第1章 1.2 一定是直角三角形吗同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（北师大版）

本初中数学讲义聚焦“一定是直角三角形吗”核心内容，系统梳理勾股定理逆定理（含验证方法、应用条件）及勾股数（定义、性质、常见数组）两大知识点，构建“定理理解—实例应用—巩固提升”的学习支架，承接勾股定理基础，实现从数到形的判断逻辑延伸。 该资料以题型为导向，通过“解题知识+典例+变式”分层设计，如利用四边形面积计算培养几何直观（数学眼光），结合勾股数判断强化推理意识（数学思维），融入婴儿车安全标准等实际问题渗透应用意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后通过过关验收题帮助学生查漏补缺，提升知识运用能力。

第1章 1.2 一定是直角三角形吗 内 容 导 航 题型1 勾股定理的逆定理 题型2 勾股数 考 点 演 练 题型1 勾股定理的逆定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（ ） A．10 B． C． D． 【变式1】下列不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2﹣c2＝0 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 【变式2】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度比可以是（　　） A．1：2：3 B．3：4：7 C．1：3：5 D．9：40：41 题型2 勾股数 解｜题｜知｜识 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【典例1】下列各组数是勾股数的是（　　） A．9，40，41 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．，， 【变式1】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．32，42，52 B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【变式2】下列各组数是勾股数的一组是（　　） A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，52 【变式3】下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝13，b＝16，c＝18 过 关 验 收 1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三条边的比是5：12：13 B．三条边满足关系a2＝c2﹣b2 C．三个角的比是3：4：5 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A 2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．BC2＝5 B．AB＝5 C． D．∠ACB＝90° 3．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（　　）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 4．下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5；③∠A＝90°﹣∠B；④b2＝（a+c）（a﹣c）；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B． C．∠A＝∠B﹣∠C D．（b+c）（b﹣c）＝a2 7．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D． 8．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三根能够刚好做成（　　） A．3厘米，4厘米，厘米 B．厘米，3厘米，厘米 C．6厘米，10厘米，13厘米 D．7厘米，12厘米，15厘米 9．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 10．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三条边满足关系a2＝c2﹣b2 B．三条边的比是2：2：3 C．三个角的比是1：2：3 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A 11．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．0.1，0.1，0.2 B．2，2，4 C．6，8，10 D．32，42，52 12．下面几组数，能作为直角三角形三边的有（　　）组 （1）0.6，0.8，1；（2），1，1；（3），，；（4），，；（5）32，42，52． A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为 ． 15．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 16．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）求证：CD⊥AD； （2）求四边形ABCD的面积． 18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 19．在网格图中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）AB与BC是否垂直？请说明理由； （2）求四边形ABCD的周长． 20．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，， 21．下列几组数中是勾股数的一组是（　　） A．3，4，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，13 D．9，12，15 22．下列数组中，是勾股数的是（　　） A．0.3、0.4、0.5 B．6a、8a、10a C．7、24、25 D．1.5、2、2.5 23．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 1.2 一定是直角三角形吗 内 容 导 航 题型1 勾股定理的逆定理 题型2 勾股数 考 点 演 练 题型1 勾股定理的逆定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（ ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图： ∵∠B＝90°，AB＝2，， ∴根据勾股定理得，， ∵CD＝5，AD＝4， ∴AC2+AD2＝32+42＝25，CD2＝52＝25， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ． 即四边形ABCD的面积为6， 故选：B． 【变式1】下列不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2﹣c2＝0 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 【答案】C 【解答】解：A、由a2+b2﹣c2＝0，可得a2+b2＝c2，故是直角三角形，不符合题意； B、32+42＝52，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°75°，故不是直角三角形，符合题意； D、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625， ∴72+242＝252，152+202＝252， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C． 【变式3】如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度比可以是（　　） A．1：2：3 B．3：4：7 C．1：3：5 D．9：40：41 【答案】D 【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，不符合题意； B、32+42≠72，不能组成直角三角形，不符合题意； C、12+32≠52，不能组成直角三角形，不符合题意； D、92+402＝412，能组成直角三角形，符合题意． 故选：D． 题型2 勾股数 解｜题｜知｜识 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【典例1】下列各组数是勾股数的是（　　） A．9，40，41 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】A 【解答】解：A、∵92+402＝412， ∴9、40、41是一组勾股数，符合题意； B、（32）2+（42）2≠（52）2， ∴32、42、52不是一组勾股数，不符合题意； C、∵1.5和2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，不符合题意； D、∵和不是正整数， ∴，，不是一组勾股数，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．