第1章二次函数 总结提升 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章总结提升 考点分类突破 1. 考点1 二次函数的图象与性质 [2026 绍兴期中]二次函数 图象的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 2. [2026 杭州上城段测]对于二次函数 ，下列结论正确的是（ ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当 时， 有最小值为 7 C．当 时， 随 的增大而增大 D．图象的对称轴是直线 3. 如图，二次函数 为常数)的图象的对称轴为直线 。 (1) 求 的值； (2) 向下平移该二次函数的图象，使其经过坐标原点，求平移后所得图象对应的函数表达式。 4. 考点2 二次函数与一元二次方程的关系 [2026 金华东阳段测]抛物线 与 轴的交点个数为（ ） A． B． C． D． 5. 已知抛物线 ，且 为常数)的开口向下，且经过点 ，。有下列结论：① ；② ；③ ；④ 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 。其中，正确的个数是（ ） A． B． C． D． 6. 考点3 二次函数的实际应用 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8 元，在销售过程中，每天的销售量 (个)与销售价格 (元/个)之间的函数关系如图所示，当 时，其图象是线段 ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 ________ 元。 7. 某景区销售一种新上市的纪念品，进价为 20 元/件。试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件。设这种纪念品的销售单价为 元，每天所得的销售利润为 元。 (1) 求 与 之间的函数表达式； (2) 求销售单价为多少元时，该纪念品每天的销售利润最大； (3) 若要求每天销售量不少于 10 件，且每件的销售利润至少为 25 元，则该纪念品每天的最大销售利润是多少？ 综合素养提升 8. 已知抛物线 上的某些点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表： 则该函数与 轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A． B． C． D． 9. [2026 宁波慈溪期中]已知抛物线 与直线 只有一个公共点，且过点 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足为 ，则四边形 的周长为 ________。 10. [2026 杭州滨江段测]已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 。 (1) 求抛物线对应的函数表达式； (2) 当 时，求 的取值范围。 11. 如图，某市要修建一条隧道，其截面为抛物线的一部分，线段 表示水平的路面，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系。根据设计要求， m，该抛物线的顶点 到 的距离为 9 m。 (1) 求满足设计要求的抛物线对应的函数表达式。 (2) 现需在这一隧道的内壁上安装照明灯，即在该抛物线上的点 处分别安装照明灯。若点 到 的距离均为 6 m，求点 的坐标。 12. 某文具店最近有 两款纪念册比较畅销，该文具店购进 5 本 A 款纪念册和 4 本 B 款纪念册共需 156 元；购进 3 本 A 款纪念册和 5 本 B 款纪念册共需 130 元。在销售中发现：当 A 款纪念册的售价为 32 元/本时，每天的销售量为 40 本，每本的售价每降低 1 元可多售出 2 本；当 B 款纪念册的售价为 22 元/本时，每天的销售量为 80 本，B 款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应值如下表： (1) 求 两款纪念册的进价。 (2) 该文具店准备降低每本 A 款纪念册的利润，同时提高每本 B 款纪念册的利润，且这两款纪念册每天的销售总量(120 本)不变，设每本 A 款纪念册降价 元。 ① 求出 B 款纪念册每天的销售量(用含 的代数式表示)。 ② 当 A 款纪念册的售价为多少时，该文具店每天所获得的利润最大？最大利润为多少？ 13. [2026 杭州滨江段测]已知二次函数 是实数)。函数值 和自变量 的部分对应取值如下表： (1) 若 ， ① 求二次函数的表达式； ② 若此函数的图象上有两点 ，求当 时对应的函数值。 (2) 若在 这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向。 专题一 求二次函数的表达式 一、类型1 由顶点式确定二次函数表达式 1．（一题多解）若抛物线的顶点为，且过点，则此抛物线对应的函数表达式为（ ） ． ． ． ． 2．某二次函数的图象如图所示，则此二次函数的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿. 