3) EF=5 cm。 【例7】 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 B' 处，点 A 的对应点为 A'，且 B'C=3，求 AM 的长。 解析： 连接 BM、B'M。 正方形边长为 9，B'C=3，DB'=93=6。 折叠性质：BM=B'M。 设 AM=x，则 MD=9x。 Rt△ABM：BM²=AB²+AM²=9²+x²。 Rt△MDB'：B'M²=MD²+DB'²=(9x)²+6²。 ∴ 9²+x²=(9x)²+6² 81+x² = 8118x+x²+36 18x=36 x=2。 答案：AM=2。 三、变式训练 1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解析： 矩形 AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD。 折叠∠CBD=∠C'BD，∴∠ADB=∠C'BD，BE=DE。 设 DE=BE=x，则 AE=8x。 Rt△ABE，AB²+AE²=BE² 4²+(8x)²=x² 16+6416x+x²=x² 16x=80 x=5。 答案：C 2．矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（　　） A．8 B． C．4 D． 解析： 矩形 AB=4，AD=2，面积 = 8。 折叠 A、C 重合，AE=CE。 设 AE=CE=x，则 DE=4x。 Rt△CDE，AD=2，CE²=DE²+CD² x²=(4x)²+2² x²=168x+x²+4 8x=20，x=。 S△EFC=2 =。 着色面积 = 矩形面积S△AEF=8=。 答案：B 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（　　） A． B． C． D． 解析： Rt△ABC，AC=6，BC=8，AB=10。 折叠 A、B 重合，DE 垂直平分 AB，AD=5。 设 CE=x，则 BE=AE=8x。 Rt△BCE，6²+x²=(8x)²，解得 x=，AE=。 Rt△ADE，DE²=AE²AD²，DE=。 答案：D 4．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF＝25cm，则AD的长为（　　） A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm 解析： AB∥CD，折叠得∠BAC=∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25。 CD=AB=32，DF=3225=7。 Rt△ADF，AD²=AF²DF²=25²7²=62549=576，AD=24。 答案：C 5．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（　　） A．7：24：25 B．3：4：5 C．5：12：13 D．8：15：17 解析： 设 DM=3k，MC=2k，正方形边长 = 5k。 设 DE=x，则 EM=AE=5kx。 Rt△DEM，DE²+DM²=EM² x²+(3k)²=(5kx)² x²+9k²=25k²10kx+x² 10kx=16k²，x=。 EM=5k=。 DE:DM:EM = : 3k : = 8:15:17。 答案：D 6．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为　 　 A．6cm2B．8cm2 C．10cm2D．12cm2． 解析： 折叠 B、D 重合，BE=DE。 设 AE=x，则 BE=DE=9x。 Rt△ABE，AB²+AE²=BE² 3²+x²=(9x)² 9+x²=8118x+x² 18x=72，x=4。 S△ABE==6。 答案：A 7．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF与FC的长． 解析： 长方形，AD=BC=10，折叠 AF=AD=10。 Rt△ABF，BF²=AF²AB²=10²8²=36，BF=6。 FC=BCBF=106=4。 答：BF=6 厘米，FC=4 厘米。 课后作业 1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解析： 同变式训练第 1 题，BE=DE，设 DE=x，4²+(8x)²=x²，x=5。 答案：C 2．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，则边HF的长是（　　） A．12厘米 B．13厘米 C．14厘米 D．15厘米 解析： 四个角向内折叠，∠HEF=90°。 Rt△HEF，HF²=EH²+EF²=5²+12²=169，HF=13。 答案：B 3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 解析： 设 CD=x，则 AD=BD=8x。 Rt△ACD，AC²+CD²=AD² 6²+x²=(8x)² 36+x²=6416x+x² 16x=28，x=。 答案： 4．如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 解析： E 是 BC 中点，EC=4。 设 CN=x，则 DN=EN=8x。 Rt△ECN，CN²+EC²=EN² x²+4²=(8x)² x²+16=6416x+x² 16x=48，x=3。 答案：D 5．如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 　 　． 解析： Rt△ABC，BC==4。 折叠，AC=AD=3，CE=DE，∠ADE=∠C=90°。 BD=ABAD=2。 设 CE=DE=x，则 BE=4x。 Rt△BDE，DE²+BD²=BE² x²+2²=(4x)² x²+4=168x+x² 8x=12，x=。 答案： 6．在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，当△A'DE是直角三角形时，DE的长为 　 　． 解析： AD=BC=12，AB=5，折叠 BA'=BA=5，A'E=AE。 分两种情况： 情况 1：∠DA'E=90°，A' 落在矩形内部。 Rt△BDA'，BD==13，DA'=BDBA'=135=8。 设 AE=A'E=x，DE=12x。 Rt△DA'E：A'E²+DA'²=DE² x²+8²=(12x)² x²+64=14424x+x² 24x=80，x=，DE=12=。 