32，42，52 B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【答案】B 【解答】解：A、∵（32）2+（42）2≠（52）2， ∴32，42，52不是勾股数，不符合题意； B、∵52+122＝132， ∴正整数5，12，13是勾股数，符合题意； C、∵0.6、0.8，1不都是正整数， ∴0.6、0.8，1不是勾股数，不符合题意； D、∵12+22≠32， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列各组数是勾股数的一组是（　　） A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，52 【答案】A 【解答】解：A、72+242＝252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意； B、、不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意； C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意； D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意． 故选：A． 【变式3】下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝13，b＝16，c＝18 【答案】D 【解答】解：A、32+42＝52，故能作为直角三角形的三边长； B、62+82＝102，故能作为直角三角形的三边长； C、52+122＝132，故能作为直角三角形的三边长； D、132+162≠182，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长． 故选：D． 过 关 验 收 1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三条边的比是5：12：13 B．三条边满足关系a2＝c2﹣b2 C．三个角的比是3：4：5 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A 【答案】C 【解答】解：A．设它们的比例系数为x，因为三条边的比是5：12：13，得到（5x）2+（12x）2＝（13x）2，所以能组成三角形，不符合题意； B．因为三条边满足关系a2＝c2﹣b2，能组成直角三角形，不符合题意； C．因为三个角的度数比为3：4：5，所以最大角，故不能构成直角三角形，符合题意； D．因为三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，由三角形内角和定理知∠A＝90°，故能构直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．BC2＝5 B．AB＝5 C． D．∠ACB＝90° 【答案】C 【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1， ∴A、∵BC2＝12+22＝1+4＝5，正确，不符合题意； B、∵，正确，不符合题意； C、∵，原结论错误，符合题意； D、∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25 ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，正确，不符合题意， 故选：C． 3．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（　　）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解答】解：∵小淇同学握住第7个结， ∴小惠和小淇之间有6个单位长度， ∵6，8，10是一组勾股数，且6+8+10＝24， ∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形， 故选：C． 4．下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5；③∠A＝90°﹣∠B；④b2＝（a+c）（a﹣c）；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，解得：∠C＝90°，故是直角三角形，符合题意； ②设a＝3k，b＝4k，c＝5k，则a2+b2＝9k2+16k2＝25k2＝c2，故是直角三角形，符合题意； ③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，即∠C＝180°﹣90°＝90°，故是直角三角形，符合题意； ④b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，故是直角三角形，符合题意， ⑤设∠C＝k，则∠A＝3k，∠B＝1.5k， ∴∠A+∠B+∠C＝3k+1.5k+k＝5.5k＝180°，解得：， ∴最大角，故不是直角三角形，不符合题意， 综上，有4个条件能确定直角三角形． 故选：C． 5．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0， ∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0， 即a＝b或a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 6．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B． C．∠A＝∠B﹣∠C D．（b+c）（b﹣c）＝a2 【答案】A 【解答】解：A、设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， ∴x＝15°， ∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵12+32＝（）2， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意； C、∵∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意； D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2， ∴b2﹣c2＝a2， ∴b2＝a2+c2， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意． 故选：A． 7．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D． 【答案】B 【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， 设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， ∴5x＝75， ∴∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； ∵（c+b）（c﹣b）＝a2， ∴c2﹣b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴ca，ba， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意， 故选：B． 8．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三根能够刚好做成（　　） A．3厘米，4厘米，厘米 B．厘米，3厘米，厘米 C．6厘米，10厘米，13厘米 D．7厘米，12厘米，15厘米 【答案】A 【解答】解：A、∵， ∴可以构成直角三角形， 故A符合题意； B、∵， ∴不可以构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵62+102＝36+100＝136≠132＝169， ∴不可以构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵72+122＝49+144＝193≠152＝225， ∴不可以构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 9．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【解答】解：A、a：b：c＝3：4：5， 设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则：a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形，不符合题意； B、a：b：c＝5：12：13， 设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则：a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴，符合题意； 故选：D． 10．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三条边满足关系a2＝c2﹣b2 B．