3．已知二次函数图象的对称轴为直线，顶点在轴上，并与轴交于点，求二次函数的表达式. 二、类型2 由一般式确定二次函数表达式 4．若点在同一条抛物线上，则该抛物线对应的函数表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿. 5．已知抛物线过三点.求抛物线对应的函数表达式. 三、类型3 由交点式确定二次函数表达式 6．若抛物线经过三点，则此抛物线对应的函数表达式为（ ） ． ． ． ． 7．（一题多解）抛物线与轴交于点和点，且经过点，则该抛物线对应的函数表达式为（ ） ． ． ． ． 8．如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且求： 点的坐标； 这个二次函数的表达式. 四、类型4 由抛物线的变换求二次函数表达式 9．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式为（ ） ． ． ． ． 10．将抛物线关于轴对称后，再向上平移个单位，则得到的新抛物线对应的函数表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿. 11．将抛物线先向左平移个单位，再关于原点对称，求变换后的抛物线对应的函数表达式. 五、类型5 由二次函数的图象的性质求二次函数表达式 12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，当时，随的增大而增大，则抛物线对应的函数表达式可以为（ ） ． ． ． ． 13．已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的纵坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（ ） ． ． ． ． 14．若二次函数图象的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，则这个二次函数的表达式可以是＿＿＿＿＿＿＿＿. 15．如图，抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一个交点为，则此抛物线对应的函数表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿. 16．如图，抛物线经过点，且过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点（点在点的左侧），且求这条抛物线对应的函数表达式. 专题二 二次函数的图象性质与字母系数的关系 类型1 利用二次函数的图象性质确定字母代数式的取值范围 1. [2025 安徽]二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2. [2025 泸州]已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的交点位于 轴下方，且 时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3. 在平面直角坐标系中，已知二次函数 （ 是常数，）. (1) 若 ，函数图象经过点 和 ，求函数图象的顶点坐标； (2) 若 ，函数图象与 轴有两个交点 ，且 ，求证：. 类型2 利用二次函数的图象性质探讨一元二次方程的解或不等式的解集 4. [2025 齐齐哈尔]如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，，且 . 有下列结论：① ；② ；③ ；④ 若 和 是关于 的一元二次方程 的两根，且 ，则 ，；⑤ 关于 的不等式 的解集为 . 其中，正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 类型3 二次函数图象的性质与字母代数式的最值问题 5. [2025 浙江模拟]已知二次函数 （ 是常数，）的图象经过点 . (1) 若二次函数的图象经过 ， 两点，求该二次函数的表达式； (2) 若二次函数图象的顶点落在 轴上，求证：； (3) 若二次函数图象的对称轴为直线 ，当 时，求 的最小值. 数学 · 九年级全一册 专题三 抛物线与几何图形 一、类型1 抛物线与三角形 1．如图，的顶点 在抛物线 上，点 在 轴上，，边 与该抛物线交于点 ，则点 的坐标为（　） ． ． ． ． 2．如图，抛物线 与一直线相交于 两点，与 轴交于点 ，其顶点为 求抛物线及直线 对应的函数表达式； 若 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，求面积的最大值. 二、类型2 抛物线与特殊四边形 3．如图，四边形 是边长为 的正方形，与 轴正半轴的夹角为 ，点 在抛物线 上，则 的值为（　） ． ． ． ． 4．如图，是抛物线 在第四象限的一点，过点 分别向 轴和 轴作垂线，垂足分别为 ，则四边形 周长的最大值为（　） ． ． ． ． 5．如图，菱形 的顶点 在抛物线 上，其中 为坐标原点，对角线 在 轴上，且 ，则菱形 的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿. 