2.1.2 两条直线平行和垂直的判定专项训练（五大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课专项训练，聚焦"两条直线平行和垂直的判定"，通过五类题型构建从概念理解到几何应用的完整训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由斜率判断平行|4题|选择填空结合|从斜率相等概念到平行判定应用| |由斜率判断垂直|4题|选择填空结合|从斜率乘积为-1到垂直判定应用| |已知平行求参数|4题|含多直线交点问题|平行条件的逆向参数求解| |已知垂直求参数|4题|含截距相等综合题|垂直条件的逆向参数求解| |几何应用|4题|含平面图形判定|平行垂直在几何中的综合迁移|

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 题型一 由斜率判断两条直线平行 1．下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 2．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 3．已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 4．（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）计算的斜率，根据两直线斜率相等，即可判断出结论； （2）计算出，的斜率，根据斜率之积即可判断出结论. 【详解】（1）的斜率为2，经过两点， 则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同， 故； （2）的倾斜角为45°，且斜率为1， 经过两点，则的斜率为， 即两直线斜率之积等于，故. 题型二 由斜率判断两直线垂直 5．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 6．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 7．已知，则直线：和直线：的位置关系为______． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 8．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 题型三 已知直线平行求参数 9．若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行系数关系计算求解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 10．已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 11．已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 12．已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线与轴平行，则直线的斜率，据此可以求的值； （2）直线与轴平行，则直线的斜率不存在，据此可以得出的值. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率， 所以. （2）若直线与轴平行，则直线的斜率不存在， 所以. 题型四 已知直线垂直求参数 13．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 14．若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】CD 【分析】根据两条直线垂直系数关系列式计算求解. 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或. 故选：CD. 15．若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 16．已知直线与． (1)若，求； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据两直线的位置关系的判定方法，得到方程，即可求解； （2）根据题意，分别令和，求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，进而得到直线的方程. 【详解】（1）解：由直线与 若，可得，即，解得． （2）解：由题意知，直线在轴和轴上的截距均不为0， 令，可得，令，可得， 因为直线在轴和轴上的截距相等，所以，解得， 把代入直线的方程，可得，即． 故直线的方程为． 题型五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 17．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 18．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解. 【详解】设，由题意可得 ，可化为， 解得:或，即或． 故选：AC 19．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________. 【答案】(3,4) 【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标. 【详解】设顶点D的坐标为(x,y)， ∵ABDC，ADBC， ∴，解得， ∴点D的坐标为(3,4). 故答案为：(3,4). 20．如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 题型一 由斜率判断两条直线平行 1．下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 2．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 3．已知直线，若，则___________ 4．（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 题型二 由斜率判断两直线垂直 5．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 6．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 7．已知，则直线：和直线：的位置关系为______． 8．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 题型三 已知直线平行求参数 9．若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 10．已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 11．已知两条直线：，：，若，则实数______. 12．已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 题型四 已知直线垂直求参数 13．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 14．若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 15．若直线与直线垂直，则__________. 16．已知直线与． (1)若，求； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的方程． 题型五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 17．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 19．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________. 20．如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    1 学科网（北京）股份有限公司 $