三条边的比是2：2：3 C．三个角的比是1：2：3 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A 【答案】B 【解答】解：A、∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴能组成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵三条边的比是2：2：3， ∴设三条边的长分别为2k，2k，3k， ∵（2k）2+（2k）2＝8k2，（3k）2＝9k2， ∴（2k）2+（2k）2≠（3k）2， ∴不能组成直角三角形， 故B符合题意； C、∵三个角的比是1：2：3，三个角的和等于180°， ∴最大的角＝180°90°， ∴能组成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠B+∠C＝∠A，∠B+∠C+∠A＝180°， ∴2∠A＝180°， 解得：∠A＝90°， ∴能组成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 11．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．0.1，0.1，0.2 B．2，2，4 C．6，8，10 D．32，42，52 【答案】C 【解答】解：A．因为0.12+0.12≠0.22，所以不能组成直角三角形，不合题意； B．因为22+22≠42，所以不能组成直角三角形，不合题意； C．因为62+82＝102，所以能组成直角三角形，符合题意； D．因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能组成直角三角形，不合题意； 故选：C． 12．下面几组数，能作为直角三角形三边的有（　　）组 （1）0.6，0.8，1；（2），1，1；（3），，；（4），，；（5）32，42，52． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：（1）∵0.62+0.82＝1＝12，∴此三角形是直角三角形， （2）∵12+12＝22，∴此三角形是直角三角形， （3）∵222，∴此三角形不是直角三角形， （4）∵222，∴此三角形不是直角三角形， （5）∵92+162≠252，∴此三角形不是直角三角形， 故选：B． 13．已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 　4.8　 ． 【答案】4.8． 【解答】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， ∵三角形的三边分别为6，8，10， ∴62+82＝102， ∴三角形是直角三角形（斜边长是10）， ∵三角形的面积S， 解得：h＝4.8， 故答案为：4.8． 14．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AE， 由题意知：MN垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴AC2+CE2＝AE2， 令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x， ∴AE＝4﹣x，∴x2+32＝（4﹣x）2， ∴x， ∴CE． 故答案为：． 15．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：符合安全标准，理由： ∵∠ABD＝90°，AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm， ∴BD2＝AD2﹣AB2＝902﹣602＝4500， 在△BCD中，BC2+CD2＝302+602＝4500， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 16．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由： ∴AC2+BC2＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短；理由： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积AB•CHAC•BC， ∴CH（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH＝CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC的面积AB•CHAC•BC， ∴CH（m）， ∵AC+BC＝280（m），CH+AH+BH＝CH+AB＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）求证：CD⊥AD； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）234． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625， ∵DA2+CD2＝242+72＝625， ∴AC2＝DA2+DC2， ∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角， ∴CD⊥AD； （2）解：S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC AB•BCAD•CD 20×1524×7 ＝234． 18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB， 所以BD2+CD2＝BC2． 所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144． 所以CD＝12． （2）在△ACD中，因为CD⊥AB， 所以CD2+AD2＝AC2． 所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256． 所以AD＝16． 所以AB＝AD+BD＝16+9＝25． （3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， 所以AB2＝BC2+AC2． 所以△ABC是直角三角形． 19．在网格图中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）AB与BC是否垂直？请说明理由； （2）求四边形ABCD的周长． 【答案】（1）AB⊥BC，理由见解答； （2）四边形ABCD的周长为32． 【解答】解：（1）AB⊥BC， 理由：连接AC， 由题意得：AB2＝22+42＝20， CB2＝22+12＝5， AC2＝32+42＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC； （2）由题意得：CD＝2，AD2＝12+42＝17， ∴AD， ∵AB2，BC， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2232， ∴四边形ABCD的周长为32． 20．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，， 【答案】C 【解答】解：A、0.3，0.4，0.5，三个数不是整数，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、42+52≠62，不是勾股数，故选项B不符合题意； C、52+122＝132，三个数是勾股数，故选项C符合题意； D、，，，三个数不是整数，不是勾股数，故选项D不符合题意； 故选：C． 21．下列几组数中是勾股数的一组是（　　） A．3，4，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，13 D．9，12，15 【答案】D 【解答】解：A、42+32≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数； B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数； C、62+82≠132，不能构成直角三角形，故不是勾股数； D、92+122＝152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数． 故选：D． 22．下列数组中，是勾股数的是（　　） A．0.3、0.4、0.5 B．6a、8a、10a C．7、24、25 D．1.5、2、2.5 【答案】C 【解答】解：A、0.3、0.4、0.5，三边都不是整数，不是勾股数，故不符合题意； B、6a、8a、10a，三边不一定是整数，不一定是勾股数，故不符合题意； C、72+242＝252，能构成直角三角形，且都是正整数，是勾股数，故符合题意； D、1.5、2、2.5，三边不都是整数，不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 23．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【答案】11，60，61． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 学科网（北京）股份有限公司 $