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 两点点 在点 的左侧，交 轴于点 为线段 下方抛物线上的任意一点，一动点 从点 出发，沿适当路径以每秒 个单位的速度运动到 轴上的点 ，再沿适当路径以每秒 个单位的速度运动到 轴上的点 ，最后沿 轴以每秒 个单位的速度运动到点 当四边形 的面积最大时，求运动时间 的最小值. 三、类型3 抛物线与几何图形的探究题 7．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，已知 求抛物线对应的函数表达式. 在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使是以 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由. 若 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出四边形 的最大面积及此时点 的坐标. 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ，顶点为 ，连结 ，交 于点 求抛物线对应的函数表达式； 为抛物线的 部分上一动点，过点 作 交 于点 ，探究四边形 面积的最大值及此时点 的坐标. 总结提升参考答案 1. B 2. D 3. (1) 因为 ，二次函数的图象的对称轴为直线 ，所以 ，解得 (2) 由(1)，得二次函数的表达式为 ，即 。设二次函数 的图象向下平移 个单位后经过坐标原点，则平移后所得图象对应的函数表达式为 。将 代入 ，得 。所以平移后所得图象对应的函数表达式为 ，即 4. B 5. A 解析：因为抛物线的开口向下，所以 。根据题意，得 ，所以 。因为抛物线经过点 ，，所以易得当 时，，所以 ，所以 。故②正确。由 ，得 ，所以 ，所以 。故①正确。由 ，得 。因为易得当 时，，且 ，所以 ，所以 。故③正确。若关于 的方程 有两个不相等的实数根，即关于 的方程 有两个不相等的实数根，所以易得抛物线顶点的纵坐标 ，所以 ，故④正确。综上所述，正确的个数是 4。 6. 121 7. (1) (2) 。因为 ，所以 。又因为 ，所以当 时， 取得最大值，为 2250。所以当销售单价为 35 元时，该纪念品每天的销售利润最大 (3) 因为 ，所以 。因为二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，所以当 时， 随 的增大而减小。所以当 时， 取得最大值，为 1250。所以该纪念品每天的最大销售利润是 1250 元 8. B 9. 44 10. (1) 由题意，得 ，所以 。因为抛物线 过点 ，所以 ，所以 。所以抛物线对应的函数表达式为 (2) 因为对称轴为直线 ，且二次项系数为正，所以抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大。因为 ，又因为当 时，；当 时，，所以当 时， 11. (1) 由题意，得顶点 的坐标为 ，所以可设抛物线对应的函数表达式为 。将 代入，得 ，解得 。所以抛物线对应的函数表达式为 (2) 令 ，则 ，解得 。由题图，可知点 的横坐标大于点 的横坐标，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 12. (1) 设 A 款纪念册的进价为 元/本，B 款纪念册的进价为 元/本。由题意，得 解得 所以 A 款纪念册的进价为 20 元/本，B 款纪念册的进价为 14 元/本 (2) ① 由题意，得每本 A 款纪念册降价 元，则 A 款纪念册每天的销售量为 本，售价为 元/本，每本的利润为 元。因为这两款纪念册每天的销售总量(120 本)不变，所以易得 B 款纪念册每天的销售量为 本 ② 设 B 款纪念册每天的销售量 (本)与售价 (元/本)之间的函数表达式为 。由题意，得 解得 所以 。由①，得 B 款纪念册每天的销售量为 本，则 ，即 。所以 B 款纪念册每本的利润为 元。设该文具店每天所获得的利润为 元。由题意，得 。因为 ，所以当 时， 有最大值，为 1264，此时 A 款纪念册的售价为 (元/本)。所以当 A 款纪念册的售价为 26 元/本时，该文具店每天所获得的利润最大，最大利润为 1264 元 13. (1) ① 由题意，得 所以 所以二次函数的表达式为 ② 由表，可得当 和 时的函数值都是 1，所以二次函数图象的对称轴为直线 。因为图象过点 ，所以根据二次函数图象的对称性，可得 。所以当 时，由表格，得 (2) 由题意，因为当 和 时的函数值都是 1，所以对称轴为直线 。所以 是顶点。所以点 和点 关于对称轴对称，则 。因为在 这三个实数中，只有一个是正数，所以只可能 是正数。通过画草图(图略)可知，该二次函数图象的开口向下 专题一 求二次函数的表达式-参考答案与解析 1． 2． 3． 解析：由题意，对称轴为直线且顶点在轴上，故顶点为，可设。将代入，得，解得，所以。 4． 5． 解析：因为抛物线过点和点，所以对称轴是直线，即，解得，所以。因为抛物线过点，所以，解得。所以抛物线对应的函数表达式为。 6． 7． 8．； 解析：因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，所以。因为，所以，即点的坐标为。设这个二次函数的表达式为。因为点在该二次函数的图象上，所以，解得。所以。 9． 10． 11． 解析：，将抛物线向左平移个单位后所得抛物线对应的函数表达式为。再关于原点对称所得抛物线对应的函数表达式为，即。 12． 13． 14．答案不唯一 15． 16． 解析：由，点在轴上，轴，可得。又因为，所以。因为点在点的左侧，所以点的横坐标为。由抛物线的对称性，可知其对称轴为直线，所以，解得。又因为，所以。所以这条抛物线对应的函数表达式为。 专题二参考答案 1. C 2. D 3. (1) 因为 ，所以 . 因为函数图象经过点 和 ，所以 解得 所以 . 所以函数图象的顶点坐标为 (2) 若 ，则 ，所以抛物线开口向下. 因为函数图象与 轴有两个交点 ，，且 ，所以当 时，. 所以 . 所以 4. B 解析：因为抛物线开口向上，所以 . 因为抛物线与 轴交于负半轴，所以当 时，. 又因为抛物线与 轴交于点 ，，且 ，所以 . 所以 . 所以对称轴是直线 . 所以 . 所以 . 故①正确. 由题图，可得当 时，. 又因为当 时，，所以 . 所以 . 所以 . 故②正确. 因为 ，且对称轴是直线 ，所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 所以 ，即 . 所以 . 故③错误. 因为二次函数 的图象与 轴交于点 ，，所以 . 又因为 ， 为方程 的两根，所以易得 ， 为二次函数 的图象与直线 的交点的横坐标. 因为 ，所以如图①，可得 ，. 故④正确. 因为易得函数 的图象恒过点 ，，所以作出图象如图②所示. 所以由图②，易得关于 的不等式 的解集是 或 . 故⑤错误. 综上所述，正确的结论是①②④，共 3 个. 5. (1) 因为二次函数的图象经过点 ，所以 . 又因为二次函数的图象经过 ， 两点，所以 所以 所以 (2) 因为二次函数图象的顶点落在 轴上，所以 . 因为二次函数的图象经过点 ，所以 . 所以 . 所以 . 所以 (3) 因为二次函数图象的对称轴为直线 ，且 ，所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 所以 . 又因为 ，所以 ，解得 . 所以将 ， 代入，得 . 所以当 时， 取得最小值，为 专题三参考答案与解析 1． 2．抛物线 ，直线 ：；面积的最大值为 解析：由抛物线 过 ，两点，得 解得 所以抛物线对应的函数表达式为 。设直线 对应的函数表达式为 ，将 ，代入，得 解得 所以直线 对应的函数表达式为 。过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 轴于点 。设 ，则 ，所以 。又 ，所以当 时，的面积取得最大值，为 。 3． 4． 5． 6．运动时间 的最小值为 解析：，令 ，则 ；令 ，则 或 ，故 的坐标分别为 。所以直线 对应的函数表达式为 。因为 ，为定值，所以只要 取得最大值，四边形 的面积即为最大。过点 作 轴交 于点 ，设 ，，则 ，。因为 ，所以当 时 有最大值，即四边形 的面积有最大值，所以 。作点 关于 轴的对称点 ，可得 ，过点 作 交 轴于点 ，作 于点 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则此时运动时间 的值最小。易得 为等腰直角三角形，所以 。因为 ，，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，直线 对应的函数表达式为 。因为 ，，所以 ，直线 对应的函数表达式为 。联立 ①②，解得 故 。所以 。所以运动时间 的最小值为 。 7．；存在，或 或 ；最大面积为 ，此时 解析：因为点 ，在抛物线 上，所以 解得 所以抛物线对应的函数表达式为 。存在。因为抛物线的对称轴为直线 ，所以 ，所以 。当 时，则 ；当 时，则 ，。综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 。当 时，，解得 ，，则 。设直线 为 ，把 ，代入，得 解得 所以直线 为 。设 ，则 ，所以 。因为 ，又 ，所以 。所以当 时，有最大值，最大值为 ，此时点 的坐标为 。 8．；四边形 面积的最大值为 ，此时 解析：因为 ，，所以 ，。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，，在抛物线 上，所以 解得 所以抛物线对应的函数表达式为 。因为 ，所以 。过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连结 。因为 ，所以 ，所以 。设 ，，则 ，。设直线 为 ，把 ，代入，得 解得 所以直线 为 。设直线 为 ，将 代入，得 ，所以直线 为 。联立 ①②，得 解得 所以 ，所以 ，，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以当 时，取最大值，为 ，所以四边形 面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 。 学科网（北京）股份有限公司 $