情况 2：∠A'ED=90°，此时 A'B⊥BC，四边形 ABA'E 为正方形，AE=AB=5，DE=125=7。 答案：7 或 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 　 　． 解析： DE 垂直平分 AB，AB=2BD=10，AE=BE。 Rt△ABC，BC==6。 设 CE=x，则 AE=BE=8x。 Rt△BCE，BC²+CE²=BE² 6²+x²=(8x)² 36+x²=6416x+x² 16x=28，x=。 答案： 8．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿DE所在直线对折，点A落在BC边上的点A′处，且DA′⊥BC． （1）求∠AED的度数． （2）若AD＝，求线段AB和CE的值． 解析： (1)△ABC 等边，∠A=∠B=∠C=60°。 DA'⊥BC，∠BDA'=90°60°=30°。 折叠，∠DA'E=∠A=60°，AD=A'D。 ∠ADA'=180°30°=150°，∴∠ADE=∠EDA'=75°。 △ADE 中，∠AED=180°60°75°=45°。 (2) AD=4，∴A'D=4。 在 Rt△BDA'，∠BDA'=30°，∴BD=2A'B。 由勾股：A'B²+A'D²=BD²，A'B²+16=(2A'B)² 3A'B²=16，A'B=，BD=。 AB=AD+BD =4 + 。 ∠CA'E=180°∠BDA'∠DA'E =1803060=90°，△CA'E 为含 60° 直角三角形。 A'C = BCA'B =ABA'B，可求出 CE=8。 答案：(1)∠AED=45°；(2) AB=4+，CE=84。 6 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B.2 C. D. 【例2】如图，在△ABC 中，已知 AC=3，BC=4，点 D 为边 AB 的中点，连接 CD，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，将△ACE 沿直线 AC 翻折到△ACE' 的位置。若 CE' ∥ AB，则 CD= 。 【例3】如图，一张三角形纸片 ABC，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，现将纸片折叠，使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于 cm。 【例4】小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图 1，将 Rt△ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点 A 与 B 重合，折痕为 DE (1) 如果 AC=6 cm，AB=10 cm，可求得△ACD 的周长为 cm； (2) 如果∠CAD: ∠BAD=1: 4，可求得∠B 的度数为 操作二：如图 2，小王拿出另一张 Rt△ABC 纸片，将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，若 AC=9 cm，AB=15 cm，请求出 CD 的长。 类型二 利用勾股定理解决四边形中的折叠问题 【例5】如图，在长方形纸片 ABCD 中，AD=4 cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 O。若 OC=5cm，则 CD 的长为 ( ) A.6cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 【例6】如图，长方形纸片 ABCD 的长 AD=10 cm，宽 AB=8cm，AD 沿 AE 折叠，点 D 正好落在 BC 上的点 F 处，AE 是折痕。 (1) 图中有全等的三角形吗？如果有，请直接写出来； (2) 求线段 BF 的长； (3) 求线段 EF 的长。 【例7】 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 B' 处，点 A 的对应点为 A'，且 B'C=3，求 AM 的长。 三、变式训练 1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（　　） A．8 B． C．4 D． 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF＝25cm，则AD的长为（　　） A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm 5．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（　　） A．7：24：25 B．3：4：5 C．5：12：13 D．8：15：17 6．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为　 　 A．6cm2B．8cm2 C．10cm2D．12cm2． 7．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF与FC的长． 课后作业 1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，则边HF的长是（　　） A．12厘米 B．13厘米 C．14厘米 D．15厘米 3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 4．如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 5．如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 　 　． 6．在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，当△A'DE是直角三角形时，DE的长为 　 　． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 　 　． 8．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿DE所在直线对折，点A落在BC边上的点A′处，且DA′⊥BC． （1）求∠AED的度数． （2）若AD＝，求线段AB和CE的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $